专题03全等模型-手拉手模型(原卷版+解析)

专题03全等模型-手拉手模型全等三角形在中考数学几何模块中占据着重要地位，也是学生必须掌握的一块内容，本专题就全等三角形中的重要模型（手拉手（旋转）模型）进行梳理及对应试题分析，方便掌握。模型1.手拉手模型（三角形）【模型解读】将两个三角形绕着公共顶点（即头）旋转某一角度后能完全重合，则这两个三角形构成手拉手全等，也叫旋转型全等，常用“边角边”判定定理证明全等。公共顶点A记为“头”，每个三角形另两个顶点逆时针顺序数的第一个顶点记为“左手”，第二个顶点记为“右手”。对应操作：左手拉左手（即连结BD），右手拉右手（即连结CE），得。【常见模型及证法】（等边）（等腰直角）（等腰）例1．（2022秋·吉林松原·九年级统考期中）如图，点O是等边三角形ABC内的一点，，将△BOC绕点C顺时针旋转60°得△ADC，连接OD．(1)当时，°；(2)当时，°；(3)若，，，则OA的长为．例2．（2022·湖北武汉·八年级期末）已知ABC中，∠BAC=60°，以AB和BC为边向外作等边ABD和等边BCE．(1)连接AE、CD，如图1，求证：AE=CD；(2)若N为CD中点，连接AN，如图2，求证：CE=2AN(3)若AB⊥BC，延长AB交DE于M，DB=，如图3，则BM=_______（直接写出结果）例3．（2022·湖北·襄阳市九年级阶段练习）如图，已知AOB和MON都是等腰直角三角形(OA<OM=ON)，∠AOB=∠MON=90°．(1)如图①，连接AM，BN，求证：AOM≌BON；(2)若将MON绕点O顺时针旋转，①如图②，当点N恰好在AB边上时，求证：；②当点A，M，N在同一条直线上时，若OB=4，ON=3，请直接写出线段BN的长．例4．（2023春·重庆巴南·八年级统考期末）在正方形中，点是边上的中点，连接，．

(1)如图1，过点作交的延长线于点，连接，求的面积；(2)如图2，点是延长线上的一点，连接，过点作，，连接．点是的中点，分别连接，，求证：；(3)如图3，点是直线上的一动点，连接，过点作，，连接．点是的中点，连接，．当的值最小时，直接写出的面积．例5．（2022·山西大同·九年级期中）综合与实践：已知是等腰三角形，．（1）特殊情形：如图1，当∥时，______．（填“＞”“＜”或“＝”）；（2）发现结论：若将图1中的绕点顺时针旋转（）到图2所示的位置，则（1）中的结论还成立吗？请说明理由．（3）拓展运用：某学习小组在解答问题：“如图3，点是等腰直角三角形内一点，，且，，，求的度数”时，小明发现可以利用旋转的知识，将绕点顺时针旋转90°得到，连接，构造新图形解决问题．请你根据小明的发现直接写出的度数．例6．（2022·青海·中考真题）两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角的顶点，并把它们的底角顶点连接起来，则形成一组全等的三角形，把具有这个规律的图形称为“手拉手”图形.(1)问题发现：如图1，若和是顶角相等的等腰三角形，BC，DE分别是底边.求证：；(2)解决问题：如图2，若和均为等腰直角三角形，，点A，D，E在同一条直线上，CM为中DE边上的高，连接BE，请判断∠AEB的度数及线段CM，AE，BE之间的数量关系并说明理由.

