专题20平行线中的“拐点”模型问题-原卷版+解析

专题20专项突破-平行线中的“拐点”模型问题【思维导图】◎【模型一：猪蹄模型】◎结论1：若AB∥CD，则∠B0C=∠B+∠C【证明】过点O作OE//AB，如图.∵AB∥CD,∴OE∥CD,∴∠B=∠1,∠C=∠2,∴∠1+∠2=∠B+∠C即∠BOC=∠B＋∠C.◎结论2：若∠BOC=∠B+∠C，则AB∥CD.【证明】过点O作OE∥AB，则∠B=∠1,∵∠BOC=∠B+∠C，∠BOC=∠1+∠2，∴∠1+∠2=∠B+∠C∴∠C=∠2∴OE∥DC，又OE∥AB，∴AB∥CD.【例】1．（2023春·七年级课时练习）如图，已知AB∥DE，∠1＝30°，∠2＝35°，则∠BCE的度数为（

）A．70° B．65° C．35° D．50°2．（2023春·全国·七年级专题练习）如图，，点在上，，，则下列结论正确的个数是（

）（1）；（2）；（3）；（4）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【跟踪训练】1．（2020·湖南·中考真题）如图，已知AB∥DE，∠1＝30°，∠2＝35°，则∠BCE的度数为（）A．70° B．65° C．35° D．5°【变式训练】变式1．（2023春·全国·七年级专题练习）阅读下面内容，并解答问题．已知：如图1，，直线分别交，于点，．的平分线与的平分线交于点．(1)求证：；(2)填空，并从下列①、②两题中任选一题说明理由．我选择题．①在图1的基础上，分别作的平分线与的平分线交于点，得到图2，则的度数为．②如图3，，直线分别交，于点，．点在直线，之间，且在直线右侧，的平分线与的平分线交于点，则与满足的数量关系为．变式2．（2023春·七年级课时练习）问题情境：如图①，直线，点E，F分别在直线AB，CD上．(1)猜想：若，，试猜想______°；(2)探究：在图①中探究，，之间的数量关系，并证明你的结论；(3)拓展：将图①变为图②，若，，求的度数．◎【模型二：铅笔头模型】◎结论1：如图所示，AB∥CD，则∠B+∠BOC+∠C=360°【证明】如图，过点O作OE//AB.∵AB∥CD,OE//AB//CD.∴∠B+∠1=180°,∠C+∠2=180°,∴∠B+∠1+∠2+∠C=360°∴∠B＋∠BOC+∠C=360°.◎结论2：如图所示，∠B+∠BOC+∠C=360°，则AB∥CD.【证明】如图，过点O作EF//AB，则∠B＋∠1=180°∵∠B+∠BOC+∠C=360°,∴∠C+∠2=180°∴EF∥CD又∵EF//AB，∴AB//CD.“异形”铅笔头：拐点数n,∠A+...+∠C=180°×（n+1）拐点数：1拐点数：2拐点数：n【例】1．（2023春·七年级课时练习）如图所示，AB∥CD，则∠A+∠E+∠F+∠C等于（

