01-02数学与我们同行、有理数(原卷版+解析)

01-02数学与我们同行、有理数【专题过关】类型一、裂项求和【解惑】观察下列等式：，，，请将以上三个等式两边分别相加得：。（1）猜想并写出：（

）。（2）（

）。（3）探究并计算：（

）。（4）计算：【融会贯通】1．计算2．________3．4．5．6．7．_____类型二、最短路线【解惑】如图是一张道路图，每段路上的数字是小王走这段路所需的分钟数。请问小王从A出发走到B，最快需要__________分钟。【融会贯通】1．如图所示，有一只蚂蚁站在正方体某条棱的A处，它想尽快地游览完正方体的各个面，然后回到A处，请问这只蚂蚁要怎样走才能使通过的路程最短？2．下图是某城市的道路图，每段路旁标注的数字表示走完这段路所需用的分钟数（单位：分钟）。邮递员从A点沿道路到达B点至少要经过多长时间？3．如图，M、N是圆柱体的同一条母线上且位于上、下底面上的两点，若从M点绕圆柱体的侧面到达N，沿怎么样的路线路程最短？4．如图所示，壁虎在一座油罐的下底边A处，它发现在自己的正上方，油罐上边缘的B处有一只害虫，壁虎决定捕捉这只害虫．为了不引起害虫的注意，它故意不走直线，而是绕着油罐，沿着一条螺旋路线，从背后对害虫进行突然袭击．请问：壁虎沿着螺旋线至少要爬行多少米才能捕到害虫？5．有A、B两个村庄，分别在一条河的两岸，如图所示，现在要在小河上架一座木桥，使它与河岸垂直．现在请你选择最合适的架桥地点，使A、B两上村庄之间的路最近．6．有一个圆锥如图所示，A、B在同一条母线上，B为AO的中点，试求以A为起点，以B为终点且绕圆锥侧面一周的最短路线．7．古希腊有一位久负盛名的学者，名叫海伦．他精通数学、物理，聪慧过人．有一天，一位将军向他请教一个问题：如图16﹣3，将军从甲地骑马出发，要到河边让马饮水，然后再回到乙地的马棚，为了使走的路线最短，应该让马在什么地方饮水？类型三、有趣规律【解惑】“？”处的图形是哪一个？（

）A． B．C． D．E．【融会贯通】1．“？”处是（

）。A． B．C． D．E．2．如图，下面每个图中有多少个白色小正方形和多少个灰色小正方形？（1）把下面的表格补充完整．第1个图第2个图第3个图第4个图白色12灰色810（2）照这样接着画下去，第6个图中有_____个白色小正方形和_____个灰色小正方形；（3）想一想：照这样的规律，第n个图中有_____个白色小正方形和_____个灰色小正方形；（4）照这样的规律，如果某个图中灰色小正方形有30个，那么白色小正方形有_____个，它是第_____个图．3．用同样大小的正方形按下列规律摆放，将重叠部分涂上颜色，下面的图案中，第n个图案中正方形的个数是________.4．将下图左边的大三角形纸板剪3刀,得到4个大小相同的小三角形纸板(第一次操作),见下图中间.再将每个小三角形纸板剪3刀,得到16个大小相同的更小的三角形纸板(第二次操作),见下图右边.这样继续操作下去,完成前六次操作共剪了________刀.5．探索：如图，外层正方形边长是5，往里第二、三、四、五层各小正方形边长依次是4、3、2、1，观察图形，完成下列问题；(1)判断大小关系：13+23+33+43+53________（1+2+3+4+5）2；(2)结合图形，证明你（1）中的判断．猜想：13+23+33+…+n3="________"．6．有一串分数，，，，，，，，，,，，…，这串分数从左往右数，第一个在第________个，第二个在第________个．7．观察以下的一列数，依次是11，17，23，29，35，….若从第n个数开始，每个数都大于2017，则_______________.类型四、绝对值的“1与-1”化简【解惑】已知，，都是非零有理数，满足，令，则的值为（

