专题15函数与几何中的面积问题(原卷版+解析)

专题15函数与几何中的面积问题目录一、热点题型归纳【题型一】直接利用几何面积公式求面积【题型二】割补法求面积二、最新模考题组练【题型一】直接利用几何面积公式求面积【典例分析】在平面直角坐标系中，点为坐标原点，抛物线与x轴交于、两点（点在点左侧），与轴交于点，．(1)如图1，求值；(2)如图2，连接，点在第一象限的抛物线上，过点作轴于点，与交于点，连接，设点的横坐标为，四边形的面积为，求与的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）；(3)如图3，在（2）的条件下，若，点在线段上，连接，点在的延长线上，点在轴上，连接，，交轴于点，点在线段上且，若，连接，求正切值．【提分秘籍】基本规律函数中，用坐标表示出几何图形的底边长、高等要素，然后利用面积公式列出函数解析式，最后根据函数的增减性讨论面积。【变式演练】1．（2023·辽宁葫芦岛·统考二模）中，，，点在直线上运动，连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，．(1)当点与点重合时，如图，请直接写出线段和线段的数量关系；(2)点在线段上不与点，重合时，请写出线段，，之间的数量关系，并说明理由；(3)若，，请直接写出的面积．2．（2023春·广东东莞·九年级校考期中）已知Rt△OAB，，，斜边，将Rt△OAB绕点O顺时针旋转60°，如题图1，连接BC．(1)填空：________°；(2)如图1，连接AC，作，垂足为P，求OP的长度；(3)如图2，点M，N同时从点出发，在边上运动，M沿路径匀速运动，N沿路径匀速运动，当两点相遇时运动停止，已知点M的运动速度为1.5单位/秒，点N的运动速度为1单位/秒，设运动时间为x秒，△OMN的面积为y，求当x为何值时y取得最大值？最大值为多少？【题型二】割补法求面积【典例分析】（2023·广东东莞·校考一模）如图，抛物线与x轴交于点和点B，与y轴交于点，连接，．(1)求抛物线的解析式；(2)点P在第四象限的抛物线上，若的面积为4时，求点P的坐标；(3)点M在抛物线上，当时，求点M的横坐标．【提分秘籍】基本规律针对不规则图形的面积问题，通常采用割补法进行求解，一般方法为：过几何图形的某一顶点做坐标轴的平行线，对原有几何图形进行分割或者补的方式，构造出我们常见的几何图形，例如构造成三角形等。再利用坐标表示出构造三角形的底和高，从而列出有关面积的函数解析式。【变式演练】1．（2023·天津·统考一模）将一个直角三角形纸片放置在平面直角坐标系中，点，点，点，．以点A为中心顺时针旋转，得到，点O，B的对应点分别是C，D，记旋转角为．(1)如图①，当点C落在边上时，求点C的坐标；(2)如图②，连接，点E，F分别是线段的中点，连接，，若线段的长为t，试用含t的式子表示线段的长度，并写出t的取值范围；(3)在（2）的条件下，若的面积是S，当时，求S的取值范围（直接写出结果即可）．2．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于，，交y轴于点C，且．(1)求该抛物线的解析式；(2)点P为直线下方抛物线上的一点，连接、、、，求四边形的面积的最大值，以及此时点P的坐标；1．（2023·江苏宿迁·沭阳县怀文中学统考一模）如图，抛物线经过、、三点，对称轴与抛物线相交于点、与相交于点，与轴交于点，连接．(1)求该抛物线的解析式；(2)抛物线上是否存在一点，使与的面积相等，若存在，请求出点的坐标；若不存在，说明理由．(3)抛物线上是否存在一点，使，若存在请直接写出点的坐标___________；若不存在，说明理由．2．（2023·江苏徐州·统考一模）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴分别交于点、，与y轴交于点C．