第07讲二次函数y=ax2(a≠0)与y=ax2+c(a≠0)的图象与性质(原卷版+解析)

第07讲二次函数y=ax2(a≠0)与y=ax2+c(a≠0)的图象与性质【知识梳理】一、二次函数的概念

1.二次函数的概念一般地，形如y=ax2+bx+c（a≠0，a,b,c为常数）的函数是二次函数.若b=0，则y=ax2+c；若c=0，则y=ax2+bx；若b=c=0，则y=ax2.以上三种形式都是二次函数的特殊形式，而y=ax2+bx+c（a≠0）是二次函数的一般式.二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：

①（a≠0）；②（a≠0）；③（a≠0）；④（a≠0），其中；⑤（a≠0）.要点诠释：如果y=ax2+bx+c(a,b,c是常数，a≠0)，那么y叫做x的二次函数．这里，当a=0时就不是二次函数了，但b、c可分别为零，也可以同时都为零．a的绝对值越大，抛物线的开口越小.2.二次函数解析式的表示方法1.一般式：（，，为常数，）；2.顶点式：（，，为常数，）；3.两根式：（，，是抛物线与轴两交点的横坐标）（或称交点式）.要点诠释：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与轴有交点，即时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.二、二次函数y=ax2（a≠0）的图象及性质1.二次函数y=ax2(a≠0)的图象用描点法画出二次函数y=ax2（a≠0）的图象，如图，它是一条关于y轴对称的曲线，这样的曲线叫做抛物线.因为抛物线y=x2关于y轴对称，所以y轴是这条抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是抛物线的顶点，从图上看，抛物线y=x2的顶点是图象的最低点。因为抛物线y=x2有最低点，所以函数y=x2有最小值，它的最小值就是最低点的纵坐标.2.二次函数y=ax2(a≠0)的图象的画法用描点法画二次函数y=ax2（a≠0）的图象时，应在顶点的左、右两侧对称地选取自变量x的值，然后计算出对应的y值，这样的对应值选取越密集，描出的图象越准确.要点诠释：二次函数y=ax2(a≠0)的图象．用描点法画二次函数y=ax2(a≠0)的图象，该图象是轴对称图形，对称轴是y轴．y=ax2(a≠0)是最简单的二次函数，把y=ax2(a≠0)的图象左右、上下平行移动可以得到y=ax2+bx+c(a≠0)的图象．画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与轴的交点，与轴的交点.3.二次函数y=ax2(a≠0)的图象的性质二次函数y=ax2（a≠0）的图象的性质，见下表：函数图象开口方向顶点坐标对称轴函数变化最大（小）值y=ax2a>0向上（0，0）y轴x>0时，y随x增大而增大；x<0时，y随x增大而减小.当x=0时，y最小=0y=ax2a<0向下（0，0）y轴x>0时，y随x增大而减小；x<0时，y随x增大而增大.当x=0时，y最大=0要点诠释：

顶点决定抛物线的位置.几个不同的二次函数，如果二次项系数相同，那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同.│a│相同，抛物线的开口大小、形状相同.│a│越大，开口越小，图象两边越靠近y轴，│a│越小，开口越大，图象两边越靠近x轴.三、二次函数y=ax2+c(a≠0)的图象及性质1.二次函数y=ax2+c(a≠0)的图象（1）（2）2.二次函数y=ax2+c(a≠0)的图象的性质关于二次函数的性质，主要从抛物线的开口方向、顶点、对称轴、函数值的增减性以及函数的最大值或最小值等方面来研究．下面结合图象，将其性质列表归纳如下：函数图象开口方向向上向下顶点坐标(0，c)(0，c)对称轴y轴y轴函数变化当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小.当时，y随x的增大而减小；当时，y随x的增大而增大.最大（小）值当时，当时，3.二次函数与之间的关系；（上加下减）.的图象向上（c＞0）【或向下（c＜0）】平移│c│个单位得到的图象.要点诠释：抛物线的对称轴是y轴，顶点坐标是(0，c)，与抛物线的形状相同．函数的图象是由函数的图象向上（或向下）平移个单位得到的，顶点坐标为(0，c)．抛物线y＝ax2(a≠0)的对称轴、最值与顶点密不可分，其对称轴即为过顶点且与x轴垂直的一条直线，其顶点横坐标x＝0，抛物线平移不改变抛物线的形状，即a的值不变，只是位置发生变化而已．【考点剖析】题型一、二次函数的概念例1．下列函数中，属于二次函数的是（）A．y=2x+1 B．y=（x﹣1）2﹣x2 C．y=2x2﹣7 D．【变式1】如果函数是二次函数，求m的值．【变式2】(1)当m＝________时，函数是二次函数?(2)当m＝________时，函数是一次函数?题型二、二次函数y=ax2（a≠0）的图象及性质例2．函数y＝x2的图象对称轴左侧上有两点A(a，15)，B(b，)，则a-b_______0(填“＞”、“＜”或“＝”号)．【变式1】二次函数与的形状相同，开口大小一样，开口方向相反，则．【变式2】抛物线y=﹣x2不具有的性质是（）．A.开口向上B.对称轴是y轴C.在对称轴的左侧，y随x的增大而增大D.最高点是原点【变式3】二次函数的图象如图所示，点A0位于坐标原点，点A1，A2，A3，…，A2013在y轴的正半轴上，点B1，B2，B3，…，B2013在二次函数位于第一象限的图象上，若△A0B1A1，△A1B2A2，△A2B3A3，…，△A2012B2013A2013都为等边三角形，求△A2012B2013A2013的边长．题型三、二次函数y=ax2+c(a≠0)的图象及性质例3．求下列抛物线的解析式：（1）与抛物线形状相同，开口方向相反，顶点坐标是（0，-5）的抛物线；（2）顶点为（0，1），经过点（3，-2）并且关于y轴对称的抛物线．【变式1】有一个抛物线形的拱形隧道，隧道的最大高度为6m，跨度为8m，把它放在如图所示的平面直角坐标系中．

