第23章图形的相似(原卷版+解析)

第23章图形的相似一、单选题1．下列每组的两个图形不是位似图形的是（）A． B． C． D．2．已知线段a，b，c，其中c是a和b的比例中项，a＝4，b＝9，则c=（）A．4 B．6 C．9 D．363．在比例尺为的交通地图上，阜宁到盐城的长度约为11.7cm，则它的实际长度约为（）A．0.585km B．5.85km C．58.5km D．585km4．若两个相似三角形对应边上的高线之比为3：1，则对应角的平分线之比为（）A．9：1 B．6：1 C．3：1 D．1：35．两个三角形的相似比是，那么这两个三角形的周长比是（）A． B． C． D．6．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，点F在边AC上，并且CF＝2，点E为边BC上的动点，将△CEF沿直线EF翻折，点C落在点P处，则点P到边AB距离的最小值是（）A．1.5 B．1.2 C．2.4 D．以上都不对7．如图，在中，，，，，的平分线相交于点，过点作交于点，则的长为（）

A． B． C． D．8．如图，在正方形ABCD中，G为CD的中点，连结AG并延长，交BC边的延长线于点E，对角线BD交AG于点F，已知FG＝2，则线段AE的长是（）A．8 B．10 C．12 D．169．如图，菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，AC＝6，BD＝8，动点P从点B出发，沿着B→A→D在菱形ABCD的边AB，AD上运动，运动到点D停止．点P′是点P关于BD的对称点，连接PP'交BD于点M，若BM＝x（0＜x＜8），△DPP′的面积为y，下列图象能正确反映y与x的函数关系的是（）A． B． C．D．10．如图，点A在线段BD上，在BD的同侧作等腰直角三角形ABC和等腰直角三角形ADE，CD与BE、AE分别交于点P、M．对于下列结论：①；②；③；④．其中正确的个数有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个二、填空题11．线段，点为线段的黄金分割点（），则的长为______．12．如图所示的两个五边形相似，则_____，______，_______，______．13．如图AB∥CD∥EF，若，，则______．14．如图，、交于点，，若，，，则__．15．如图，在△ABC中，D是边AB上一点，已知∠ADC＝∠ACB，AC＝8，AB＝12，则AD的长为_____．16．如图，在中，．在其内并排放入（不重叠）n个相同的小正方形纸片，使这些纸片的一边都在上，首尾两个正方形各有一个顶点D，E分别在上，则小正方形的边长为____________（用含n的代数式表示）．17．在平面直角坐标系中，A（3，﹣3），B（1，0），C（3，0），点P在y轴的正半轴上运动，若以点O、B、P为顶点的三角形与三角形ABC相似，则点P的坐标为____．18．如图，在中，，反比例函数的图象与斜边相交于点，且与边相交于点．已知，则的面积为_____．

19．如图，在△ABC中，点A1，B1，C1分别是AC，BC，AB的中点，连接A1C1，A1B1，四边形A1B1BC1的面积记作S1：点A2，B2，C2分别是A1C，B1C，A1B1的中点，连接A2C2，A2B2，四边形A2B2B1C2的面积记作S2……，按此规律进行下去，若S△ABC＝a，则S2021＝___．20．如图，在矩形ABCD中，BC＝2AB，点E是边BC的中点，连接AE、DE，分别交BD、AC点P、Q，过点P作PF⊥AE交CB于点F，下列结论：①∠EAC＝∠EDB；②AP＝2PF；③若S△DQC＝，则AB＝8；④CE•EF＝EQ•DE．其中正确的结论有__．（填序号即可）三、解答题21．如图，点在线段上，在的同侧作等腰和等腰，与、分别交于点、．求证：（1）；（2）．22．如图，在边长为8的正方形ABCD中，点M是边DC上一动点（点M不与边DC端点重合），点O在边AD上，且OA=OM，作MN⊥MO，交BC于点N．设DM=x，OM=y．（1）求证：△OMD∽△MNC；（2）求y关于x的函数表达式；（3）当x=2时，求△MNC的周长．23．如图，已知在△ABC和△DAC中，∠B=∠DAC，∠D=115°，E，F分别为AB和BC上的点，且EF//AC，AE=AD，CF=AC．（1）求的度数；（2）若，，求的值．24．如图1，在中，于点D，，点E为边AD上一点，且，连接BE并延长，交AC于点F．