(1)求该二次函数的表达式；(2)若点P是该二次函数图象上的动点，且P在直线的上方，①如图1，当平分时，求点P的坐标；②如图2，连接交BC于E点，设，求k的最大值．3．（2023·江苏常州·常州市第二十四中学校考模拟预测）如图1，抛物线的图像与x轴交于两点.过点动点D从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿方向运动，设运动的时间为t秒.(1)求抛物线的表达式；(2)过D作交于点E，连接BE，当时，求的面积；(3)如图2，点在抛物线上.当时，连接、、，在抛物线上是否存在点P，使得若存在，直接写出此时直线与x轴的交点Q的坐标，若不存在，请简要说明理由.4．（2023·江苏常州·统考一模）如图，抛物线经过、、三点，对称轴与抛物线相交于点、与相交于点，与轴交于点，连接．(1)求该抛物线的解析式；(2)抛物线上是否存在一点，使与的面积相等，若存在，请求出点的坐标；若不存在，说明理由．(3)抛物线上存在一点，使，请直接写出点的坐标；5．（2023·江苏南通·模拟预测）如图1，在平面直角坐标系中，直线：与x轴交于点B，与y轴交于点A，点C是x轴负半轴上一点，过A、B、C三点的（圆心M落在第四象限）交y轴负半轴于点D，连接，已知．(1)（请用α的代数式表示），并求证：；(2)若，求点D的坐标；(3)如图2，连接并延长，交于点F，交于点E，①若，求的长；②若，请直接写出四边形的面积．6．（2022·江苏扬州·校考二模）(1)【尝试探究】已知中，，点O是的中点，作，分别交于点P、Q，连接．①如图1，若，试探索线段之间的数量关系；②如图2，试探索①中的结论在一般情况下是否仍然成立；(2)【解决问题】如图3，已知中，，点O是的中点，过C、O两点的圆分别交边于点P、Q，连接，求面积的最大值．7．（2022·江苏扬州·校考三模）如图1，在一平面内，线段，、是线段上两点，且．点从点开始向终点运动，分别以，为边在线段同侧作等边和等边．(1)直接写出和位置关系：___________；(2)如图2，连接，，求证：；(3)如图3，设的中点为，在点从点开始运动到终点的过程中，求点移动路径的长；(4)如图4，点、点分别是、的中点，求当线段取得最小值时的面积．8．（2023·江苏泰州·统考二模）定义：若一个四边形能被其中的一条对角线分割成两个相似三角形，则称这个四边形为“师梅四边形”，这条对角线称为“师梅线”．我们熟知的平行四边形就是“师梅四边形”．(1)如图1，平分，，．四边形是被分割成的“师梅四边形”，求长；(2)如图2，平面直角坐标系中，A、B分别是x轴和y轴上的点，且，，若点C是直线在第一象限上的一点，且是四边形的“师梅线”，求四边形的面积．(3)如图3，圆内接四边形中，点E是的中点，连接交于点F，连接，，①求证：四边形是“师梅四边形”；②若的面积为，求线段的长．专题15函数与几何中的面积问题目录一、热点题型归纳【题型一】直接利用几何面积公式求面积【题型二】割补法求面积二、最新模考题组练【题型一】直接利用几何面积公式求面积【典例分析】在平面直角坐标系中，点为坐标原点，抛物线与x轴交于、两点（点在点左侧），与轴交于点，．(1)如图1，求值；(2)如图2，连接，点在第一象限的抛物线上，过点作轴于点，与交于点，连接，设点的横坐标为，四边形的面积为，求与的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）；(3)如图3，在（2）的条件下，若，点在线段上，连接，点在的延长线上，点在轴上，连接，，交轴于点，点在线段上且，若，连接，求正切值．【答案】(1)；(2)；(3)【分析】（1）由二次函数解析式可求点的坐标，从而可求点的坐标，进而可求解；（2）由（1）可求点的坐标，可求，由即可求解；（3）过点作轴，交轴于，设，，可证，从而可证，、、、四点共圆，由此可证，设，可求出点的坐标，即可求解．