（1）求这条抛物线所对应的函数关系式；

（2）若要在隧道壁上点P（如图）安装一盏照明灯，灯离地面高4.5m．求灯与点B的距离．【变式2】(1)抛物线的开口方向，对称轴是，顶点坐标是．(2)抛物线与的形状相同，其顶点坐标为（0，1），则其解析式为．(3)抛物线向平移个单位后，得到抛物线.例4．在同一直角坐标系中，画出和的图象，并根据图象(如图所示)回答下列问题．(1)抛物线向________平移________个单位得到抛物线；(2)抛物线，开口方向是________，对称轴为________，顶点坐标为________；(3)抛物线，当x________时，随x的增大而减小；当x________时，函数y有最________值，其最________值是________．【变式1】根据下列条件求a的取值范围：(1)函数y＝(a-2)x2，当x＞0时，y随x的增大而减小，当x＜0时，y随x的增大而增大；(2)函数y＝(3a-2)x2有最大值；(3)抛物线y＝(a+2)x2与抛物线的形状相同；(4)函数的图象是开口向上的抛物线．例5.在同一平面直角坐标系中，一次函数与二次函数的图象大致为（）．【变式】在同一坐标系中，一次函数y=ax+b与二次函数y=ax2﹣b的图象可能是（）A． B． C． D．【过关检测】一、单选题1．（2023·浙江·九年级假期作业）二次函数的二次项系数与一次项系数的和为（

）A． B． C． D．2．（2023·浙江·九年级假期作业）函数，，中，图象开口大小的顺序是（）A． B． C． D．3．（2022秋·甘肃平凉·九年级校考阶段练习）下列函数中是二次函数的是(

)A． B． C． D．4．（2023·上海·九年级假期作业）已知，点都在函数的图象上，则(

)A． B． C． D．5．（2023·浙江·九年级假期作业）已知点为二次函数图象上的两点（不为顶点），则以下判断正确的是（

）A．若，则 B．若，则C．若：，则 D．若，则6．（2023·浙江·九年级假期作业）如果二次函数的值恒大于，那么必有（）A．，取任意实数 B．，C．， D．，均可取任意实数7．（2023·浙江·九年级假期作业）关于二次函数的图像，下列说法错误的是（

）A．抛物线开口向下B．对称轴为直线C．顶点坐标为D．当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大8．（2023·安徽·统考中考真题）下列函数中，的值随值的增大而减小的是（

）A． B． C． D．9．（2023·上海·九年级假期作业）抛物线，，共有的性质是（

）A．开口向上 B．对称轴都是y轴 C．都有最高点 D．顶点相同10．（2023·广东·统考中考真题）如图，抛物线经过正方形的三个顶点A，B，C，点B在轴上，则的值为（

）

A． B． C． D．二、填空题11．（2023·浙江·九年级假期作业）抛物线，，的共同性质是__________（写出一条即可）12．（2021秋·广东江门·九年级台山市新宁中学校考期中）抛物线的顶点坐标是________．13．（2023·上海·九年级假期作业）若函数是关于的二次函数，则____．14．（2022秋·甘肃平凉·九年级校考阶段练习）如图，①，②，③，④，比较a．b．c．d的大小，用“”连接．__________

15．（2023·浙江·九年级假期作业）抛物线的对称轴是_____．16．（2023·浙江·九年级假期作业）已知点，是抛物线上的两点，若，则_____（填“”“”或“”）．三、解答题17．（2023·浙江·九年级假期作业）如图，直线与y轴交于点A，与抛物线y＝ax2交于B，C两点，且点B坐标为（2，2）．(1)求a，b的值；(2)连接OC、OB，求△BOC的面积．18．（2023·浙江·九年级假期作业）根据下列条件分别求a的取值范围．(1)函数，当时，y随x的增大而减小，当时，y随x的增大而增大；(2)函数y＝有最大值；(3)抛物线与的形状相同；(4)函数的图象是开口向上的抛物线．19．（2023·浙江·九年级假期作业）已知二次函数．