（1）求证：；（2）过点A作交BF的延长线于点G，连接CG，如图2．若，求证：四边形ADCG是矩形．25．如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在边AD，CD上，且，连接并延长AF，分别交BE于点G，交BC的延长线于点H．（1）求证：；（2）连接EH，若，求证．26．如图，已知△ABC中，∠C=90°，AB=10cm，AC=8cm．如果点P由B出发沿BA方向向点A匀速运动，同时点Q由A出发沿AC方向向点C匀速运动，它们的速度均为2cm/s，连接PQ，设运动的时间为t（单位：s）（0≤t≤4）．解答下列问题：（1）是否存在某时刻t，使线段PQ恰好把△ABC的面积平分？若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由；（2）如果BP=PQ，求此时t的值．27．如图所示，在平面直角坐标系xOy中，有点，点，点，将沿x轴向右平移得到，连接，，当取得最小值时，求点的坐标．28．如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，直线经过B，C两点，点P为第一象限内抛物线上一点，射线OP与线段BC交于点D．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，连接AC，当∠OAC＋∠ODC＝180°时，求点P的坐标；（3）过点B作BE⊥x轴交射线OP于点E，当BDE为等腰三角形时，直接写出点D的坐标．第23章图形的相似一、单选题1．下列每组的两个图形不是位似图形的是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据位似图形的概念对各选项逐一判断，即可得出答案．【详解】解：对应顶点的连线相交于一点的两个相似多边形叫位似图形．据此可得A、B、C三个图形中的两个图形都是位似图形；而D的对应顶点的连线不能相交于一点，故不是位似图形．故选：D．【点睛】本题考查了位似变换的知识，位似与相似既有联系又有区别，相似仅要求两个图形形状完全相同；而位似是在相似的基础上要求对应点的连线相交于一点．2．已知线段a，b，c，其中c是a和b的比例中项，a＝4，b＝9，则c=（）A．4 B．6 C．9 D．36【答案】B【分析】根据比例中项的概念，当两个比例内项相同时，就叫比例中项，再列出比例式即可得出．【详解】解：根据比例中项的概念，得，，又线段不能是负数，应舍去，取，故选：B．【点睛】考查了比例中项的概念：解题的关键是当两个比例内项相同时，就叫比例中项．这里注意线段不能是负数．3．在比例尺为的交通地图上，阜宁到盐城的长度约为11.7cm，则它的实际长度约为（）A．0.585km B．5.85km C．58.5km D．585km【答案】C【分析】由图上距离与实际距离的比叫做比例尺建立等量关系，解这个一元一次方程就可以求出实际距离．【详解】解：设这两城市的实际距离是厘米，由题意得，，解得：，，故选：．【点睛】本题考查比例尺的定义，属于基础题型．4．若两个相似三角形对应边上的高线之比为3：1，则对应角的平分线之比为（）A．9：1 B．6：1 C．3：1 D．1：3【答案】C【分析】由相似三角形对应线段的比等于相似比可求得答案．【详解】解：∵两个相似三角形对应高线之比是3：1，∴两个相似三角形的相似比是3：1，∴它们对应角的平分线之比为3：1．故选：C【点睛】本题主要了考查相似三角形的性质，掌握相似三角形对应线段的比等于相似比是解题的关键．5．两个三角形的相似比是，那么这两个三角形的周长比是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】由两个三角形的相似比是，根据相似三角形的周长比等于相似比，即可求得答案．【详解】解：∵两个三角形的相似比是，∴这两个三角形的周长比是：．故答案为：A．【点睛】此题考查了相似三角形的性质．注意掌握相似三角形的周长的比等于相似比是关键．6．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，点F在边AC上，并且CF＝2，点E为边BC上的动点，将△CEF沿直线EF翻折，点C落在点P处，则点P到边AB距离的最小值是（）A．1.5 B．1.2 C．2.4 D．以上都不对【答案】B【详解】思路引领：先依据勾股定理求得AB的长，然后依据翻折的性质可知PF＝FC，故此点P在以F为圆心，以2为半径的圆上，依据垂线段最短可知当FP⊥AB时，点P到AB的距离最短，然后依据题意画出图形，最后，利用相似三角形的性质求解即可．