图1

图2模型2.手拉手模型（正多边形型）【模型解读】将两个多边形绕着公共顶点（即头）旋转某一角度后能完全重合，则这两个多边形构成手拉手全等，也叫旋转型全等，常用“边角边”判定定理证明全等。【常见模型及证法】如图，在任意△ABC中，分别以AB、AC为边作正方形ABDE、ACFG，连接EC、BG，则△AEC≌△ABG.例1．（2023春·浙江·八年级专题练习）边长为4的正方形ABCD与边长为2的正方形CEFG如图1摆放，将正方形CEFG绕点C顺时针旋转，旋转角为α，连接BG，DE．（1）如图2，求证：△BCG≌△DCE；（2）如图2，连接DG，BE，判断DG2+BE2否为定值．若是，求这个定值若不是，说明理由；（3）如图3，当点G恰好落在DE上时，求α的值．例2．（2023·河南鹤壁市八年级月考）（1）作图发现：如图1，已知，小涵同学以、为边向外作等边和等边，连接，．这时他发现与的数量关系是．（2）拓展探究：如图2，已知，小涵同学以、为边向外作正方形和正方形，连接，，试判断与之间的数量关系，并说明理由．例3．（2023·福建福州市·九年级月考）如图，和均为等边三角形，连接BE、CD．（1）请判断：线段BE与CD的大小关系是；（2）观察图，当和分别绕点A旋转时，BE、CD之间的大小关系是否会改变?（3）观察如图和4，若四边形ABCD、DEFG都是正方形,猜想类似的结论是________,在如图中证明你的猜想.（4）这些结论可否推广到任意正多边形（不必证明）,如图,BB1与EE1的关系是;它们分别在哪两个全等三角形中;请在如图中标出较小的正六边形AB1C1D1E1F1的另五个顶点，连接图中哪两个顶点,能构造出两个全等三角形？例4．（2023·江苏无锡·八年级校考阶段练习）如图1，图2，图3，在中，分别以为边，向外作正三角形，正四边形，正五边形，相交于点．（正多边形的各边相等，各个内角也相等）①如图1，求证：△ABE≌△ADC；②探究：如图1，∠BOD=；③如图2，∠BOD=；④如图3，∠BOD=．课后专项训练1．（2022·浙江·温州一模）如图，在△ABC中以AC，BC为边向外作正方形ACFG与正方形BCDE，连结DF，并过C点作CH⊥AB于H并交FD于M．若∠ACB＝120°，AC＝3，BC＝2，则MD的长为（）A． B． C． D．2．（2022·广东茂名·二模）如图，在中，，D是边上的一个动点，连接，并将线段绕点A逆时针旋转后得线段，连接，在点D运动过程中，线段长度的最小值是_________．3．（2022·安徽芜湖·八年级期末）已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，在△ADE中，AD＝AE，且∠BAC＝∠DAE，连接BD，CE交于点F，连接AF．(1)求证：△ABD≌△ACE；(2)求证：FA平分∠BFE．4．（2023春·八年级单元测试）中，，，点在边上，将线段逆时针旋转得到，连接．(1)当，时，求证：．(2)当，时，若，求的值．5．（2022·福建·长汀县第四中学八年级阶段练习）已知：在△ABC中，CA=CB，∠ACB=90º，D为△ABC外一点，且满足∠ADB=90°．（1）如图1，若，AD=1，求DB的长．（2）如图1，求证：．（3）如图2所示，过C作CE⊥AD于E，BD=2，AD=6，求CE的长．6．（2023春·湖北武汉·八年级校考阶段练习）(1)如图1，在中，，，，则与的数量关系是，与延长线的夹角；(2)如图2，四边形中，，，，连接，猜想、、之间的数量关系，并证明你的猜想；(3)如图3，四边形中，，，，，，请直接写出的长为．7．（2023春·广东汕头·九年级校考开学考试）如图，D为内一点，，，将绕着点A顺时针旋转能与线段重合．(1)求证：；(2)若，求的度数．8．（2023春·全国·七年级专题练习）两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角顶点，并将它们的底角顶点分别对应连接起来得到两个全等三角形，我们把这样的图形称为“手拉手”图形．如图1，在“手拉手”图形中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，连接BD，CE，则△ABD≌△ACE．(1)请证明图1的结论成立；(2)如图2，△ABC和△AED是等边三角形，连接BD，EC交于点O，求∠BOC的度数；(3)如图3，AB＝BC，∠ABC＝∠BDC＝60°，试探究∠A与∠C的数量关系．9．（2022春·湖南长沙·八年级长沙市湘郡培粹实验中学校考阶段练习）如图1，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝BC＝4，点D，E分别为边AB，BC上的中点，且BD＝BE＝．(1)如图2，将△BDE绕点B逆时针旋转任意角度α，连接AD，EC，则线段EC与AD的关系是；(2)如图3，DE∥BC，连接AE，判断△EAC的形状，并求出EC的长；(3)继续旋转△BDE，当∠AEC＝90°时，请直接写出EC的长．10．（2022·河南焦作·二模）（1）如图1，在中，，，点D，E分别在边CA，CB上，且，连接AE，BD，F为AE的中点，连接CF交BD于点G，则线段CF所在直线与线段BD所在直线的位置关系是_______，线段CF和线段BD的数量关系为______．（2）将绕点C逆时针旋转至图2所示位置时，（1）中的结论是否仍然成立?若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．（3）将绕点C逆时针在平面内旋转，在旋转过程中，当B，D，E三点在同一条直线上时，CF的长为________．11．（2022·重庆市九年级阶段练习）【问题背景】如图1，P是等边三角形ABC外一点，∠APB＝30°，则PA2+PB2＝PC2．小明为了证明这个结论，将△PAB绕点A逆时针旋转60°，请根据此思路完成其证明．【迁移应用】如图2，在等腰直角三角形ABC中，BA＝BC，∠ABC＝90°，点P在△ABC外部，且∠BPC＝45°，若△APC的面积为5.5，求PC．12．（2023·四川达州·八年级统考期末）问题发现：如图，在中，，为边所在直线上的动点(不与点、重合)，连结，以为边作，且，根据，得到，结合，得出，发现线段与的数量关系为，位置关系为；（1）探究证明：如图，在和中，，，且点在边上滑动(点不与点、重合)，连接．①则线段，，之间满足的等量关系式为____；②求证:；（2）拓展延伸：如图，在四边形中，．若，，求的长．13．（2023秋·河南南阳·八年级统考期末）综合与实践：【问题情景】综合与实践课上，王老师让同学们以“共顶点的等腰三角形的旋转”为主题开展数学探究活动．【实践操作】王老师让同学们先画出两个等边和，将绕点旋转到某一位置，要求同学们观察图形，提出问题并加以解决．(1)如图①，“慎思组”的同学们连接、，则与有何数量关系？与有何数量关系？请你探究后直接写出结论．(2)如图②，得知“慎思组”的结论后，“博学组”的同学们又连接，他们认为，如果，且，，就可以求出的长，请写出求解过程．【类比探究】(3)如图③，“智慧组”的同学们画出了两个等腰直角三角形和，其中，，；且点恰好落在上，那么、和之间一定存在某种数量关系，请你探究后直接写出它们之间的数量关系．14．（2023·河南洛阳·八年级校考阶段练习）【问题发现】（1）如图1，和均为等边三角形，点B，D，E在同一直线上，连接，容易发现：①的度数为；②线段、之间的数量关系为；【类比探究】（2）如图2，和均为等腰直角三角形，，点B，D，E在同一直线上，连接，试判断的度数以及线段、、之间的数量关系，并说明理由；【问题解决】（3）如图3，，，，，则的值为．15．（2022秋·湖北孝感·八年级统考期中）已知：，，．(1)如图1当点在上，______．(2)如图2猜想与的面积有何关系？请说明理由．（温馨提示：两三角形可以看成是等底的）16．（2022·山西八年级月考）综合与实践特例研究：将矩形和按如图1放置，已知，连接．如图1，当点在上时，线段与之间的数量关系是__；直线与直线之间的位置关系是_；拓广探索：图2是由图1中的矩形绕点顺时针旋转一定角度得到的，请探索线段与之间的数量关系和直线与直线之间的位置关系，并说明理由．17．（2022·福建八年级期中）如图甲，在△ABC中，∠ACB为锐角，点D为射线BC上一动点，连接AD，以AD为一边且在AD的右侧作正方形ADEF．解答下列问题(1)如果AB＝AC，∠BAC＝90°，①当点D在线段BC上时（与点B不重合），如图乙，线段CF、BD之间的位置关系为，数量关系为．②当点D在线段BC的延长线上时，如图丙，①中的结论是否仍然成立，为什么？(2)如果AB≠AC，∠BAC≠90°点D在线段BC上运动．试探究：当△ABC满足一个什么条件时，CF⊥BC（点C、F重合除外）？并说明理由．18．（2022春·贵州黔东南·八年级校联考期末）【探究发现】（1）如图1，在四边形中，对角线，垂足是O，求证：．【拓展迁移】（2）如图2．以三角形的边、为边向外作正方形和正方形，求证：．（3）如图3，在（2）小题条件不变的情况下，连接，若，，，则的长_____________．（直接填写答案）19．（2022·福建福州·九年级校考期中）正方形ABCD和正方形AEFG的边长分别为3和1，将正方形AEFG绕点A逆时针旋转．（1）当旋转至图1位置时，连接BE，DG，则线段BE和DG的关系为；（2）在图1中，连接BD，BF，DF，求在旋转过程中BDF的面积最大值；（3）在旋转过程中，当点G，E，D在同一直线上时，求线段BE的长．20．（2022·辽宁沈阳·九年级校考期中）（1）如图①，若在等边△ABC的边AB上任取一点E（点E不与B重合），以EC为边在△ABC同侧作等边△CEN，连接AN．求证：ANBC且AN＝BE；（2）如图②，若把（1）中的“等边△ABC”改成正方形ABCD，同样在边AB上任取一点E（点E不与B重合），以EC为边在正方形ABCD同则作正方形CEMN，连接DN，请你判断图中是否有与（1）中类似的结论．若有，直接写出结论；若没有，请说明理由；

