专题09与圆有关的综合压轴题(原卷版+解析)

专题9与圆有关的综合压轴题题型一：圆与三角函数相似的结合【例1】如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，D是弧BC的中点，BC与AD、OD分别交于点E、F．（1）求证：DO∥AC；（2）求证：DE•DA＝DC2；（3）若tan∠CAD=12，求sin【例2】已知，在中，，平分交于点，点为上一点，经过点，的分别交，于点，，连接，连接交于点．求证：为的切线．（2）求证：（3）若，，求的长度．【例3】如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，点E在圆外，OE⊥AC于D，BE交⊙O于点F，连接BD，BC，CF，∠BFC＝∠AED．求证：AE是⊙O的切线；（2）求证：△BOD∽△EOB；（3）设△BOD的面积为S1，△BCF的面积为S2，若tan∠ODB=53，求题型二：圆与三角形、四边形的综合【例1】如图，内接于中，弦BC交AD于点E，连接CD，交CD的延长线于点G，BG交于点H，．(1)如图1，求证：DB平分；(2)如图2，于点N，CN＝CG，求证：AN＝HG；(3)如图3．在（2）的条件下，点F在AE上，连接BF、CF，且，，BC＝5．求AE的长．【例2】如图，在△ABC中，，D为边BC上一点，于点E，以DE为直径的⊙O分别交线段BD，AD于点F，G，连结EF，EG．(1)求证：．(2)若，当DG与四边形DGEF其它三边中的一边相等时，求所有满足条件的BD的长．(3)当时，连结OC交AD于点H，记△DOH的面积为，△ACH的面积为，若，则的值为．（在横线上直接写出答案）【例3】．在△ABC中，点D在边BC上，连接AD．(1)如图1，已知AB⊥AC，点D为BC中点，CE⊥AD于点E．若AD＝7，CE＝4，求AE的长度：(2)如图2，当∠B＝45°，AC＝AD时，过点C作CE⊥AD交AD于点E，交AB于点F，连接DF，求证：DC＝．(3)如图3，当∠B＝45°，AC＝12，点D是边BC中点时，过点D作DN⊥AC交AC于点N，当线段DN取最大值时，请直接写出的值．【例4】(1)发现：如图1，在平面内，已知⊙A的半径为r，B为⊙A外一点，且AB＝a，P为⊙A上一动点，连接PA，PB，易得PB的最大值为，最小值为；（用含a，r的代数式表示）(2)应用：①如图2，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝4，E为AD边中点，F为AB边上一动点，在平面内沿EF将△AEF翻折得到△PEF，连接PB，则PB的最小值为；②如图3，点P为线段AB外一动点，分别以PA、PB为直角边，P为直角顶点，作等腰Rt△APC和等腰Rt△BPD，连接BC、AD．若AP＝3，AB＝7，求AD的最大值；(3)拓展：如图4，已知以AB为直径的半圆O，C为弧AB上一点，∠ABC＝60°，P为弧BC上任意一点，CD⊥CP交AP于D，连接BD，若AB＝6，则BD的最小值为．题型三：瓜豆原理【例1】如图，在平面直角坐标系中，C（0，4），A（3，0），⊙A半径为2，P为⊙A上任意一点，E是PC的中点，则OE的最小值是（）A．1 B．32 C．2 D．【例2】如图，等边△ABC中，AB＝2，点D是以A为圆心，半径为1的圆上一动点，连接CD，取CD的中点E，连接BE，则线段BE的最大值与最小值之和为．