答案详解：如图所示：当PE∥AB．在Rt△ABC中，∵∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，∴AB10，由翻折的性质可知：PF＝FC＝2，∠FPE＝∠C＝90°．∵PE∥AB，∴∠PDB＝90°．由垂线段最短可知此时FD有最小值．又∵FP为定值，∴PD有最小值．又∵∠A＝∠A，∠ACB＝∠ADF，∴△AFD∽△ABC．∴，即，解得：DF＝3.2．∴PD＝DF﹣FP＝3.2﹣2＝1.2．故选：B．7．如图，在中，，，，，的平分线相交于点，过点作交于点，则的长为（）

A． B． C． D．【答案】D【分析】延长FE交AB于点D，作EG⊥BC，作EH⊥AC，由可证四边形BDEG是矩形，由角平分线可得ED=EH=EG、∠DAE=∠HAE，从而知四边形BDEG是正方形，再证△DAE≌△HAE、△CGE≌△CHE得AD=AH，CG=CH，设BD=BG=x，则AD=AH=6-x，CG=CH=8-x，由AC=10可得x=2，即BD=DE=2，AD=4，再证△ADF∽△ABC可得，据此得出EF=DF-DE．【详解】解：如图，延长FE交AB于点D，作EG⊥BC于点G，作EH⊥AC于点H，∵EF//BC，∠ABC=90°，∴FD⊥AB，∵EG⊥BC，∴四边形BDEG是矩形，∵AE平分∠BAC，CE平分∠ACB，∴ED=EH=EG，∠DAE=∠HAE，∴四边形BDEG是正方形，在△DAE和△HAE中，∵∴△DAE≌△HAE（AAS），∴AD=AH，同理△CGE≌△CHE（AAS），∴CG=CH，设BD=BG=x，则AD=AH=6-x，CG=CH=8-x，∵，∴AH+CH=AC，即6-x+8-x=10，解得：x=2，∴BD=DE=2，AD=4，∵DF//BC，∴△ADF∽△ABC，∴，故选：D．【点睛】本题主要考查相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质及正方形的判定与性质，熟练掌握角平分线的性质和正方形的判定与性质、相似三角形的判定与性质是解题的关键．8．如图，在正方形ABCD中，G为CD的中点，连结AG并延长，交BC边的延长线于点E，对角线BD交AG于点F，已知FG＝2，则线段AE的长是（）A．8 B．10 C．12 D．16【答案】C【分析】根据正方形的性质可得出，进而可得出，根据相似三角形的性质和全等三角形的性质可求出结论．【详解】解：∵四边形ABCD为正方形，∴∴∴，∴，又∵G为CD的中点∴∴，∴在和中，∴∴∴故答案为C【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、正方形的性质以及全等三角形的判定与性质，利用相似三角形的性质求出的长度是解题的关键．9．如图，菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，AC＝6，BD＝8，动点P从点B出发，沿着B→A→D在菱形ABCD的边AB，AD上运动，运动到点D停止．点P′是点P关于BD的对称点，连接PP'交BD于点M，若BM＝x（0＜x＜8），△DPP′的面积为y，下列图象能正确反映y与x的函数关系的是（）A． B． C．D．【答案】D【分析】由菱形的性质得出AB=BC=CD=DA，OA=AC=3，OB=BD=4，AC⊥BD，分两种情况：①当BM≤4时，先证明△P′BP∽△CBA，得出比例式，求出PP′，得出△DPP′的面积y是关于x的二次函数，即可得出图象的情形；②当BM≥4时，y与x之间的函数图象的形状与①中的相同；即可得出结论．【详解】解：∵四边形ABCD是菱形，∴AB=BC=CD=DA，OA=AC=3，OB=BD=4，AC⊥BD，①当BM≤4时，∵点P′与点P关于BD对称，∴P′P⊥BD，∴P′P∥AC，∴△P′BP∽△CBA，∴，即，∴PP′=，∵DM=8-x，∴△DPP′的面积y=PP′•DM=×x（8-x）=-x2+6x；∴y与x之间的函数图象是抛物线，开口向下，过（0，0）和（4，12）；②当BM≥4时，如图：同理△P′DP∽△CDA，∴，即，∴PP′=，∴△DPP′的面积y=PP′•DM=×（8-x）2=（8-x）2；∴y与x之间的函数图象是抛物线，开口向上，过（4，12）和（8，0）；综上所述：y与x之间的函数图象大致为：故选：D．