第24章圆【单元提升卷】(人教版)(原卷版+解析)

第24章圆【单元提升卷】（人教版）（满分100分，完卷时间90分钟）考生注意：1．本试卷含三个大题，共25题．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效．2．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出解题的主要步骤．一、单选题1．已知⊙O中最长的弦为8cm，则⊙O的半径为()cm．A．2 B．4 C．8 D．162．如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的弦，已知∠AOC＝80°，则∠ABC的度数为（）A．20° B．30° C．40° D．50°3．如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，∠ABC＝30°，AC＝4，则⊙O的半径为（）A．4 B．8 C．2 D．44．如图，AB为⊙O的直径，点C为⊙O上的一点，过点C作⊙O的切线，交直径AB的延长线于点D；若∠A＝23°，则∠D的度数是()A．23° B．44° C．46° D．57°5．如图，正三角形ABC的边长为4cm，D，E，F分别为BC，AC，AB的中点，以A，B，C三点为圆心，2cm为半径作圆．则图中阴影部分面积为（）A．（2-π）cm2 B．（π-）cm2 C．（4-2π）cm2 D．（2π-2）cm26．如图，将直角三角板60°角的顶点放在圆心O上，斜边和一直角边分别与⊙O相交于A、B两点，P是优弧AB上任意一点（与A、B不重合），则∠APB的度数为（）A．60° B．45° C．30° D．25°7．在平面直角坐标系中，以原点O为圆心，5为半径作圆，若点P的坐标是（3，4），则点P与⊙O的位置关系是（）A．点P在⊙O外 B．点P在⊙O内C．点P在⊙O上 D．点P在⊙O上或在⊙O外8．已知⊙O的半径为4，直线l上有一点与⊙O的圆心的距离为4，则直线l与⊙O的位置关系为（）A．相离 B．相切 C．相交 D．相切、相交均有可能9．如图，△ABC的内切圆⊙O与AB，BC，CA分别相切于点D，E，F，且AD＝2，BC＝5，则△ABC的周长为()A．16 B．14 C．12 D．1010．如图，在矩形ABCD中，AB＝8，AD＝12，经过A，D两点的⊙O与边BC相切于点E，则⊙O的半径为（）A．4 B． C．5 D．二、填空题11．一条弦把圆弧分成1：3两个部分，已知圆的半径为10cm，则弦心距为_____．12．如图，直线l与⊙O相切于点A，作半径OB并延长至点C，使得BC=OB，作CD⊥直线l于点D，连接BD得∠CBD=75°，则∠OCD=_____度．13．用一根铁丝做成一个正方形，使它恰好能嵌入一个直径为20cm的圆中，如图所示，则这根铁丝的长度是_____cm．14．如图，已知在△ABC中，AB=AC=12．以AB为直径作半圆O，交BC于点D．若∠BAC=30°，则的长_____．15．如图，在⊙O中，弦AB=8cm，OC⊥AB,垂足为C，OC=3cm，则⊙O的半径为______cm.16．在⊙O中，直径AB＝4，弦CD⊥AB于P，OP＝，则弦CD的长为_____．17．一个扇形的圆心角是120°．它的半径是3cm．则扇形的弧长为__________cm．18．如图，⊙C经过原点且与两坐标轴分别交于点A与点B，点B的坐标为（﹣，0），M是圆上一点，∠BMO=120°．⊙C圆心C的坐标是_____．三、解答题19．如图，点A、B、C、D在⊙O上，∠ADC=60°，．请判断△ABC的形状，并说明理由．20．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，BC=4，∠A=30°，求⊙O的直径．21．如图，AB是半圆O的直径，C是半圆O上的一点，CF切半圆O于点C，BD⊥CF于为点D，BD与半圆O交于点E，（1）求证：BC平分∠ABD（2）若DC=8，BE=4，求圆的直径．22．如图，正方形ABCD的边长为2，点E在边AD上(不与A，D重合)，点F在边CD上，且∠EBF=45°，若△ABE的外接圆⊙O与CD边相切．(1)求⊙O的半径长；(2)求△BEF的面积．23．某小区一块长方形的绿地的造型如图所示(单位：m)，其中两个扇形表示绿地，两块绿地用五彩石隔开，那么需铺多大面积的五彩石？