【例3】如图，直线y=34x+3与坐标轴交于A、B两点，⊙O的半径为2，点P是⊙O上动点，△ABP面积的最大值为cm【例4】如图，在直角坐标系中，⊙A的半径为2，圆心坐标为（4，0），y轴上有点B（0，3），点C是⊙A上的动点，点P是BC的中点，则OP的范围是．【例5】如图，∠BAD＝90°，AB＝AD＝4，点C为平面内一动点，且BC＝2，点M为线段CD中点，则线段AM的取值范围为．课后作业:1、如图，矩形ABCD中，E是BC的中点，连接DE，P是DE上一点，∠BPC＝90°，延长CP交AD于点F．⊙O经过P、D、F，交CD于点G．（1）求证DF＝DP；（2）若AB＝12，BC＝10，求DG的长；（3）连接BF，若BF是⊙O的切线，直接写出ABBC2、（2021•泰安中考）如图1，O为半圆的圆心，C、D为半圆上的两点，且＝．连接AC并延长，与BD的延长线相交于点E．（1）求证：CD＝ED；（2）AD与OC，BC分别交于点F，H．①若CF＝CH，如图2，求证：CF•AF＝FO•AH；②若圆的半径为2，BD＝1，如图3，求AC的值．3、（2021•宁波中考）如图1，四边形ABCD内接于⊙O，BD为直径，上存在点E，满足＝，连结BE并延长交CD的延长线于点F，BE与AD交于点G．（1）若∠DBC＝α，请用含α的代数式表示∠AGB．（2）如图2，连结CE，CE＝BG．求证：EF＝DG．（3）如图3，在（2）的条件下，连结CG，AD＝2．①若tan∠ADB＝，求△FGD的周长．②求CG的最小值．4．如图1，菱形ABCD的边长为12cm，∠B＝60°，M，N分别在边AB，CD．上，AM＝3cm，DN＝4cm，点P从点M出发，沿折线MB﹣BC以1cm/s的速度向点C匀速运动（不与点C重合）；△APC的外接圆⊙O与CD相交于点E，连接PE交AC于点F．设点P的运动时间为ts．(1)∠APE＝°；(2)若⊙O与AD相切，①判断⊙O与CD的位置关系；②求的长；(3)如图3，当点P在BC上运动时，求CF的最大值，并判断此时PE与AC的位置关系；(4)若点N在⊙O的内部，直接写出t的取值范围．5．为了解决一些较为复杂的数学问题，我们常常采用从特殊到一般的思想，先从特殊的情形入手，从中找到解决问题的方法．已知四边形ABCD是⊙O的内接四边形，对角线AC与BD相交于点E．【特殊情形】(1)如图①，，过圆心O作，垂足为F．当BD是圆O的直径时，求证：．【一般情形】(2)如图②，，过圆心O作，垂足为F．当BD不是圆O的直径时，求证：．【经验迁移】(3)如图③，，，F为上的一点，，若M为DF的中点，连接AM，则AM长的最小值为___________．6．如图，在四边形ABCD中，连接BD，AD＝BD＝CD＝4，∠BDC＝120°，E为AB的中点，则线段CE的最大值为．2+27专题9与圆有关的综合压轴题题型一：圆与三角函数相似的结合【例1】如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，D是弧BC的中点，BC与AD、OD分别交于点E、F．（1）求证：DO∥AC；（2）求证：DE•DA＝DC2；（3）若tan∠CAD=1【答案】见解析【解析】（1）因为点D是弧BC的中点，所以∠CAD＝∠BAD，即∠CAB＝2∠BAD，而∠BOD＝2∠BAD，所以∠CAB＝∠BOD，所以DO∥AC；（2）∵CD=BD，∴∠CAD＝∠DCB，∴△DCE∽△DAC，∴CD（3）∵tan∠CAD=1∠DBC＝∠CAD，在Rt△BDE中，tan∠DBE=DE而CD2＝DE•DA，则AD＝4a，∴AE＝3a，∴AEDE即△AEC和△DEF的相似比为3，设：EF＝k，则CE＝3k，BC＝8k，tan∠CAD=1∴AC＝6k，AB＝10k，∴sin∠CDA=3【例2】已知，在中，，平分交于点，点为上一点，经过点，的分别交，于点，，连接，连接交于点．