专题03全等模型-手拉手模型全等三角形在中考数学几何模块中占据着重要地位，也是学生必须掌握的一块内容，本专题就全等三角形中的重要模型（手拉手（旋转）模型）进行梳理及对应试题分析，方便掌握。模型1.手拉手模型（三角形）【模型解读】将两个三角形绕着公共顶点（即头）旋转某一角度后能完全重合，则这两个三角形构成手拉手全等，也叫旋转型全等，常用“边角边”判定定理证明全等。公共顶点A记为“头”，每个三角形另两个顶点逆时针顺序数的第一个顶点记为“左手”，第二个顶点记为“右手”。对应操作：左手拉左手（即连结BD），右手拉右手（即连结CE），得。【常见模型及证法】（等边）（等腰直角）（等腰）例1．（2022秋·吉林松原·九年级统考期中）如图，点O是等边三角形ABC内的一点，，将△BOC绕点C顺时针旋转60°得△ADC，连接OD．(1)当时，°；(2)当时，°；(3)若，，，则OA的长为．【答案】(1)40；(2)60；(3)【分析】（1）证明△COD是等边三角形，得到∠ODC=60°，即可得到答案；（2）利用∠ADC-∠ODC求出答案；（3）由△BOC≌△ADC，推出∠ADC=∠BOC=150°，AD=OB=8，根据△COD是等边三角形，得到∠ODC=60°，OD=，证得△AOD是直角三角形，利用勾股定理求出．【详解】（1）解：∵CO=CD，∠OCD=60°，∴△COD是等边三角形；∴∠ODC=60°，∵∠ADC=∠BOC=，∴∠ADC-∠ODC=40°，故答案为：40；（2）∵∠ADC=∠BOC=，∴∠ADC-∠ODC=60°，故答案为：60；（3）解：当，即∠BOC=150°，∴△AOD是直角三角形．∵△BOC≌△ADC，∴∠ADC=∠BOC=150°，AD=OB=8，又∵△COD是等边三角形，∴∠ODC=60°，OD=，∴∠ADO=90°，即△AOD是直角三角形，∴,故答案为：．【点睛】本题以“空间与图形”中的核心知识（如等边三角形的性质、全等三角形的性质与证明、直角三角形的判定、多边形内角和等）为载体，内容由浅入深，层层递进．试题中几何演绎推理的难度适宜，蕴含着丰富的思想方法（如运动变化、数形结合、分类讨论、方程思想等），能较好地考查学生的推理、探究及解决问题的能力．例2．（2022·湖北武汉·八年级期末）已知ABC中，∠BAC=60°，以AB和BC为边向外作等边ABD和等边BCE．(1)连接AE、CD，如图1，求证：AE=CD；(2)若N为CD中点，连接AN，如图2，求证：CE=2AN(3)若AB⊥BC，延长AB交DE于M，DB=，如图3，则BM=_______（直接写出结果）【答案】(1)见解析(2)见解析(3)【分析】（1）先判断出∠DBC=∠ABE，进而判断出△DBC≌△ABE，即可得出结论；（2）先判断出△ADN≌△FCN，得出CF=AD，∠NCF=∠AND，进而判断出∠BAC=∠ACF，即可判断出△ABC≌△CFA，即可得出结论；（3）先判断出△ABC≌△HEB(ASA)，得出，，再判断出△ADM≌△HEM(AAS)，得出AM=HM，即可得出结论．（1）解：∵△ABD和△BCE是等边三角形，∴BD=AB，BC=BE，∠ABD=∠CBE=60°，∴∠ABD+∠ABC=∠CBE+∠ABC，∴∠DBC=∠ABE，∴△ABE≌△DBC（SAS），∴AE=CD；（2）解：如图，延长AN使NF=AN，连接FC，∵N为CD中点，∴DN=CN，∵∠AND=∠FNC，∴△ADN≌△FCN(SAS)，∴CF=AD，∠NCF=∠AND，∵∠DAB=∠BAC=60°∴∠ACD+∠ADN=60°∴∠ACF=∠ACD+∠NCF=60°，∴∠BAC=∠ACF，∵△ABD是等边三角形，∴AB=AD，∴AB=CF，∵AC=CA，∴△ABC≌△CFA(SAS)，∴BC=AF，∵△BCE是等边三角形，∴CE=BC=AF=2AN；（3）解：∵△ABD是等边三角形，∴，∠BAD=60°，在Rt△ABC中，∠ACB=90°－∠BAC=30°，∴，如图，过点E作EH//AD交AM的延长线于H，∴∠H=∠BAD=60°，∵△BCE是等边三角形，∴BC=BE，∠CBE=60°，∵∠ABC=90°，∴∠EBH=90°－∠CBE=30°=∠ACB，∴∠BEH=180°－∠EBH－∠H=90°=∠ABC，∴△ABC≌△HEB(ASA)，∴，，∴AD=EH，∵∠AMD=∠HME，∴△ADM≌△HEM(AAS)，∴AM=HM，∴∵，，∴．故答案为：．【点睛】此题是三角形综合题，主要考查了等边三角形的性质，含30°角的直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，构造出全等三角形是解本题的关键．例3．（2022·湖北·襄阳市九年级阶段练习）如图，已知AOB和MON都是等腰直角三角形(OA<OM=ON)，∠AOB=∠MON=90°．(1)如图①，连接AM，BN，求证：AOM≌BON；(2)若将MON绕点O顺时针旋转，①如图②，当点N恰好在AB边上时，求证：；②当点A，M，N在同一条直线上时，若OB=4，ON=3，请直接写出线段BN的长．【答案】(1)见解析；(2)①见解析；②或．【分析】（1）利用SAS定理证明即可；（2）①连接，证明，即可证；②当点N在线段上时，连接，在中构造勾股定理的等量关系；当点M在线段上时，同理即可求得．（1）证明：，，即．和是等腰直角三角形，，(SAS)．（2）解：①证明：如图，连接．，，即．和是等腰直角三角形，，，，．是等腰直角三角形，，．②或．∵△AOB和△MON都是等腰直角三角形，OB=4，ON=3，∴．当点N在线段上时，如图，连接，设，由(1)可知．∴，．∴，∴，∴是直角三角形，．又∵，∴，解得：（舍去）∴；当点M在线段上时，如图，连接，设，由(2)①可知．∴，．∴，∴，∴是直角三角形，．又∵，∴，解得：（舍去）∴综上所述：的长为或．【点睛】本题主要考查全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质，三点共线分类讨论，对几何题目的综合把握是解题关键．例4．（2023春·重庆巴南·八年级统考期末）在正方形中，点是边上的中点，连接，．

(1)如图1，过点作交的延长线于点，连接，求的面积；(2)如图2，点是延长线上的一点，连接，过点作，，连接．点是的中点，分别连接，，求证：；(3)如图3，点是直线上的一动点，连接，过点作，，连接．点是的中点，连接，．当的值最小时，直接写出的面积．【答案】(1)(2)证明见解析(3)【分析】（1）利用证明得，从而求出，由此即可求出的面积．（2）过点作交于点，连接，利用一线三直角模型可得（），从而可得：，再证明可得为等腰直角三角形，，进而得出结论；（3）由已知可得：是等腰直角三角形，进而可得，，即当E点在AM上时，最小，再由三角形全都转换线段关系得到，由勾股定理求出即可解题．【详解】（1）解：∵；∴；∵四边形是正方形；∴，；∵点是的中点，；∴；∵；∴；∴；∴；∴；（2）证明：如解（2）图，过点作交于点，连接．