(保留π)24．如图，BD为△ABC外接圆⊙O的直径，且∠BAE=∠C（1）求证：AE与⊙O相切于点A；（2）若AE∥BC，BC=2，AC=2，求AD的长．25．如图，⊙O的直径AB的长为2，点C在圆周上，∠CAB=30°．点D是圆上一动点，DE∥AB交CA的延长线于点E，连接CD，交AB于点F．(1)如图1，当DE与⊙O相切时，求∠CFB的度数；(2)如图2，当点F是CD的中点时，求△CDE的面积．第24章圆【单元提升卷】（人教版）（满分100分，完卷时间90分钟）考生注意：1．本试卷含三个大题，共25题．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效．2．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出解题的主要步骤．一、单选题1．已知⊙O中最长的弦为8cm，则⊙O的半径为()cm．A．2 B．4 C．8 D．16【答案】B【分析】⊙O最长的弦就是直径从而不难求得半径的长．【详解】解：∵⊙O中最长的弦为8cm，即直径为8cm，∴⊙O的半径为4cm．故选：B.【点睛】本题考查弦，直径等知识，记住圆中的最长的弦就是直径是解题的关键．2．如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的弦，已知∠AOC＝80°，则∠ABC的度数为（）A．20° B．30° C．40° D．50°【答案】C【分析】根据圆周角定理进行求解即可得.【详解】∵，∴∠ABC=∠AOC=×80°=40°，故选C．【点睛】本题考查了圆周角定理，熟练掌握“在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对圆心角的一半”是解题的关键.3．如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，∠ABC＝30°，AC＝4，则⊙O的半径为（）A．4 B．8 C．2 D．4【答案】A【分析】由已知可得三角形ABC是直角三角形，根据含30度角的直角三角形的性质求得AB的长即可求得答案.【详解】∵AB是直径，∴∠C=90°，∵∠ABC=30°，∴AB=2AC=8，∴OA=OB=4，故选A．【点睛】本题考查了直径所对的圆周角是直角，含30度角的直角三角形的性质等，熟练掌握相关知识是解题的关键.4．如图，AB为⊙O的直径，点C为⊙O上的一点，过点C作⊙O的切线，交直径AB的延长线于点D；若∠A＝23°，则∠D的度数是()A．23° B．44° C．46° D．57°【答案】B【分析】连接OC，由切线的性质可得∠OCD=90°，由圆周角定理可求得∠COD的度数，再由直角三角形两锐角互余即可求得答案.【详解】连接OC，如图，∵CD为⊙O的切线，∴OC⊥CD，∴∠OCD=90°，∵∠COD=2∠A=46°，∴∠D=90°﹣46°=44°，故选B．【点睛】本题考查了切线的性质，圆周角定理等，正确添加辅助线，熟练运用相关知识是解题的关键.5．如图，正三角形ABC的边长为4cm，D，E，F分别为BC，AC，AB的中点，以A，B，C三点为圆心，2cm为半径作圆．则图中阴影部分面积为（）A．（2-π）cm2 B．（π-）cm2 C．（4-2π）cm2 D．（2π-2）cm2【答案】C【分析】连接AD，由等边三角形的性质可知AD⊥BC，∠A=∠B=∠C=60°，根据S阴影=S△ABC-3S扇形AEF即可得出结论．【详解】连接AD，∵△ABC是正三角形，∴AB=BC=AC=4，∠BAC=∠B=∠C=60°，∵BD=CD，∴AD⊥BC，∴AD==，∴S阴影=S△ABC-3S扇形AEF=×4×2﹣=(4﹣2π)cm2，故选C．【点睛】本题考查了有关扇形面积的计算，熟记扇形的面积公式是解答此题的关键．6．如图，将直角三角板60°角的顶点放在圆心O上，斜边和一直角边分别与⊙O相交于A、B两点，P是优弧AB上任意一点（与A、B不重合），则∠APB的度数为（）A．60° B．45° C．30° D．25°【答案】C【分析】根据在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半，即可得出答案．【详解】解：由题意得，∠AOB=60°，则∠APB=∠AOB=30°，故选C．【点睛】本题考查了圆周角定理的知识，解答本题的关键是熟练掌握圆周角定理的内容．7．