求证：为的切线．（2）求证：（3）若，，求的长度．【答案】见解析【解析】（1）证明：如图，连接，平分，，，，，，∴，，∴，，又∵为的半径，∴为的切线；（2）证明：如图，连接，为的直径，，，，∵，，又，；（3）解：设圆的半径为，则，，在中，，即，解得：，，，在中，，∵，∴，．，，∴，．【例3】如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，点E在圆外，OE⊥AC于D，BE交⊙O于点F，连接BD，BC，CF，∠BFC＝∠AED．求证：AE是⊙O的切线；（2）求证：△BOD∽△EOB；（3）设△BOD的面积为S1，△BCF的面积为S2，若tan∠ODB=53，求【答案】见解析【解析】（1）∵∠BFC＝∠AED，∵AB是⊙O的直径，∴∠BFC＝∠BAC，∴∠AED＝∠BAC，∵OE⊥AC于D，∴∠ADE＝90°，∴∠AED+∠DAE＝90°，∴∠BAC+∠DAE＝90°，∵AB是⊙O的直径，∴AE是⊙O的切线；（2）∵AD⊥OE，∴∠OAE＝∠ODA＝90°，∵∠AED＝∠OAD，∴△AOD∽△EOA，∴OAOE=ODOA，∴OA2＝OD×OE，∵OB＝OA，∴OB又∵∠BOD＝∠EOB，∴△BOD∽△EOB；（3）∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∵OE⊥AC于D，∴OE∥BC，∴∠ODB＝∠DBC，∴在直角三角形BCD中，tan∠ODB＝tan∠DBC=DCBC=∴BD=14∵∠BAC＝∠BFC，∴△ABD∽△FBC，∴S△ABDS2=（BDBC）2＝（∴S△ABD＝2S1，∴S1题型二：圆与三角形、四边形的综合【例1】如图，内接于中，弦BC交AD于点E，连接CD，交CD的延长线于点G，BG交于点H，．(1)如图1，求证：DB平分；(2)如图2，于点N，CN＝CG，求证：AN＝HG；(3)如图3．在（2）的条件下，点F在AE上，连接BF、CF，且，，BC＝5．求AE的长．【答案】见解析【解析】（1）解：∵∠ABC=∠ADC，∠ABC=2∠GBD，∴∠ADC=2∠GBD，∵BG⊥CG，∴∠G=90°，∴∠GBD+∠GDB=90°，∵∠GDB+∠BDE+∠ADC=180°，∴∠GDB+∠BDE+2∠GBD=180°，∴∠BDE+∠GBD=90°，∴∠BDE=∠GDB，∴BD是∠GDE是平分线；（2）解：如图所示，连接CH，CA，∵四边形ABHC是圆内接四边形，∴∠BAC+∠BHC=180°，又∵∠BHC+∠CHG=180°，∴∠CHG=∠CAN，∵CG⊥BG，CN⊥AB，∴∠CGH=∠CNA=90°，又∵CG=CN，∴△CGH≌△CNA（AAS），∴GH=AN；（3）解：如图所示，过点D作DK⊥BF分别交BC于R，BF于K，过点C作CM⊥DK于M，连接CH，AC，∵DK⊥BF，CM⊥DK，CF⊥BF，∴四边形CFKM是矩形，∴CM=FK，CF=KM；∵∠ABC=2∠GBD=∠GBD+∠CBD，∴∠ABC=2∠GBD=2∠CBD=∠CBG，设∠GBD=∠CBD=x，则∠ABC=∠CBG=2x，∴∠BCG=90°-∠CBG=90°-2x=∠BAD，∠BCN=90°-∠CBN=90°-2x，∴∠BAD+∠ABC=90°，∴∠AEB=90°，∴∠EBF+∠EFB=90°，∵∠BCN=2∠CBF，∴∠CBF=45°-x，∴∠DBK=∠CBD+∠CBF=45°，又∵∠DKB=∠DKF=90°，∴∠KBD=∠KDB=45°，∠DFK+∠FDK=90°，∴BK=DK，∠KDF=∠EBF，∴△KDF≌△EBF（ASA）∴RK=KF=CM；∵∠CRM=∠BRK=90°-∠RBK=45°+x，∴∠RCM=90°-∠CRM=45°-x，∴∠DCM=∠BCD-∠RCM=45°-x，∴∠RCM=∠DCM，又∵CM⊥DR，∴∠CMD=∠CMR，∵CM=CM，∴△CMD≌△CMR（ASA），∴DM=MR，设DM=MR=a，RK=MC=KF=b，∴MK=CF=MK+RK=a+b，BK=DK=DM+MR+RK=2a+b，∴BF=BK+KF=2a+2b，∴BF=2CF，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴，由（2）可知△CGH≌△CAN，∴∠ACN=∠GCH=∠GBD=x，∴∠BCA=∠BCN+∠∠CAN=90°-x，∴∠BAC=180°-∠ABC-∠BCA=90°-x，∴∠BAC=∠BCA，∴AB=BC=5，∴．【例2】如图，在△ABC中，，D为边BC上一点，于点E，以DE为直径的⊙O分别交线段BD，AD于点F，G，连结EF，EG．(1)求证：．(2)若，当DG与四边形DGEF其它三边中的一边相等时，求所有满足条件的BD的长．(3)当时，连结OC交AD于点H，记△DOH的面积为，△ACH的面积为，若，则的值为．（在横线上直接写出答案）【答案】(1)证明过程见解析；(2)BD=或或8；(3)．【解析】（1）证明：∵DE⊥AB，∴∠BED=90°，∴∠EDF+∠B=90°，∵∠=90°，∴∠B+∠BAC=90°，∴∠EDF=∠BAC，∵DE是⊙O的直径，∴∠DFE=90°，∴∠EFD=∠C，∴△DEF∽△ABC；（2）当DG=DF时，，∴∠FED=∠DEG，∵DE是⊙O的直径，∴∠EFD=∠EGD=90°，∴∠EDF=∠EDA，∵DE⊥AB，∴∠AED=∠BED=90°，∴∠B=∠BAD，∴AD=BD，在Rt△ACD中，∵CD2+AC2=AD2，∴（8-BD）2+62=BD2，∴BD=，当DG=EG时，∵∠EGD=90°，∴∠EDG=∠DEG=45°，∵∠AED=90°，∴∠BAD=90°-∠EDG=45°，∴DE=AE，∵∠B=∠B，∠BED=∠ACB=90°，∴△BED∽△BCA，∴，∴，∴BE=DE∵BE+AE=10，∴DE+DE＝10，∴DE=，∴，∴BD=，当DG=EF时，∴，，∴∠EDF=∠DEG，∵∠EFD=∠EGD=90°，∴∠FED=∠EDG，∴EF∥DG，∴四边形EFDG是平行四边形，∴▱EFDG是矩形，∴∠FDG=90°，∵∠C=90°，∴此时点D和C重合，∴BD=8，综上所述：BD=或或8；（3）如图，作OV⊥BC于V，∴∠OVC=90°，∠EGD=90°，∴∠AHC=90°，∴∠DAC+∠ACH=90°，∵∠ACB=90°，∴∠OCV+∠ACH=90°，∴∠OCV=∠DAC，∵∠ONC=∠ACD=90°，∴△OCV∽△DAC，∴，设CD=a，AC=BC=b，在等腰直角三角形BDE中，DE=BD＝(b−a)，∴OD=DE=(b−a)，在等腰直角三角形DOV中，OV=DV=OD=(b−a)，∴VC=VD+CD=(b−a)+a=b+a，∴，∴b=3a，∴AC=3a，OV=(3a−a)=a，∴tan∠OCV=tan∠DAC=，∴sin∠OVC=sin∠DAC=，cos∠OVC=cos∠DAC=，∵S△COD=CD•OV=a•a=a2，∴DH=a•sin∠OCV=a，CH=a，AH=a，∴，，∴，∴，故答案是：．