求函数图象的对称轴和顶点坐标；求这个函数图象与轴的交点坐标．20．（2023·上海·九年级假期作业）已知函数是关于x的二次函数．(1)求m的值；(2)函数图象的两点，，若满足，则此时m的值是多少？21．（2023·浙江·九年级假期作业）已知二次函数的图象经过点．求：(1)该函数解析式及对称轴；(2)试判断点是否在此函数的图象上．22．（2022春·九年级课时练习）根据下列条件求a的取值范围：（1）函数y＝(a-2)x2，当x＞0时，y随x的增大而减小，当x＜0时，y随x的增大而增大；（2）函数y＝(3a-2)x2有最大值；（3）抛物线y＝(a+2)x2与抛物线的形状相同；（4）函数的图象是开口向上的抛物线．23．（2022春·九年级课时练习）如图，直线l过x轴上一点，且与抛物线相交于B、C两点．B点坐标为．(1)求抛物线解析式；(2)若抛物线上有一点D（在第一象限内），使得，求点D的坐标．24．（2022秋·北京通州·九年级人大附中通州校区校考阶段练习）在平面直角坐标系中，过点(0，2)且平行于x轴的直线，与直线y=x−2交于点A，点A关于直线x=2的对称点为B．(1)求点A与点B的坐标；(2)若函数的图象与线段AB恰有一个公共点，结合函数的图象，求a的取值范围．25．（2023·浙江·九年级假期作业）如图，在正方形中，已知：点A，点B在抛物线上，点C，点D在x轴上．(1)求点A的坐标；(2)连接交抛物线于点P，求点P的坐标．26．（2023·浙江·九年级假期作业）已知二次函数y＝ax2+b的图象与直线y＝x+2相交于点A（1，m），点B（n，0）．（1）求二次函数的解析式，并写出该拋物线的对称轴和顶点坐标；（2）选取适当的数据填入下表，并在图中的直角坐标系内描点画出该抛物线的图象；x…………y…………（3）画出这两个函数的图象，并结合图象直接写出ax2+b＞x+2时x的取值范围．27．（2022·全国·九年级假期作业）已知二次函数y＝ax2与y＝﹣2x2+c．（1）随着系数a和c的变化，分别说出这两个二次函数图象的变与不变；（2）若这两个函数图象的形状相同，则a＝；若抛物线y＝ax2沿y轴向下平移2个单位就能与y＝﹣2x2+c的图象完全重合，则c＝；（3）二次函数y＝﹣2x2+c中x、y的几组对应值如表：x﹣215ymnp表中m、n、p的大小关系为（用“＜”连接）．

第07讲二次函数y=ax2(a≠0)与y=ax2+c(a≠0)的图象与性质【知识梳理】一、二次函数的概念

1.二次函数的概念一般地，形如y=ax2+bx+c（a≠0，a,b,c为常数）的函数是二次函数.若b=0，则y=ax2+c；若c=0，则y=ax2+bx；若b=c=0，则y=ax2.以上三种形式都是二次函数的特殊形式，而y=ax2+bx+c（a≠0）是二次函数的一般式.二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：

①（a≠0）；②（a≠0）；③（a≠0）；④（a≠0），其中；⑤（a≠0）.要点诠释：如果y=ax2+bx+c(a,b,c是常数，a≠0)，那么y叫做x的二次函数．这里，当a=0时就不是二次函数了，但b、c可分别为零，也可以同时都为零．a的绝对值越大，抛物线的开口越小.2.二次函数解析式的表示方法1.一般式：（，，为常数，）；2.顶点式：（，，为常数，）；3.两根式：（，，是抛物线与轴两交点的横坐标）（或称交点式）.要点诠释：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与轴有交点，即时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.二、二次函数y=ax2（a≠0）的图象及性质1.二次函数y=ax2(a≠0)的图象用描点法画出二次函数y=ax2（a≠0）的图象，如图，它是一条关于y轴对称的曲线，这样的曲线叫做抛物线.因为抛物线y=x2关于y轴对称，所以y轴是这条抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是抛物线的顶点，从图上看，抛物线y=x2的顶点是图象的最低点。因为抛物线y=x2有最低点，所以函数y=x2有最小值，它的最小值就是最低点的纵坐标.2.二次函数y=ax2(a≠0)的图象的画法用描点法画二次函数y=ax2（a≠0）的图象时，应在顶点的左、右两侧对称地选取自变量x的值，然后计算出对应的y值，这样的对应值选取越密集，描出的图象越准确.要点诠释：二次函数y=ax2(a≠0)的图象．用描点法画二次函数y=ax2(a≠0)的图象，该图象是轴对称图形，对称轴是y轴．y=ax2(a≠0)是最简单的二次函数，把y=ax2(a≠0)的图象左右、上下平行移动可以得到y=ax2+bx+c(a≠0)的图象．画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与轴的交点，与轴的交点.3.二次函数y=ax2(a≠0)的图象的性质二次函数y=ax2（a≠0）的图象的性质，见下表：函数图象开口方向顶点坐标对称轴函数变化最大（小）值y=ax2a>0向上（0，0）y轴x>0时，y随x增大而增大；x<0时，y随x增大而减小.当x=0时，y最小=0y=ax2a<0向下（0，0）y轴x>0时，y随x增大而减小；x<0时，y随x增大而增大.当x=0时，y最大=0要点诠释：

