专题19相交线中的几何计数问题-原卷版+解析

专题19专项突破-相交线中的几何计数问题◎【专题讲解】阅读：在直线上有个不同的点，则此图中共有多少条线段？通过分析、画图尝试得如下表格：图形直线上点的个数共有线段的条数两者关系213346问题：（1）把表格补充完整；（2）根据上述得到的信息解决下列问题：①某学校七年级共有20个班进行辩论赛，规定进行单循环赛（每两班赛一场），那么该校七年级的辩论赛共要进行多少场？②乘火车从站出发，沿途经过10个车站方可到达站，那么在，两站之间需要安排多少种不同的车票？【例】例1．（2022春·广西南宁·七年级三美学校校考阶段练习）平面上画三条直线，交点的个数最多有（）A．3个 B．2个 C．1个 D．0个例2．（2016秋·山东德州·七年级阶段练习）在同一平面内，三条直线的交点个数不能是（

）．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【跟踪训练】．（2018秋·湖南株洲·七年级统考期末）观察图形，并阅读相关的文字：那么8条直线相交，最多可形成交点的个数是（

）A．21 B．28 C．36 D．45【变式训练】变式1．（2019春·七年级课时练习）平面上两条直线相交于一点，三条直线俩两相交，每个交点都不经过第三条直线．（1）5条直线的交点为_____个．（2）请探索n条直线的交点个数．变式2．（2018秋·山西·七年级统考阶段练习）为了探究n条直线能把平面最多分成几部分,我们从最简单的情形入手:①一条直线把平面分成2部分;②两条直线可把平面最多分成4部分;③三条直线可把平面最多分成7部分;④四条直线可把平面最多分成11部分;……把上述探究的结果进行整理,列表分析:直线条数把平面最多分成的部分数写成和的形式121+1241+1+2371+1+2+34111+1+2+3+4………(1)当直线条数为5时,把平面最多分成____部分,写成和的形式:______;

(2)当直线条数为10时,把平面最多分成____部分;

(3)当直线条数为n时,把平面最多分成多少部分?变式3．（2023·全国·九年级专题练习）观察图形，寻找对顶角（不含平角）．（1）两条直线相交于一点，如图①，共有__________对对顶角；（2）三条直线相交于一点，如图②，共有__________对对顶角；（3）四条直线相交于一点，如图③，共有__________对对顶角；（4）根据填空结果探究：当n条直线相交于一点时，所构成的对顶角的对数与直线条数之间的关系；（5）根据探究结果，试求2018条直线相交于一点时，所构成对顶角的对数．变式4．（2020春·七年级校考课时练习）观察图形，回答下列各题：（1）图A中，共有＿＿＿＿对对顶角；（2）图B中，共有＿＿＿＿对对顶角；（3）图C中，共有＿＿＿＿对对顶角；（4）探究（1）--（3）各题中直线条数与对顶角对数之间的关系，若有n条直线相交于一点，则可形成＿＿＿＿＿＿＿＿对对顶角；变式5．（2023春·江苏·七年级专题练习）（1）一条直线可以把平面分成两个部分（或区域），如图，两条直线可以把平面分成几个部分？三条直线可以把平面分成几个部分？试画图说明．（2）四条直线最多可以把平面分成几个部分？试画出示意图，并说明这四条直线的位置关系．（3）平面上有条直线，每两条直线都恰好相交，且没有三条直线交于一点，处于这种位置的条直线分一个平面所成的区域最多，记为，试研究与之间的关系．思维方法天地变式6．（2023春·安徽安庆·九年级校联考阶段练习）在同一平面内有n条直线，任何两条不平行，任何三条不共点．当时，如图（1），一条直线将一个平面分成两个部分；当时，如图（2），两条直线将一个平面分成四个部分；则：当时，三条直线将一个平面分成部分；当时，四条直线将一个平面分成部分；若n条直线将一个平面分成个部分，条直线将一个平面分成个部分．试探索、、n之间的关系．专题19专项突破-相交线中的几何计数问题◎【专题讲解】阅读：在直线上有个不同的点，则此图中共有多少条线段？通过分析、画图尝试得如下表格：图形直线上点的个数共有线段的条数两者关系213346问题：（1）把表格补充完整；（2）根据上述得到的信息解决下列问题：①某学校七年级共有20个班进行辩论赛，规定进行单循环赛（每两班赛一场），那么该校七年级的辩论赛共要进行多少场？②乘火车从站出发，沿途经过10个车站方可到达站，那么在，两站之间需要安排多少种不同的车票？【例】例1．（2022春·广西南宁·七年级三美学校校考阶段练习）平面上画三条直线，交点的个数最多有（）A．3个 B．2个 C．1个 D．0个【答案】A【分析】根据相交线的性质可得答案．【详解】平面内，三条直线两两相交，最多有3个交点．故选：A．【点睛】本题考查相交线，理解平面内两条直线相交只有一个交点，三条直线两两相交最多有3个交点是正确判断的前题，也是解题的关键．例2．（2016秋·山东德州·七年级阶段练习）在同一平面内，三条直线的交点个数不能是（