∵；∴∴；∵；∴；∴，；∵点是的中点，；∴，：∴；∴；∴，；∴；∴；∴；（3）解：∵，，∴是等腰直角三角形，，又∵点是的中点，∴，∴，∴当E点在上时，最小，如解（3）图，过点作交的延长线于点，同理（1）可得：；∴；，，∴，又∵∴，又∵，∴，∴，∴，在中，，，∴，解得：，∴【点睛】本题主要考查了正方形的性质与判定，勾股定理，全等三角形的性质与判定，解题（3）的关键在于能够证明．例5．（2022·山西大同·九年级期中）综合与实践：已知是等腰三角形，．（1）特殊情形：如图1，当∥时，______．（填“＞”“＜”或“＝”）；（2）发现结论：若将图1中的绕点顺时针旋转（）到图2所示的位置，则（1）中的结论还成立吗？请说明理由．（3）拓展运用：某学习小组在解答问题：“如图3，点是等腰直角三角形内一点，，且，，，求的度数”时，小明发现可以利用旋转的知识，将绕点顺时针旋转90°得到，连接，构造新图形解决问题．请你根据小明的发现直接写出的度数．【答案】（1）=；（2）成立，理由见解析；（3）∠BPA=135°．【分析】（1）由DE∥BC，得到∠ADE=∠B，∠AED=∠C，结合AB=AC，得到DB=EC；（2）由旋转得到的结论判断出△DAB≌△EAC，得到DB=CE；（3）由旋转构造出△APB≌△AEC，再用勾股定理计算出PE，然后用勾股定理逆定理判断出△PEC是直角三角形，在简单计算即可．【详解】解：（1）∵DE∥BC，∴∠ADE=∠B，∠AED=∠C，∵AB=AC，∴∠B=∠C，∴∠ADE=∠AED，∴AD=AE，∴DB=EC，故答案为：=；（2）成立．证明：由①易知AD=AE，∴由旋转性质可知∠DAB=∠EAC，在△DAB和△EAC中，∴△DAB≌△EAC（SAS），∴DB=CE；（3）如图，将△APB绕点A旋转90°得△AEC，连接PE，∴△APB≌△AEC，∴AE=AP=2，EC=BP=1，∠PAE=90°，∴∠AEP=∠APE=45°，在Rt△PAE中，由勾股定理可得，PE=2，在△PEC中，PE2=（2）2=8，CE2=12=1，PC2=32=9，∵PE2+CE2=PA2，∴△PEC是直角三角形，∴∠PEC=90°，∴∠AEC=135°，又∵△APB≌△AEC，∴∠BPA=∠CEA=135°．【点睛】本题主要考查了旋转的性质，平行线的性质，全等三角形的性质和判定，勾股定理及其逆定理，解本题的关键是构造全等三角形，也是本题的难点．例6．（2022·青海·中考真题）两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角的顶点，并把它们的底角顶点连接起来，则形成一组全等的三角形，把具有这个规律的图形称为“手拉手”图形.(1)问题发现：如图1，若和是顶角相等的等腰三角形，BC，DE分别是底边.求证：；(2)解决问题：如图2，若和均为等腰直角三角形，，点A，D，E在同一条直线上，CM为中DE边上的高，连接BE，请判断∠AEB的度数及线段CM，AE，BE之间的数量关系并说明理由.

图1

图2【答案】(1)见解析(2)；【分析】（1）先判断出∠BAD=∠CAE，进而利用SAS判断出△BAD≌△CAE，即可得出结论；（2）同（1）的方法判断出△BAD≌△CAE，得出AD=BE，∠ADC=∠BEC，最后用角的差，即可得出结论．【解析】(1)证明：∵和是顶角相等的等腰三角形，∴，，，∴，∴．在和中，，∴，∴．(2)解：，，理由如下：由（1）的方法得，，∴，，∵是等腰直角三角形，∴，∴，∴，∴．∵，，∴．∵，∴，∴．∴．【点睛】此题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形，等边三角形，等腰直角三角形的性质，判断出△ACD≌△BCE是解本题的关键．模型2.手拉手模型（正多边形型）【模型解读】将两个多边形绕着公共顶点（即头）旋转某一角度后能完全重合，则这两个多边形构成手拉手全等，也叫旋转型全等，常用“边角边”判定定理证明全等。【常见模型及证法】如图，在任意△ABC中，分别以AB、AC为边作正方形ABDE、ACFG，连接EC、BG，则△AEC≌△ABG.例1．（2023春·浙江·八年级专题练习）边长为4的正方形ABCD与边长为2的正方形CEFG如图1摆放，将正方形CEFG绕点C顺时针旋转，旋转角为α，连接BG，DE．（1）如图2，求证：△BCG≌△DCE；（2）如图2，连接DG，BE，判断DG2+BE2否为定值．若是，求这个定值若不是，说明理由；（3）如图3，当点G恰好落在DE上时，求α的值．【答案】（1）见解析；（2）48；（3）【分析】（1）通过边角边判定三角形全等；（2）连接，设交于点，交于点，先证明，由勾股定理可得；（3）作于点，则，且，由含30度角的直角三角形的性质求解．【详解】（1）四边形与为正方形，，，，，，在和中，(SAS)，（2）连接，设交于点，交于点，，，，在△和中，，，，，由勾股定理得，，，，，，，(3)作于点，如图，△为等腰直角三角形，，且，在中，，，，．．【点睛】本题考查四边形与三角形的综合问题，解题关键是熟练掌握正方形与直角三角形的性质，通过添加辅助线求解．例2．（2023·河南鹤壁市八年级月考）（1）作图发现：如图1，已知，小涵同学以、为边向外作等边和等边，连接，．这时他发现与的数量关系是．（2）拓展探究：如图2，已知，小涵同学以、为边向外作正方形和正方形，连接，，试判断与之间的数量关系，并说明理由．【答案】（1）BE=CD；（2）BE=CD，理由见解析；【分析】（1）利用等边三角形的性质得出，然后有，再利用SAS即可证明，则有；（2）利用正方形的性质得出，然后有，再利用SAS即可证明，则有；【详解】（1）如图1所示：和都是等边三角形，，，即，在和中，，．（2），四边形和均为正方形，，，，，在和中，，，例3．（2023·福建福州市·九年级月考）如图，和均为等边三角形，连接BE、CD．（1）请判断：线段BE与CD的大小关系是；（2）观察图，当和分别绕点A旋转时，BE、CD之间的大小关系是否会改变?（3）观察如图和4，若四边形ABCD、DEFG都是正方形,猜想类似的结论是________,在如图中证明你的猜想.（4）这些结论可否推广到任意正多边形（不必证明）,如图,BB1与EE1的关系是;它们分别在哪两个全等三角形中;请在如图中标出较小的正六边形AB1C1D1E1F1的另五个顶点，连接图中哪两个顶点,能构造出两个全等三角形？【答案】(1)BE=CD（2）线段BE与CD的大小关系不会改变（3）AE＝CG，证明见解析（4）这些结论可以推广到任意正多边形.如图5，BB1=EE1，它们分别在△AE1E和△AB1B中，如图6，连接FF1，可证△AB1B≌△AF1F．图形见解析.【分析】本题是变式拓展题，图形由简单到复杂，需要从简单图形中探讨解题方法，并借鉴用到复杂图形中；证明三角形全等时，用旋转变换寻找三角形全等的条件．【详解】（1）线段BE与CD的大小关系是BE=CD；（2）线段BE与CD的大小关系不会改变；