顶点决定抛物线的位置.几个不同的二次函数，如果二次项系数相同，那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同.│a│相同，抛物线的开口大小、形状相同.│a│越大，开口越小，图象两边越靠近y轴，│a│越小，开口越大，图象两边越靠近x轴.三、二次函数y=ax2+c(a≠0)的图象及性质1.二次函数y=ax2+c(a≠0)的图象（1）（2）2.二次函数y=ax2+c(a≠0)的图象的性质关于二次函数的性质，主要从抛物线的开口方向、顶点、对称轴、函数值的增减性以及函数的最大值或最小值等方面来研究．下面结合图象，将其性质列表归纳如下：函数图象开口方向向上向下顶点坐标(0，c)(0，c)对称轴y轴y轴函数变化当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小.当时，y随x的增大而减小；当时，y随x的增大而增大.最大（小）值当时，当时，3.二次函数与之间的关系；（上加下减）.的图象向上（c＞0）【或向下（c＜0）】平移│c│个单位得到的图象.要点诠释：抛物线的对称轴是y轴，顶点坐标是(0，c)，与抛物线的形状相同．函数的图象是由函数的图象向上（或向下）平移个单位得到的，顶点坐标为(0，c)．抛物线y＝ax2(a≠0)的对称轴、最值与顶点密不可分，其对称轴即为过顶点且与x轴垂直的一条直线，其顶点横坐标x＝0，抛物线平移不改变抛物线的形状，即a的值不变，只是位置发生变化而已．【考点剖析】题型一、二次函数的概念例1．下列函数中，属于二次函数的是（）A．y=2x+1 B．y=（x﹣1）2﹣x2 C．y=2x2﹣7 D．【思路点拨】根据一次函数、反比例函数、二次函数的定义判断各选项即可得出答案．【答案】C；【解析】解：A、是一次函数，故本选项错误；B、整理后是一次函数，故本选项错误；C、y=2x2﹣7是二次函数，故本选项正确；D、y与x2是反比例函数关系，故本选项错误．故选：C．【总结升华】本题考查了二次函数的定义，关键是掌握二次函数的定义条件：二次函数y=ax2+bx+c的定义条件是：a、b、c为常数，a≠0，自变量最高次数为2．【变式1】如果函数是二次函数，求m的值．【答案】根据题意，得解得m＝0．【变式2】(1)当m＝________时，函数是二次函数?(2)当m＝________时，函数是一次函数?【答案】(1)；(2)0或-1或.【解析】(1)依题意有解之得，∴．故当时，函数是二次函数．(2)若原函数是一次函数，则是一次项或常数项，从而可分三种情况考虑．①解得即．②m+1＝0，即m＝-1．③2m+1＝0，即．【总结升华】此题根据二次函数和一次函数的定义，确定m的值．(1)题关键要考虑两点：一是自变量的最高次数，二是最高次项系数不为零．(2)题运用了分类讨论思想，讨论时应防止重复和遗漏．题型二、二次函数y=ax2（a≠0）的图象及性质例2．函数y＝x2的图象对称轴左侧上有两点A(a，15)，B(b，)，则a-b_______0(填“＞”、“＜”或“＝”号)．【答案】＜.【解析】解法一：将A(a，15)，分别代入y＝x2中得：，∴；，又A、B在抛物线对称轴左侧，∴a＜0，b＜0，即，，∴解法二：画函数y＝x2的草图(如图所示)，可知在y轴左侧(x＜0)时，y随x的增大而减小，又∵，a＜b，即a-b＜0．【总结升华】利用草图和函数的增减性比较函数值的大小或自变量的大小显得更简单、直观，充分运用了数形结合的思想．【变式1】二次函数与的形状相同，开口大小一样，开口方向相反，则．【答案】2；【变式2】抛物线y=﹣x2不具有的性质是（）．A.开口向上B.对称轴是y轴C.在对称轴的左侧，y随x的增大而增大D.最高点是原点【答案】A.【变式3】二次函数的图象如图所示，点A0位于坐标原点，点A1，A2，A3，…，A2013在y轴的正半轴上，点B1，B2，B3，…，B2013在二次函数位于第一象限的图象上，若△A0B1A1，△A1B2A2，△A2B3A3，…，△A2012B2013A2013都为等边三角形，求△A2012B2013A2013的边长．【答案与解析】如图所示，作B1C1⊥y轴，垂足为C1．∵△A0A1B1为等边三角形，∴∠A0B1C1＝30°．设A0C1＝a，则A0B1＝2a，B1C1＝．∴B1(，)，∴，∴，∴．作B2C2⊥y轴，设A1C2＝m，则A1B2＝2m，C2B2＝m，∴．又．∴2m2-m-1＝0，(2m+1)(m-1)＝0，∴m＝1或(舍)．A1B2＝2．同理可求A2B3＝3，A3B4＝4，…∴△A2012B2013A2013的边长为2013．【总结升华】分别在△A0A1B1，△A1A2B2，△A2A3B3，…中，运用勾股定理分别表示出B1、B2、B3的坐标，利用抛物线解析式建立等式，分别求出△A0A1B1，△A1A2B2，△A2A3B3的边长，然后探究规律，求出△A2012A2013B2013的边长．题型三、二次函数y=ax2+c(a≠0)的图象及性质例3．求下列抛物线的解析式：（1）与抛物线形状相同，开口方向相反，顶点坐标是（0，-5）的抛物线；（2）顶点为（0，1），经过点（3，-2）并且关于y轴对称的抛物线．【答案与解析】（1）由于待求抛物线形状相同，开口方向相反，可知二次项系数为，又顶点坐标是（0，-5），故常数项，所以所求抛物线为．（2）因为待求抛物线顶点为（0，1），所以其解析式可设为，又∵该抛物线过点（3，-2），∴，解得．∴所求抛物线为．【总结升华】抛物线形状相同则相同，再由开口方向可确定的符号，由顶点坐标可确定的值，从而确定抛物线的解析式．【变式1】有一个抛物线形的拱形隧道，隧道的最大高度为6m，跨度为8m，把它放在如图所示的平面直角坐标系中．