【点睛】本题考查了动点问题的函数图象、菱形的性质、相似三角形的判定与性质、三角形面积的计算以及二次函数的运用；熟练掌握菱形的性质，根据题意得出二次函数解析式是解决问题的关键．10．如图，点A在线段BD上，在BD的同侧作等腰直角三角形ABC和等腰直角三角形ADE，CD与BE、AE分别交于点P、M．对于下列结论：①；②；③；④．其中正确的个数有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】D【分析】①根据等腰直角三角形的性质可得∠BAC=∠ADE=45°，即可证明；②由等腰Rt△ABC和等腰Rt△ADE三边份数关系可证；③通过等积式倒推可知，证明△PME∽△AMD即可；④2CB2转化为AC2，证明△ACP∽△MCA，问题可证．【详解】解：∵△ABC和△ADE为等腰直角三角形，∴∠BAC=∠ADE=45°，∴AC∥DE，故①正确；由已知：AC=AB，AD=AE，∴，∵∠BAC=∠EAD，∴∠BAE=∠CAD，∴△BAE∽△CAD，故②正确；∵△BAE∽△CAD，∴∠BEA=∠CDA，∵∠PME=∠AMD，∴△PME∽△AMD，∴，∴MP•MD=MA•ME，故③正确；由③MP•MD=MA•ME，∠PMA=∠DME，∴△PMA∽△EMD，∴∠APD=∠AED=90°，∵∠CAE=180°-∠BAC-∠EAD=90°，∴△CAP∽△CMA，∴AC2=CP•CM，∵AC=BC，∴2CB2=CP•CM，故④正确；故选：D．【点睛】本题考查了相似三角形的性质和判断．在等积式和比例式的证明中应注意应用倒推的方法寻找相似三角形进行证明，进而得到答案．二、填空题11．线段，点为线段的黄金分割点（），则的长为______．【答案】【分析】根据黄金分割的定义得到，把代入计算即可．【详解】解：线段，点是线段的黄金分割点，，故答案为：．【点睛】本题考查了黄金分割的定义，熟练掌握黄金分割的定义及黄金比值是解题的关键．12．如图所示的两个五边形相似，则_____，______，_______，______．【答案】34.546【分析】根据相似多边形的性质，得到比例式，计算即可．【详解】解：∵两个五边形相似，∴，，，，解得，a＝3，b＝4.5，c＝4，d＝6．【点睛】本题考查的是相似多边形的性质，掌握相似多边形的性质：对应角相等；对应边成比例是解题的关键．13．如图AB∥CD∥EF，若，，则______．【答案】【分析】利用平行线分线段成比例定理得到＝，求出BD即可．【详解】解：∵AB∥CD∥EF，∴＝＝，∵DF＝5，∴BD＝，∴BD＝DF+BD＝5+＝，故答案为：．【点睛】本题考查平行线分线段成比例定理，解题的关键是理解三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．14．如图，、交于点，，若，，，则__．【答案】2【分析】由AB∥DE，即可证得△ABC∽△ECD，然后由相似三角形的对应边成比例，即可求得CE的长．【详解】解：，，，，，，，解得：．故答案为：2【点睛】此题考查了相似三角形的判定与性质．此题比较简单，注意掌握数形结合思想的应用．15．如图，在△ABC中，D是边AB上一点，已知∠ADC＝∠ACB，AC＝8，AB＝12，则AD的长为_____．【答案】【分析】只要证明△ADC∽△ACB，可得，即，由此即可解决问题．【详解】解：∵∠A=∠A，∠ADC=∠ACB，∴△ADC∽△ACB，∴，∴，∵AC＝8，AB＝12，∴．故答案为：．【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质、解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题．16．如图，在中，．在其内并排放入（不重叠）n个相同的小正方形纸片，使这些纸片的一边都在上，首尾两个正方形各有一个顶点D，E分别在上，则小正方形的边长为____________（用含n的代数式表示）．【答案】【分析】作CF⊥AB，交DE于点H，利用面积法求出CF的长，证明△DEC∽△ABC，则CH:CF=DE:AB，进而即可求得【详解】作CF⊥AB，交DE于点H，连接依题意，CF=∵CH⊥DE，CF⊥AB∴CH:CF=DE:AB设小正方形的边长为,则∴（-x）：=nx：5解得x=故答案为：【点睛】本题考查了勾股定理，相似三角形的性质与判定，添加辅助线是解题的关键．17．在平面直角坐标系中，A（3，﹣3），B（1，0），C（3，0），点P在y轴的正半轴上运动，若以点O、B、P为顶点的三角形与三角形ABC相似，则点P的坐标为____．