山西省太原市2023届高三二模数学试题

太原市2023年高三年级模拟考试（二）数学试卷（考试时间：下午3：00—5：00）注意事项：1.本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，第I卷1至4页，第II卷5至8页。2.回答第I卷前，考生务必将自己的姓名、考试编号填写在答题卡上。3.回答第I卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，写在本试卷上无效。4.回答第II卷时，将答案写在答题卡相应位置上，写在本试卷上无效。5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第I卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则（）A. B.C. D.2.已知，则下列结论正确的是（）A. B. C. D.3.已知，，与的夹角为，则（）A.2 B. C. D.44.2025年某省将实行“3+1+2”模式的新高考，其中“3”表示语文、数学和英语这三门必考科目，“1”表示必须从物理和历史中选考一门科目，“2”表示要从化学、生物、政治和地理中选考两门科目.为帮助甲、乙两名高一学生应对新高考，合理选择选考科目，将其高一年级的成绩综合指标值（指标值满分为5分，分值越高成绩越优）整理得到如下的雷达图，则下列选择最合理的是（）A.选考科目甲应选物理、化学、历史 B.选考科目甲应选化学、历史、地理C.选考科目乙应选物理、政治、历史 D.选考科目乙应选政治、历史、地理5.已知，，则（）A. B. C. D.6.已知等比数列的前项和满足，则（）A.16 B.32 C.81 D.2437.已知圆：，过直线：上的动点作圆的切线，切点为，则的最小值是（）A. B.2 C. D.8.已知，，，则下列结论正确的是（）A. B. C. D.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分.9.已知在处取得极大值3，则下列结论正确的是（）A. B. C. D.10.已知双曲线：的左、右焦点分别为，，抛物线的焦点与双曲线的焦点重合，点是这两条曲线的一个公共点，则下列说法正确的是（）A.双曲线的渐近线方程为 B.C.的面积为 D.11.已知在上有且仅有2个极值点，则下列结论正确的是（）A.B.若关于直线对称，则的最小正周期C.若关于点对称，则在上单调递增D.，使得在上的最小值为12.已知三棱锥的所有棱长均为2，平面，为垂足，是的中点，的延长线交平面于点，的延长线交平面于点，则下列结论正确的是（）A.B.若是棱上的动点，则的最小值为C.三棱锥外接球的表面积为D.太原市2023年高三年级模拟考试（二）数学试卷第II卷（非选择题共90分）三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知复数满足（为虚数单位），则______14.已知，则______15.已知椭圆：的左、右焦点分别为，，点是上一点，点是直线与轴的交点，的内切圆与相切于点，若，则椭圆的离心率______16.已知，，且满足，则______四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.（本小题满分10分）已知是正项等比数列，是等差数列，且，，.（1）求和的通项公式；（2）从下面条件①、②中选择一个作为已知条件，求数列的前项和.条件①：；条件②：.注：若条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分.18.（本小题满分12分）在锐角中，，，分别为内角，，的对边，，角的平分线交于，.（1）求；（2）求外接圆面积的最小值.19.（本小题满分12分）为响应国家使用新能源的号召，促进“碳达峰碳中和”的目标实现，某汽车生产企业在积极上市四款新能源汽车后，对它们进行了市场调研.该企业研发部门从购买这四款车的车主中随机抽取了50人，让车主对所购汽车的性能进行评分，每款车的性能都有1分、2分、3分、4分、5分五个等级，各评分及相应人数的统计结果如下表.性能评分汽车款式12345基础版基础版122310基础版244531豪华版豪华版113541豪华版200353（1）求所抽车主对这四款车性能评分的平均数和第90百分位数；（2）当评分不小于4时，认为该款车性能优秀，否则认为性能一般.根据上述样本数据，完成以下列联表，并依据的独立性检验，能否认为汽车的性能与款式有关？并解释所得结论的实际含义.汽车性能汽车款式合计基础版豪华版一般优秀合计（3）为提高这四款新车的性能，现从样本评分不大于2的基础版车主中，随机抽取3人征求意见，记为其中基础版1车主的人数，求的分布列及数学期望.附：.0.100.050.010.0052.7063.8416.6357.87920.（本小题满分12分）如图，三棱柱中，侧面是矩形，，，是的中点.（1）证明：；（2）若平面，是上的动点，平面与平面夹角的余弦值为，求的值.21.（本小题满分12分）已知双曲线：经过点，直线，分别是双曲线的渐近线，过分别作和的平行线和，直线交轴于点，直线交轴于点，且（是坐标原点）.（1）求双曲线的方程；（2）设，分别是双曲线的左、右顶点，过右焦点的直线交双曲线于，两个不同点，直线与相交于点，证明：点在定直线上.22.（本小题满分12分）已知函数在点处的切线方程为，（1）求的值域；（2）若，且，，证明：①；②.

太原市2023年高三年级模拟考试（二）数学试题参考答案及评分标准一、选择题：BCADBADB二、选择题：9.AD10.AB11.BC12.ACD三、填空题：13. 14.0 15. 16.四、解答题：17.解：（1）设的公比为，的公差为，由题意可得解得或（舍去），，，；（2）由（1）得，，选择条件①：，则，，①，②①②得，.选择条件②：，则，，①，②①②得，.18.解：（1），，由余弦定理可得，由正弦定理可得，，；（2）由（1）得，，，，（当且仅当时等号成立），，，外接圆的直径，当且仅当时，外接圆的面积取最小值.19解：（1）由题意得这四款车性能评分的平均数为；其第90百分位数为；（2）由题意得汽车性能汽车款式合计基础版豪华版一般201232优秀51318合计252550零假设为：汽车性能与款式无关，根据列联表中的数据，经计算得到，根据小概率值的独立性检验，推断不成立，即认为汽车性能与款式有关，此推断犯错误的概率不超过0.05；汽车性能一般中基础版和豪华版的频率分别为和，性能优秀中基础版和豪华版的频率分别为和，根据频率稳定于概率的原理，可以认为性能优秀时豪华版的概率大（3）由题意可得服从超几何分布，且，，，的分布列为，，.20解：（1）取的中点，连接，，记，是的中点，，，，在矩形中，，，，，，，，平面，；（2）由平面得，，由矩形得，以点为原点，，，所在的直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设，，则，，，设是平面的一个法向量，则令，则，设是平面的一个法向量，则令，则，，，，或（舍去），.21.解：（1）由题意得，，不妨设直线的方程为，则直线的方程为，，同理可得，，由可得双曲线的方程为；（2）由（1）得，，，设，，直线的方程为，由得，，，直线的方程为，直线的方程为，联立直线与的方程，可得点的横坐标为，，点在定直线上22.解：（1）由题意得，，，在点处