【详解】（1）解：当时，，，，，，，，解得：．（2）解：由（1）得：，当时，，解得：，（舍去），，，的横坐标为，的横坐标为，，．（3）解：如图，过点作轴，交轴于，，，，解得：，，，，设，，，，，，轴，，，，，，，，，，、、、四点共圆，，，，，，，，，，设，则，，，，整理得：，解得：，(舍去)，当时，，，，在中，，即：的正切值为．【提分秘籍】基本规律函数中，用坐标表示出几何图形的底边长、高等要素，然后利用面积公式列出函数解析式，最后根据函数的增减性讨论面积。【变式演练】1．（2023·辽宁葫芦岛·统考二模）中，，，点在直线上运动，连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，．(1)当点与点重合时，如图，请直接写出线段和线段的数量关系；(2)点在线段上不与点，重合时，请写出线段，，之间的数量关系，并说明理由；(3)若，，请直接写出的面积．【答案】(1)相等(2)；见解析(3)或【分析】（1）根据旋转的性质和已知条件证明四边形是正方形，即可推导出；（2）作交于点，利用证明，推出，进而可得，再证，可得；（3）分两种情况，一是点在线段上，二是点在线段的延长线上，结合（2）中结论，分别求解即可．【详解】（1）解：，理由如下：由旋转得，，当点与点重合时，则，，，，，，，四边形是平行四边形，又，，四边形是正方形，．（2）解：，理由如下：如图，作交于点，则，，，，，，，，，，，，．（3）解：如图，点在线段上，作交于点，交的延长线于点，由得，，，，，，，，，，；如图，点在线段的延长线上，作交的延长线于点，交的延长线于点，，，，，，，，，，，，，，，综上所述，的面为或．2．（2023春·广东东莞·九年级校考期中）已知Rt△OAB，，，斜边，将Rt△OAB绕点O顺时针旋转60°，如题图1，连接BC．(1)填空：________°；(2)如图1，连接AC，作，垂足为P，求OP的长度；(3)如图2，点M，N同时从点出发，在边上运动，M沿路径匀速运动，N沿路径匀速运动，当两点相遇时运动停止，已知点M的运动速度为1.5单位/秒，点N的运动速度为1单位/秒，设运动时间为x秒，△OMN的面积为y，求当x为何值时y取得最大值？最大值为多少？【答案】(1)(2)(3)当时，最大值为【分析】（1）由旋转性质可知：，，则是等边三角形，即可求解；（2）证明是等边三角形，，而，，故，，即可求解；（3）分、、三种情况，利用面积公式求解即可．【详解】（1）解：由旋转性质可知：，，是等边三角形，．故答案为：60；（2）解：如图1，，，，，由旋转得：是等边三角形，，，，，，；（3）解：①当时，在上运动，在上运动，如图2，过点作且交于点．则，，．，当时，取最大值，最大值为；②当时，在上运动，在上运动，如图3，作于，则，，当时，取最大值，最大值为；③当时，、都在上运动，作于．则，，；当时，取最大值，最大值为，，当时，取最大值，最大值为．【题型二】割补法求面积【典例分析】（2023·广东东莞·校考一模）如图，抛物线与x轴交于点和点B，与y轴交于点，连接，．(1)求抛物线的解析式；(2)点P在第四象限的抛物线上，若的面积为4时，求点P的坐标；(3)点M在抛物线上，当时，求点M的横坐标．【答案】(1)(2)点P的坐标为(3)或【分析】（1）将、代入，列方程组并且解该方程组求出、的值，即可得到抛物线的解析式为；（2）先求得，则，再求得直线的解析式为，作轴于点，交于点，设，则，所以，可求得，由，得，解方程求出的值即可；（3）取点中，连接，则，，可证明，得，再证明，则，即可证明，再分两种情况讨论，一是点在轴的上方，则，可求得直线的解析式为，进而求得直线的解析式为，将其与抛物线的解析式联立方程组，即可求出此时点的横坐标；二是点在轴的下方，可求得直线的解析式为，将其与抛物线的解析式联立方程组，即可求出此时点的横坐标．