【例3】．在△ABC中，点D在边BC上，连接AD．(1)如图1，已知AB⊥AC，点D为BC中点，CE⊥AD于点E．若AD＝7，CE＝4，求AE的长度：(2)如图2，当∠B＝45°，AC＝AD时，过点C作CE⊥AD交AD于点E，交AB于点F，连接DF，求证：DC＝．(3)如图3，当∠B＝45°，AC＝12，点D是边BC中点时，过点D作DN⊥AC交AC于点N，当线段DN取最大值时，请直接写出的值．【答案】(1)6(2)证明见解析(3)【解析】(1)解：∵AB⊥AC，点D为BC中点∴是斜边的中线∴∵CE⊥AD∴在中，由勾股定理得∴∴的长为6．(2)证明：如图2，作于，于∵∴，设则，∴∵∴，∴，∴在和中∵∴∴∴∵，∴∴．(3)解：如图3，以为斜边作等腰直角三角形，∴∵∴在以为圆心，为半径的圆上运动连接∵为中点∴∴在以为直径的圆上运动，圆心为∵∴当过圆心时，线段取最大值∵，∴，，∴在中，由勾股定理得∴的值为．【例4】(1)发现：如图1，在平面内，已知⊙A的半径为r，B为⊙A外一点，且AB＝a，P为⊙A上一动点，连接PA，PB，易得PB的最大值为，最小值为；（用含a，r的代数式表示）(2)应用：①如图2，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝4，E为AD边中点，F为AB边上一动点，在平面内沿EF将△AEF翻折得到△PEF，连接PB，则PB的最小值为；②如图3，点P为线段AB外一动点，分别以PA、PB为直角边，P为直角顶点，作等腰Rt△APC和等腰Rt△BPD，连接BC、AD．若AP＝3，AB＝7，求AD的最大值；(3)拓展：如图4，已知以AB为直径的半圆O，C为弧AB上一点，∠ABC＝60°，P为弧BC上任意一点，CD⊥CP交AP于D，连接BD，若AB＝6，则BD的最小值为．【答案】(1)a+r，a﹣r(2)①2﹣2②13(3)3﹣3【解析】（1）解：（1）当P在BA延长线上时，PB最大，如图：∴PB最大为：AB+PA＝a+r，当P在线段BA上时，PB最小，如图：∴PB最小为：AB﹣PA＝a﹣r，①如图：∵沿EF将△AEF翻折得到△PEF，∴EA＝EP＝AD＝BC＝2，即P的轨迹是以E为圆心，以2为半径的半圆，∴当E、P、B共线时，PB最小，此时BE＝＝＝2，∴PB最小值为：BE﹣EP＝2﹣2；②连接BC，如图：∵△APC和△BPD是等腰直角三角形，∴PD＝PB，PA＝PC，∠DPB＝∠APC，∴∠DPB+∠APB＝∠APC+∠APB，即∠DPA＝∠BPC，∴△DPA≌△BPC（SAS），∴AD＝BC，∴当BC最大时，AD就最大，∵AP＝3，△APC是等腰直角三角形，∴AC＝AP＝6，∵AB＝7，∴当C、A、B共线时，BC最大，如图：∴此时BC＝AC+AB＝13，∴AD最大为13；以AC为边，在△ABC异侧作等边△GAC，连接GD、GB，如图：∵AB为半圆O的直径，∠ABC＝60°，∴∠ACB＝90°，∠APC＝∠ABC＝60°，∴∠CAB＝30°，∴AC＝AB•cos30°＝3，∵CD⊥CP，∴∠ADC＝∠DCP+∠APC＝150°，∵△GAC是等边三角形，∴∠AGC＝∠GAC＝60°，GA＝AC＝3，∴∠ADC+∠AGC＝180°，即D的轨迹是以G为圆心，3为半径的，而∠GAB＝∠GAC+∠CAB＝90°，∴BG＝＝＝3，△BGD中，BD＞BG﹣GD，∴BD＞3﹣3，∴当G、D、B共线时，BD最小，如图∴BD最小值为3﹣3，故答案为：3﹣3．