（1）求这条抛物线所对应的函数关系式；

（2）若要在隧道壁上点P（如图）安装一盏照明灯，灯离地面高4.5m．求灯与点B的距离．【答案与解析】（1）由题意，设抛物线所对应的函数关系为y=ax2+6（a＜0），

∵点A（-4，0）或B（4，0）在抛物线上，

∴0=a•（-4）2+6，

16a+6=0，16a=-6，

．

故抛物线的函数关系式为.

（2）过点P作PQ⊥AB于Q，连接PB，则PQ=4.5m．

将y=4.5代入，得x=±2．

∴P（-2，4.5），Q（-2，0），

于是|PQ|=4.5，|BQ|=6，

从而|PB|=

所以照明灯与点B的距离为7.5m．【总结升华】本题考查点的坐标的求法及二次函数的实际应用．此题为数学建模题，借助二次函数解决实际问题．（1）根据抛物线在坐标系的位置可设解析式：y=ax2+6，把点A（-4，0）代入即可；（2）灯离地面高4.5m，即y=4.5时，求x的值，再根据P点坐标，勾股定理求PB的值.【变式2】(1)抛物线的开口方向，对称轴是，顶点坐标是．(2)抛物线与的形状相同，其顶点坐标为（0，1），则其解析式为．(3)抛物线向平移个单位后，得到抛物线.【答案】(1)下；y轴；（0，-5）.(2)y=3x2+1,y=-3x2+1.(3)下；10.例4．在同一直角坐标系中，画出和的图象，并根据图象(如图所示)回答下列问题．(1)抛物线向________平移________个单位得到抛物线；(2)抛物线，开口方向是________，对称轴为________，顶点坐标为________；(3)抛物线，当x________时，随x的增大而减小；当x________时，函数y有最________值，其最________值是________．【答案】(1)下；l；(2)向下；y轴；(0，1)；(3)＞0；＝0；大；大；1.【解析】在同一平面直角坐标系内画出两条抛物线，利用图象回答问题．(1)抛物线向下平移1__个单位得到抛物线；(2)抛物线，开口方向是向下，对称轴为___y轴_____，顶点坐标为_(0，1)__；(3)抛物线，当x＞0时，y随x的增大而减小；当x＝0__时，函数y有最大值，其最大__值是1．【总结升华】本例题把函数与函数的图象放在同一直角坐标系中进行对比，易得出二次函数与的图象形状相同，只是位置上下平移的结论．可以看作是把的图象向上或向下平移个单位得到的．【变式1】根据下列条件求a的取值范围：(1)函数y＝(a-2)x2，当x＞0时，y随x的增大而减小，当x＜0时，y随x的增大而增大；(2)函数y＝(3a-2)x2有最大值；(3)抛物线y＝(a+2)x2与抛物线的形状相同；(4)函数的图象是开口向上的抛物线．【答案与解析】(1)由题意得，a-2＜0，解得a＜2．(2)由题意得，3a-2＜0，解得．(3)由题意得，，解得，．(4)由题意得，，解得a1＝-2，a2＝1，但a＞0，∴a＝1．【总结升华】解答此类问题，要注意联想二次函数的图象和性质，抓住形状、开口、最值、增减性等特征，并结合草图去确定二次项系数的取值范围．例5.在同一平面直角坐标系中，一次函数与二次函数的图象大致为（）．【答案】B.【变式】在同一坐标系中，一次函数y=ax+b与二次函数y=ax2﹣b的图象可能是（）A． B． C． D．【总结升华】先由一次函数y=ax+b图象得到字母a、b的正负，再与二次函数y=ax2﹣b的图象相比较看是否一致．【答案】D.【解析】解：A、由直线y=ax+b的图象经过第二、三、四象限可知：a＜0，b＜0，二次函数y=ax2﹣b的图象开口向上，∴a＞0，A不正确；B、由直线y=ax+b的图象经过第一、二、三象限可知：a＞0，b＞0，二次函数y=ax2﹣b的图象开口向下，∴a＜0，B不正确；C、由直线y=ax+b的图象经过第一、二、四象限可知：a＜0，b＞0，二次函数y=ax2﹣b的图象开口向上，∴a＞0，C不正确；D、由直线y=ax+b的图象经过第一、二、三象限可知：a＞0，b＞0，二次函数y=ax2﹣b的图象开口向上，顶点在y轴负半轴，∴a＞0，b＞0，D正确．故选D．【总结升华】本题考查了一次函数的图象以及二次函数的图象，解题的关键是根据函数图象逐条分析四个选项中a、b的正负．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据一次函数的图象找出其系数的正负，再与二次函数图象进行比较即可得出结论．【过关检测】一、单选题1．（2023·浙江·九年级假期作业）二次函数的二次项系数与一次项系数的和为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】将函数解析式化简，得到各系数，计算即可．【详解】解：，∴二次项系数是2，一次项系数是，∴，故选：D．【点睛】此题考查了二次函数定义，正确理解二次函数的各项的系数是解题的关键．2．（2023·浙江·九年级假期作业）函数，，中，图象开口大小的顺序是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据二次函数的性质进行求解即可．【详解】解：∵，∴图象开口大小的顺序是，故选：D．【点睛】本题主要考查了二次函数图象的性质，熟知对于二次函数，的值越大开口大小越小是解题的关键．3．（2022秋·甘肃平凉·九年级校考阶段练习）下列函数中是二次函数的是(