【详解】（1）抛物线经过点和点，，解得，抛物线的解析式为．（2）抛物线，当时，则，解得，（不符合题得，舍去），，，设直线的解析式为，则，解得，直线的解析式为，如图1，作轴于点，交于点，设，，则，，，，，解得，点的坐标为．（3）如图2，取点中，连接，则，，，，，，，，，，当点在轴的上方，设交轴于点，，，∴，设直线的解析式为，则，解得，直线的解析式为，设直线的解析式为，则，解得，直线的解析式为，由，得，解得，（不符合题意，舍去），点的横坐标为；当点在轴的下方，设交轴于点，直线，当时，，，，，，，，，设直线的解析式为，则，解得，直线的解析式为，由，得，解得，（不符合题意，舍去），点的横坐标为，综上所述，点的横坐标为或．【提分秘籍】基本规律针对不规则图形的面积问题，通常采用割补法进行求解，一般方法为：过几何图形的某一顶点做坐标轴的平行线，对原有几何图形进行分割或者补的方式，构造出我们常见的几何图形，例如构造成三角形等。再利用坐标表示出构造三角形的底和高，从而列出有关面积的函数解析式。【变式演练】1．（2023·天津·统考一模）将一个直角三角形纸片放置在平面直角坐标系中，点，点，点，．以点A为中心顺时针旋转，得到，点O，B的对应点分别是C，D，记旋转角为．(1)如图①，当点C落在边上时，求点C的坐标；(2)如图②，连接，点E，F分别是线段的中点，连接，，若线段的长为t，试用含t的式子表示线段的长度，并写出t的取值范围；(3)在（2）的条件下，若的面积是S，当时，求S的取值范围（直接写出结果即可）．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）过点作轴于点，根据已知条件得出，是等边三角形，在中，勾股定理得出，即可求解；（2）在中，，根据勾股定理即可得出，由，进而即可求解；（3）证明，根据旋转的性质证明得出，根据三角形面积公式求得出，进而根据，分别求得的范围，即可求解．【详解】（1）解：如图所示，过点作轴于点，∵点，点，点，，∴∴∴，∴，∵旋转，当点C落在边上时，则，∴是等边三角形∴∴在中，,∴；（2）解：∵旋转∴，∵是的中点，，∴，，∴在中，，∴，∵∴∴（3）解：如图所示，∵∴∴，∴∴又∵，分别是线段的中点，∴∴∵∴∴又∵∴，当时，由①可得∴此时,当时,随着角度的增大而增大，∴当时，如图所示，过点作轴于点，∵，∴∴，∴，即最大值为,∴∴．2．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于，，交y轴于点C，且．(1)求该抛物线的解析式；(2)点P为直线下方抛物线上的一点，连接、、、，求四边形的面积的最大值，以及此时点P的坐标；【答案】(1)(2)；【分析】（1）用待定系数法求出二次函数解析式即可；（2）根据，得出当面积最大时，的面积最大，求出直线的解析式为，过点P作轴交于点Q，设，则，当最大时，面积最大，得出，当时，取最大值，求出结果即可．【详解】（1）解：∵，∴，将点，，代入，得，解得，∴；（2）解：∵，∴当面积最大时，的面积最大，设的直线解析式，∴，解得，∴，过点P作轴交于点Q，设，则，∴当最大时，面积最大，∴，∵，，当时，取最大值，∴，∵，，，∴，∴．1．（2023·江苏宿迁·沭阳县怀文中学统考一模）如图，抛物线经过、、三点，对称轴与抛物线相交于点、与相交于点，与轴交于点，连接．(1)求该抛物线的解析式；(2)抛物线上是否存在一点，使与的面积相等，若存在，请求出点的坐标；若不存在，说明理由．(3)抛物线上是否存在一点，使，若存在请直接写出点的坐标___________；若不存在，说明理由．【答案】(1)(2)存在，或(3)存在，或【分析】(1)设抛物线，代入点确定a值即可得解．