题型三：瓜豆原理【例1】如图，在平面直角坐标系中，C（0，4），A（3，0），⊙A半径为2，P为⊙A上任意一点，E是PC的中点，则OE的最小值是（）A．1 B．32 C．2 D．【答案】B【解析】如图，连接AC，取AC的中点H，连接EH，OH．∵CE＝EP，CH＝AH，∴EH=12PA＝∴点E的运动轨迹是以H为圆心半径为1的圆，∵C（0，4），A（3，0），∴H（1.5，2），∴OH=22∴OE的最小值＝OH﹣EH＝2.5﹣1＝1.5，所以选：B．【例2】如图，等边△ABC中，AB＝2，点D是以A为圆心，半径为1的圆上一动点，连接CD，取CD的中点E，连接BE，则线段BE的最大值与最小值之和为．【答案】23【解析】延长CB到T，使得BT＝BC，连接AT，DT，AD．∵△ABC是等边三角形，∴BA＝BC＝AC＝BT＝2，∠ACB＝60°，∴∠CAT＝90°，∴AT＝CT•sin60°＝23，∵AD＝1，∴23−1≤DT≤23+∵CB＝BT，CE＝DE，∴BE=12∴23−12∴线段BE的最大值与最小值之和为23，所以答案为23．【例3】如图，直线y=34x+3与坐标轴交于A、B两点，⊙O的半径为2，点P是⊙O上动点，△ABP面积的最大值为cm【答案】11【解析】如图，∵直线y=34x+3与坐标轴交于A、∴A（﹣4，0），B（0，3），∴OA＝4，OB＝3，在Rt△AOB中，根据勾股定理得，AB＝5，∵△PAB中，AB＝5是定值，∴要使△PAB的面积最大，即⊙O上的点到AB的距离最大，∴过点O作OC⊥AB于C，CO的延长线交⊙O于P，此时S△PAB的面积最大，∴S△AOB=12OA•OB=12AB•OC∵⊙O的半径为2，∴CP＝OC+OP=225，∴S△PAB=12AB•CP=12×5【例4】如图，在直角坐标系中，⊙A的半径为2，圆心坐标为（4，0），y轴上有点B（0，3），点C是⊙A上的动点，点P是BC的中点，则OP的范围是．【答案】32≤OP【解析】如图，在y轴上取点B'（0，﹣3），连接B'C，B'A，∵点B（0，3），B'（0，﹣3），点A（4，0），∴OB＝OB'＝3，OA＝4，∴B'A=OA∵点P是BC的中点，∴BP＝PC，∵OB＝OB'，BP＝PC，∴B'C＝2OP，当点C在线段B'A上时，B'C的长度最小值＝5﹣2＝3，当点C在线段B'A的延长线上时，B'C的长度最大值＝5+2＝7，∴32≤OP≤72，所以答案为【例5】如图，∠BAD＝90°，AB＝AD＝4，点C为平面内一动点，且BC＝2，点M为线段CD中点，则线段AM的取值范围为．【答案】22−1≤AM≤22【解析】如图1，连接BD，取BD的中点N，连接AN．MN，∵点M为线段CD中点，∴MN是△BCD的中位线，∴MN=12BC=12∵∠BAD＝90°，AB＝AD＝4．