专题14分式的运算-原卷版+解析

专题14分式的运算【思维导图】◎考点题型1分式的乘法分式的乘法法则:分式乘分式,用分子的积作积的分子,分母的积作积的分母.用式子表示为：.例．（2023·全国·九年级专题练习）计算：(1)；(2)；变式1．（2022秋·天津滨海新·八年级校考期末）（1）（2）变式2．（2022秋·北京东城·八年级东直门中学校考期中）计算：变式3．（2022秋·上海·七年级校考期中）计算，◎考点题型2分式的除法分式的除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘.用式子表示为：.例．（2023秋·广东肇庆·八年级统考期末）先化简，再求值：，其中．变式1．（2023春·江苏·八年级专题练习）计算：．变式2．（2022秋·全国·八年级专题练习）化简：．变式3．（2022秋·福建厦门·八年级校考阶段练习）计算：(1)(2)◎考点题型3分式的乘方分式的乘方法则：分式乘方是把分子、分母各自乘方.用式子表示为：例．（2023·全国·九年级专题练习）计算：(1)；(2)；(3)．变式1．（2022秋·北京通州·八年级统考期中）计算：．变式2．（2019秋·上海·七年级上海市延安初级中学校考期末）变式3．（2019秋·天津和平·八年级统考期末）计算（1）；（2）◎考点题型4分式的乘除乘方混合运算例．（2022秋·湖南岳阳·八年级校考期中）计算下列各式：(1)；(2)变式1．（2023秋·天津·八年级统考期末）计算(1)；(2)先化简，再求值：，其中．变式2．（2022秋·天津和平·八年级天津一中校考期末）计算：(1)(2)变式3．（2023·全国·九年级专题练习）计算：．◎考点题型5分式的同分母相加减分式加减法的法则是：同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减.用式子表示是：.例．（2023春·江苏·八年级专题练习）化简：．变式1．（2023·全国·九年级专题练习）计算：．变式2．（2022秋·江西上饶·八年级统考期末）计算：变式3．（2022秋·河北保定·八年级统考期末）计算：(1)(2)◎考点题型6分式的异分母相加减异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减.用式子表示是：.例．（2022秋·河北承德·八年级统考期末）已知：，计算下列各式（结果用含x，y的代数式表示）(1)(2)变式1．（2023·陕西渭南·统考一模）化简：．变式2．（2022秋·全国·八年级专题练习）化简：(1)(2)（）变式3．（2022秋·山东淄博·八年级周村二中校考阶段练习）计算(1)；(2)．◎考点题型7整式与分式相加减例．（2021春·江苏扬州·八年级统考期中）计算（1）

（2）变式1．（2021·陕西·九年级专题练习）计算变式2．（2021秋·河南三门峡·八年级统考期末）计算：（1）（用公式计算）（2）变式3．（2019·重庆九龙坡·校联考模拟预测）（1）

（2）◎考点题型8分式的加减混合运算例．（2023春·江苏·八年级专题练习）计算(1)；(2)；(3)．变式1．（2022秋·八年级课时练习）已知，为实数，且，，，试确定、的大小关系．变式2．（2020秋·全国·七年级专题练习）先化简，再求值：，将代入求值．变式3．（2022春·河南新乡·八年级校考期中）计算或化简（1）

（2）◎考点题型9分式加减的实际应用例．（2022秋·天津和平·八年级天津市第二南开中学校考期末）如图，大正方形的边长均为，图（1）中白色小正方形的边长为，图（2）中白色长方形的宽为，设，则m的取值范围为（