在平面直角坐标系中，以原点O为圆心，5为半径作圆，若点P的坐标是（3，4），则点P与⊙O的位置关系是（）A．点P在⊙O外 B．点P在⊙O内C．点P在⊙O上 D．点P在⊙O上或在⊙O外【答案】C【分析】先求出点P与原点O的距离，然后再根据点与圆的位置关系进行判断即可.【详解】∵点P的坐标是(3，4)，∴OP==5，而⊙O的半径为5，∴OP等于圆的半径，∴点P在⊙O上，故选C．【点睛】本题考查了点与圆的位置关系，关键要记住若半径为r，点到圆心的距离为d，则有：当d＞r时，点在圆外；当d=r时，点在圆上，当d＜r时，点在圆内．8．已知⊙O的半径为4，直线l上有一点与⊙O的圆心的距离为4，则直线l与⊙O的位置关系为（）A．相离 B．相切 C．相交 D．相切、相交均有可能【答案】D【分析】分别直线与⊙O只有一个交点、有两个交点两种情况分别讨论进行求解即可.【详解】∵若直线l与⊙O只有一个交点，即为点P，则直线l与⊙O的位置关系为：相切；若直线l与⊙O有两个交点，其中一个为点P，则直线l与⊙O的位置关系为：相交；∴直线l与⊙O的位置关系为：相交或相切，故选D．【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系．注意掌握设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d．①直线l和⊙O相交d＜r；②直线l和⊙O相切d=r；③直线l和⊙O相离d＞r．9．如图，△ABC的内切圆⊙O与AB，BC，CA分别相切于点D，E，F，且AD＝2，BC＝5，则△ABC的周长为()A．16 B．14 C．12 D．10【答案】B【分析】根据切线长定理进行求解即可.【详解】解：∵△ABC的内切圆⊙O与AB，BC，CA分别相切于点D，E，F，∴AF＝AD＝2，BD＝BE，CE＝CF，∵BE+CE＝BC＝5，∴BD+CF＝BC＝5，∴△ABC的周长＝2+2+5+5＝14，故选B．【点睛】本题考查了三角形的内切圆以及切线长定理，熟练掌握切线长定理是解题的关键.10．如图，在矩形ABCD中，AB＝8，AD＝12，经过A，D两点的⊙O与边BC相切于点E，则⊙O的半径为（）A．4 B． C．5 D．【答案】D【分析】连结EO并延长交AD于F，连接AO，由切线的性质得OE⊥BC，再利用平行线的性质得到OF⊥AD，则根据垂径定理得到AF=DF=AD=6，由题意可证四边形ABEF为矩形，则EF=AB=8，设⊙O的半径为r，则OA=r，OF=8-r，然后在Rt△AOF中利用勾股定理得到（8-r）2+62=r2，再解方程求出r即可．【详解】如图，连结EO并延长交AD于F，连接AO，∵⊙O与BC边相切于点E，∴OE⊥BC，∵四边形ABCD为矩形，∴BC∥AD，∴OF⊥AD，∴AF=DF=AD=6，∵∠B=∠DAB=90°，OE⊥BC，∴四边形ABEF为矩形，∴EF=AB=8，设⊙O的半径为r，则OA=r，OF=8-r，在Rt△AOF中，∵OF2+AF2=OA2，∴（8-r）2+62=r2，解得r=，故选D．【点睛】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径；若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．也考查了垂径定理和矩形的性质．解决本题的关键是构建直角三角形，利用勾股定理建立关于半径的方程．二、填空题11．一条弦把圆弧分成1：3两个部分，已知圆的半径为10cm，则弦心距为_____．【答案】5cm【分析】由题可知可画出下图，再根据垂径定理和三角函数即可求出弦心距的长度.【详解】如图，∠AOC＋∠BOC＝，∠AOC＝∠BOC＝45°(垂径定理)，在RT△ACO中，，（cm）.OC即弦心距.故答案为cm【点睛】本题考查了垂径定理和三角函数，熟练掌握该知识点是本题解题的关键.12．如图，直线l与⊙O相切于点A，作半径OB并延长至点C，使得BC=OB，作CD⊥直线l于点D，连接BD得∠CBD=75°，则∠OCD=_____度．【答案】70．【分析】过点B作BE⊥AD于点D，连接AB，利用BC=OB、CD⊥AD及AD为⊙O切线可证得△BAD为等腰三角形，此时可利用∠BAD=∠BDA找到∠C与∠O的关系，从而可以求出∠C的度数．