∴BD=AB2又∵点N为BD的中点，∴AN=12BD＝2（1）如图1，当点A，N，M不共线时，由三角形的三边关系得：AN﹣MN＜AM＜AN+MN即22−1＜AM＜22+（2）如图2，当点A，N，M共线，且点N位于点A，M中间时，则AM＝AN+MN＝22+1（3）如图3，当点A，N，M共线，且点M位于点A，N中间时，则AM＝AN﹣MN＝22−1综上，线段AM的取值范围为22−1≤AM≤22+解法二：倍长DA到F，得到AM等于二分之一CF，点C的运动轨迹是以点B为圆心，BC＝2为半径的圆，同时当FC经过圆心B的时候，FC1是最大，也就是AM最大，FC2最小也就是AM最小，∵点M为线段CD中点，AF＝AD，∴AM=12FC，AF＝AD＝AB＝∵∠BAD＝90°，∴BF＝42，当FC经过圆心B的时候，FC1是最大为42+2，也就是AM最大，AM＝22+FC2最小也就是AM最小为42−2，也就是AM最小，AM＝22−∴线段AM的取值范围为22−1≤AM≤22+1，所以答案为：22−1≤AM≤2课后作业:1、如图，矩形ABCD中，E是BC的中点，连接DE，P是DE上一点，∠BPC＝90°，延长CP交AD于点F．⊙O经过P、D、F，交CD于点G．（1）求证DF＝DP；（2）若AB＝12，BC＝10，求DG的长；（3）连接BF，若BF是⊙O的切线，直接写出ABBC【答案】见解析【解析】证明：（1）∵∠BPC＝90°，点E是BC中点，∴BE＝EC＝PE，∴∠EPC＝∠ECP，∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∠ABC＝∠ADC＝90°，∴∠DFP＝∠ECP，∴∠DFP＝∠EPC＝∠DPF，∴DF＝DP；（2）连接FG，∵∠ADC＝90°，∴FG是直径，∵BE＝EC＝PE=12BC＝5，∴DE∴DP＝DE﹣EP＝13﹣5＝8＝DF，∵∠DGF＝∠DPF＝∠DFP，∠FDG＝∠FDC＝90°，∴△FDG∽△CDF，∴DFDG=DCDF，∴（3）如图2，连接BF，FG，PG，∵FG是直径，∴∠FPG＝90°，∴∠FPG+∠BPF＝180°，∴点B，点P，点G三点共线，∵BF是⊙O切线，∴∠BFG＝90°，∴∠AFB+∠DFG＝90°，∵∠DFG+∠DGF＝90°，∴∠DGF＝∠AFB，又∵∠A＝∠FDG，∴△AFB∽△DGF，∴AFDG由（2）可得△FDG∽△CDF，∴DFDG=DC又∵AB＝CD，∠A＝∠FDC，∴△ABF≌△DCF（ASA）∴AF＝DF=1∵∠CBG+∠PCB＝90°，∠PCB+∠PCG＝90°，∴∠GBC＝∠PCG＝∠DFG，又∵∠FDC＝∠GCB＝90°，∴△CBG∽△DFG，∴DFBC=DGCG=1∴ABBC2、（2021•泰安中考）如图1，O为半圆的圆心，C、D为半圆上的两点，且＝．连接AC并延长，与BD的延长线相交于点E．（1）求证：CD＝ED；（2）AD与OC，BC分别交于点F，H．①若CF＝CH，如图2，求证：CF•AF＝FO•AH；②若圆的半径为2，BD＝1，如图3，求AC的值．【答案】见解析【解析】（1）证明：如图1中，连接BC．∵＝，∴∠DCB＝∠DBC，∵AB是直径，∴∠ACB＝∠BCE＝90°，∴∠E+∠DBC＝90°，∠ECD+∠DCB＝90°，∴∠E＝∠DCE，∴CD＝ED．（2）①证明：如图2中，∵CF＝CH，∴∠CFH＝∠CHF，∵∠AFO＝∠CFH，∴∠AFO＝∠CHF，∵＝，∴∠CAD＝∠BAD，∴△AFO∽△AHC，∴＝，∴＝，∴CF•AF＝OF•AH．②解：如图3中，连接OD交BC于G．设OG＝x，则DG＝2﹣x．