）A．180° B．360° C．540° D．720°2．（2023春·江苏·七年级专题练习）如图，两直线、平行，则（

）．A． B． C． D．【跟踪训练】1．（2023春·七年级课时练习）如图，AB//ED，α＝∠A+∠E，β＝∠B+∠C+∠D，则β与α的数量关系是（

）A．2β＝3α B．β＝2α C．2β＝5α D．β＝3α【变式训练】变式1．（2023春·七年级课时练习）问题情境：如图1，，，，求的度数．思路点拨：小明的思路是：如图2，过P作，通过平行线性质，可分别求出、的度数，从而可求出的度数；小丽的思路是：如图3，连接，通过平行线性质以及三角形内角和的知识可求出的度数；小芳的思路是：如图4，延长交的延长线于E，通过平行线性质以及三角形外角的相关知识可求出的度数．问题解决：请从小明、小丽、小芳的思路中任选一种思路进行推理计算，你求得的的度数为°；问题迁移：（1）如图5，，点P在射线上运动，当点P在A、B两点之间运动时，，．、、之间有何数量关系？请说明理由；（2）在（1）的条件下，如果点P在A、B两点外侧运动时（点P与点A、B、O三点不重合），请你直接写出、、间的数量关系．变式2．（2022春·贵州黔南·七年级统考阶段练习）综合与探究：（1）问题情境：如图1，．求的度数．小明想到一种方法，但是没有解答完：如图2，过P作，∴．∴．∵．∴．…………请你帮助小明完成剩余的解答．（2）问题探究：请你依据小明的思路，解答下面的问题：如图3，，点P在射线上运动，．当点P在A，B两点之间时，之间有何数量关系？请说明理由．◎【模型三：锯齿模型】◎结论如图所示，AB∥EF，则∠B＋∠D=∠C十∠E朝向左边的角的和=朝向右边的角的和【证明】如图，过点C作MN//AB，过点D作PQ//AB.∵AB//EF,∴AB//MN//PQ//EF.∴∠B=∠BCN,∠CDP=∠DCN,∠PDE=∠E,∴∠B＋∠CDP＋∠PDE=∠BCN+∠DCN+∠E，∴B+∠CDE=∠BCD＋∠E，得证.锯齿模型的变换解题思路拆分成猪蹄模型和内错角拆分成2个猪蹄模型【例】1．（2023春·七年级课时练习）已知，点为平面内一点，于．（1）如图1，点在两条平行线外，则与之间的数量关系为______；（2）点在两条平行线之间，过点作于点．①如图2，说明成立的理由；②如图3，平分交于点平分交于点．若，求的度数．【跟踪训练】．1．（2023春·全国·七年级专题练习）（1）如图（1）AB∥CD，猜想∠BPD与∠B、∠D的关系，说出理由．（2）观察图（2），已知AB∥CD，猜想图中的∠BPD与∠B、∠D的关系，并说明理由．（3）观察图（3）和（4），已知AB∥CD，猜想图中的∠BPD与∠B、∠D的关系，不需要说明理由．【变式训练】变式1．（2023春·七年级课时练习）直线，A是上一点，B是上一点，直线和直线，交于点C和D，在直线CD上有一点P．（1）如果P点在C、D之间运动时，问、、有怎样的数量关系？请说明理由．（2）若点P在C、D两点的外侧运动时（P点与点C、D不重合），试探索、、之间的关系又是如何？（请直接写出答案，不需要证明）变式2．（2022·全国·七年级假期作业）已知，，．（1）如图1，求证：；（2）如图2，作的平分线交于点，点为上一点，连接，若的平分线交线段于点，连接，若，过点作交的延长线于点，且，求的度数．变式3．（2023春·江苏·七年级专题练习）（1）已知：如图（a），直线．求证：；（2）如图（b），如果点C在AB与ED之外，其他条件不变，那么会有什么结果？你还能就本题作出什么新的猜想？变式4．（2021春·浙江台州·七年级统考期末）如图，已知于点A，AE∥CD交于点E，且于点F．求证：．证明：∵于点A，于点F，（已知）∴．（垂直的定义）∴AD∥EF，（

）∴__________（

）∵AE∥CD，（已知）∴________．（两直线平行，同位角相等）∵，∴．（等量代换）专题20专项突破-平行线中的“拐点”模型问题【思维导图】◎【模型一：猪蹄模型】◎结论1：若AB∥CD，则∠B0C=∠B+∠C【证明】过点O作OE//AB，如图.∵AB∥CD,∴OE∥CD,∴∠B=∠1,∠C=∠2,∴∠1+∠2=∠B+∠C即∠BOC=∠B＋∠C.◎结论2：若∠BOC=∠B+∠C，则AB∥CD.【证明】过点O作OE∥AB，则∠B=∠1,∵∠BOC=∠B+∠C，∠BOC=∠1+∠2，∴∠1+∠2=∠B+∠C∴∠C=∠2∴OE∥DC，又OE∥AB，∴AB∥CD.【例】1．（2023春·七年级课时练习）如图，已知AB∥DE，∠1＝30°，∠2＝35°，则∠BCE的度数为（