（3）AE=CG．证明：如图4，正方形ABCD与正方形DEFG中，∵AD=CD，DE=DG，∠ADC=∠GDE=90°，

又∠CDG=90°+∠ADG=∠ADE，∴△ADE≌△CDG，∴AE=CG．

（4）这些结论可以推广到任意正多边形．

如图5，BB1=EE1，它们分别在△AE1E和△AB1B中，如图6，连接FF1，可证△AB1B≌△AF1F．【点睛】本题综合考查全等三角形、等边三角形和多边形有关知识．注意对三角形全等的证明方法的发散．例4．（2023·江苏无锡·八年级校考阶段练习）如图1，图2，图3，在中，分别以为边，向外作正三角形，正四边形，正五边形，相交于点．（正多边形的各边相等，各个内角也相等）①如图1，求证：△ABE≌△ADC；②探究：如图1，∠BOD=；③如图2，∠BOD=；④如图3，∠BOD=．【答案】①见解析；②60°；③90°；④108°【分析】①根据等边三角形的性质可以得出△ABE≌△ADC．②③④根据△ABE≌△ADC可得∠CDA=∠EBA，根据三角形内角和可得∠BOD=∠BAD，从而求解．【详解】解：①证明：如图，∵△ABD和△AEC是等边三角，∴AD=AB，AE=AC，∠DAB=∠EAC=∠ABD=∠ADB=60°，∴∠DAB+∠BAC=∠EAC+∠BAC，即∠DAC=∠BAE．在△ABE和△ADC中，，∴△ABE≌△ADC（SAS）；②，，∵∠AFD=∠OFB，∴∠BOD=∠BAD=60°；③如图，四边形和四边形是正方形，，，，，，即，在和中，，，，∵∠AHB=∠OHD，∴∠BOD=∠BAD=90°；④如图，五边形和五边形是正五边形，，，，，，，在和中，，，，∵∠AMB=∠OMD，∴∠BOD=∠BAD=（5-2）×180°÷5=108°．【点睛】本题考查了等边三角形的性质的运用，正方形的性质的运用，正五边形的性质的运用及正边形的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，解答时根据正多边形的性质证明三角形全等是关键．课后专项训练1．（2022·浙江·温州一模）如图，在△ABC中以AC，BC为边向外作正方形ACFG与正方形BCDE，连结DF，并过C点作CH⊥AB于H并交FD于M．若∠ACB＝120°，AC＝3，BC＝2，则MD的长为（）A． B． C． D．【答案】A【分析】过D作DN⊥CF于点N，作DP⊥HM于点P，过点F作FQ⊥HM，交HM的延长线于点Q，依据勾股定理即可求得DF的长，再根据全等三角形的对应边相等得到FQ=DP，进而证明△FQM≌△DPM，得到M是FD的中点，由此可得DM=DF．【详解】如图所示，过D作DN⊥CF于点N，作DP⊥HM于点P，过点F作FQ⊥HM，交HM的延长线于点Q，∵∠ACB＝120°，∠ACF＝∠BCD＝90°，∴∠DCN＝60°，∠CDN＝30°，又∵BC＝DC＝2，AC＝FC＝3，∴CNCD＝1，FN＝CF﹣CN＝3﹣1＝2，DN，Rt△DFN中，DF．∵四边形BCDE是正方形，∴BC＝CD，∠BCD＝90°，又∵CH⊥AB，∴∠DCP+∠BCH＝∠CBH+∠BCH＝90°，∴∠DCP＝∠CBH，又∵∠DPC＝∠BHC＝90°，∴△DCP≌△CBH（AAS），∴DP＝CH，同理可得△ACH≌△CFQ，∴FQ＝CH，∴FQ＝DP，又∵∠Q＝∠DPM＝90°，∠FMQ＝∠DMP，∴△FQM≌△DPM（AAS），∴FM＝DM，即M是FD的中点，∴DMDF．故选：A【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质以及勾股定理的综合运用，通过作辅助线构造全等三角形，灵活运用全等三角形的对应边相等是解题的关键．2．（2022·广东茂名·二模）如图，在中，，D是边上的一个动点，连接，并将线段绕点A逆时针旋转后得线段，连接，在点D运动过程中，线段长度的最小值是_________．【答案】【分析】过点作于点，在上取点，使，连接，先根据直角三角形的性质、勾股定理可得，根据等腰直角三角形的判定与性质可得，从而可得，再根据旋转的性质可得，然后根据三角形全等的判定证出，根据全等三角形的性质可得，最后根据垂线段最短可得当时，的长度最小，在中，解直角三角形即可得．【详解】解：如图，过点作于点，在上取点，使，连接，，，，是等腰直角三角形，，，，由旋转的性质得：，，，，，在和中，，，，如图，由垂线段最短可知，当时，的长度最小，在中，，即线段长度的最小值是，故答案为：．【点睛】本题考查了含角的直角三角形的性质、勾股定理、三角形全等的判定定理与性质、旋转的性质、解直角三角形等知识点，通过作辅助线，构造全等三角形是解题关键．3．（2022·安徽芜湖·八年级期末）已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，在△ADE中，AD＝AE，且∠BAC＝∠DAE，连接BD，CE交于点F，连接AF．(1)求证：△ABD≌△ACE；(2)求证：FA平分∠BFE．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】（1）根据SAS证明结论即可；（2）作AM⊥BD于M，作AN⊥CE于N．由（1）可得BD＝CE，S△BAD＝S△CAE，然后根据角平分线的性质即可解决问题．【解析】(1)证明：∵∠BAC＝∠DAE，∴∠BAC+∠CAD＝∠DAE+∠CAD，即∠BAD＝∠CAE，在△BAD和△CAE中，，∴△BAD≌△CAE（SAS）；(2)证明：如图，作AM⊥BD于M，作AN⊥CE于N．由△BAD≌△CAE，∴BD＝CE，S△BAD＝S△CAE，∵，∴AM＝AN，∴点A在∠BFE平分线上，∴FA平分∠BFE．【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质、三角形的面积，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定和性质，学会转化的思想，巧用等积法进行证明．4．（2023春·八年级单元测试）中，，，点在边上，将线段逆时针旋转得到，连接．(1)当，时，求证：．(2)当，时，若，求的值．【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）根据题意证明，得出，，，勾股定理即可得证；（2）在的延长线上取点，使，由同理得，设，根据勾股定理得出，作于，得出是等腰直角三角形，分别求得，即可求解．【详解】（1）证明：如图，连接，，，在和中，，，，，，，，；（2）在的延长线上取点，使，由同理得，，，设，∴作于，，是等腰直角三角形，∴．【点睛】本题考查了旋转的性质，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的性质与判定，掌握旋转的性质是解题的关键．5．（2022·福建·长汀县第四中学八年级阶段练习）已知：在△ABC中，CA=CB，∠ACB=90º，D为△ABC外一点，且满足∠ADB=90°．（1）如图1，若，AD=1，求DB的长．（2）如图1，求证：．（3）如图2所示，过C作CE⊥AD于E，BD=2，AD=6，求CE的长．【答案】（1）；（2）见解析；（3）2【分析】（1）在Rt△ABC中，根据勾股定理，得AB=2，在Rt△ABD中，根据勾股定理，得；（2）过C点作CF⊥CD，构造手拉手模型，运用等腰直角三角形的性质可得证；（3）过C点作CF⊥CD，构造手拉手模型，运用三角形全等可得证．【详解】（1）解：在Rt△ABC中，∵，∴，