）A． B． C． D．【融会贯通】1．（2022·浙江·九年级自主招生）若关于x的方程有四个实数解，则化简的结果是（

）A． B．0 C．2 D．42．（2022秋·全国·七年级期末）|x﹣2|+|x﹣4|+|x﹣6|+|x﹣8|的最小值是a，，那么的值为（）A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．不确定3．（2020秋·江西宜春·七年级宜春市第三中学校考期中）若，，则______．4．（2018秋·天津南开·七年级南开中学校考阶段练习）若，则_______．5．（2022秋·浙江丽水·七年级校联考期中）（《学霸养成卷》改编）如果，那么的值是______．6．（2019秋·湖北武汉·七年级统考期中）已知a、b、c满足(a+b)(b+c)(c+a)=0，且abc<0，若，且，则3m2n+4mn2=____.7．（2018·河南安阳·七年级校联考期中）如果abc＜0，则++=_____．8．（2022秋·江苏苏州·七年级统考期末）分类讨论是重要的数学方法，如化简，当时，；当时，；当时，．求解下列问题：(1)当时，值为______，当时，的值为______，当x为不等于0的有理数时，的值为______；(2)已知，，求的值；(3)已知：，这2023个数都是不等于0的有理数，若这2023个数中有n个正数，，则m的值为______（请用含n的式子表示）9．（2022秋·全国·七年级专题练习）（1）数学小组遇到这样一个问题：若a，b均不为零，求的值．请补充以下解答过程（直接填空）①当两个字母a，b中有2个正，0个负时，x=；②当两个字母a，b中有1个正，1个负时，x=；③当两个字母a，b中有0个正，2个负时，x=；综上，当a，b均不为零，求x的值为．（2）请仿照解答过程完成下列问题：①若a，b，c均不为零，求的值．②若a，b，c均不为零，且a+b+c=0，直接写出代数式的值．10．（2021秋·江苏南通·七年级启东市长江中学校考期中）在解决数学问题的过程中，我们常用到“分类讨论”的数学思想，下面是运用分类讨论的数学思想解决问题的过程，请仔细阅读，并解答题目后提出的探究问题.【提出问题】三个有理数a，b，c，满足abc>0，求的值.【解决问题】解：由题意得：a，b，c三个有理数都为正数或其中一个为正数，另两个为负数.①当a，b，c，都是正数，即a>0，b>0，c>0时，则==1+1+1=3；②当a，b，c有一个为正数，另两个位负数时，设a>0，b<0，c<0，则==1−1−1=−1；所以的值为3或−1.【探究】请根据上面的解题思路解答下面的问题：(1)三个有理数a，b，c满足abc<0，求的值；(2)已知=9，=4，且a<b，求a−2b的值.11．（2023秋·全国·七年级专题练习）阅读下列材料并解决有关问题：我们知道，所以当时，；当时，，现在我们可以用这个结论来解决下面问题：（1）已知，是有理数,当时，求的值；（2）已知，，是有理数，当，求的值；（3）已知，，是有理数，，，求的值.类型五、绝对值的最值【解惑】同学们都知道，表示5与1差的绝对值，也可以表示数轴上5和1这两点间的距离；表示3与之差的绝对值，实际上也可理解为3与在数轴上所对的两点之间的距离；自然地，对进行变式得，同样可以表示3与两数在数轴上所对的两点之间的距离．试探索：(1)__________；(2)表示与__________之间的距离；表示与__________之间的距离；(3)当时，可取整数__________．（写出一个符合条件的整数即可）(4)由以上探索，结合数轴猜想：对于任何有理数，的最小值为__________．【融会贯通】1．（2022春·安徽滁州·七年级统考期中）阅读下面材料：点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，在数轴上A、B两点之间的距离．回答下列问题：(1)数轴上表示和2两点之间的距离是，数轴上表示x和的两点之间的距离是；(2)数轴上表示x和1的两点之间的距离为5，则x表示的数为；(3)若x表示一个有理数，则有最小值吗？若有，请求出最小值；若没有，请说明理由．2．（2022秋·山东青岛·七年级青岛大学附属中学校考阶段练习）我国著名数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形少数时难入微”，数形结合是解决数学问题的重要思想方法．我们知道的几何意义是在数轴上数x对应的点到原点的距离，也就是说表示在数轴上数x与数0对应点之间的距离．提出问题：有理数a，b在数轴上对应的点分别记为点A和点B，AB两点之间的距离记为，那么与有理数a，b有怎样的关系？探究问题：探究一：如果A，B两点中有一点在原点，不妨假设A点在原点，即a＝0．当b＝2时，，如图1所示；当b＝－3时，，如图2所示；由此可以推断当b＝n时，______．探究二：如果A，B两点都不在原点，即，．（1）当A，B两点都在原点的右侧时，如图3所示：；（2）当A，B两点都在原点的左侧时，如图4所示：；（3）当A，B两点在原点的两侧时，如图5所示，请你仿照上述探究过程，写出A，B两点之间的距离______．解决问题：有理数a，b在数轴上对应的点分别记为点A和点B，AB两点之间的距离记为，那么______．（用含有a，b的式子表示）实际应用：（1）数轴上，表示有理数－6和－1的两点之间的距离是______；（2）数轴上，表示x和2的两点P和Q之间的距离是5，则x＝______．拓展延伸：结合数轴回答下列问题：（1）的最小值是______；（2）的最大值是______．3．（2022秋·江苏苏州·七年级校考阶段练习）数学实验室：点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，A、B两点之间的距离表示为AB，在数轴上A、B两点之间的距离．利用数形结合思想回答下列问题：(1)数轴上表示3和6两点之间的距离是______，数轴上表示1和的两点之间的距离是______．(2)数轴上表示x和的两点之间的距离表示为______，数轴上表示x和7的两点之间的距离表示为______．(3)若x表示一个有理数，则的最小值______．(4)若x表示一个有理数，且，则满足条件的所有整数x是______．(5)求使式子有最小值的有理数x，以及这个最小值．4．（2023秋·山西朔州·七年级校考期末）阅读与思考：点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，A、B两点之间的距离表示为，在数轴上A、B两点之间的距离．回答下列问题：(1)数轴上表示2和5两点之间的距离是，数轴上表示1和的两点之间的距离是(2)数轴上表示x和的两点之间的距离表示为；(3)七年级研究性学习小组在数学老师指导下，对式子进行探究：①请你在草稿纸上画出数轴，当表示数x的点在与4之间移动时，的值总是一个固定的值为②请你画出数轴，探究：是否存在数x，使？如果存在，则在数轴上表示出来，并写出x的值；如果不存在，简要说明理由．5．（2022秋·新疆乌鲁木齐·七年级乌鲁木齐市第二十三中学校考期末）先阅读，后探究相关的问题．【阅读】表示5与2差的绝对值，也可理解为5与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离；可以看做，表示5与的差的绝对值，也可理解为5与两数在数轴上所对应的两点之间的距离．(1)如图，先在数轴上画出表示点4.5的相反数的点，再把点A向左移动1.5个单位，得到点，则点和点表示的数分别为_______和_______，，两点间的距离是______；(2)若点A表示的整数为，则当为_______时，与的值相等；(3)要使代数式取最小值时，相应的的取值范围是________．6．（2017秋·陕西·七年级阶段练习）认真阅读下面的材料，完成有关问题．材料：在学习绝对值时，老师教过我们绝对值的几何含义，如表示、在数轴上对应的两点之间的距离；，所以表示、在数轴上对应的两点之间的距离；，所以表示在数轴上对应的点到原点的距离．一般地，点、点在数轴上分别表示有理数、，那么点、点之间的距离可表示为．（1）点、、在数轴上分别表示有理数、、，那么点到点的距离与点到点的距离之和可表示为__________（用含绝对值的式子表示）．（2）利用数轴探究：①满足的的取值范围是__________．②满足的的所有值是__________．③设，当的值取在不小于且不大于的范围时，的值是不变的，而且是的最小值，这个最小值是_____．（3）拓展：①的最小值为__________．②的最小值为__________．③的最小值为__________，此时的取值范围为__________．类型六、绝对值的方程【解惑】如果，那么（