)A． B． C． D．【答案】B【分析】整理成一般形式后，根据二次函数的定义判定即可．【详解】解：A选项：是一次函数，故此选项错误；B选项：，是二次函数，故此选项正确；C选项：，为一次函数，故此选项错误；D选项：是组合函数，不是二次函数，故此选项错误．故选：B．【点睛】本题考查了二次函数的定义：函数（，a、b、c为常数）叫二次函数．4．（2023·上海·九年级假期作业）已知，点都在函数的图象上，则(

)A． B． C． D．【答案】C【分析】二次函数抛物线向上，且对称轴为y轴，根据在对称轴的左侧，y随x的增大而减小即可判断纵坐标的大小．【详解】解：∵，∴，∴三点都在抛物线对称轴的左侧，∵在轴左侧随的增大而减小，∴．故选：C．【点睛】本题考查二次函数图象上点的坐标特征及二次函数的性质，比较简单．5．（2023·浙江·九年级假期作业）已知点为二次函数图象上的两点（不为顶点），则以下判断正确的是（

）A．若，则 B．若，则C．若：，则 D．若，则【答案】D【分析】根据二次函数的性质，逐一进行判断即可．【详解】解：∵，，对称轴为轴，∴在轴左侧，随的增大而增大，在轴右侧，随的增大而减小，抛物线上的点离对称轴越远，函数值越小；A、，不一定大于，例如时，，时，，此时，但是；故选项A错误；B、，不一定小于，例如时，，时，，此时，但是；故选项B错误；C、当，不一定大于，例如时，，时，，此时，但是；故选项C错误；D、当，即：，∴或，当时，，当时，，∴当时，；故选项D正确；故选D．【点睛】本题考查二次函数的图象和性质．熟练掌握二次函数的性质，是解题的关键．本题可以利用特殊值法进行排除，进行判断．6．（2023·浙江·九年级假期作业）如果二次函数的值恒大于，那么必有（）A．，取任意实数 B．，C．， D．，均可取任意实数【答案】B【分析】二次函数的值恒大于，则该函数开口向上，顶点在x轴上方，由此即可得到答案．【详解】解：∵二次函数的值恒大于，∴二次函数开口向上，顶点在x轴上方，∴，．故选B．【点睛】本题主要考查了二次函数图象的性质，熟练掌握二次函数图象的性质是解题的关键．7．（2023·浙江·九年级假期作业）关于二次函数的图像，下列说法错误的是（

）A．抛物线开口向下B．对称轴为直线C．顶点坐标为D．当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大【答案】D【分析】根据二次函数的性质依次判断．【详解】解：∵，∴抛物线开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为，当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小，∴A，B，C正确，D错误，故选：D．【点睛】此题考查了二次函数的性质，熟记二次函数的性质是解题的关键．8．（2023·安徽·统考中考真题）下列函数中，的值随值的增大而减小的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据二次函数的性质，一次函数的性质，逐项分析判断即可求解．【详解】解：A.，，对称轴为直线，当时，的值随值的增大而减小，当时，的值随值的增大而增大，故该选项不正确，不符合题意；B.，，对称轴为直线，当时，的值随值的增大而增大，当时，的值随值的增大而减小，故该选项不正确，不符合题意；C.，，的值随值的增大而增大，故该选项不正确，不符合题意；D.，，的值随值的增大而减小，故该选项正确，符合题意；故选：D．【点睛】本题考查了一次函数与二次函数的性质，熟练掌握一次函数与二次函数的性质是解题的关键．9．（2023·上海·九年级假期作业）抛物线，，共有的性质是（