∴在Rt△ABD中，．

（2）证明：如图，过C点作CF⊥CD交DB的延长线于点F．

∵∠ACB=∠DCF=90°，∴∠ACD=∠BCF，∵∠CAD+∠CBD=360°－(∠ACB+∠ADB)=180°，∠CBF+∠CBD=180°，∴∠CAD=∠CBF，又∵CA=CB，∴△CAD≌△CBF(ASA)，

∴CD=CF，AD=BF，∴，∵DF=DB+BF=DB+DA，∴．

（3）解：如图，过C点作CF⊥CD交AD与F点，

∵∠ACB=∠DCF=90°，即∠ACF+∠BCF=∠BCD+∠BCF=90°，∴∠ACF=∠BCD，∵∠AFC=∠FCD+∠CDA=90°+∠CDA，∠CDB=∠CDA+∠ADB=90°+∠CDA，∴∠AFC=∠CDB，又∵CA=CB，∴△CAF≌△CBD(AAS)，

∴CF=CD，AF=BD，∴△CDF是等腰直角三角形，又∵CE⊥AD，∴E为DF中点，∵AD=6，AF=BD=2，∴FD=AD－AF=4，∴．【点睛】本题考查了勾股定理，等腰直角三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形的全等，手拉手模型的构造，熟练构造手拉手模型是解题的关键.6．（2023春·湖北武汉·八年级校考阶段练习）(1)如图1，在中，，，，则与的数量关系是，与延长线的夹角；(2)如图2，四边形中，，，，连接，猜想、、之间的数量关系，并证明你的猜想；(3)如图3，四边形中，，，，，，请直接写出的长为．【答案】(1)，(2)(3)【分析】（1）证明≌即可．（2）由（1）的证明方法可知：将绕点顺时针旋转，连接、，证明≌，再为直角三角形，用勾股定理即可．（3）由（1）的证明方法可知：将绕点顺时针旋转，连接、，延长交于，再证明，用勾股定理即可求解．【详解】（1）与的数量关系：，证明：，，，在和中，≌，，故与的数量关系：；，≌，，即：，在中：．故．（2）结论：，证明：如图，将绕点顺时针旋转，连接、，，，是等边三角形，，，，，在和中，≌，，，，，，，在中，．（3）解：如图，将绕点顺时针旋转，连接、，延长交于，，，是等腰直角三角形，，，，，，，，在和中，≌，，，，，，设，，则有，，在中，，在中，，由①②解得，，在中，故的长为．【点睛】本题考查了三角形全等及性质、勾股定理在旋转中典型模型“手拉手”的综合应用，掌握典型模型的解决方法是解题的关键．7．（2023春·广东汕头·九年级校考开学考试）如图，D为内一点，，，将绕着点A顺时针旋转能与线段重合．(1)求证：；(2)若，求的度数．【答案】(1)见解析(2)【分析】（1）根据将绕着点A顺时针旋转能与线段重合，得，，通过证明，即可证出；（2）由得：，再根据，，得，即可求出答案．【详解】（1）证明：∵将绕着点A顺时针旋转能与线段重合，∴，，∵，∴，∴，在和中，，∴，∴；（2）解：由得：，∵，∴，∵，，∴，∴．【点睛】本题主要考查了旋转的性质、等腰三角形是性质、三角形全等的判定与性质等知识，证明出是解题的关键．8．（2023春·全国·七年级专题练习）两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角顶点，并将它们的底角顶点分别对应连接起来得到两个全等三角形，我们把这样的图形称为“手拉手”图形．如图1，在“手拉手”图形中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，连接BD，CE，则△ABD≌△ACE．(1)请证明图1的结论成立；(2)如图2，△ABC和△AED是等边三角形，连接BD，EC交于点O，求∠BOC的度数；(3)如图3，AB＝BC，∠ABC＝∠BDC＝60°，试探究∠A与∠C的数量关系．【答案】(1)见解析(2)60°(3)∠A+∠BCD=180°，理由见解析【分析】（1）利用等式的性质得出∠BAD=∠CAE，即可得出结论；（2）同（1）的方法判断出△ABD≌△ACE，得出∠ADB=∠AEC，再利用对顶角和三角形的内角和定理判断出∠BOC=60°，即可得出答案；（3）先判断出△BDP是等边三角形，得出BD=BP，∠DBP=60°，进而判断出△ABD≌△CBP（SAS），即可得出结论．【详解】（1）解：证明：∵∠BAC=∠DAE，∴∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD，∴∠BAD=∠CAE，在△ABD和△ACE中，，∴△ABD≌△ACE（SAS）；（2）如图2，∵△ABC和△ADE是等边三角形，∴AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=60°，∴∠BAD=∠CAE，在△ABD和△ACE中，，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴∠ADB=∠AEC，令AD与CE交于点G，∵∠AGE=∠DGO，∴180°-∠ADB-∠DGO=180°-∠AEC-∠AGE，∴∠DOE=∠DAE=60°，∴∠BOC=60°；（3）∠A+∠BCD=180°．理由：如图3，延长DC至P，使DP=DB，∵∠BDC=60°，∴△BDP是等边三角形，∴BD=BP，∠DBP=60°，∵∠ABC=60°=∠DBP，∴∠ABD=∠CBP，∵AB=CB，∴△ABD≌△CBP（SAS），∴∠BCP=∠A，∵∠BCD+∠BCP=180°，∴∠A+∠BCD=180°．【点睛】此题是三角形综合题，主要考查了等腰三角形的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，构造等边三角形是解本题的关键．9．（2022春·湖南长沙·八年级长沙市湘郡培粹实验中学校考阶段练习）如图1，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝BC＝4，点D，E分别为边AB，BC上的中点，且BD＝BE＝．(1)如图2，将△BDE绕点B逆时针旋转任意角度α，连接AD，EC，则线段EC与AD的关系是；(2)如图3，DE∥BC，连接AE，判断△EAC的形状，并求出EC的长；(3)继续旋转△BDE，当∠AEC＝90°时，请直接写出EC的长．【答案】(1)EC＝AD，EC⊥AD(2)等腰三角形，(3)【分析】（1）延长CE交AD于F，交AB于O，证明△ABD≌△CBE（SAS），得∠BCE＝∠BAD，CE＝AD，再由∠AOF＝∠BOC，可得∠AFC＝∠ABC＝90°，即可得到结论；（2）设DE与AB的交点为H，可得AB是DE的垂直平分线，利用勾股定理可求出AE的长，由（1）知CE＝AD，从而得出答案；（3）分当点E在BC上方时和当点E在BC下方时，分别画图，利用勾股定理计算即可．