）A． B．或2 C． D．2【融会贯通】1．（2022秋·河南商丘·七年级统考期末）数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起一一对应的关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础．【阅读】表示3与1的差的绝对值，也可理解为3与1两数在数轴上所对应的两点之间的距离；可以看作，表示3与的差的绝对值，也可理解为3与两数在数轴上所对应的两点之间的距离．【探索】(1)数轴上表示5与的两点之间的距离是___________；(2)①若，则x=___________；②若使x所表示的点到表示2和的点的距离之和为5，所有符合条件的整数的和为___________；【动手折一折】小明在草稿纸上画了一条数轴进行操作探究：(3)折叠纸面，若1表示的点和表示的点重合，则4表示的点和___________表示的点重合；(4)折叠纸面，若3表示的点和表示的点重合，①则表示的点和___________表示的点重合；②这时如果A，B（A在B的左侧）两点之间的距离为且A，B两点经折叠后重合，则点A表示的数是___________，点B表示的数是___________；【拓展】(5)若，则x=___________．2．（2022春·七年级单元测试）阅读以下例题：解方程：，解：①当时，原方程可化为一元一次方程，解这个方程得；②当时，原方程可化为一元一次方程，解这个方程得；③当，即时，原方程可化为，不成立，此时方程无解．所以原方程的解是或．(1)仿照例题解方程：．(2)探究：当b为何值时，方程满足：①无解；②只有一个解；③有两个解．3．（2023秋·辽宁鞍山·七年级统考期末）阅读材料并回答问题：的含义是数轴上表示数的点与原点的距离，即，也就是说，表示在数轴上数与数0对应的点之间的距离；因此可以推断表示在数轴上数与数1对应的点之间的距离．例如，，就是在数轴上到1的距离为2的点对应的数，即为或；回答问题：(1)若，则的值是______；(2)利用上述方法解下列方程：①；②4．（2022秋·江苏·七年级专题练习）解方程：．5．（2022秋·江苏·七年级专题练习）解方程．6．（2023·全国·九年级专题练习）解方程：．7．（2022秋·江苏·七年级专题练习）解方程：类型七、数轴动点求t【解惑】观察、理解与应用．题目：如图数轴上有三点A、B和C，其中A点在处，B点在2处，C点在原点处．(1)，表示的意义是；(2)，，即用字母表示线段长，，猜想：，设P、Q在数轴上分别表示的数为和220，则线段；(3)归纳：如果M、N在数轴上表示的数分别为，，则线；(4)应用：若动点P，Q分别从点和2处同时出发，沿数轴负方向运动；已知点P的速度是每秒1个单位长度，点Q的速度是每秒2个单位长度，问：①t为2秒时P，Q两点的距离是多少？（列算式解答）②t为秒时P，Q两点之间的距离为2？【融会贯通】1．（2023秋·河南郑州·七年级统考期末）已知数轴上有、、三个点，分别表示有理数，，，动点从出发，以每秒个单位的速度向终点移动，设移动时间为秒．(1)当时，点到点的距离______；此时点所表示的数为______；(2)当点运动到点时，点同时从点出发，以每秒个单位的速度向点运动，点到达点后也停止运动，则点出发秒时与点之间的距离______；(3)在（2）的条件下，当点到达点之前，请求出点移动几秒时恰好与点之间的距离为个单位？2．（2023春·全国·七年级期末）已知数轴上两点A、B对应的数分别为、3，点P为数轴上一动点，其对应的数为x．(1)若点P到点A，点B的距离相等，求点P对应的数；(2)数轴上是否存在点P，使点P到点A、点B的距离之和为6？若存在，请求出x的值；若不存在，说明理由；(3)点A、点B分别以2个单位长度/分、1个单位长度/分的速度向右运动，同时点P以6个单位长度/分的速度从O点向左运动．当遇到A时，点P立即以同样的速度向右运动，并不停地往返于点A与点B之间，求当点A与点B重合时，点P所经过的总路程是多少？3．（2020秋·四川绵阳·七年级校考阶段练习）已知数轴上A、B两点对应的数分别为和4，P为数轴上一点，对应数为x．(1)请直接写出P所表示的数，使P到A点、B点距离的和为10．(2)若点A、点B和点P（点P在原点）同时向左运动，他们的速度分别为每秒1、2、1个（单位长度/秒）．①几秒中后点P为线段的中点？并求出此时x的值；②是否存在点P，使得点P为线段的三等分点，若存在请求出x的值；若不存在，请说明理由．4．（2022秋·江苏宿迁·七年级泗阳致远中学校考阶段练习）如图，在数轴上点M表示的数为m，点N表示的数为n，点M到点N的距离记为MN．我们规定：MN的大小可以用位于右边的点表示的数减去左边的点表示的数表示，即．请用上面的知识解答下面的问题：已知，数轴上四点A、B、C、D所表示的数分别为、b、c、d，且满足：，b是最大的负整数，（C与A不重合）(1)；；；．(2)若将点A向右移动个单位，则移动后的点表示的数为；（用代数式表示）(3)试求出点C到点D的距离．(4)若点A以每秒2个单位的速度向左移动，同时B、D点分别以每秒1个单位、4个单位的速度向右移动，运动过程中始终满足（点C也随之运动）．设移动时间为t秒．试探索：大小是否会随着t的变化而改变？请说明理由．5．（2023秋·湖北武汉·七年级统考期末）如图1，、两点在数轴上对应的数分别为和6．(1)直接写出、两点之间的距离___；(2)若在数轴上存在一点，使得，求点表示的数；(3)如图2，现有动点、，若点从点出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向右运动，同时点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左运动，当点到达原点后立即以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右运动，求：当时的运动时间的值．6．（2022秋·吉林松原·七年级统考期末）如图，已知数轴上点表示的数为，点与点距离个单位，且在点的左边，动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为秒．(1)数轴上点表示的数为___________，点表示的数为___________（用含的式子表示）；(2)动点从点出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点，同时出发．①求点运动多少秒追上点？②求点运动多少秒时与点相距个单位？并求出此时点表示的数．类型八、数轴动点新定义【解惑】对于数轴上的点M，线段AB，给出如下定义：P为线段AB上任意一点，如果M，P两点间的距离有最小值，那么称这个最小值为点M，线段AB的“近距”，记作d1（点M，线段AB）；如果M，P两点间的距离有最大值，那么称这个最大值为点M，线段AB的“远距”，记作d2（点M，线段AB），特别的，若点M与点P重合，则M，P两点间距离为0，已知点A表示的数为﹣2，点B表示的数为3．如图，若点C表示的数为5，则d1（点C，线段AB）＝2，d2（点C，线段AB）＝7．(1)若点D表示的数为﹣3，则d1（点D，线段AB）＝，d2（点D，线段AB）＝；(2)若点E表示数为x，点F表示数为x+1．d2（点F，线段AB）是d1（点E，线段AB）的3倍．求x的值．【融会贯通】1．（2021秋·福建福州·七年级校考期末）已知数轴上三点，若点在点之间且，则称点是的突点．例如，图1中，点表示的数分别为，1,0，，此时，，则点是的突点，点是的突点．(1)如图，数轴上点，表示的数分别为，，若点是的突点，则点表示的数是______；若点是的突点，则点表示的数是______；(2)如图，为数轴上两点，它们表示的数分别为，10，若点向数轴的负方向以每秒个单位长度运动,，同时点向数轴的正方向以每秒个单位长度运动，假设运动时间为秒，求使得原点是的突点的值；若不存在，请说明理由．2．（2022秋·浙江宁波·七年级校考期中）数轴上点A表示，点B表示6，点C表示12，点D表示18．如图，将数轴在原点O和点B、C处各折一下，得到一条“折线数轴”．在“折线数轴”上，把两点所对应的两数之差的绝对值叫这两点间的和谐距离．例如，点A和点D在折线数轴上的和谐距离为个单位长度．动点M从点A出发，以4个单位/秒的速度沿着折线数轴的正方向运动，从点O运动到点C期间速度变为原来的一半，过点C后继续以原来的速度向终点D运动；点M从点A出发的同时，点N从点D出发，一直以3个单位/秒的速度沿着“折线数轴”负方向向终点A运动，其中一点到达终点时，两点都停止运动．设运动的时间为t秒．(1)当秒时，M、N两点在折线数轴上的和谐距离为__________；(2)当点M、N都运动到折线段上时，O、M两点间的和谐距离__________（用含有t的代数式表示）；C、N两点间的和谐距离__________（用含有t的代数式表示）；__________时，M、N两点相遇；(3)当__________时，M、N两点在折线数轴上的和谐距离为4个单位长度；当__________时，M、O两点在折线数轴上的和谐距离与N、B两点在折线数轴上的和谐距离相等．3．（2022秋·广西南宁·七年级南宁市第四十七中学校考期中）对于数轴上的A，B，C三点，给出如下定义：若其中一个点与另外两个点的距离恰好满足2倍的数量关系，则称该点是另外两个点的“联盟点”．例如：数轴上点A，B，C所表示的数分别为1，3，4，此时点B是点A，C的“联盟点”．(1)若点A表示数，点B表示数3，下列各数，，0，1所对应的点分别是，其中是点A，B的“联盟点”的是___________；(2)点A表示数，点B表示数5，P为数轴上的一个动点：①若点P在点A的左侧，且点P是点A，B的“联盟点”，求此时点P表示的数；②若点P在点B的右侧，点P，A，B中，有一个点恰好是另外两个点的“联盟点”，求此时点P表示的数．4．（2022秋·北京朝阳·七年级校考期中）阅读下列材料：若数轴上点A、点B表示的数分别为a，b，则线段的中点表示的数为．基于此，我们给出如下定义：数轴上给定两点A，B以及一条线段，若线段的中点R在线段上（点R能与点P或Q重合），则称点A与点B关于线段径向对称．例：如图所示，点A，P，Q，B所表示的数为1，2，5，7，那么线段的中点R所表示的数为＝4，所以点R在线段上，则点A与点B关于线段径向对称．解答下列问题：如图1，在数轴上，点O为原点，点A表示的数为−1，点M表示的数为2．(1)点B，C分别表示的数为，4，在B，C两点中，点______与点A关于线段径向对称；(2)点N是数轴上一个动点，点F表示的数为6，点A与点F关于线段径向对称，求线段长度的最小值，并写出求解过程；(3)在数轴上，动点K从表示的点出发，以每秒3个单位长度的速度向右移动，动点L从表示的点出发，以每秒2个单位长度的速度向右移动．点K和L同时出发，设移动的时间为t秒（t＞0），若线段上至少存在一点与点A关于线段径向对称，则直接写出t能取到的最小值为______，能取到的最大值为______．5．（2022秋·江苏淮安·七年级统考期中）阅读理解：若A、B、C为数轴上三点，若点C到A的距离是点C到B的距离2倍，我们就称点C是【A，B】的好点．如图1，点A表示的数为﹣1，点B表示的数为2．表示1的点C到点A的距离是2，到点B的距离是1，那么点C是【A，B】的好点．(1)知识运用：如图1，表示0的点D到点A的距离是1，到点B的距离是2，那么点D______【A，B】的好点；（请在横线上填是或不是）(2)如图2，M、N为数轴上两点，点M所表示的数为4，点N所表示的数为﹣2．数______所对应的点是【M，N】的好点（写出所有可能的情况）；(3)拓展提升：如图3，A、B为数轴上两点，点A所表示的数为﹣20，点B所表示的数为40．现有一只电子蚂蚁P从点B出发，以4个单位每秒的速度向左运动，到达点A停止．当经过几秒时，P、A和B中恰有一个点为其余两点的好点？（写出所有情况）类型九、数列求和【解惑】37．（2022秋·湖北十堰·七年级十堰市实验中学校考阶段练习）阅读材料：求的值．解：令①将等式①两边同时乘，得．②②-①，得，即所以．请你根据上述材料，解答下列问题：(1)计算：(2)已知数列：，，，，，，①它的第个数是多少？②求这列数中前个数的和．【融会贯通】1.（2020秋·江苏无锡·七年级校考阶段练习）【阅读】计算的值.令S＝，则3S＝，因此3S－S＝，所以S＝，即S＝＝.依照以上推理，计算：＝__________.2．（2019·宁夏固原·统考一模）根据下列材料，解答问题．等比数列求和：概念：对于一列数a1，a2，a3，…an…（n为正整数），若从第二个数开始，每一个数与前一个数的比为一定值，即＝q（常数），那么这一列数a1，a2，a3，…，an，…成等比数列，这一常数q叫做该数列的公比．例：求等比数列1，3，32，33，…，3100的和，解：令S＝1+3+32+33+…+3100则3S＝3+32+33+…+3100+3101因此，3S﹣S＝3101﹣1，所以S＝即1+3+32+33…+3100＝仿照例题，等比数列1，5，52，53，…，52018的和为_____．3．（2022秋·山东烟台·六年级统考期中）阅读材料：求．首先设①，则②，得，即．以上解法，在数列求和中，我们称之为“错位相减法”．请你根据上面的材料，解决下列问题：(1)．(2)；(3)求的值．4．（2022秋·江苏淮安·七年级校考阶段练习）【等比数列】按照一定顺序排列着的一列数称为数列，数列的一般形式可以写成：．一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的比值等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用表示．如：数列为等比数列，其中，公比为．根据以上材料，解答下列问题：（1）等比数列的公比为，第项是．【公式推导】如果一个数列，是等比数列，且公比为，那么根据定义可得到：．所以，，，（2）由此，请你填空完成等比数列的通项公式：．【拓广探究】等比数列求和公式并不复杂，但是其推导过程——错位相减法，构思精巧、形式奇特．下面是小明为了计算的值，采用的方法：设①，则②，得，∴．【解决问题】（3）请仿照小明的方法求的值．5．（2020秋·江苏连云港·七年级江苏省新海高级中学校考期末）阅读新知一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个非零常数，这个数列就叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母表示（）．即：在数列，，，…，．（为正整数）中，若，，…，则数列，，，…，．（为正整数）叫做等比数列．其中叫数列的首项，叫第二项，…，叫第项，叫做数列的公比．例如：数列1，2，4，8，16，…是等比数列，公比．计算：求等比数列1，3，，，…，的和．解：令，则．因此．所以．即．学以致用（1）选择题：下列数列属于等比数列的是（