）A．70° B．65° C．35° D．50°【答案】B【分析】根据平行线的性质和∠1=30°，∠2=35°，可以得到∠BCE的度数，本题得以解决．【详解】解：作CF∥AB，∵AB∥DE，∴CF∥DE，∴AB∥DE∥CF，∴∠1=∠BCF，∠FCE=∠2，∵∠1=30°，∠2=35°，∴∠BCF=30°，∠FCE=35°，∴∠BCE=65°，故选：B．【点睛】本题考查平行线的性质，解答本题的关键是明确题意，利用平行线的性质解答．2．（2023春·全国·七年级专题练习）如图，，点在上，，，则下列结论正确的个数是（

）（1）；（2）；（3）；（4）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】B【分析】利用平行线的性质和三角形的性质依次判断即可求解．【详解】解：∵AB∥CD，∴∠A+∠C＝180°，又∵∠A＝110°，∴∠C＝70°，∴∠AED＝∠C+∠D＝85°，故（2）正确，∵∠C+∠D+∠CED＝180°，∴∠D+∠CED＝110°，∴∠A＝∠CED+∠D，故（3）正确，∵点E在AC上的任意一点，∴AE无法判断等于CE，∠BED无法判断等于45°，故（1）、（4）错误，故选：B．【点睛】本题考查了平行线的性质，三角形的外角的性质，掌握平行线的性质是本题的关键．【跟踪训练】1．（2020·湖南·中考真题）如图，已知AB∥DE，∠1＝30°，∠2＝35°，则∠BCE的度数为（）A．70° B．65° C．35° D．5°【答案】B【分析】作CF∥AB，根据平行线的性质可以得到∠1＝∠BCF，∠FCE＝∠2，从而可得∠BCE的度数，本题得以解决．【详解】作CF∥AB，∵AB∥DE，∴CF∥DE，∴AB∥DE∥DE，∴∠1＝∠BCF，∠FCE＝∠2，∵∠1＝30°，∠2＝35°，∴∠BCF＝30°，∠FCE＝35°，∴∠BCE＝65°，故选：B．【点睛】本题考查平行线的性质，解答本题的关键是明确题意，利用平行线的性质解答．【变式训练】变式1．（2023春·全国·七年级专题练习）阅读下面内容，并解答问题．已知：如图1，，直线分别交，于点，．的平分线与的平分线交于点．(1)求证：；(2)填空，并从下列①、②两题中任选一题说明理由．我选择题．①在图1的基础上，分别作的平分线与的平分线交于点，得到图2，则的度数为．②如图3，，直线分别交，于点，．点在直线，之间，且在直线右侧，的平分线与的平分线交于点，则与满足的数量关系为．【答案】(1)见解析(2)①；②【分析】（1）利用平行线的性质解决问题即可；（2）①利用基本结论求解即可；②利用基本结论，，求解即可．【详解】（1）证明：如图，过作，，，，，平分，平分，，，，在中，，，；（2）解：①如图2中，由题意，，平分，平分，，，故答案为：；②结论：．理由：如图3中，由题意，，，平分，平分，，，，故答案为：．【点睛】本题考查平行线的性质和判定，角平分线的性质，垂直的定义，解题的关键是熟练掌握相关的性质．变式2．（2023春·七年级课时练习）问题情境：如图①，直线，点E，F分别在直线AB，CD上．(1)猜想：若，，试猜想______°；(2)探究：在图①中探究，，之间的数量关系，并证明你的结论；(3)拓展：将图①变为图②，若，，求的度数．【答案】(1)(2)；证明见详解(3)【分析】（1）过点作，利用平行的性质就可以求角度，解决此问；（2）利用平行线的性质求位置角的数量关系，就可以解决此问；（3）分别过点、点作、，然后利用平行线的性质求位置角的数量关系即可．【详解】（1）解：如图过点作，∵，∴．∴，．∵，，∴∴．∵，∴∠P=80°．故答案为：；（2）解：，理由如下：如图过点作，∵，∴．∴，．∴∵，．（3）如图分别过点、点作、∵，∴．∴，，．∴∵，，，∴∴故答案为：．【点睛】本题考查了平行线的性质定理，准确的作出辅助线和正确的计算是解决本题的关键．◎【模型二：铅笔头模型】◎结论1：如图所示，AB∥CD，则∠B+∠BOC+∠C=360°【证明】如图，过点O作OE//AB.∵AB∥CD,OE//AB//CD.∴∠B+∠1=180°,∠C+∠2=180°,∴∠B+∠1+∠2+∠C=360°∴∠B＋∠BOC+∠C=360°.◎结论2：如图所示，∠B+∠BOC+∠C=360°，则AB∥CD.【证明】如图，过点O作EF//AB，则∠B＋∠1=180°∵∠B+∠BOC+∠C=360°,∴∠C+∠2=180°∴EF∥CD又∵EF//AB，∴AB//CD.“异形”铅笔头：拐点数n,∠A+...+∠C=180°×（n+1）拐点数：1拐点数：2拐点数：n【例】1．（2023春·七年级课时练习）如图所示，AB∥CD，则∠A+∠E+∠F+∠C等于（