）A． B． C． D．变式1．（2021春·八年级课时练习）一项工程，甲单独做完成，乙单独做完成，甲､乙两人一起完成这项工程需要多长时间？变式2．（2021春·八年级课时练习）临近春节，甲厂决定包租一辆车送员工返乡过年，租金为3000元．出发时，乙厂有3名同乡员工也随车返乡（车费自付），总人数达到x名．如果包车租金不变，那么甲厂为每位员工平均每人支付车费可比原来少多少元？变式3．（2021春·八年级课时练习）某蓄水池装有A，B两个进水管，每小时可分别进水，．若单独开放A进水管，可将该水池注满．如果A，B两根水管同时开放，那么能提前多长时间将该蓄水池注满？◎考点题型10分式的加减乘除混合运算例．（2023春·重庆九龙坡·八年级重庆实验外国语学校校考开学考试）计算：(1)(2)变式1．（2022春·福建龙岩·九年级校考阶段练习）先化简后再求值：，其中变式2．（2023·全国·九年级专题练习）计算：(1)；(2)．变式3．（2023秋·山西大同·八年级大同市第二中学校校考期末）（1）计算：；（2）化简：．◎考点题型11分式的化简求值例．（2023·江苏盐城·校考一模）先化简，再求值：．其中．变式1．（2023·湖南娄底·校考一模）先化简，然后从，，，中选一个合适的数代入求值．变式2．（2023春·江苏·八年级专题练习）先化简，再求值：，其中，取一个合适的整数代入求值．变式3．（2023春·江苏·八年级专题练习）先化简，再求值：，请选择一个你喜欢的数值代入求值．专题14分式的运算【思维导图】◎考点题型1分式的乘法分式的乘法法则:分式乘分式,用分子的积作积的分子,分母的积作积的分母.用式子表示为：.例．（2023·全国·九年级专题练习）计算：(1)；(2)；【答案】(1)(2)【分析】（1）首先把分子分母分解因式，然后再约分后相乘即可；（2）第一个分式的分母,然后再约分即可；【详解】（1）原式；（2）原式；【点睛】本题考查了分式的乘法，熟练掌握因式分解方法是解题的关键．变式1．（2022秋·天津滨海新·八年级校考期末）（1）（2）【答案】(1)；(2)【分析】(1)首先分解各因式，再进行分式的约分运算，即可求得结果；(2)首先进行通分运算，再进行约分运算，即可求得结果．【详解】解：(1)(2)【点睛】本题考查了分式的化简及加法运算，熟练掌握和运用分式化简及加法运算的方法是解决本题的关键．变式2．（2022秋·北京东城·八年级东直门中学校考期中）计算：【答案】【分析】根据分式的乘法法则计算即可．【详解】【点睛】本题考查了分式的乘法，熟练掌握分式乘法的法则是解题关键．变式3．（2022秋·上海·七年级校考期中）计算，【答案】【分析】根式分式的乘法运算法则，将分子分母的式子进行因式分解，然后约分即可．【详解】解：．【点睛】题目主要考查分式的乘法运算，熟练掌握运算法则是解题关键．◎考点题型2分式的除法分式的除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘.用式子表示为：.例．（2023秋·广东肇庆·八年级统考期末）先化简，再求值：，其中．【答案】，【分析】将除法变成乘法，再算乘法，最后代入求出即可．【详解】解：当时，原式．【点睛】本题考查了分式的除法运算，能正确根据分式的运算法则进行化简是解此题的关键．变式1．（2023春·江苏·八年级专题练习）计算：．【答案】【分析】先算乘方，然后再进行分式的除法运算即可．【详解】解：原式．【点睛】本题主要考查分式的除法，熟练掌握分式的除法运算是解题的关键．变式2．（2022秋·全国·八年级专题练习）化简：．【答案】【分析】根据除以一个数等于乘以这个数的倒数，把分子分母因式分解后进行约分计算即可；【详解】解：原式＝【点睛】本题考查了分式的除法运算，掌握分式的运算法则是解题的关键．变式3．（2022秋·福建厦门·八年级校考阶段练习）计算：(1)(2)【答案】(1)(2)【分析】（1）根据分式的乘法进行计算即可求解．（2）根据分式的除法进行计算即可求解．【详解】（1）解：（2）解：【点睛】本题考查了分式的乘法，掌握分式的性质是解题的关键．◎考点题型3分式的乘方分式的乘方法则：分式乘方是把分子、分母各自乘方.用式子表示为：例．（2023·全国·九年级专题练习）计算：(1)；(2)；(3)．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）根据分式的乘法进行计算即可求解；（2）先将除法转化为乘法，根据分式的乘法运算进行计算即可求解；（3）根据分式的乘方运算进行计算即可求解．【详解】（1）；（2）；（3）【点睛】本题考查了分式的乘除法以及分式的乘方运算，掌握其运算法则是解题的关键．变式1．（2022秋·北京通州·八年级统考期中）计算：．【答案】【分析】先算乘方，再把除法转为乘法，最后约分即可．【详解】解：．【点睛】本题主要考查分式的乘方、除法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．变式2．（2019秋·上海·七年级上海市延安初级中学校考期末）【答案】【分析】根据分式的乘除混合运算法则、负整数指数幂的意义、分式的乘方法则计算即可．【详解】原式===．【点睛】本题考查了负整数指数幂、分式的乘除法混合运算、分式的乘方．掌握运算法则是解答本题的关键．变式3．（2019秋·天津和平·八年级统考期末）计算（1）；（2）【答案】（1）；（2）【分析】（1）根据对式子进行计算即可；（2）先将分母因式分解找出公分母，然后通分计算即可.【详解】（1）==；（2）===.【点睛】本题主要考查了分式之间的化简运算，熟练掌握相关概念是解题关键.◎考点题型4分式的乘除乘方混合运算例．（2022秋·湖南岳阳·八年级校考期中）计算下列各式：(1)；(2)【答案】(1)(2)【分析】（1）分子因式分解，除法运算转化为乘法运算，约分化简即可求解；（2）先乘方，再约分化简即可求解．【详解】（1）解：；（2）解：．【点睛】本题主要考查分式的乘除法，掌握分式乘除法的运算法则是解题的关键．变式1．（2023秋·天津·八年级统考期末）计算(1)；(2)先化简，再求值：，其中．【答案】(1)(2)；【分析】（1）先算乘方，再根据分式乘除混合运算法则进行计算即可；（2）先根据分式混合运算法则进行化简，然后再代入数据求值即可．【详解】（1）解：；（2）解：，把代入得：原式．【点睛】本题主要考查了分式化简求值，解题的关键是熟练掌握分式混合运算法则，准确计算．变式2．（2022秋·天津和平·八年级天津一中校考期末）计算：(1)(2)【答案】(1)(2)【分析】（1）先计算乘方，再计算除法即可；（2）先按分式除法法则计算，再按分式减法法则计算即可．【详解】（1）解：原式；（2）解：原式．【点睛】本题考查分式混合运算，熟练掌握分式运算法则是解题的关键．变式3．（2023·全国·九年级专题练习）计算：．【答案】【分析】原式先算乘方，再算乘除即可求出值．【详解】解：原式．【点睛】本题考查了含乘方的分式乘除混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．◎考点题型5分式的同分母相加减分式加减法的法则是：同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减.用式子表示是：.例．（2023春·江苏·八年级专题练习）化简：．【答案】1【分析】利用分式的加减法的法则进行运算即可．【详解】解：．【点睛】本题主要考查分式的加减法，解答的关键是对运算法则的掌握．变式1．（2023·全国·九年级专题练习）计算：．【答案】【分析】根据同分母分式的减法运算进行计算即可求解．【详解】解：【点睛】本题考查了同分母分式的减法运算，掌握分式的运算法则是解题的关键．变式2．（2022秋·江西上饶·八年级统考期末）计算：【答案】【分析】根据同分母分式的加减法计算即可．【详解】解：原式==