）A．1，2，3，4，5

B．2，6，18，21，63C．56，28，14，7，

D．－11，22，－33，44，－55（2）填空题：已知数列，，，…，是公比为4的等比数列，若它的首项，则它的第项等于_________．（3）解答题：求等比数列1，5，，，…前2021项的和．类型十、有理数中的归纳与规律【解惑】我们平常用的是十进制，如:1967=1×103+9×102+6×101+7，表示十进制的数要用10个数码：0，1，2，3，4，5，6，7，8，9．在计算机中用的是二进制，只有两个数码：0，1．如:二进制中111=1×22+1×21+1相当于十进制中的7，又如：11011=1×24+1×23+0×22+1×21+1相当于十进制中的27．那么二进制中的1011相当于十进制中的(

)A．9 B．10 C．11 D．12【融会贯通】1．（2022秋·全国·七年级期末）观察下列各式：1-=，1-=，1-=，根据上面的等式所反映的规律（1-）（1-）（1-）=________2．（2022秋·全国·七年级期中）观察下面算式的演算过程：

……（1）根据上面的规律，直接写出下面结果：______________．

____________．_________________．（为正整数）（2）根据规律计算：．3．（2019秋·浙江绍兴·七年级校考阶段练习）【概念学习】规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方，如2÷2÷2，（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）等．类比有理数的乘方，我们把2÷2÷2记作2③，读作“2的圈3次方”，（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）记作（﹣3）④，读作“﹣3的圈4次方”，一般地，把（a≠0）记作aⓝ，读作“a的圈n次方”．（1）【初步探究】直接写出计算结果：2③=_______，（-）⑤=_______；（2）【深入思考】我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？Ⅰ.试一试：仿照上面的算式，将下列运算结果直接写成幂的形式．（﹣3）④=_______；5⑥=_______；(-)⑩=_______．Ⅱ.想一想：将一个非零有理数a的圈n次方写成幂的形式等于_______；Ⅲ.

算一算：12²÷(-)④×(-2)⑤－(-)⑥÷3³.4．（2022·浙江·九年级自主招生）我们已知道：，事实上：（为正整数）成立，故有：当时，成立．由以上结论填写下列代数式结果：(1)__________．(2)___________．(3)_____．5．（2022秋·山东青岛·七年级统考期中）曹冲称象是我国历史上著名的故事，大家都说曹冲聪明．他到底聪明在何处呢？我们都知道，曹冲称得是石块而不是大象，并且确信，石块的质量就是大象的体重．曹冲的聪明就在于，他用化归思想将问题转变了；借助于船这种工具，将大象的体重转变为一块块石块的重量．转变就是化归的实质．化归不仅是一种重要的解题思想，也是一种最基本的思维策略，更是一种有效的数学思维方式．从字面上看，化归就是转化和归结的意思．例如：我们在七年级数学上册第二章中引入“相反数”这个概念后，正负数的减法就化归为已经解决的正负数的加法了；而引入“倒数”这个概念后，正负数的除法就化归为已经解决的正负数的乘法了．下面我们再通过具体实例体会一下化归思想的运用：数学问题，计算(其中是正整数，且，)．探究问题：为解决上面的数学问题，我们运用数形结合的思想方法，通过不断地分割一个面积为1的正方形，把数量关系和几何图形巧妙地结合起来，并采取一般问题特殊化的策略来进行探究．探究一：计算．第1次分割，把正方形的面积二等分，其中阴影部分的面积为；第2次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续二等分，阴影部分的面积之和为；第3次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续二等分，……；……第n次分割，把上次分割图中空白部分的面积最后二等分，所有阴影部分的面积之和为，最后空白部分的面积是．根据第n次分割图可得等式：．探究二：计算．第1次分割，把正方形的面积三等分，其中阴影部分的面积为；第2次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续三等分，阴影部分的面积之和为；第3次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续三等分，……，……第n次分别，把上次分割图中空白部分的面积最后三等分，所有阴影部分的面积之和为，最后空白部分的面积是．根据第n次分制图可得等式：，两边同除2，得，探究三：计算．(仿照上述方法，在图①中只画出第n次分割图，在图上标注阴影部分面积，并写出探究过程)解决问题．计算．(在图②中只画出第n次分割图，在图上标注阴影部分面积，并完成以下填空)．(1)根据第n次分割图可得等式：___________．(2)所以，___________．(3)拓广应用：计算___________．