）A．180° B．360° C．540° D．720°【答案】C【详解】解：作EM∥AB，FN∥AB，∵AB∥CD，∴AB∥EM∥FN∥CD．∴∠A+∠AEM=180°，∠MEF+∠EFN=180°，∠NFC+∠C=180°，∴∠A+∠AEF+∠EFC+∠C=540°．故选：C．2．（2023春·江苏·七年级专题练习）如图，两直线、平行，则（

）．A． B． C． D．【答案】D【详解】分别过E点,F点,G点,H点作L1,L2,L3,L4平行于AB观察图形可知，图中有5组同旁内角，则故选D【点睛】本题考查了平行线的性质，添加辅助线是解题的关键【跟踪训练】1．（2023春·七年级课时练习）如图，AB//ED，α＝∠A+∠E，β＝∠B+∠C+∠D，则β与α的数量关系是（

）A．2β＝3α B．β＝2α C．2β＝5α D．β＝3α【答案】B【分析】作CF//ED，利用平行线的性质求得β与α，再判断β与α的数量关系即可．【详解】解：如图，作CF//ED，

∵AB//ED，∴∠A+∠E=180°=α，∵ED//CF，∴∠D+∠DCF=180°，∵AB//ED，ED//CF，∴AB//CF，∴∠B+∠BCF=180°，∴∠D+∠DCF+∠B+∠BCF=180°+180°即∠B+∠C+∠D=360°=β，∴β＝2α．故选B．【点睛】本题考查了平行线的性质，熟悉运用平行线的性质是解题的关键．【变式训练】变式1．（2023春·七年级课时练习）问题情境：如图1，，，，求的度数．思路点拨：小明的思路是：如图2，过P作，通过平行线性质，可分别求出、的度数，从而可求出的度数；小丽的思路是：如图3，连接，通过平行线性质以及三角形内角和的知识可求出的度数；小芳的思路是：如图4，延长交的延长线于E，通过平行线性质以及三角形外角的相关知识可求出的度数．问题解决：请从小明、小丽、小芳的思路中任选一种思路进行推理计算，你求得的的度数为°；问题迁移：（1）如图5，，点P在射线上运动，当点P在A、B两点之间运动时，，．、、之间有何数量关系？请说明理由；（2）在（1）的条件下，如果点P在A、B两点外侧运动时（点P与点A、B、O三点不重合），请你直接写出、、间的数量关系．【答案】110；（1），理由见解析；（2）或，理由见解析【分析】小明的思路是：过P作，构造同旁内角，利用平行线性质，可得．（1）过P作交于E，推出，根据平行线的性质得出，，即可得出答案；（2）画出图形（分两种情况：①点P在的延长线上，②点P在的延长线上），根据平行线的性质得出，，即可得出答案．【详解】解：小明的思路：如图2，过P作，∵，∴，∴，，∴，故答案为：110；（1），理由如下：如图5，过P作交于E，∵，∴，∴，，∴；（2）当P在延长线时，；理由：如图6，过P作交于E，∵，∴，∴，，∴；当P在之间时，．理由：如图7，过P作交于E，∵，∴，∴，，∴．【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，平行线的判定和性质，主要考查学生的推理能力，解决问题的关键是作辅助线构造内错角以及同旁内角．变式2．（2022春·贵州黔南·七年级统考阶段练习）综合与探究：（1）问题情境：如图1，．求的度数．小明想到一种方法，但是没有解答完：如图2，过P作，∴．∴．∵．∴．…………请你帮助小明完成剩余的解答．（2）问题探究：请你依据小明的思路，解答下面的问题：如图3，，点P在射线上运动，．