(2)过点E作，直线与抛物线的交点就是所求．(3)根据轴，得到即，结合条件，得到，继而得到．设直线与y轴正半轴交点为M，负半轴交点为N，根据题意，，分别确定M，N的坐标，继而确定直线的解析式，联立抛物线的解析式即可得解．【详解】（1）∵抛物线经过、、三点，∴设抛物线，代入点得，解得，∴抛物线解析式为．（2）存在点Q，满足与的面积相等，理由如下：∵，∴，设直线的解析式为，∴，解得，故直线解析式为；∵、，设直线的解析式为，∴，解得，故直线解析式为；∴当时，，∴；∵与的面积相等，∴点Q在过点E且平行直线的直线上，过点E作，设直线的解析式为，∴∴，∴直线的解析式为，∴，解得，∴或．（3）∵、，∴；∵轴，∴即，∵，∴，∴．设直线与y轴正半轴交点为M，负半轴交点为N，根据题意，，∴∴，∴，设直线的解析式为，∴，解得，故直线解析式为，∴，解得（舍去），∴．设直线的解析式为，∴，解得，故直线解析式为，∴，解得（舍去），∴．故答案为：，或．2．（2023·江苏徐州·统考一模）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴分别交于点、，与y轴交于点C．(1)求该二次函数的表达式；(2)若点P是该二次函数图象上的动点，且P在直线的上方，①如图1，当平分时，求点P的坐标；②如图2，连接交BC于E点，设，求k的最大值．【答案】(1)(2)①；②【分析】（1）用待定系数法求解即可；（2）作轴，在上截取，则，证明，可证平分，求出的解析式，与二次函数解析式联立即可求出点P的坐标；（3）作，交于点N，证明，结合，可求出，则当取得最大值时，k值最大，设，求出直线的解析式，可得，进而可求出结论．【详解】（1）把、代入，得，∴，∴；（2）①令中，得，∴．作轴，在上截取，则，连接交抛物线于点P，则P满足．∵，，∴，∵轴，∴．∵，，∴，∴，即平分．设直线的解析式为，∴，∴，∴，∵解得（舍去），．当时，，∴；②作，交于点N，∴，∴．∵，∴．∵，∴，∴当取得最大值时，k值最大．设，∵，设直线的解析式为，∴，∴，∴，则M为，∴∴当时，有最大值，∴k有最大值．3．（2023·江苏常州·常州市第二十四中学校考模拟预测）如图1，抛物线的图像与x轴交于两点.过点动点D从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿方向运动，设运动的时间为t秒.(1)求抛物线的表达式；(2)过D作交于点E，连接BE，当时，求的面积；(3)如图2，点在抛物线上.当时，连接、、，在抛物线上是否存在点P，使得若存在，直接写出此时直线与x轴的交点Q的坐标，若不存在，请简要说明理由.【答案】(1)；(2)；(3)或【分析】（1）用待定系数法即可得出答案；（2）先求出直线的解析式，然后得出，再利用即可得出答案；（3）当在右侧和在左侧两种情况加以分析即可；【详解】（1）解：（1）将，代入得，解得：∴（2）∵，设直线的解析式为：∴，解得：∴直线AC的解析式为：当时，，则当时，当，∴∵∴∴∴（3）当在右侧时，过C作轴于H，如图：∵，∴，∴，∵，，，∴，∴，∴，∴，∵，∴，即平分，∴，∵当时，则∴∴∴此时直线与x轴的交点Q的坐标为②当在左侧时，作Q关于直线的对称点M，作直线交抛物线于P，由对称性知此时，直线与x轴交点Q'是满足条件的点，如图：设，∵，∴∴或∴由，得直线解析式为令得，则，∴∴直线与x轴的交点Q的坐标为或4．（2023·江苏常州·统考一模）如图，抛物线经过、、三点，对称轴与抛物线相交于点、与相交于点，与轴交于点，连接．(1)求该抛物线的解析式；(2)抛物线上是否存在一点，使与的面积相等，若存在，请求出点的坐标；若不存在，说明理由．(3)抛物线上存在一点，使，请直接写出点的坐标；【答案】(1)(2)存在，，(3)或【分析】（1）把三点坐标代入函数式，列式求得，，的值，即求出解析式；（2）由等底等高的两个三角形的面积相等，可求点的坐标．