(1)EC与AD垂直且相等，理由如下：延长CE交AD于F，交AB于O，∵△BDE和△ABC都是等腰直角三角形，∴BD＝BE，AB＝BC，∠DBE＝∠ABC＝90°，∴∠ABD＝∠CBE，∴△ABD≌△CBE（SAS），∴∠BCE＝∠BAD，CE＝AD，∵∠AOF＝∠BOC，∴∠AFE＝∠ABC＝90°，∴AD⊥CE，∴故答案为：EC＝AD，EC⊥AD；(2)设DE与AB的交点为H，∵DE∥BC，∴∠AHE＝∠ABC＝90°，∵BD＝BE，∴AB是DE的垂直平分线，∴AD＝AE，由（1）知AD＝CE，∴AE＝CE，∴△ACE是等腰三角形，∵BE＝，∴BH＝HE＝1，∴AH＝AB﹣BH＝4﹣1＝3，在Rt△AHE中，由勾股定理得：AE＝，∴CE＝AE＝；(3)如图4，当点E在BC上方时，过点B作BG⊥DE于G，∵∠AEC＝90°，CE⊥AD，∴A、E、D三点共线，∴AG＝，∴AD＝AG+DG＝，∴CE＝AD＝+1；如图，当点E在BC下方时，同理可得CE＝CG﹣GE＝﹣1．综上：CE＝+1或﹣1．【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，旋转的性质，勾股定理等知识，根据前面探索的结论解决新的问题是解题的关键．10．（2022·河南焦作·二模）（1）如图1，在中，，，点D，E分别在边CA，CB上，且，连接AE，BD，F为AE的中点，连接CF交BD于点G，则线段CF所在直线与线段BD所在直线的位置关系是_______，线段CF和线段BD的数量关系为______．（2）将绕点C逆时针旋转至图2所示位置时，（1）中的结论是否仍然成立?若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．（3）将绕点C逆时针在平面内旋转，在旋转过程中，当B，D，E三点在同一条直线上时，CF的长为________．【答案】（1）CF⊥BD；（2）（1）中的结论仍然成立．理由见解析（3）或【分析】（1）延长CF到点M，使得FM=CF，连接AM．证，得，，所以，推出∠MAC=∠DCB=90°，再（SAS），得，，继而得到，则，故有结论CG⊥BD，BD=2CF．（2）延长CF至M使则，连接AM，延长BC到N，先证明，得，，再证明，得，，从而得证，得到，即可得出（1）中的结论：，BD=2CF．（3）分两种情形：如图3中，当点E在线段BD上时，如图4中，当点E在线段BD的延长线上时，分别求解即可．【详解】解：（1）如图，延长CF至M使，则，连接AM，∵F是AE的中点，，且，∴，∴，，∴，∴，∵，∴，又∵，∴，∴（SAS），∴，∵，∴，∴，∴，故答案为：CG⊥BD，BD=2CF．（2）证明：（1）中的结论仍然成立．理由如下：如图，延长CF至M，使，则，连接AM，延长BC到N，∵F是AE的中点，，且，∴，∴，，∴，∴，∴，又∵，，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴，，∵，∴，∴，∴，∴（1）中的结论：，BD=2CF仍然成立（3）如图3中，当点E在线段BD上时，延长CF至M使则，连接AM，在Rt△DCE中，CD=CE=2，∴DE=，∵CG⊥DE，CD=CE，∴CG平分DE，∵∠DCE=90°，∴DG=CG=DE=，在Rt△CGB中，CB=6，CG=，∴BG=，∴BD=BG+DG=+，由（2）知BD=2CF，∴CF=BD=；如图4中，当点E在线段BD的延长线上时，延长CF至M使则，连接AM，在Rt△DCE中，CD=CE=2，∴DE=，∵CG⊥DE，CD=CE，∴CG平分DE，∵∠DCE=90°，∴DG=CG=DE=，在Rt△CGB中，CB=6，CG=，∴BG=，∴BD=BG-DG=-，由（2）知BD=2CF，∴CF=BD=；综上所述，满足条件的CF的值为或．【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，本题属旋转综合题目，通过作辅助线构造全等三角形是解题的关键．11．（2022·重庆市九年级阶段练习）【问题背景】如图1，P是等边三角形ABC外一点，∠APB＝30°，则PA2+PB2＝PC2．小明为了证明这个结论，将△PAB绕点A逆时针旋转60°，请根据此思路完成其证明．【迁移应用】如图2，在等腰直角三角形ABC中，BA＝BC，∠ABC＝90°，点P在△ABC外部，且∠BPC＝45°，若△APC的面积为5.5，求PC．【答案】（1）【问题背景】见解析；（2）【迁移应用】【分析】（1）【问题背景】将△PAB绕点A逆时针旋转60°得到△DAC，连接PD，由旋转及等边三角形的性质可得∠PDC=90゜，由勾股定理即可解决；（2）【迁移应用】过B作BM⊥PB交PC的延长线于点M，连接AM，则易得△PBC≌△MBA，由全等三角形的性质易得∠AMP=90゜，再由面积条件即可求得PC的长．【详解】（1）【问题背景】将△PAB绕点A逆时针旋转60°得到△DAC，连接PD，如图所示由旋转的性质得：AD=PA，CD=PB，∠PAD=60゜，∠ADC=∠APB=30゜∵AD=PA，∠PAD=60゜∴△PAD是等边三角形∴PD=PA，∠PDA=60゜∴∠PDC=∠PDA+∠ADC=60゜+30゜=90゜在Rt△PDC中，由勾股定理得：∴（2）【迁移应用】过B作BM⊥PB交PC的延长线于点M，连接AM，如图所示则∠PBM=∠ABC=90゜∴∠PBC+∠CBM=∠CBM+∠MBA∴∠PBC=∠MBA∵∠PBM=90゜，∠BPC=45゜∴∠BMP=∠BPC=45゜∴PB=MB在△PBC和△MBA中∴△PBC≌△MBA(SAS)∴∠BMA=∠BPC=45゜，PC=AM∴∠AMP=∠BMP+∠BMA=45゜+45゜=90゜∵∴【点睛】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定，勾股定理等知识，根据条件作图形的旋转或构造三角形全等是解决问题的关键与难点．12．（2023·四川达州·八年级统考期末）问题发现：如图，在中，，为边所在直线上的动点(不与点、重合)，连结，以为边作，且，根据，得到，结合，得出，发现线段与的数量关系为，位置关系为；（1）探究证明：如图，在和中，，，且点在边上滑动(点不与点、重合)，连接．①则线段，，之间满足的等量关系式为_____；②求证:；（2）拓展延伸：如图，在四边形中，．若，，求的长．【答案】（1）①BC=CE+CD；②见解析；（2）AD＝6．【分析】（1）①根据题中示例方法，证明△BAD≌△CAE，得到BD＝CE，从而得出BC=CE+CD；②根据△BAD≌△CAE，得出∠ACE＝45°，从而得到∠BCE＝90°，则有DE2＝CE2+CD2，再根据可得结论；（2）过点A作AG⊥AD，使AG=AD，连接CG、DG，可证明△BAD≌△CAG，得到CG＝BD，在直角△CDG中，根据CD的长求出DG的长，再由DG和AD的关系求出AD.【详解】解：（1）①如图2，在Rt△ABC中，AB＝AC，∴∠B＝∠ACB＝45°，

∵∠BAC＝∠DAE＝90°，∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，即∠BAD＝∠CAE，在△BAD和△CAE中，，∴△BAD≌△CAE（SAS），∴BD＝CE，