01-02数学与我们同行、有理数【专题过关】类型一、裂项求和【解惑】观察下列等式：，，，请将以上三个等式两边分别相加得：。（1）猜想并写出：（

）。（2）（

）。（3）探究并计算：（

）。（4）计算：【答案】（1）（2）（3）（4）【分析】（1）先根据题中所给出的等式进行猜想，写出猜想结果即可；（2）根据（1）中的猜想计算出结果；（3）根据乘法分配律提取，再计算即可求解；（4）先拆项，再抵消结果即可求解。【详解】（1）＝＝【点睛】本题考查的是分数的混合运算，根据题意找出规律是解答此题的关键。【融会贯通】1．计算【答案】【详解】略2．________【答案】【分析】仔细审题，我们会发现，题干中分母的规律：；同时很容易发现是一个等差数列，利用等差数列求和公式我们可得，进而可得：。【详解】原式＝＝＝＝【点睛】这道题目稍微有点难度，需要先归纳分母的通项，然后利用裂项进行解题，所以同学们应该在记住公式的同时做适当的综合应用。3．【答案】【详解】原式4．【答案】【详解】原式5．【答案】【详解】原式======6．【答案】【详解】，，……，，所以原式7．_____【答案】【详解】所以原式类型二、最短路线【解惑】如图是一张道路图，每段路上的数字是小王走这段路所需的分钟数。请问小王从A出发走到B，最快需要__________分钟。【答案】48【分析】从A出发走到B，如果不经过中间点，至少需要14＋5＋17＋12＝48分钟，如果经过中间点，那么到达中间点至少需要15＋11＝26分钟从中间点到B点至少需要10＋12＝22分钟，总共48分钟。【详解】不经过中间点：14＋5＋17＋12＝48（分钟）经过中间点：15＋11＋10＋12＝48（分钟）所以最快需要48分钟。【点睛】本题考查的是最短路线的问题，如果有不同的走法，可以先确定每种情况下的最短路线，再进行比较。【融会贯通】1．如图所示，有一只蚂蚁站在正方体某条棱的A处，它想尽快地游览完正方体的各个面，然后回到A处，请问这只蚂蚁要怎样走才能使通过的路程最短？【答案】见详解．【分析】要选择最短的路程，蚂蚁应该尽量避开顶点．考虑到两点之间直线最短，应该想办法将正方体展开在一个平面上，由于正方体的平面展开图有许多种，所以要选择最合适的．【详解】将正方体的六个面记为前、后、左、右、上、下．将这个正方体展开成平面如图所示．由A点在前面与上面的棱的某处，可以确定A和的位置．连接，即为蚂蚁该选择的最短路线．同时从上面右图也可以看出，蚂蚁选择的路线是与棱成45°角的直线，我们将平面图再还原为蚂蚁所能选择的最短路线．【点睛】关键是要选择正方体合适的平面展开图．事实上，将问题摆在平面上是一个最基本的思想，但是如何选取合适的平面展开图是关键．2．下图是某城市的道路图，每段路旁标注的数字表示走完这段路所需用的分钟数（单位：分钟）。邮递员从A点沿道路到达B点至少要经过多长时间？【答案】18分钟【分析】如图所示，从A到B的路线比较多，可以两两比较，舍弃时间较长的路线，留下时间较短的路线，直到最后，确定出最短路线。【详解】简答：如图，逐步简化，去掉没有必要的路线。答：至少需要18分钟【点睛】本题可以采取对比分析的方法，两两比较，留下较优解，知道最后寻找出最佳选择。3．如图，M、N是圆柱体的同一条母线上且位于上、下底面上的两点，若从M点绕圆柱体的侧面到达N，沿怎么样的路线路程最短？【答案】侧面展开图中长方形的一条对角线【详解】沿圆柱体的母线MN将圆柱的侧面剪开铺平，得出圆柱的侧面展开图，从M点绕圆柱体的侧面到达N点．实际上是从侧面展开图的长方形的一个顶点M到达不相邻的另一个顶点N．而两点间以线段的长度最短．所以最短路线就是侧面展开图中长方形的一条对角线，见下图．4．如图所示，壁虎在一座油罐的下底边A处，它发现在自己的正上方，油罐上边缘的B处有一只害虫，壁虎决定捕捉这只害虫．为了不引起害虫的注意，它故意不走直线，而是绕着油罐，沿着一条螺旋路线，从背后对害虫进行突然袭击．请问：壁虎沿着螺旋线至少要爬行多少米才能捕到害虫？【答案】13米【分析】为了找到最短路线，我们可以把圆柱的侧面沿AB剪开，展成一个平面（如图5b所示），在一个平面上两点间以直线段距离最短，因此连接AB，即为最短路线．【详解】将圆柱的侧面沿AB剪开，展成如图5b）所示的平面，连接AB即为最短路线，并且BC=5米，答：壁虎至少要爬行13米才能抓到害虫．5．有A、B两个村庄，分别在一条河的两岸，如图所示，现在要在小河上架一座木桥，使它与河岸垂直．现在请你选择最合适的架桥地点，使A、B两上村庄之间的路最近．【答案】见详解．【分析】由于桥与河岸互相垂直，所以最短肯定是一和折线，要直接找出这条折线很困难，因此要想办法反折线化为直线．由于桥的长度相当于河宽，而河宽又是一个定值，所以桥长是一个定值．因此，从A点作河岸的垂线，并在垂线上取一段长度与河宽相等，就相当于把河宽预先扣除了，从而将折线问题转化为直线问题．【详解】如下图，过A点作河岸的垂线，在垂线上截取AC的长为河宽，连接BC交右河岸于点D，作DE垂直于河岸，交左河岸于点E，连接AE．则D、E两点就是使两村庄行程最短的架桥地点，即两村庄的最短路程是AE+ED+DB．【点睛】巧妙地运用平移的思想，通过平移将桥的长度扣除了，从而化折线为直线．6．有一个圆锥如图所示，A、B在同一条母线上，B为AO的中点，试求以A为起点，以B为终点且绕圆锥侧面一周的最短路线．【答案】见详解．【分析】圆锥的侧面可展为一个平面图形（如下图所示），其中若将OA、粘合起来，恰为题中的圆锥，并且B与重合．从而在扇形中是A点与点的最短路程．【详解】将圆锥面沿母线AO剪开，得到下图中的扇形其中A点与，B点与点在母线AO分别表示同一个点（即A与，B与在圆锥上是重合的）．在扇形中连接，再将扇形还原成圆锥：则曲线AB即为所求的最短路线．7．古希腊有一位久负盛名的学者，名叫海伦．他精通数学、物理，聪慧过人．有一天，一位将军向他请教一个问题：如图16﹣3，将军从甲地骑马出发，要到河边让马饮水，然后再回到乙地的马棚，为了使走的路线最短，应该让马在什么地方饮水？【答案】饮马处的C点如图所示．【详解】试题分析：根据：在直线L上的同侧有两个点A、B，在直线L上有到A、B的距离之和最短的点存在，可以通过轴对称来确定．作出点A关于直线MN的对称点A′，根据轴对称确定最短路线问题，连接A′B与MN的交点即为饮马处C．解：饮马处的C点如图所示．点评：本题考查了轴对称确定最短路线问题，此类问题理论依据是线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等和三角形的任意两边之和大于第三边．类型三、有趣规律【解惑】“？”处的图形是哪一个？（

）A． B．C． D．E．【答案】D【分析】先判断外面大直角的方向，依次顺时针旋转90度，可以确定是B或D，里面小直角依次是顺时针旋转45度，据此确定应该是D选项。【详解】外面大直角依次顺时针旋转90度，里面小直角依次顺时针旋转45度；故答案选：D。【点睛】本题考查的是图形找规律的问题，可以从图形变换这个角度进行分析。【融会贯通】1．“？”处是（

）。A． B．C． D．E．【答案】A【分析】每一行、每一列都只有一个圆，一个正方形，一个三角形，首先确定形状是圆，然后每一行的“眼睛”有两个是圆，一个是线，据此做出选择。【详解】“？”处应该是圆形，眼睛是线状；故答案选A。【点睛】本题考查的是图形找规律的问题，从图案的形状、嘴巴、眼睛的形状入手分析是解题的关键。2．如图，下面每个图中有多少个白色小正方形和多少个灰色小正方形？（1）把下面的表格补充完整．第1个图第2个图第3个图第4个图白色12灰色810（2）照这样接着画下去，第6个图中有_____个白色小正方形和_____个灰色小正方形；（3）想一想：照这样的规律，第n个图中有_____个白色小正方形和_____个灰色小正方形；（4）照这样的规律，如果某个图中灰色小正方形有30个，那么白色小正方形有_____个，它是第_____个图．【答案】341214618n2n+61212【详解】（1）观察可知，第1个图有1个白色小正方形和8个灰色小正方形，第2个图有2个白色小正方形和10个灰色小正方形，第3个图有3个白色小正方形和12个灰色小正方形，第4个图有4个白色小正方形和14个灰色小正方形．（2）根据上题可推出第6个图中有6个白色小正方形和18个灰色小正方形；（3）第n个图中有n个白色小正方形和2n+6个灰色小正方形；（4）2n+6＝302n＝30﹣62n＝24n＝24÷2n＝12故答案为（1）3，4，12，14；（2）6，18：；（3）n，2n+6；（4）12，123．用同样大小的正方形按下列规律摆放，将重叠部分涂上颜色，下面的图案中，第n个图案中正方形的个数是________.【答案】4n-1