【答案】（0，）或（0，）．【分析】利用点A、B、C的坐标特征得到∠ACB＝90°，CB＝2，CA＝3，设P点坐标为（0，t），由∠POB＝∠ACB，推出当时，△OPB∽△CBA，即；当时，△OPB∽△CAB，即，分别求出t的值，从而得到点P的坐标.【详解】∵B（1，0）、A（3，﹣3）、C（3，0），∴∠ACB＝90°，CB＝2，CA＝3，设P点坐标为（0，t），∵∠POB＝∠ACB＝90°，∴当时，△OPB∽△CBA，即，解得t＝±，此时P点坐标为（0，），当时，△OPB∽△CAB，即，解得t＝±，此时P点坐标为（0，），综上所述，若以O、B、P为顶点的三角形与△ABC相似，则点P的坐标为（0，）或（0，）．故答案为（0，）或（0，）．【点睛】本题考查了相似三角形的判定，根据比例线段列出方程是解题的关键.18．如图，在中，，反比例函数的图象与斜边相交于点，且与边相交于点．已知，则的面积为_____．

【答案】【分析】过点C作CE⊥OB于点E，设出C，D的坐标，求出△OBD和△OCE的面积，利用平行线的性质得出△OEC～△OAB，利用相似三角形的性质求出△OAB的面积，用△OAB的面积减去△OBD的面积，结论可得．【详解】解：过点C作CE⊥OB于点E，如图：设D（a，b），C（m，n），∵C，D在第二象限，∴a＜0，b＞0，m＜0，n＞0．∴OB=﹣a，BD=b，OE=﹣m，CE=n．∵C，D在反比例函数y=﹣的图象上，∴ab=mn=﹣2．∴，．∵CE⊥OB，AB⊥OB，∴CE∥AB．∴△OCE～△OAB．∴．∵OC=2AC，∴．∴．∴．∴．故答案为：．【点睛】本题主要考查了反比例函数的比例系数k的几何意义，反比例函数图象上的坐标的特征，利用点的坐标表示相应线段的长度是解题的关键．19．如图，在△ABC中，点A1，B1，C1分别是AC，BC，AB的中点，连接A1C1，A1B1，四边形A1B1BC1的面积记作S1：点A2，B2，C2分别是A1C，B1C，A1B1的中点，连接A2C2，A2B2，四边形A2B2B1C2的面积记作S2……，按此规律进行下去，若S△ABC＝a，则S2021＝___．【答案】【分析】先根据三角形中位线定理和相似三角形的性质得到，从而得到，，进而得到，由此求解即可．【详解】解：∵点A1，B1，C1分别是AC，BC，AB的中点，∴A1C1，A1B1是三角形ABC的中位线，∴A1B1∥AB，，∴，∴，∴同理可得，∴，同理可得，，∴，∴，故答案为：．【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，三角形中位线定理，正确得出面积的变化规律是解题的关键．20．如图，在矩形ABCD中，BC＝2AB，点E是边BC的中点，连接AE、DE，分别交BD、AC点P、Q，过点P作PF⊥AE交CB于点F，下列结论：①∠EAC＝∠EDB；②AP＝2PF；③若S△DQC＝，则AB＝8；④CE•EF＝EQ•DE．其中正确的结论有__．（填序号即可）【答案】①②④．【分析】由矩形的性质和等腰三角形的性质可求∠AEB=∠DEC=45°，由外角的性质可求∠EAC=∠EDB，可判断①；通过证明△ADP∽△EBP，可得，可判断②；通过证明△ADQ∽△CEQ，可得=2，可得AQ=2QC，由三角形的面积公式可求AB=4，可判断③，由“SAS”可证△ABE≌△DCE，可得AE=DE，由相似三角形的性质可求PE=EQ，通过证明△PEF∽△CDE，可得，可判断④，即可求解．【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，∴AB=CD，AD=BC，OA=OB=OC=OD，∠ABC=∠BCD=90°，AD∥BC，∴∠OBC=∠OCB，∵BC=2AB，点E是边BC的中点，∴BE=EC=AB=CD，∴∠AEB=∠DEC=45°，∵∠AEB=∠ACB=∠EAC，∠DEC=∠DBC+∠BDE，∴∠EAC=∠EDB，故①正确；∵PF⊥AE，∴∠PFE=∠PEF=45°，∴PE=PF，∵AD∥BC，∴△ADP∽△EBP，∴，∴AP=2PE=2PF，故②正确；∵AD∥BC，∴△ADQ∽△CEQ，∴=2，∴AQ=2QC，∵S△DQC=，∴S△ADC=16，∴×AD×DC=16，∴DC=4，∴AB=4，故③错误，∵AB=BE，DC=CE，∠ABE=∠DCE=90，∴△ABE≌△DCE（SAS），∴AE=DE，∵△ADP∽△EBP，△ADQ∽△CEQ，∴，，∴，∴，∴PE=EQ，∵∠AEB=∠DEC=45°，∠EPF=∠ECD=90°，∴△PEF∽△CDE，∴，∴CE•EF=EQ•DE．