∴BC=BD+CD=CE+CD，故答案为：BC=BD+CD=CE+CD．②∵△BAD≌△CAE，∴∠B＝∠ACE＝45°，∵∠ACB＝45°，∴∠BCE＝45°+45°＝90°，∴DE2＝CE2+CD2，∵AD＝AE，∠DAE＝90°，∴，∴2AD2＝BD2+CD2；（3）如图3，过点A作AG⊥AD，使AG=AD，连接CG、DG，则△DAG是等腰直角三角形，∴∠ADG＝45°，∵∠ADC＝45°，∴∠GDC＝90°，同理得：△BAD≌△CAG，∴CG＝BD＝13，在Rt△CGD中，∠GDC＝90°，，∵△DAG是等腰直角三角形，∴，∴AD＝＝6．【点睛】本题是四边形的综合题，考查的是全等三角形的判定和性质、勾股定理，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．13．（2023秋·河南南阳·八年级统考期末）综合与实践：【问题情景】综合与实践课上，王老师让同学们以“共顶点的等腰三角形的旋转”为主题开展数学探究活动．【实践操作】王老师让同学们先画出两个等边和，将绕点旋转到某一位置，要求同学们观察图形，提出问题并加以解决．(1)如图①，“慎思组”的同学们连接、，则与有何数量关系？与有何数量关系？请你探究后直接写出结论．(2)如图②，得知“慎思组”的结论后，“博学组”的同学们又连接，他们认为，如果，且，，就可以求出的长，请写出求解过程．【类比探究】(3)如图③，“智慧组”的同学们画出了两个等腰直角三角形和，其中，，；且点恰好落在上，那么、和之间一定存在某种数量关系，请你探究后直接写出它们之间的数量关系．【答案】(1)，(2)，过程见解析(3)【分析】（1）通过判定证明全等即可；（2）由（1）可知边长与角度的关系，然后利用勾股定理求解即可；（3）与（1）相同，证明全等后，利用勾股定理证明三边关系即可．【详解】（1）证明：与均为等边三角形又在与中，（2）证明：由（1）可知，，在等边中，由可得则，在中，，由勾股定理可得：（3）连接，，在与中，【点睛】此题考查旋转模型以及勾股定理，解题关键是找准边与角的关系证明全等，然后利用勾股定理求解．14．（2023·河南洛阳·八年级校考阶段练习）【问题发现】（1）如图1，和均为等边三角形，点B，D，E在同一直线上，连接，容易发现：①的度数为；②线段、之间的数量关系为；【类比探究】（2）如图2，和均为等腰直角三角形，，点B，D，E在同一直线上，连接，试判断的度数以及线段、、之间的数量关系，并说明理由；【问题解决】（3）如图3，，，，，则的值为．【答案】（1）①；②；（2），，见解析；（3）8【分析】（1）根据等边三角形的性质得到，得到，证明，根据全等三角形的性质证明结论；（2）由“”可证，可得，即可求解；（3）如图3，作辅助线构建全等三角形，由“”可证，可得，，可求，根据列方程可得x的值，最后由勾股定理可求解．【详解】解：（1）∵和均为等边三角形，∴，∴，即，在和中，，∴（），∴，∴，故答案为：；（2），理由如下：∵，和均为等腰直角三角形，∴，，，即，在和中，，∴（），∴，∴，∵，∴；（3）如图3，过点C作，交的延长线于F，过点B作于E，∴，∴四边形是矩形，∴，∵，∴，∵，∴，∵，∴（），∴，设，则，，∴∴，∴，，∴，∴在中，．故答案为：．【点睛】本题是三角形的综合题，考查的是等边三角形的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．15．（2022秋·湖北孝感·八年级统考期中）已知：，，．(1)如图1当点在上，______．(2)如图2猜想与的面积有何关系？请说明理由．（温馨提示：两三角形可以看成是等底的）【答案】(1)(2)，理由见解析【分析】（1）由全等可知，所以当点在上时，为等腰三角形，依据已知计算即可．（2）因为两个三角形中有一边相等，只要找到这两个底对应高之间的关系即可．【详解】（1）解：，，又，，，在中，，故答案为：．（2）解：如下图所示：过点作的边上的高，过点作的边上的高，由作图及知：，，，（同角的余角相等），

在与中有：（），，，，，，，故答案为：．【点睛】本题考查了全等三角形性质和判定，关键是使用分析法找到:两个三角形面积相等时，底相等则高相等，从而构造全等证明对应高相等．16．（2022·山西八年级月考）综合与实践特例研究：将矩形和按如图1放置，已知，连接．如图1，当点在上时，线段与之间的数量关系是__；直线与直线之间的位置关系是_；拓广探索：图2是由图1中的矩形绕点顺时针旋转一定角度得到的，请探索线段与之间的数量关系和直线与直线之间的位置关系，并说明理由．【答案】（1）；（2），理由见解析【分析】，延长交于点G先证△FBC≌△EDC（SAS），可知，由∠DCE=90º，可得∠DEC+∠CDE=90º，可推出∠FDG+∠GFD=90º即可，先下结论，，再证明，证法与（1）类似，延长交于点交于点．由四边形为矩形且AD=CD可得，可推出．由知．由可用等量代换得由三角形内角和得即可．【详解】解：，延长交于点G，∵四边形为矩形，且AD=DC，∴BC=CD，=90º，由旋转的FC=EC，∴△FBC≌△EDC（SAS），，∵∠DCE=90º，∴∠DEC+∠CDE=90º，∴∠FDG+∠GFD=90º∠FGD=90º，，理由如下：如答图，延长交于点交于点，，四边形为矩形，，，，，矩形为正方形．，在和中，．．．．【点睛】本题考查旋转中两线段的数量与位置关系问题，关键是把两线段置于两个三角形中利用全等解决问题，会利用旋转找全等条件，会计算角的和差，和证垂直的方法．17．（2022·福建八年级期中）如图甲，在△ABC中，∠ACB为锐角，点D为射线BC上一动点，连接AD，以AD为一边且在AD的右侧作正方形ADEF．解答下列问题(1)如果AB＝AC，∠BAC＝90°，①当点D在线段BC上时（与点B不重合），如图乙，线段CF、BD之间的位置关系为，数量关系为．②当点D在线段BC的延长线上时，如图丙，①中的结论是否仍然成立，为什么？(2)如果AB≠AC，∠BAC≠90°点D在线段BC上运动．试探究：当△ABC满足一个什么条件时，CF⊥BC（点C、F重合除外）？并说明理由．【答案】(1)①垂直，相等；②成立，理由见解析(2)∠ACB＝45°【分析】（1）①证明△DAB≌△FAC，即可得到CF⊥BD，CF＝BD．②当点D在BC的延长线上时①的结论仍成立．由正方形ADEF的性质可推出△DAB≌△FAC，所以CF＝BD，∠ACF＝∠ABD．结合∠BAC＝90°，AB＝AC，得到∠BCF＝∠ACB+∠ACF＝90度．即CF⊥BD．（2）当∠ACB＝45°时，过点A作AG⊥AC交CB或CB的延长线于点G，则∠GAC＝90°，可推出∠ACB＝∠AGC，所以AC＝AG，由（1）①可知CF⊥BD．（1）①CF⊥BD，CF＝BD∵∠FAD＝∠BAC＝90°∴∠BAD＝∠CAF