=【点睛】本题考查同分母分式的加减，解题关键是掌握分式加减法法则．变式3．（2022秋·河北保定·八年级统考期末）计算：(1)(2)【答案】(1)(2)【分析】（1）利用完全平方公式以及单项式乘多项式的法则计算，然后合并同类项即可；（2）利用同分母的分式加减法法则进行计算即可．(1)解：（x-2y）2+2x（x+y）=x2-4xy+4y2+2x2+2xy=3x2-2xy+4y2；(2)解：=．【点睛】本题考查了分式的加减法，单项式乘多项式，完全平方公式，一定要注意分式运算的结果，必须化成最简分式或整式．◎考点题型6分式的异分母相加减异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减.用式子表示是：.例．（2022秋·河北承德·八年级统考期末）已知：，计算下列各式（结果用含x，y的代数式表示）(1)(2)【答案】(1)(2)【分析】（1）根据多项式乘以多项式的法则进行运算；（2）根据分式的减法法则进行运算即可得出结果．【详解】（1）解：∵∴；（2）解：∵∴．【点睛】本题考查了多项式乘以多项式，分式的减法运算，熟记多项式乘以多项式的法则是解题的关键．变式1．（2023·陕西渭南·统考一模）化简：．【答案】【分析】根据完全平方公式等将分式进行化简即可．【详解】解：【点睛】本题考查了分式化简和完全平方公式，正确的计算是解决本题的关键．变式2．（2022秋·全国·八年级专题练习）化简：(1)(2)（）【答案】(1)；(2)【分析】（1）先通分化为同分母分式加减法，进而即可求解；（2）先算括号里分式的减法，再把除法化为乘法，进而即可求解．【详解】（1）解：=====；（2）解：===.【点睛】本题主要考查分式的混合运算，熟练掌握通分和约分以及分式的混合运算法则是关键．变式3．（2022秋·山东淄博·八年级周村二中校考阶段练习）计算(1)；(2)．【答案】(1)；(2)．【分析】（1）根据分式的加减运算法则即可求出答案．（2）根据分式的乘除运算法则以及加减运算法则即可求出答案．【详解】（1）原式＝＝＝．（2）原式＝＝＝．【点睛】本题考查分式的运算，解题的关键是运用分式的加减运算法则以及乘除运算法则，本题属于基础题型．◎考点题型7整式与分式相加减例．（2021春·江苏扬州·八年级统考期中）计算（1）