）A．开口向上 B．对称轴都是y轴 C．都有最高点 D．顶点相同【答案】B【分析】从所给抛物线的开口方向、对称轴、最高点或最低点、顶点坐标等方面考虑即可完成．【详解】解：抛物线开口向上，对称轴是轴，有最低点，顶点坐标；抛物线，开口向下，对称轴是轴，有最高点，顶点坐标；抛物线开口向上，对称轴是轴，有最高点，顶点坐标．故选：B．【点睛】本题考查了抛物线的图象与性质，掌握抛物线的图象与性质是解题的关键．10．（2023·广东·统考中考真题）如图，抛物线经过正方形的三个顶点A，B，C，点B在轴上，则的值为（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】连接，交y轴于点D，根据正方形的性质可知，然后可得点，进而代入求解即可．【详解】解：连接，交y轴于点D，如图所示：

当时，则，即，∵四边形是正方形，∴，，∴点，∴，解得：，故选B．【点睛】本题主要考查二次函数的图象与性质及正方形的性质，熟练掌握二次函数的图象与性质及正方形的性质是解题的关键．二、填空题11．（2023·浙江·九年级假期作业）抛物线，，的共同性质是__________（写出一条即可）【答案】对称轴都是轴（答案不唯一）【分析】根据二次函数的性质进行求解即可【详解】解：∵形如的函数图象的对称轴是轴，顶点是，∴抛物线，，的共同性质是对称轴是轴，顶点是等等，故答案为：对称轴都是轴（答案不唯一）．【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．12．（2021秋·广东江门·九年级台山市新宁中学校考期中）抛物线的顶点坐标是________．【答案】【分析】根据二次函数的顶点式直接求解即可．【详解】解：的对称轴为直线，当时，∴顶点坐标是．故答案为：．【点睛】本题考查二次函数的顶点，解题关键是掌握二次函数的顶点坐标为．13．（2023·上海·九年级假期作业）若函数是关于的二次函数，则____．【答案】【分析】根据二次函数的定义进行求解即可．【详解】解：∵函数是关于的二次函数，∴，解得，故答案为：．【点睛】本题主要考查了二次函数的定义，熟知二次函数的定义是解题的关键：一般地，形如（且a、b、c是常数）的函数叫做二次函数．14．（2022秋·甘肃平凉·九年级校考阶段练习）如图，①，②，③，④，比较a．b．c．d的大小，用“”连接．__________

【答案】【分析】设，函数值分别等于二次项系数，根据图象，比较各对应点纵坐标的大小．【详解】解：因为直线与四条抛物线的交点从上到下依次为，

所以，．故答案为：．【点睛】本题考查了二次函数的图象，采用了取特殊点的方法，比较字母系数的大小．15．（2023·浙江·九年级假期作业）抛物线的对称轴是_____．【答案】y轴【分析】根据二次函数的图象与性质，即可求解．【详解】解：抛物线的对称轴是y轴，故答案为：y轴．【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握和运用二次函数的图象与性质是解决本题的关键．16．（2023·浙江·九年级假期作业）已知点，是抛物线上的两点，若，则_____（填“”“”或“”）．【答案】＜【分析】根据二次函数的图象与性质可进行求解．【详解】解：由抛物线可知：，开口向下，对称轴为，∴当时，y随x的增大而增大，∴当点，是抛物线上的两点，且，则；故答案为＜．【点睛】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．三、解答题17．（2023·浙江·九年级假期作业）如图，直线与y轴交于点A，与抛物线y＝ax2交于B，C两点，且点B坐标为（2，2）．(1)求a，b的值；(2)连接OC、OB，求△BOC的面积．【答案】(1)a的值是；b的值是4(2)【分析】（1）把B（2，2）代入到直线中，进行计算即可得，把B（2，2）代入到抛物线中，进行计算即可得；（2）联立两函数解析式成方程组，，进行计算可得点C的坐标为，即可得．【详解】（1）解：把B（2，2）代入到直线中，得：，即；把B（2，2）代入到抛物线中，得：，即，∴a的值是；b的值是4．（2）解：∵b＝4，∴点A（0，4）．联立两函数解析式成方程组，，解得：或，∴点C的坐标为，∴．【点睛】本题考查了一次函数的性质，二次函数的性质，三角形的面积，解题的关键是掌握待定系数法求参数，求函数解析式．18．（2023·浙江·九年级假期作业）根据下列条件分别求a的取值范围．(1)函数，当时，y随x的增大而减小，当时，y随x的增大而增大；(2)函数y＝有最大值；(3)抛物线与的形状相同；(4)函数的图象是开口向上的抛物线．【答案】(1)；(2)；(3)或；(4)．【分析】（1）根据二次项的系数小于0，对称轴左边y随x增大而减小，对称轴右边y随x增大而增大，可得答案；（2）根据二次函数有最大值，可得二次项的系数小于0；（3）根据抛物线的形状相同，可得两个二次函数的二次项系数相同或互为相反数；（4）根据函数图象开口向上，可得二次项系数与0的关系．【详解】（1）解：由题意得，解得．（2）由题意得，解得．（3）由题意得或，解得或；（4）函数土象开口向上．【点睛】本题考查了二次函数图象得性质，解决本题的关键是根据二次函数图象性质求解．19．（2023·浙江·九年级假期作业）已知二次函数．