）．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】D【详解】试题分析：三条直线相交，有三种情况，如图，即：两条直线平行，被第三条直线所截，有两个交点；三条直线经过同一个点，有一个交点；三条直线两两相交且不经过同一点，有三个交点．所以在同一平面内，三条直线的交点个数可能是1个或2个或3个，不可能是4个．故选D．考点：相交线．【跟踪训练】．（2018秋·湖南株洲·七年级统考期末）观察图形，并阅读相关的文字：那么8条直线相交，最多可形成交点的个数是（

）A．21 B．28 C．36 D．45【答案】B【详解】解：找规律的方法是从特殊到一般,由题,观察图形可得：两条直线1个交点，三条直线1+2个交点，四条直线1+2+3个交点n条直线相交最多可形成的交点个数为1+2+3+…+n-1=，∴8条直线相交，最多可形成交点的个数为==28故选B．【点睛】本题属于找规律，利用数形结合思想，正确计算解题是关键．【变式训练】变式1．（2019春·七年级课时练习）平面上两条直线相交于一点，三条直线俩两相交，每个交点都不经过第三条直线．（1）5条直线的交点为_____个．（2）请探索n条直线的交点个数．【答案】（1）10；（2）1+2+3+…+n﹣1＝．【分析】（1）根据题意画出图形，可直观的得到交点个数；（2）根据（1）中的交点的个数归纳出公式即可．【详解】如图所示：我们发现：2条直线相交有1个交点；3条直线相交有1+2=3个交点；4条直线相交有1+2+3=6个交点，则5条直线的交点为1+2+3+4=10；（2）图（n）：1+2+3+…+n-1=．【点睛】本题考查了相交线，关键是正确找出规律．变式2．（2018秋·山西·七年级统考阶段练习）为了探究n条直线能把平面最多分成几部分,我们从最简单的情形入手:①一条直线把平面分成2部分;②两条直线可把平面最多分成4部分;③三条直线可把平面最多分成7部分;④四条直线可把平面最多分成11部分;……把上述探究的结果进行整理,列表分析:直线条数把平面最多分成的部分数写成和的形式121+1241+1+2371+1+2+34111+1+2+3+4………(1)当直线条数为5时,把平面最多分成____部分,写成和的形式:______;

(2)当直线条数为10时,把平面最多分成____部分;