【详解】解：过点B作BE⊥AD于点D，连接AB，∵直线l与⊙O相切于点A，∴OA⊥AD，∵CD⊥AD，∴OA∥BE∥CD，∴∠O+∠C=180°，∵OB=BC，∴AE=ED，∴BA=BD，∴∠BAE=∠BDE，∵直线l与⊙O相切于点A，∴∠O=2∠BAE，∴∠O=2∠BDE，∵∠CBD=75°，CD⊥AD，∴∠BDC=105°﹣∠C，∠BDE=90°﹣（105°﹣∠C）=∠C﹣15°，∴∠O=2（∠C﹣15°）=2∠C﹣30°，∴2∠C﹣30°+∠C=180°，解得∠C=70°．故答案为70．【点睛】本题考查了切线的性质、中位线性质、等腰三角形性质，解题的关键是通过辅助线构造等腰三角形，将所求角之间的关系建立起来．13．用一根铁丝做成一个正方形，使它恰好能嵌入一个直径为20cm的圆中，如图所示，则这根铁丝的长度是_____cm．【答案】【分析】由题意可得正方形的对角线为圆的直径，可求正方形的边长，则可求正方形的周长，即这根铁丝的长度．【详解】如图∵四边形ABCD是正方形∴∠D=90°，AD=AB=CD=BC∴AC是直径∴AC=20cm∵AD2+CD2=AC2=400∴AD=CD=10∴这根铁丝的长度为4×10=40故答案为40【点睛】本题考查了正多边形和圆，熟练掌握正多边形和圆的关系是解决本题的关键．14．如图，已知在△ABC中，AB=AC=12．以AB为直径作半圆O，交BC于点D．若∠BAC=30°，则的长_____．【答案】5π【分析】连接AD，由等腰△ABC中，AB=AC，以AB为直径的半圆交BC于点D，可得∠BAD=∠CAD=15°，即可得∠ABD=75°，继而求得∠AOD的度数，则可求得弧AD的度数，进而利用弧长公式计算即可．【详解】解：连接AD、OD，∵AB为直径，∴∠ADB=90°，即AD⊥BC，∵AB=AC，∴∠BAD=∠CAD=∠BAC=15°，BD=DC，∴∠ABD=75°，∴∠AOD=150°,∴弧AD的度数为150°，∴弧AD的长==5π.故答案为5π.【点睛】本题考查的是弧长的计算，掌握弧长公式l=、圆周角定理和等腰三角形的性质是解题的关键．15．如图，在⊙O中，弦AB=8cm，OC⊥AB,垂足为C，OC=3cm，则⊙O的半径为______cm.【答案】5【分析】先根据垂径定理得出AC的长，再由勾股定理即可得出结论．【详解】连接OA，∵OC⊥AB，AB=8，∴AC=4，∵OC=3，∴OA=故答案为5.【点睛】此题考查勾股定理、垂径定理及其推论，解题关键在于连接OA作为辅助线.16．在⊙O中，直径AB＝4，弦CD⊥AB于P，OP＝，则弦CD的长为_____．【答案】【分析】连接OD，根据垂径定理可求出PD的长，进而求出CD的长即可.【详解】连接OD，∵直径AB＝4，OD为半径，∴OD=2，∵弦CD⊥AB于P，OP＝，∴PD==，CD=2PD，∴CD=2，故答案为2【点睛】本题考查垂径定理，垂直于弦的直径，平分弦并平分这条弦所对的两条弧，熟练掌握垂径定理是解题关键.17．一个扇形的圆心角是120°．它的半径是3cm．则扇形的弧长为__________cm．【答案】2π【详解】分析：根据弧长公式可得结论．详解：根据题意，扇形的弧长为=2π，故答案为2π点睛：本题主要考查弧长的计算，熟练掌握弧长公式是解题的关键．18．如图，⊙C经过原点且与两坐标轴分别交于点A与点B，点B的坐标为（﹣，0），M是圆上一点，∠BMO=120°．⊙C圆心C的坐标是_____．【答案】（，）【分析】连接AB，OC，由圆周角定理可知AB为⊙C的直径，再根据∠BMO=120°可求出∠BAO以及∠BCO的度数，在Rt△COD中，解直角三角形即可解决问题；【详解】连接AB，OC，∵∠AOB=90°，∴AB为⊙C的直径，∵∠BMO=120°，∴∠BAO=60°，∴∠BCO=2∠BAO=120°，过C作CD⊥OB于D，则OD=OB，∠DCB=∠DCO=60°，∵B（-，0），∴BD=OD=在Rt△COD中．CD=OD•tan30°=，∴C（-，），故答案为C（-，）．【点睛】本题考查的是圆心角、弧、弦的关系及圆周角定理、直角三角形的性质、坐标与图形的性质及特殊角的三角函数值，根据题意画出图形，作出辅助线，利用数形结合求解是解答此题的关键．三、解答题19．如图，点A、B、C、D在⊙O上，∠ADC=60°，．请判断△ABC的形状，并说明理由．【答案】△ABC是等边三角形，理由见解析.【分析】由圆周角定理可知∠ADC=∠ABC=∠BAC=∠BDC=60°，再由三角形内角和定理可知∠ACB=60°，故可得出结论【详解】△ABC是等边三角形，理由：∵∴AC=BC，∵∠ADC=60°，∴∠ABC=∠ADC=60°，∴△ABC是等边三角形．