【分析】根据题意可得：第1个图案中正方形的个数4×1−1=3个，第2个图案中正方形的个数4×2−1=7个，……，第n个图案中正方形的个数4×n−1个，据此解答.【详解】根据分析可知，第n个图案中正方形的个数是：4n-1.故答案为4n-1.4．将下图左边的大三角形纸板剪3刀,得到4个大小相同的小三角形纸板(第一次操作),见下图中间.再将每个小三角形纸板剪3刀,得到16个大小相同的更小的三角形纸板(第二次操作),见下图右边.这样继续操作下去,完成前六次操作共剪了________刀.【答案】4095【详解】略5．探索：如图，外层正方形边长是5，往里第二、三、四、五层各小正方形边长依次是4、3、2、1，观察图形，完成下列问题；(1)判断大小关系：13+23+33+43+53________（1+2+3+4+5）2；(2)结合图形，证明你（1）中的判断．猜想：13+23+33+…+n3="________"．【答案】=（1+2+3+…+n）2【分析】（1）通过计算判断大小．（2）根据所给图形的面积证明（1）的判断．（3）根据以上两个题的计算和验证结论来推导．【详解】解：（1）13+23+33+43+53=1+8+27+64+125=225；（1+2+3+4+5）2=152=225；所以13+23+33+43+53=（1+2+3+4+5）2．（2）结合图形：大正方形的面积等于所有小正方形的面积之和为：52×20+42×16+32×12+22×8+12×4，=52×5×4+42×4×4+32×3×4+22×2×4+12×1×4，=53×4+43×4+33×4+23×4+13×4，=（53+43+33+23+13）×4；同时，大正方形的边长为：（1+2+3+4+5）×2，所以面积为：[1+2+3+4+5）×2]×[1+2+3+4+5）×2]，=[（1+2+3+4+5）×2]2=（1+2+3+4+5）2×22，=（1+2+3+4+5）2×4；所以：（53+43+33+23+13）×4=（1+2+3+4+5）2×4；即：13+23+33+43+53=（1+2+3+4+5）2．（3）由以上结论猜想得出：13+23+33+…+n3=（1+2+3+…+n）2．故答案为（1）=；猜想：（1+2+3+…+n）2．6．有一串分数，，，，，，，，，,，，…，这串分数从左往右数，第一个在第________个，第二个在第________个．【答案】6977

【分析】分母是1的分数有1个，分子是1；分母是2的分数有3个，分子是1，2，1；分母是3的分数有5个，分子是1，2，3，2，1；分母是4的分数有7个；分子是1，2，3，4，3，2，1．分数的个数分别是1，3，5，7…，当分母是n时有2n﹣1个分数；由此求出从分母是1的分数到分母是8的分数一共有多少个；分子是自然数，先从1增加，到和分母相同时再减少到1；因此在这个数列中应该有2个，分别求出即可．【详解】分母是8的分数一共有：2×8﹣1=15（个）；从分母是1的分数到分母是8的分数一共：1+3+5+7+…+15=（1+15）×8÷2=16×8÷2=64（个）；第一个是第65个数，第一个就是第64+5=69个数；第二个就是第64+9+4=77个数．故答案为69，77．7．观察以下的一列数，依次是11，17，23，29，35，….若从第n个数开始，每个数都大于2017，则_______________.【答案】336【详解】略类型四、绝对值的“1与-1”化简【解惑】已知，，都是非零有理数，满足，令，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据，，都是非零有理数，满足可知，，为两正一负或两负一正，按两种情况分别讨论代数式的可能取值，再求所有可能的值的情况即可；【详解】∵，，都是非零有理数，满足，∴，，为两正一负或两负一正，当，，为两正一负时，，，则；当，，为两负一正时，，，∴，综上所述，的所有可能值为，则；故选A．【点睛】本题主要考查了绝对值的化简与求值、非零数的性质等知识点，注意分类讨论字母的取值，不要漏解．【融会贯通】1．（2022·浙江·九年级自主招生）若关于x的方程有四个实数解，则化简的结果是（