（3）分两种情况讨论，由锐角三角函数可求的长，可求点坐标，可得解析式，联立方程组可求点坐标；【详解】（1）把，，三点代入抛物线解析式，解得：，该抛物线的解析式为；（2）存在，由，则顶点，对称轴为直线，∴，∴，，∵，，∴直线解析式为，∴点，∵，，∴直线解析式为，如图，过点作，交抛物线于，此时与的面积相等，∵，点坐标，直线解析式为，∴解析式为:，联立方程组可得：，解得：或，∴点的坐标为，，（3）存在，由，则顶点，对称轴为直线，，，，，，直线解析式为，点，，，，，若点在直线的上方时，，，，，，，，，，点，直线解析式为：，联立方程组可得：，解得：或，点的坐标为，；若点在直线的下方时，由对称性可得：点，直线解析式为：，联立方程组可得：，解得：或，点的坐标为，，综上所述：点的坐标为，或，；5．（2023·江苏南通·模拟预测）如图1，在平面直角坐标系中，直线：与x轴交于点B，与y轴交于点A，点C是x轴负半轴上一点，过A、B、C三点的（圆心M落在第四象限）交y轴负半轴于点D，连接，已知．(1)（请用α的代数式表示），并求证：；(2)若，求点D的坐标；(3)如图2，连接并延长，交于点F，交于点E，①若，求的长；②若，请直接写出四边形的面积．【答案】(1)，证明见解析；(2)(3)①4②【分析】（1）利用圆周角定理和直角三角形性质及三角形内角和定理即可证得结论；（2）根据题意先确定A、B的坐标，再运用勾股定理求得，即可得出点D的坐标；（3）①如图2，连接，可证得，得出，再得出，再证明，利用相似三角形性质和勾股定理即可求得答案；②设，，则，又，由，可求得，即，再得出，运用勾股定理建立方程求解即可得出，即可得出的值，再利用，求，利用，即可求得答案．【详解】（1）解：，，，，，；（2）解：如图1，若，直线的解析式为，当时，，点A的坐标是，当时，即，，点B的坐标是，，，在中，，，，∴点D的坐标是；（3）解：①如图2，连接，，，是的直径，，，，，，在和中，，，，，，，，，，，；②，，设，其中，由①知：，，设，则，又，，，，，，，，由（1）知：，，在中，，，解得：，，，，，，即，，，．6．（2022·江苏扬州·校考二模）(1)【尝试探究】已知中，，点O是的中点，作，分别交于点P、Q，连接．①如图1，若，试探索线段之间的数量关系；②如图2，试探索①中的结论在一般情况下是否仍然成立；(2)【解决问题】如图3，已知中，，点O是的中点，过C、O两点的圆分别交边于点P、Q，连接，求面积的最大值．【答案】(1)①；②，在一般情况下仍然成立，过程见解析(2)当时，有最大值，即面积的最大值为【分析】（1）①证明，求出，同理求出，勾股定理即可求出；②延长至D，使，连接、，证明四边形是平行四边形，得出，在中，由勾股定理得：，即可得答案；（2）连接OP、OQ，则，由（2）知，，设，推出，求出，代入，用二次函数的性质求出答案即可．【详解】（1）解：①连接，是等腰直角三角形，点O是的中点，，，，，，，，，，；②仍然成立，如下图，延长至D，使，连接、，互相平分，四边形是平行四边形，，，，，垂直平分，，；（2）如下图，连接OP、OQ，，过C、O两点的圆分别交于点P、Q，是圆的直径，，由（2）知，，设，则，，，，，∴当时，有最大值，即面积的最大值为．7．（2022·江苏扬州·校考三模）如图1，在一平面内，线段，、是线段上两点，且．点从点开始向终点运动，分别以，为边在线段同侧作等边和等边．(1)直接写出和位置关系：___________；(2)如图2，连接，，求证：；(3)如图3，设的中点为，在点从点开始运动到终点的过程中，求点移动路径的长；(4)如图4，点、点分别是、的中点，求当线段取得最小值时的面积．【答案】(1)互相平行；(2)见解析；(3)；(4)【分析】（1）由可知；（2）通过证明即可；（3）分别过作的垂线构造直角梯形，点为直角