【点睛】本题考查的是圆周角定理，等边三角形的判定，熟练掌握圆周角定理是解答此题的关键．20．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，BC=4，∠A=30°，求⊙O的直径．【答案】8【分析】连接OB，OC，根据圆周角定理得到∠BOC=60°，根据等边三角形的性质即可得到结论．【详解】解：连接OB，OC，∵∠A=30°，∴∠BOC=60°，∵OB=OC，∴△OBC是等边三角形，∴OC=BC=4，∴⊙O的直径=8．【点睛】本题考查三角形的外接圆与外心，等边三角形的判定和性质，解题关键是正确的作出辅助线．21．如图，AB是半圆O的直径，C是半圆O上的一点，CF切半圆O于点C，BD⊥CF于为点D，BD与半圆O交于点E，（1）求证：BC平分∠ABD（2）若DC=8，BE=4，求圆的直径．【答案】（1）证明见解析；（2）；【分析】（1）连接OC，根据CD为切线可得OC⊥CD，再根据平行线的性质即可得出结论；（2）连接AE交OC于G，根据圆与平行线的性质易得四边形CDEG为矩形，再根据勾股定理即可得出结论．【详解】（1）证明：连接OC，如图，∵CD为切线，∴OC⊥CD，∵BD⊥DF，∴OC∥BD，∴∠1=∠3，∵OB=OC，∴∠1=∠2，∴∠2=∠3，∴BC平分∠ABD；（2）解：连接AE交OC于G，如图，∵AB为直径，∴∠AEB=90°，∵OC⊥CD，ED⊥CD，∴四边形CDEG为矩形，∴GE=CD=8，∵OC∥BD，∴，∴AE=2EG=16，在Rt△ABE中，AB==4，即圆的直径为4．【点睛】本题考查了勾股定理、切线与平行线的性质，矩形的性质与判定，平行线分线段成比例定理，解题的关键是熟练的掌握勾股定理、切线与平行线的性质．22．如图，正方形ABCD的边长为2，点E在边AD上(不与A，D重合)，点F在边CD上，且∠EBF=45°，若△ABE的外接圆⊙O与CD边相切．(1)求⊙O的半径长；(2)求△BEF的面积．【答案】（1）；（2）.【分析】（1）将△BCF绕点B逆时针旋转90°到△BAP，过点B作BQ⊥EF，设⊙O与CD相切于点M，连接OM，延长MO交AB于点N，由已知得出△BPE≌△BFE，进而得出△AEB≌△QEB，利用中位线出AE的长，由勾股定理求出BE，即可得出半径；（2）由C△EFD=4，利用勾股定理得出DF的长，即可求出△BEF的面积．【详解】解：（1）将△BCF绕点B逆时针旋转90°到△BAP，过点B作BQ⊥EF，设⊙O与CD相切于点M，连接OM，延长MO交AB于点N，如图所示：在△BPE与△BFE中，，∴△BPE≌△BFE（SAS），∴∠AEB=∠BEQ，PE=EF，在△AEB和△QEB中，，∴△AEB≌△QEB（AAS），∴BQ=AB=2，由PE=EF可知，C△EFD=ED+DF+EF=ED+DF+PE=ED+DF+PA+AE=ED+AE+DF+FC=4，设AE=a，则DE=2﹣a，BE=，∵O为BE中点，且MN∥AD，∴ON=AE=，∴OM=2﹣，又BE=2OM，∴=4﹣a，解得a=，∴ED=，BE==，∴⊙O的半径长=BE=；（2）∵C△EFD=4，设DF=b，∴EF=4﹣b﹣=﹣b，在Rt△EDF中，（）2+b2=（﹣b）2，解得b=，∴EF=﹣=，∴S△BEF=××2=．【点睛】本题主要考查切线的性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质等知识；本题综合性强，解题关键是正确作出辅助线，利用三解形全等及方程灵活的求解．23．某小区一块长方形的绿地的造型如图所示(单位：m)，其中两个扇形表示绿地，两块绿地用五彩石隔开，那么需铺多大面积的五彩石？(保留π)【答案】【分析】图中五彩石的面积=矩形的面积-2个扇形的面积．【详解】解：图中矩形的面积=a（a+b）m2．大扇形的面积==（m2）．小扇形的面积==（m2）．则图中五彩石部分的面积为：a（a+b）﹣﹣=a2+ab﹣b2．【点睛】本题考查了扇形面积的计算．此题利用了“分割法”来求图中不规则图形的面积．24．如图，BD为△ABC外接圆⊙O的直径，且∠BAE=∠C（1）求证：AE与⊙O相切于点A；（2）若AE∥BC，BC=2，AC=2，求AD的长．【答案】（1）证明见解析；（2）AD=2．【分析】（1）如图，连接OA，根据同圆的半径相等可得：