（2）【答案】（1）；（2）【分析】（1）运用同分母分式加法法则进行计算即可；（2）运用异分母分式加法法则进行计算即可．【详解】解：（1）=（2）．【点睛】本题考查了分式的加减运算，熟练掌握运算法则是解答此题的关键．变式1．（2021·陕西·九年级专题练习）计算【答案】a【分析】根据分式的减法和乘法可以解答本题.【详解】原式===a【点睛】本题考查分式的混合运算，解答本题的关键是明确分式混合运算的计算方法.变式2．（2021秋·河南三门峡·八年级统考期末）计算：（1）（用公式计算）（2）【答案】（1）；（2）【分析】（1）把看作一个整体，把式子变形为，再利用平方差公式计算即可，最后利用完全平方公式展开即可．（2）把看成分母是1的分式进行通分，然后计算同分母的分式即可．【详解】解：（1）=．（2）．【点睛】本题考查了平方差公式和完全平方公式以及分式的加减运算．对于括号里含有3项的式子，可把两个括号中完全相同的项看成一个整体，当作一项去使用．分式的加减应该先通分，化为同分母的分式再加减．变式3．（2019·重庆九龙坡·校联考模拟预测）（1）

（2）【答案】（1）；（2）【分析】（1）先去括号然后再合并同类项即可；（2）先将括号里面的分式进行通分，然后进行分式加减即可.【详解】（1）（2）【点睛】此题主要考查整式以及分式的混合运算，熟练掌握，即可解题.◎考点题型8分式的加减混合运算例．（2023春·江苏·八年级专题练习）计算(1)；(2)；(3)．【答案】(1)；(2)；(3)．【分析】（1）分式的分母相同，直接相减进行计算；（2）分式的公分母为，先通分，在进行计算；（3）直接进行通分，在进行计算．【详解】（1）解：；（2）解：；（3）解：．【点睛】本题主要考查了分式的加减，找公分母，通分是解题的关键．变式1．（2022秋·八年级课时练习）已知，为实数，且，，，试确定、的大小关系．【答案】【分析】求出M-N的值，并把ab=1代入即可．【详解】解：，所以．【点睛】本题考查了分式的加减混合运算，在解题时要注意先对分式进行化简，再代入求值即可．变式2．（2020秋·全国·七年级专题练习）先化简，再求值：，将代入求值．【答案】，【分析】先根据分式的加减法法则化简，然后设a=3k，b=2k，代入化简结果计算即可．【详解】解：原式＝=＝，∵，∴设a=3k，b=2k，∴原式==．【点睛】本题考查了分式的加减运算，同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减；异分母的分式相加减，先把它们通分，变为同分母分式，再加减．分式运算的结果要化为最简分式或者整式．变式3．（2022春·河南新乡·八年级校考期中）计算或化简（1）