当点P在A，B两点之间时，之间有何数量关系？请说明理由．【答案】（1）110°；（2），理由见解析【分析】（1）过P作PE//AB，构造同旁内角，通过平行线性质，可得∠APC=50°+60°=110°．（2）过P作PE//AD交CD于E，推出AD//PE//BC，根据平行线的性质得出∠α=∠DPE，∠β=∠CPE，即可得出答案．【详解】解：（1）过P作，∴，∴．∵，∴．∴，∴，∴．（2），如图3，过P作PE//AD交CD于E，∵AD//BC，∴AD//PE//BC，∴∠α=∠DPE，∠β=∠CPE，∴∠CPD=∠DPE+∠CPE=∠α+∠β；【点睛】本题考查了平行线的性质和判定的应用，主要考查学生的推理能力，解决问题的关键是作辅助线构造内错角以及同旁内角．◎【模型三：锯齿模型】◎结论如图所示，AB∥EF，则∠B＋∠D=∠C十∠E朝向左边的角的和=朝向右边的角的和【证明】如图，过点C作MN//AB，过点D作PQ//AB.∵AB//EF,∴AB//MN//PQ//EF.∴∠B=∠BCN,∠CDP=∠DCN,∠PDE=∠E,∴∠B＋∠CDP＋∠PDE=∠BCN+∠DCN+∠E，∴B+∠CDE=∠BCD＋∠E，得证.锯齿模型的变换解题思路拆分成猪蹄模型和内错角拆分成2个猪蹄模型【例】1．（2023春·七年级课时练习）已知，点为平面内一点，于．（1）如图1，点在两条平行线外，则与之间的数量关系为______；（2）点在两条平行线之间，过点作于点．①如图2，说明成立的理由；②如图3，平分交于点平分交于点．若，求的度数．【答案】（1）∠A+∠C=90°；（2）①见解析；②105°【分析】（1）根据平行线的性质以及直角三角形的性质进行证明即可；（2）①过点B作BG∥DM，根据平行线找角的联系即可求解；②先过点B作BG∥DM，根据角平分线的定义，得出∠ABF=∠GBF，再设∠DBE=α，∠ABF=β，根据∠CBF+∠BFC+∠BCF=180°，可得2α+β+3α+3α+β=180°，根据AB⊥BC，可得β+β+2α=90°，最后解方程组即可得到∠ABE=15°，进而得出∠EBC=∠ABE+∠ABC=15°+90°=105°．【详解】解：（1）如图1，AM与BC的交点记作点O，∵AM∥CN，∴∠C=∠AOB，∵AB⊥BC，∴∠A+∠AOB=90°，∴∠A+∠C=90°；（2）①如图2，过点B作BG∥DM，∵BD⊥AM，∴DB⊥BG，∴∠DBG=90°，∴∠ABD+∠ABG=90°，∵AB⊥BC，∴∠CBG+∠ABG=90°，∴∠ABD=∠CBG，∵AM∥CN，BG∥DM，∴∠C=∠CBG，∠ABD=∠C；②如图3，过点B作BG∥DM，∵BF平分∠DBC，BE平分∠ABD，∴∠DBF=∠CBF，∠DBE=∠ABE，由（2）知∠ABD=∠CBG，∴∠ABF=∠GBF，设∠DBE=α，∠ABF=β，则∠ABE=α，∠ABD=2α=∠CBG，∠GBF=∠AFB=β，∠BFC=3∠DBE=3α，∴∠AFC=3α+β，∵∠AFC+∠NCF=180°，∠FCB+∠NCF=180°，∴∠FCB=∠AFC=3α+β，△BCF中，由∠CBF+∠BFC+∠BCF=180°得：2α+β+3α+3α+β=180°，∵AB⊥BC，∴β+β+2α=90°，∴α=15°，∴∠ABE=15°，∴∠EBC=∠ABE+∠ABC=15°+90°=105°．【点睛】本题主要考查了平行线的性质的运用，解决问题的关键是作平行线构造内错角，运用等角的余角（补角）相等进行推导．