）A． B．0 C．2 D．4【答案】C【分析】由可化简得,在化简的过程中判断的符号，从而对题中的绝对值进行化简．【详解】由有四个实数解，可知a、b均不为0，且，故，∴，化简得可知，∴，∴故选：C．【点睛】本题考查的是绝对值的相关计算，理解绝对值方程四个解的意义是难点，会判断绝对值符号中的每个代数式的正负是化简的关键．2．（2022秋·全国·七年级期末）|x﹣2|+|x﹣4|+|x﹣6|+|x﹣8|的最小值是a，，那么的值为（）A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．不确定【答案】C【分析】根据绝对值的意义，先求出a的值，然后进行化简，得到，则，，再进行化简计算，即可得到答案．【详解】解：∵|x﹣2|+|x﹣4|+|x﹣6|+|x﹣8|的最小值是a，∴当时，|x﹣2|+|x﹣4|+|x﹣6|+|x﹣8|有最小值8，∴，∵，∴，∴，∴，，∴，，∴∴=====0；故选：C．【点睛】本题考查了绝对值的意义，求代数式的值，解题的关键是掌握绝对值的意义，正确的求出，，．3．（2020秋·江西宜春·七年级宜春市第三中学校考期中）若，，则______．【答案】-2或0或4【分析】对a和b，以及的正负进行分类讨论，然后去绝对值求出对应的值．【详解】解：①当，时，，，原式；②当，时，，，原式；③当，，且时，，原式；④当，，且时，，原式；⑤当，，且时，，原式；⑥当，，且时，，原式．故答案是：-2或0或4．【点睛】本题考查绝对值的性质，解题的关键是利用分类讨论的思想去化简绝对值．4．（2018秋·天津南开·七年级南开中学校考阶段练习）若，则_______．【答案】2或-2.【分析】对a、b、c中正数的个数进行讨论，即可求解．【详解】解：当a、b、c中没有负数时，都是正数，则原式=1+1+1-1=2；当a、b、c中只有一个负数时，不妨设a是负数，则原式=-1+1+1+1=2；当a、b、c中有2个负数时，不妨设a、b是负数，则原式=-1-1+1-1=-2；当a、b、c都是负数时，则原式=-1-1-1+1=-2，总是代数式的值是2或-2，故答案为：2或-2.【点睛】本题考查了有理数的除法法则和乘法法则，正确进行讨论是关键．5．（2022秋·浙江丽水·七年级校联考期中）（《学霸养成卷》改编）如果，那么的值是______．【答案】0或2【分析】当时，，当时，，结合可知，a，b，c中至少有2个负数，再分情况讨论即可求解．【详解】当时，，当时，同理可得，∵∴a，b，c中至少有2个负数①若a，b，c中有2个负数，1个正数则，三个数中有2个负数，1个正数此时②若a，b，c中有3个负数，则，三个数都大于0此时综上，的值为0或2故答案为：0或2．【点睛】本题考查绝对值的化简，解题的关键是掌握当时，，当时，．6．（2019秋·湖北武汉·七年级统考期中）已知a、b、c满足(a+b)(b+c)(c+a)=0，且abc<0，若，且，则3m2n+4mn2=____.【答案】10.【分析】根据(a+b)(b+c)(c+a)=0，可知a、b、c中有2个数互为相反数，另一个为正数，故，由且，可求出n的值，最终即可得解．【详解】∵(a+b)(b+c)(c+a)=0∴a、b、c中有2个数互为相反数，另一个为正数∴∵且∴n=-2所以【点睛】本题属于数轴综合性题目．7．（2018·河南安阳·七年级校联考期中）如果abc＜0，则++=_____．【答案】1或﹣3【分析】已知abc＜0，根据有理数的乘法法则可得a、b、c有一个负数或a、b、c有三个负数，再根据绝对值的性质解答即可.【详解】∵abc＜0∴a，b，c有一个负数，或a，b，c有三个负数当a，b，c有一个负数时，则++=1a，b，c有三个负数则++=﹣3故答案为：1或﹣3【点睛】本题考查了有理数的乘法法则及绝对值的性质，根据有理数的乘法法则得到a、b、c有一个负数或a、b、c有三个负数是解决问题的关键.8．（2022秋·江苏苏州·七年级统考期末）分类讨论是重要的数学方法，如化简，当时，；当时，；当时，．求解下列问题：(1)当时，值为______，当时，的值为______，当x为不等于0的有理数时，的值为______；(2)已知，，求的值；(3)已知：，这2023个数都是不等于0的有理数，若这2023个数中有n个正数，，则m的值为______（请用含n的式子表示）【答案】(1)，1，(2)或3(3)【分析】（1）根据绝对值的定义求解即可；（2）已知，，所以，，一正两负，根据（1）的结论解即可；（3）个正数，负数有个，式子中有个正1，个，相加得答案．【详解】（1）解：，，，故答案为：，1，．（2），，，，，的正负性可能为：①当为正数，，为负数时：原式；②当为正数，，为负数时，原式；③当为正数，，为负数时，原式，原式或3．（3）∵有个正数，负数的个数为，．故答案为：．【点睛】本题考查的是数字的规律，有理数的混合运算，解题的关键是一个不等于0的数除以它的绝对值等于1或，将题目转化为由几个正1和几个的问题．9．（2022秋·全国·七年级专题练习）（1）数学小组遇到这样一个问题：若a，b均不为零，求的值．请补充以下解答过程（直接填空）①当两个字母a，b中有2个正，0个负时，x=；②当两个字母a，b中有1个正，1个负时，x=；③当两个字母a，b中有0个正，2个负时，x=；综上，当a，b均不为零，求x的值为．（2）请仿照解答过程完成下列问题：①若a，b，c均不为零，求的值．②若a，b，c均不为零，且a+b+c=0，直接写出代数式的值．【答案】（1）①2，②0，③-2，2或0或-2；（2）①1或3或-3或-1；②-1或1【分析】（1）①根据a、b的符合化简绝对值即可得到答案；②设a是正数，b是负数，化简绝对值即可得到答案；③根据a、b的符合化简绝对值即可得到答案；综合上面三个的结果得到答案；（2）①分四种情况化简绝对值即可得到答案；②根据a、b、c均不为零，分两种情况求出答案即可.【详解】（1）①∵a、b都是正数，∴=a，=b，∴=1+1=2，故答案为：2；②设a是负数，b是正数，∴=-a，=b，∴=-1+1=0，故答案为：0；③∵a、b都是负数，∴=-a，=-b，∴=-1-1=-2，故答案为：-2；综上，当a，b均不为零，求x的值为2或0或-2；（2）①由题意可得：a、b、c的符号分为四种情况：当a、b、c都是正数时，=1+1-1=1，当a、b、c为两正一负且a、b为正c为负时，=1+1+1=3，当a、b、c为一正两负且a、b为负c为正时，=-1-1-1=-3,当a、b、c都是负数时，=-1-1+1=-1，综上，的值为1或3或-3,或-1；②∵a，b，c均不为零，且a+b+c=0，∴=，∴当a、b、c为两正一负时，=-1-1+1=-1，当a、b、c为一正两负=-1+1+1=1，综上，的值为-1或1.【点睛】此题考查绝对值的性质，根据绝对值的符号化简绝对值，熟记性质特征是解题的关键.10．（2021秋·江苏南通·七年级启东市长江中学校考期中）在解决数学问题的过程中，我们常用到“分类讨论”的数学思想，下面是运用分类讨论的数学思想解决问题的过程，请仔细阅读，并解答题目后提出的探究问题.【提出问题】三个有理数a，b，c，满足abc>0，求的值.【解决问题】解：由题意得：a，b，c三个有理数都为正数或其中一个为正数，另两个为负数.①当a，b，c，都是正数，即a>0，b>0，c>0时，则==1+1+1=3；②当a，b，c有一个为正数，另两个位负数时，设a>0，b<0，c<0，则==1−1−1=−1；所以的值为3或−1.【探究】请根据上面的解题思路解答下面的问题：(1)三个有理数a，b，c满足abc<0，求的值；(2)已知=9，=4，且a<b，求a−2b的值.【答案】(1)-3或1；(2)−17或−1.【分析】（1）按照题目内的求值方式，分类讨论，即可解答.（2）根据=9，=4分别求出a、b的值，再根据a<b，分情况讨论，分别求出a−2b的值即可.【详解】(1)∵abc<0，∴a，b，c都是负数或其中一个为负数，另两个为正数，①当a，b，c都是负数，即a<0，b<0，c<0时，则原式=−1−1−1=−3；②a，b，c有一个为负数，另两个为正数时，不妨设a<0，b>0，c>0，则原式=−1+1+1=1；(2)∵=9，=4∴a=9，b=±4∵a<b，∴当a=-9，b=4时，a−2b=−9−2×4=-17，当a=-9，b=-4时，a−2b=−9−2×(-4)=-1，【点睛】本题考查绝对值的定义，以及分类讨论思想的运用，熟练掌握绝对值的定义是解题关键.11．（2023秋·全国·七年级专题练习）阅读下列材料并解决有关问题：我们知道，所以当时，；当时，，现在我们可以用这个结论来解决下面问题：（1）已知，是有理数,当时，求的值；（2）已知，，是有理数，当，求的值；（3）已知，，是有理数，，，求的值.【答案】（1）0或±2；（2）±1或±3；（3）-1.【分析】（1）分3种情况讨论即可求解；（2）分4种情况讨论即可求解；（3）根据已知得到b+c=-a，a+c=-b，a+b=-c，a、b、c两正一负，进一步计算即可求解．【详解】解：（1）已知a，b是有理数，当ab≠0时，①a＜0，b＜0，②a＞0，b＞0，③a、b异号，故=±2或0；（2）已知a，b，c是有理数，当abc≠0时，①a＜0，b＜0，c＜0，②a＞0，b＞0，c＞0，③a、b、c两负一正，④a、b、c两正一负，故=±1或±3；（3）已知a，b，c是有理数，a+b+c=0，abc＜0，则b+c=-a，a+c=-b，a+b=-c，a、b、c两正一负，则=-1-1+1=-1故答案为±2或0；±1或±3；-1．【点睛】此题考查了有理数的除法，以及绝对值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．