求函数图象的对称轴和顶点坐标；求这个函数图象与轴的交点坐标．【答案】（1）对称轴为直线x=2，顶点坐标为（2,4）（2）图象与x轴的交点坐标是（0，0）和（4，0）．【详解】试题分析：（1）可根据配方法的解题步骤，将一般式转化为顶点式，根据顶点式可确定对称轴及顶点坐标；（2）令y=0，解一元二次方程可求抛物线与x轴两交点的坐标．试题解析：（1）y=-（x2-4x）=-（x-2）2+4，对称轴为直线x=2，顶点坐标为（2,4）（2）当y=0时，-x2+4x=0，解得x=0或4，∴图象与x轴的交点坐标是（0，0）和（4，0）．考点：1.二次函数的三种形式；2.二次函数的性质；3．抛物线与x轴的交点．20．（2023·上海·九年级假期作业）已知函数是关于x的二次函数．(1)求m的值；(2)函数图象的两点，，若满足，则此时m的值是多少？【答案】(1)或(2)【分析】（1）根据二次函数的定义可得，，即可求解；（2）点，，且，可得在对称轴右边，y随x的增大而减小，即可进行解答．【详解】（1）解：∵函数是关于x的二次函数，∴，解得：或．（2）∵该函数的对称轴为y轴，点，，且，∴在对称轴右边，y随x的增大而减小，∴，解得∴．【点睛】本题主要考查了二次函数的图象定义和性质，解题的关键是掌握二次函数的二次项系数不为0，次数最高为2；时，函数开口向上，在对称轴左边，y随x的增大而减小，在对称轴右边，y随x的增大而增大，时，函数开口向下，在对称轴左边，y随x的增大而增大，在对称轴右边，y随x的增大而减小．21．（2023·浙江·九年级假期作业）已知二次函数的图象经过点．求：(1)该函数解析式及对称轴；(2)试判断点是否在此函数的图象上．【答案】(1)，对称轴为y轴(2)点不在此函数的图象上【分析】（1）利用待定系数法求出函数解析式，再求出对称轴即可；（2）求出当，y的值即可得到答案．【详解】（1）解：∵二次函数的图象经过点，∴，∴，∴二次函数解析式为，∴二次函数对称轴为y轴；（2）解：在中，当时，，∴点不在此函数的图象上．【点睛】本题主要考查了求二次函数解析式，二次函数的性质，正确求出对应的函数解析式是解题的关键．22．（2022春·九年级课时练习）根据下列条件求a的取值范围：（1）函数y＝(a-2)x2，当x＞0时，y随x的增大而减小，当x＜0时，y随x的增大而增大；（2）函数y＝(3a-2)x2有最大值；（3）抛物线y＝(a+2)x2与抛物线的形状相同；（4）函数的图象是开口向上的抛物线．【答案】（1）a＜2；（2）；（3），；（4）a＝1【分析】（1）由题意根据二次项的系数小于0，对称轴左边y随x增大而减小，对称轴右边y随x增大而增大，可得答案；（2）由题意根据二次函数有最大值，可得二次项的系数小于0；（3）由题意根据抛物线的形状相同，可得两个二次函数的二次项系数相同或互为相反数；（4）由题意根据函数图象开口向上，可得二次项系数与0的关系．【详解】解：(1)由题意得，a-2＜0，解得a＜2；(2)由题意得，3a-2＜0，解得；(3)由题意得，，解得，；(4)由题意得，，解得a1＝-2，a2＝1，但a＞0，∴a＝1．【点睛】本题考查二次函数的性质，二次函数的二次项系数大于0，开口向上，有最小值，二次函数的二次项系数小于0，开口向下，有最大值.23．（2022春·九年级课时练习）如图，直线l过x轴上一点，且与抛物线相交于B、C两点．B点坐标为．(1)求抛物线解析式；(2)若抛物线上有一点D（在第一象限内），使得，求点D的坐标．【答案】(1)抛物线解析式为(2)【分析】(1)把B(1,1)代入得，从而得到抛物线解析式；(2)先根据待定系数法求直线AB的解析式，再联立直线和抛物线解析式解方程组，求出C的坐标，然后求出，再根据二次函数图象上点的坐标特征，可设，利用三角形面积公式，解出t的值即可得到D点坐标．【详解】（1）把代入得：，∴抛物线解析式为；（2）设直线AB的函数解析式为，把，代入得：，，∴直线AB的解析式为，将与联立得：或，∴，，∴，设，∵，∴，解得：，（舍），∴．【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解.也考查了待定系数法求一次函数解析式．24．（2022秋·北京通州·九年级人大附中通州校区校考阶段练习）在平面直角坐标系中，过点(0，2)且平行于x轴的直线，与直线y=x−2交于点A，点A关于直线x=2的对称点为B．(1)求点A与点B的坐标；(2)若函数的图象与线段AB恰有一个公共点，结合函数的图象，求a的取值范围．【答案】(1)点A的坐标为（4，2），点B的坐标为（0，2）；(2)a≥．【分析】（1）过点（0，2）且平行于x轴的直线，则y=2，联立方程，即可求出点A的坐标，点A关于直线x=2的对称点为B，利