余角和补角计算的应用，常常与等式的性质、等量代换相关联．解题时注意方程思想的运用．【跟踪训练】．1．（2023春·全国·七年级专题练习）（1）如图（1）AB∥CD，猜想∠BPD与∠B、∠D的关系，说出理由．（2）观察图（2），已知AB∥CD，猜想图中的∠BPD与∠B、∠D的关系，并说明理由．（3）观察图（3）和（4），已知AB∥CD，猜想图中的∠BPD与∠B、∠D的关系，不需要说明理由．【答案】（1）∠B+∠BPD+∠D=360°，理由见解析；（2）∠BPD=∠B+∠D，理由见解析；（3）∠BPD=∠D-∠B或∠BPD=∠B-∠D，理由见解析【分析】（1）过点P作EF∥AB，根据两直线平行，同旁内角互补即可求解；（2）首先过点P作PE∥AB，由AB∥CD，可得PE∥AB∥CD，根据两直线平行，内错角相等，即可得∠1=∠B，∠2=∠D，则可求得∠BPD=∠B+∠D．（3）由AB∥CD，根据两直线平行，内错角相等与三角形外角的性质，即可求得∠BPD与∠B、∠D的关系．【详解】解：（1）如图（1）过点P作EF∥AB，∴∠B+∠BPE=180°，∵AB∥CD，EF∥AB，∴EF∥CD，∴∠EPD+∠D=180°，∴∠B+∠BPE+∠EPD+∠D=360°，∴∠B+∠BPD+∠D=360°．（2）∠BPD=∠B+∠D．理由：如图2，过点P作PE∥AB，∵AB∥CD，∴PE∥AB∥CD，∴∠1=∠B，∠2=∠D，∴∠BPD=∠1+∠2=∠B+∠D．（3）如图（3），∠BPD=∠D-∠B．理由：∵AB∥CD，∴∠1=∠D，∵∠1=∠B+∠BPD，∴∠D=∠B+∠BPD，即∠BPD=∠D-∠B；如图（4），∠BPD=∠B-∠D．理由：∵AB∥CD，∴∠1=∠B，∵∠1=∠D+∠BPD，∴∠B=∠D+∠BPD，即∠BPD=∠B-∠D．【点睛】此题考查了平行线的性质与三角形外角的性质．此题难度不大，解题的关键是注意掌握平行线的性质，注意辅助线的作法．【变式训练】变式1．（2023春·七年级课时练习）直线，A是上一点，B是上一点，直线和直线，交于点C和D，在直线CD上有一点P．（1）如果P点在C、D之间运动时，问、、有怎样的数量关系？请说明理由．（2）若点P在C、D两点的外侧运动时（P点与点C、D不重合），试探索、、之间的关系又是如何？（请直接写出答案，不需要证明）【答案】（1）．理由见解析；（2）或．【分析】（1）过点P作，即可得到，然后根据平行线的性质进行求解即可；（2）分当P在AC的上方时和当P在BD的下方时，两种情况，利用平行线的性质求解即可.【详解】（1）．过点P作，如图1所示．因为，，所以，所以，，因为，所以（2）如图当P在AC的上方时，过点P作，如图2所示．因为，，所以，所以，，因为，所以；如图当P在BD的下方时，过点P作，如图2所示．因为，，所以，所以，，因为，所以；∴综上所述：或．【点睛】本题主要考查了平行线的性质以及角的计算，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.变式2．（2022·全国·七年级假期作业）已知，，．（1）如图1，求证：；（2）如图2，作的平分线交于点，点为上一点，连接，若的平分线交线段于点，连接，若，过点作交的延长线于点，且，求的度数．【答案】（1）见解析；（2）【分析】（1）根据平行线的性质得出，再根据等量代换可得，最后根据平行线的判定即可得证；（2）过点E作，延长DC