∵＝，∴∠COD＝∠BOD，∵OC＝OB，∴OD⊥BC，CG＝BG，在Rt△OCG和Rt△BGD中，则有22﹣x2＝12﹣（2﹣x）2，∴x＝，即OG＝，∵OA＝OB，∴OG是△ABC的中位线，∴OG＝AC，∴AC＝．3、（2021•宁波中考）如图1，四边形ABCD内接于⊙O，BD为直径，上存在点E，满足＝，连结BE并延长交CD的延长线于点F，BE与AD交于点G．（1）若∠DBC＝α，请用含α的代数式表示∠AGB．（2）如图2，连结CE，CE＝BG．求证：EF＝DG．（3）如图3，在（2）的条件下，连结CG，AD＝2．①若tan∠ADB＝，求△FGD的周长．②求CG的最小值．【答案】见解析【解析】解：（1）∵BD为⊙O的直径，∴∠BAD＝90°，∵＝，∴∠ABG＝∠DBC＝α，∴∠AGB＝90°﹣α；（2）∵BD为⊙O的直径，∴∠BCD＝90°，∴∠BEC＝∠BDC＝90°﹣α，∴∠BEC＝∠AGB，∵∠CEF＝180°﹣∠BEC，∠BGD＝180°﹣∠AGB，∴∠CEF＝∠BGD，又∵CE＝BG，∠ECF＝∠GBD，∴△CFE≌△BDG（ASA），∴EF＝DG；（3）①如图，连接DE，∵BD为⊙O的直径，∴∠A＝∠BED＝90°，在Rt△ABD中，tan∠ADB＝，AD＝2，∴AB＝×AD＝，∵＝，∴+＝+，即＝，∴AD＝CE，∵CE＝BG，∴BG＝AD＝2，∵在Rt△ABG中，sin∠AGB＝＝，∴∠AGB＝60°，AG＝BG＝1，∴EF＝DG＝AD﹣AG＝1，∵在Rt△DEG中，∠EGD＝60°，∴EG＝DG＝，DE＝DG＝，在Rt△FED中，DF＝＝，∴FG+DG+DF＝，∴△FGD的周长为；②如图，过点C作CH⊥BF于H，∵△BDG≌△CFE，∴BD＝CF，∠CFH＝∠BDA，∵∠BAD＝∠CHF＝90°，∴△BAD≌△CHF（AAS），∴FH＝AD，∵AD＝BG，∴FH＝BG，∵∠BCF＝90°，∴∠BCH+∠HCF＝90°，∵∠BCH+∠HBC＝90°，∴∠HCF＝∠HBC，∵∠BHC＝∠CHF＝90°，∴△BHC∽△CHF，∴＝，设GH＝x，∴BH＝2﹣x，∴CH2＝2（2﹣x），在Rt△GHC中，CG2＝GH2+CH2，∴CG2＝x2+2（2﹣x）＝（x﹣1）2+3，当x＝1时，CG2的最小值为3，∴CG的最小值为．4．如图1，菱形ABCD的边长为12cm，∠B＝60°，M，N分别在边AB，CD．上，AM＝3cm，DN＝4cm，点P从点M出发，沿折线MB﹣BC以1cm/s的速度向点C匀速运动（不与点C重合）；△APC的外接圆⊙O与CD相交于点E，连接PE交AC于点F．设点P的运动时间为ts．(1)∠APE＝°；(2)若⊙O与AD相切，①判断⊙O与CD的位置关系；②求的长；(3)如图3，当点P在BC上运动时，求CF的最大值，并判断此时PE与AC的位置关系；(4)若点N在⊙O的内部，直接写出t的取值范围．【答案】(1)60°(2)①⊙O与CD相切；②(3)CF的最大值为3cm，此时AC⊥PE(4)当0<t<1时或17<t<21时，点N在圆内部；【解析】（1）解：∵四边形ABCD为菱形，∠B＝60°，∴∠D=∠B＝60°，AD=CD，∴△ACD为等边三角形，∴∠ACE=60°，∴∠APE=∠ACE=60°，故答案为：60°．（2）如图，当点P运动到点B时，⊙O与AD相切，①∵四边形ABCD为菱形，∴AD=CD，∵⊙O与AD相切，∴⊙O与CD相切；②连接OD，由（1）可知，∠ADC=60°，∵AD、CD分别与⊙