（2）【答案】（1）；（2）-【分析】（1）先算分式的加法，再进行约分，即可求解；（2）先把除法化为乘法，再进行约分，即可求解．【详解】（1）原式===；

（2）原式==．【点睛】本题主要考查分式的加减法和乘除法，掌握分式的加减乘除运算法则以及分式的约分，是解题的关键．◎考点题型9分式加减的实际应用例．（2022秋·天津和平·八年级天津市第二南开中学校考期末）如图，大正方形的边长均为，图（1）中白色小正方形的边长为，图（2）中白色长方形的宽为，设，则m的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据正方形和长方形的面积分别求得阴影部分的面积，代入，根据分式的性质化简，进而即可求解．【详解】解：图（1）的阴影部分的面积为：，图（2）的阴影部分的面积为：，，，，故选：B．【点睛】本题考查了分式的应用，分别求得阴影部分面积，掌握分式的中是解题的关键．变式1．（2021春·八年级课时练习）一项工程，甲单独做完成，乙单独做完成，甲､乙两人一起完成这项工程需要多长时间？【答案】【分析】先表示出甲乙的工作效率，然后用单位1除以他们的工作效率之得到他们一起完成这项工程需要的时间．【详解】解：根据题意得甲的工作效率为，乙的工作效率为，所以甲、乙两人一起完成这项工程所需时间为．【点睛】本题考查了列代数式（分式）：把问题中与数量有关的词语，用含有数字、字母和运算符号的式子表示出来，就是列代数式．变式2．（2021春·八年级课时练习）临近春节，甲厂决定包租一辆车送员工返乡过年，租金为3000元．出发时，乙厂有3名同乡员工也随车返乡（车费自付），总人数达到x名．如果包车租金不变，那么甲厂为每位员工平均每人支付车费可比原来少多少元？【答案】元．【分析】甲厂员工原来支付元，乙厂有3名同乡员工也随车返乡后甲厂员工支付元，根据题意做减法即可．【详解】解：由题意可得：甲厂员工原来支付元，乙厂有3名同乡员工也随车返乡后甲厂员工支付元，甲厂为员工支付的人均车费可比原来少元．【点睛】此题主要考查了列代数式，正确表示出平均每人分担的车费数是解题关键．变式3．（2021春·八年级课时练习）某蓄水池装有A，B两个进水管，每小时可分别进水，．若单独开放A进水管，可将该水池注满．如果A，B两根水管同时开放，那么能提前多长时间将该蓄水池注满？【答案】【分析】根据工作总量工作时间工作效率，可求蓄水池的容积，根据工作时间工作总量工作效率，可求、两个水管同时开放，将该蓄水池注满需要的时间，再用单独开放进水管需要的时间减去该时间即可求解．【详解】解：蓄水池的容积为，、两个水管同时开放，将该蓄水池注满需要的时间为，提前的时间为．故能提前长时间将该蓄水池注满．【点睛】考查了列代数式（分式），解题的关键是熟练掌握工作时间、工作总量和工作效率之间的关系．◎考点题型10分式的加减乘除混合运算例．（2023春·重庆九龙坡·八年级重庆实验外国语学校校考开学考试）计算：(1)(2)【答案】(1)(2)【分析】（1）先根据整式的乘法运算去括号，然后计算加减法即可；（2）将分式中的分子分母因式分解，然后计算即可．【详解】（1）解：（2）解：．【点睛】本题主要考查整式的乘法及加减运算，分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题关键．变式1．（2022春·福建龙岩·九年级校考阶段练习）先化简后再求值：，其中【答案】，【分析】先算出括号里面的式子，再根据分式的除法法则算出最简分式，最后将的值代入最简分式计算即可．【详解】解：将代入中可得原式【点睛】本题考查了分式的混合运算，对分式的分母分子因式分解是解题的关键．变式2．（2023·全国·九年级专题练习）计算：(1)；(2)．【答案