(3)当直线条数为n时,把平面最多分成多少部分?【答案】(1)16；(2)56；(3)部分【分析】（1）根据已知探究的结果可以算出当直线条数为5时，把平面最多分成16部分；（2）通过已知探究结果，写出一般规律，当直线为n条时，把平面最多分成1+1+2+3+…+n，求和即可．【详解】（1）16;1+1+2+3+4+5.（2）56.根据表中规律知,当直线条数为10时,把平面最多分成56部分,即1+1+2+3+…+10=56.（3）当直线条数为n时,把平面最多分成1+1+2+3+…+n=部分.【点睛】本题考查了图形的变化，通过直线分平面探究其中的隐含规律，运用了从特殊到一般的数学思想，解决此题关键是写出和的形式．变式3．（2023·全国·九年级专题练习）观察图形，寻找对顶角（不含平角）．（1）两条直线相交于一点，如图①，共有__________对对顶角；（2）三条直线相交于一点，如图②，共有__________对对顶角；（3）四条直线相交于一点，如图③，共有__________对对顶角；（4）根据填空结果探究：当n条直线相交于一点时，所构成的对顶角的对数与直线条数之间的关系；（5）根据探究结果，试求2018条直线相交于一点时，所构成对顶角的对数．【答案】（1）2；（2）6；（3）12；（4）（n-1）×n；（5）4070306（对）．【分析】由图示可得，（1）两条直线相交于一点，形成2对对顶角；（2）三条直线相交于一点，形成6对对顶角，（3）4条直线相交于一点，形成12对对顶角；依次可找出规律：（4）若有n条直线相交于一点，则可形成（n−1）n对对顶角；（5）将n=2018代入（n−1）n，可得2018条直线相交于一点可形成的对顶角的对数．【详解】解：（1）如图①，图中共有1×2=2对对顶角，故答案为2；（2）如图②，图中共有2×3=6对对顶角，故答案为6；（3）如图③，图中共有3×4=12对对顶角，故答案为12；（4）根据计算结果，可以发现：2=1×2，6=2×3，12=3×4，…，即对顶角的对数与直线条数的对应关系是：对顶角的对数=（直线条数−1）×直线条数，因此，当n条直线相交于一点时，所构成的对顶角的对数是（n−1）×n．（5）2018条直线相交于一点时，所构成的对顶角的对数是（2018−1）×2018=2017×2018=4070306（对）．【点睛】本题主要考查了多条直线相交于一点，所形成的对顶角的个数的计算规律．即若有n条直线相交于一点，则可形成（n−1）n对对顶角．变式4．（2020春·七年级校考课时练习）观察图形，回答下列各题：（1）图A中，共有＿＿＿＿对对顶角；（2）图B中，共有＿＿＿＿对对顶角；（3）图C中，共有＿＿＿＿对对顶角；（4）探究（1）--（3）各题中直线条数与对顶角对数之间的关系，若有n条直线相交于一点，则可形成＿＿＿＿＿＿＿＿对对顶角；【答案】（1）2对；（2）6对；（3）12对；（4）n(n-1)(n≥2).【详解】试题分析：（1）图A中，共有2对对顶角；（2）图B中，共有6对对顶角；（3）图C中，共有12对对顶角；（4）找出对顶角的对数与直线的条数n之间的关系式为：n（n－1）（n≥2）.试题解析：（1）2对；（2）6对；（3）12对；（4）2条直线相交时，对顶角对数为：1×2=2对；3条直线相交时，对顶角对数为：3×2=6对；4条直线相交时，对顶角对数为：4×3=12对；…n条直线相交时，对顶角对数为：n（n－1）（n≥2）对.点睛：本题关键在于找出直线的条数与对顶角对数的关系式.变式5．（2023春·江苏·七年级专题练习）（1）一条直线可以把平面分成两个部分（或区域），如图，两条直线可以把平面分成几个部分？三条直线可以把平面分成几个部分？试画图说明．（2）四条直线最多可以把平面分成几个部分？试画出示意图，并说明这四条直线的位置关系．（3）平面上有条直线，每两条直线都恰好相交，且没有三条直线交于一点，处于这种位置的条直线分一个平面所成的区域最多，记为，试研究与之间的关系．思维方法天地【答案】答案见解析【详解】试题分析：（1）分别得到两条直线平行和相交，三条直线平行和交于一点和两两相交的结果；（2）只有四条直线两两相交时，才能将平面分得最多，分别画出图形即可求得所分平面的部分；（3）一条直线可以把平面分成两部分，两条直线最多可以把平面分成4部分，三条直线最多可以把平面分成7部分，四条直线最多可以把平面分成11部分，可以发现，两条直线时多了2部分，三条直线比原来多了3部分，四条直线时比原来多了4部分，…，n条时比原来多了n部分，由此即可得.试题解析：（1）如图1，两条直线因其位置不同，可以分别把平面分成个或个区域；如图2，三条直线因其位置关系的不同，可以分别把平面分成个、个和个区域．（2）如图3，四条直线最多可以把平面分成个区域，此时这四条直线位置关系是两两都相交，且无三线共点．（3）平面上条直线两两相交，且没有三条直线交于一点，把平面分成个区域，平面本身就是一个区域，当时，；当时，；当时，；当时，，……由此可以归纳公式【点睛】本题考查了规律型：图形的变化，找到an=1+1+2+3+…+n=1+是解题的关键，第（1）题注意分类讨论．变式6．（2023春·安徽安庆·九年级校联考阶段练习）在同一平面内有n条直线，任何两条不平行，任何三条不共点．当时，如图（1），一条直线将一个平面分成两个部分；当时，如图（2），两条直线将一个平面分成四个部分；则：当时，三条直线将一个平面分成部分；当时，四条直线将一个平面分成部分；若n条直线将一个平面分成个部分，条直线将一个平面分成个部分