类型五、绝对值的最值【解惑】同学们都知道，表示5与1差的绝对值，也可以表示数轴上5和1这两点间的距离；表示3与之差的绝对值，实际上也可理解为3与在数轴上所对的两点之间的距离；自然地，对进行变式得，同样可以表示3与两数在数轴上所对的两点之间的距离．试探索：(1)__________；(2)表示与__________之间的距离；表示与__________之间的距离；(3)当时，可取整数__________．（写出一个符合条件的整数即可）(4)由以上探索，结合数轴猜想：对于任何有理数，的最小值为__________．【答案】(1)5(2)2，(3)2（答案不唯一）(4)10【分析】（1）根据数轴上两点之间的距离的表示方法即可解答；（2）根据数轴上两点之间的距离的表示方法即可解答；（3）利用绝对值及数轴求解即可；（4）根据数轴及绝对值，即可解答．【详解】（1）解：表示数轴上表示3的点到表示的点的距离，即为5．故答案为5．（2）解：表示与2之间的距离；表示与之间的距离．故答案为：2，．（3）解：∵表示数轴上有理数x所对应的点到2和所对应的点的距离之和为5，∴当x在与2之间的线段上（即），∴可取整数．故答案为：2（答案不唯一）．（4）解：∵理解为：在数轴上表示x到和6的距离之和，∴当x在与6之间的线段上（即）时，即的值有最小值，最小值为．故答案为：10．【点睛】本题主要考查了整式的加减、数轴、绝对值等知识点，掌握整式加减、去绝对值符号以及数轴的特点是解答本题的关键．【融会贯通】1．（2022春·安徽滁州·七年级统考期中）阅读下面材料：点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，在数轴上A、B两点之间的距离．回答下列问题：(1)数轴上表示和2两点之间的距离是，数轴上表示x和的两点之间的距离是；(2)数轴上表示x和1的两点之间的距离为5，则x表示的数为；(3)若x表示一个有理数，则有最小值吗？若有，请求出最小值；若没有，请说明理由．【答案】(1)5，(2)或6(3)8【分析】（1）根据数轴上两点间的距离公式可得答案；（2）由数轴上两点间的距离公式列方程，即可解得答案；（3）分三种情况去绝对值，即可得到的最小值．【详解】（1）解：数轴上表示和2两点之间的距离是，数轴上表示和的两点之间的距离是；（2）解：根据题意得，或，解得或；（3）解：有最小值，理由如下：当时，，，，即此时大于8；当时，；当时，，，，即此时大于8；综上所述，的最小值为8．【点睛】本题考查数轴上两点间的距离，绝对值化简，解题的关键是读懂题意，能灵活运用数轴上两点间的距离解决问题．2．（2022秋·山东青岛·七年级青岛大学附属中学校考阶段练习）我国著名数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形少数时难入微”，数形结合是解决数学问题的重要思想方法．我们知道的几何意义是在数轴上数x对应的点到原点的距离，也就是说表示在数轴上数x与数0对应点之间的距离．提出问题：有理数a，b在数轴上对应的点分别记为点A和点B，AB两点之间的距离记为，那么与有理数a，b有怎样的关系？探究问题：探究一：如果A，B两点中有一点在原点，不妨假设A点在原点，即a＝0．当b＝2时，，如图1所示；当b＝－3时，，如图2所示；由此可以推断当b＝n时，______．探究二：如果A，B两点都不在原点，即，．（1）当A，B两点都在原点的右侧时，如图3所示：；（2）当A，B两点都在原点的左侧时，如图4所示：；（3）当A，B两点在原点的两侧时，如图5所示，请你仿照上述探究过程，写出A，B两点之间的距离______．解决问题：有理数a，b在数轴上对应的点分别记为点A和点B，AB两点之间的距离记为，那么______．（用含有a，b的式子表示）实际应用：（1）数轴上，表示有理数－6和－1的两点之间的距离是______；（2）数轴上，表示x和2的两点P和Q之间的距离是5，则x＝______．拓展延伸：结合数轴回答下列问题：（1）的最小值是______；（2）的最大值是______．【答案】探究一：n；探究二（2）；（3）；解决问题：；实际应用（1）5；（2）7或；拓展延伸（1）4；（2）9【分析】探究一：根据绝对值的概念可得；探究二（2）根据绝对值的概念计算即可；（3）根据绝对值的概念计算即可；解决问题：根据绝对值的概念计算即可；实际应用（1）根据绝对值的概念计算即可；（2）根据绝对值的概念列方程解答即可；拓展延伸（1）根据绝对值的概念计算即可；（2）根据绝对值的概念计算即可．【详解】探究一：当b＝n时，，故答案为：n；探究二：（2），故答案为：；（3），故答案为：；解决问题：，故答案为：；实际应用（1）有理数－6和－1的两点之间的距离是，故答案为：5；（2）∵表示x和2的两点P和Q之间的距离是5，∴，∴或，得或，故答案为：7或；拓展延伸（1）从数轴上可以看出，当x位于到1之间时它们的距离和最小，最小值为4，∴的最小值是4，故答案为：4；（2）从数轴上可以看出，当x位于到5之间时它们的距离差最大，最大值为9，∴的最大值是9，故答案为：9．【点睛】此题考查了绝对值概念的理解，解题的关键是要注意负数绝对值的计算方法．3．（2022秋·江苏苏州·七年级校考阶段练习）数学实验室：点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，A、B两点之间的距离表示为AB，在数轴上A、B两点之间的距离．利用数形结合思想回答下列问题：(1)数轴上表示3和6两点之间的距离是______，数轴上表示1和的两点之间的距离是______．(2)数轴上表示x和的两点之间的距离表示为______，数轴上表示x和7的两点之间的距离表示为______．(3)若x表示一个有理数，则的最小值______．(4)若x表示一个有理数，且，则满足条件的所有整数x是______．(5)求使式子有最小值的有理数x，以及这个最小值．【答案】(1)3，6(2)，(3)6(4)或0或1或2或3或4(5)7【分析】（1）根据数轴上两点间的距离的求解方法列式计算即可求解；（2）根据数轴上两点间的距离的求解方法列式计算即可求解；（3）根据几何意义是：数轴上x到2和的距离和，可得结果；（4）根据几何意义是：数轴上x到和4的距离和为5，可得结果；（5）根据几何意义是：数轴上表示x的点到表示，0，5三点的距离和，可得结果．【详解】（1）解：，．故答案为：3，6．（2）由点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，在数轴上A、B两点之间的距离可知：数轴上表示x和的两点之间的距离表示为，数轴上表示x和7的两点之间的距离表示为．故答案为：，．（3）几何意义是：数轴上x到2和的距离和，所以只有当时，才能取到最小值，为6．故答案为：6；（4）可以看作数轴上x到和4的距离和为5，所以只有当时，方程才成立，又因为x是整数，所以满足条件的所有整数x是或0或1或2或3或4．故答案为：或0或1或2或3或4；（5）看作是数轴上表示x的点到表示，0，5三点的距离和，所以，当时，有最小值，为7．【点睛】本题考查了绝对值的性质，读懂题目信息，理解数轴上两点间的距离的表示方法是解题的关键．4．（2023秋·山西朔州·七年级校考期末）阅读与思考：点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，A、B两点之间的距离表示为，在数轴上A、B两点之间的距离．回答下列问题：(1)数轴上表示2和5两点之间的距离是，数轴上表示1和的两点之间的距离是(2)数轴上表示x和的两点之间的距离表示为；(3)七年级研究性学习小组在数学老师指导下，对式子进行探究：①请你在草稿纸上画出数轴，当表示数x的点在与4之间移动时，的值总是一个固定的值为②请你画出数轴，探究：是否存在数x，使？如果存在，则在数轴上表示出来，并写出x的值；如果不存在，简要说明理由．【答案】(1)3，4(2)(3)①7；②存在，数轴见解析，x为5或【分析】（1）（2）根据数轴上A、B两点之间的距离的表达式计算出绝对值；（3）①先化简绝对值，然后合并同类项即可；②分为和两种情况讨论．【详解】（1）解：根据题意知：2和5两点之间的距离是，1和的两点之间的距离是，（2）x和的两点之间的距离表示为；（3）①当时，；②当时，，解得：，当时，．解得：．∴或．即表示数轴上到4和距离之和为9，这样的x值为5或．【点睛】本题主要考查的是绝对值的定义和化简，根据题意找出数轴上任意两点之间的距离公式是解题的关键．5．（2022秋·新疆乌鲁木齐·七年级乌鲁木齐市第二十三中学校考期末）先阅读，后探究相关的问题．【阅读】表示5与2差的绝对值，也可理解为5与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离；可以看做，表示5与的差的绝对值，也可理解为5与两数在数轴上所对应的两点之间的距离．(1)如图，先在数轴上画出表示点4.5的相反数的点，再把点A向左移动1.5个单位，得到点，则点和点表示的数分别为_______和_______，，两点间的距离是______；(2)若点A表示的整数为，则当为_______时，与的值相等；(3)要使代数式取最小值时，相应的的取值范围是________．【答案】(1)图见解析；；3；7.5(2)(3)【分析】（1）先在数轴上画出B、C，然后根据数轴上两点距离公式求出即可；（2）根据题意得到，解绝对值方程即可得到答案；（3）分，和三种情况去绝对值求解即可．【详解】（1）解：如图所示，即为所求，B点表示的数，C点表示的数3，的距离是；故答案为：；3；7.5．（2）解：解：由题意得，∴或，∴，故答案为：．（3）解：当时，，当时，，当时，；∴当时，有最小值3，故答案为：．【点睛】本题主要考查了数轴上两点