故④正确；故答案为：①②④．【点睛】本题是四边形综合题，考查了矩形的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．三、解答题21．如图，点在线段上，在的同侧作等腰和等腰，与、分别交于点、．求证：（1）；（2）．【答案】（1）见解析；（2）见解析【分析】（1）由题意可得，，，即可证；（2）由，可得，即可证，进而可证．【详解】证明：（1）等腰和等腰，，，，，，，，，且，∴（2）∵，且∴，【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形性质，熟练运用相似三角形的判定是本题的关键．22．如图，在边长为8的正方形ABCD中，点M是边DC上一动点（点M不与边DC端点重合），点O在边AD上，且OA=OM，作MN⊥MO，交BC于点N．设DM=x，OM=y．（1）求证：△OMD∽△MNC；（2）求y关于x的函数表达式；（3）当x=2时，求△MNC的周长．【答案】（1）见解析；（2）；（3）16【分析】（1）由直角三角形的性质得出∠DOM=∠CMN，根据相似三角形的判定方法可得出结论；（2）由勾股定理得出（8-y）2+x2=y2，则可得出答案；（3）当x=2时，求出y=，由相似三角形的性质可得出答案．【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴∠D=∠C=90°，∴∠DMO+∠DOM=90°，又∵∠DMO+∠OMN+∠CMN=180°，∠OMN=90°，∴∠DMO+∠CMN=90°，∴∠DOM=∠CMN，∴△OMD∽△MNC；（2）在Rt△OMD中，DM=x，OM=y，OD=AD-OA=8-OM=8-y，由勾股定理得，（8-y）2+x2=y2，∴y=；（3）当x=2时，y=，∵OA=OM，∴△OMD的周长=OD+OA+DM=AD+DM=x+8=2+8=10，OD=8-y=8-=，∵△MNC∽△OMD，∴△MNC的周长：△OMD的周长=MC：OD，即△MNC的周长：10=（8-2）：，∴△MNC的周长=16．【点睛】本题是相似形综合题，考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理，正方形的性质，证明△OMD∽△MNC是解题的关键．23．如图，已知在△ABC和△DAC中，∠B=∠DAC，∠D=115°，E，F分别为AB和BC上的点，且EF//AC，AE=AD，CF=AC．（1）求的度数；（2）若，，求的值．【答案】（1）；（2）【分析】（1）根据平行线分线段成比例可得，从而得出，可证△ABC∽△DAC，得出答案；（2）由（1）相似可求出AC=6，根据EF∥AC，可得．【详解】解：（1）∵EF∥AC，∴，∵AE=AD，CF=AC，∴，∵∠B=∠DAC，∴△ABC∽△DAC，∴∠BAC=∠D=115°；（2）∵△ABC∽△DAC，∴，∴AC2＝BC•CD＝8×=36，∵AC＞0，∴AC=6，∴CF=6，∵EF∥AC，∴．【点睛】本题主要考查了平行线分线段成比例，以及相似三角形的判定与性质等知识，证明△ABC∽△DAC是解题的关键．24．如图1，在中，于点D，，点E为边AD上一点，且，连接BE并延长，交AC于点F．（1）求证：；（2）过点A作交BF的延长线于点G，连接CG，如图2．若，求证：四边形ADCG是矩形．【答案】（1）见解析；（2）见解析【分析】（1）先证，得，又因为，可证；（2）先证，得，又因为，利用边与边的关系，得，又因为，可证得四边形ADCG是平行四边形，又因为，四边形ADCG是矩形．【详解】（1）证明：∵，∴．∵，，∴．∴．∵，∴．（2）证明：∵，∴，由（1）知，∴，∵，∴，∴，∴，∵，，∴，∴，∵，∴四边形ADCG是平行四边形，∵，∴四边形ADCG是矩形．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，全等的判定和性质、平行四边形、矩形的判定，能利用相似和全等找到边与边的关系是解题的关键．25．如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在边AD，CD上，且，连接并延长AF，分别交BE于点G，交BC的延长线于点H．（1）求证：；（2）连接EH，若，求证．【答案】（1）见解析；（2）见解析【分析】（1）由“”可证，可得，由余角的性质可得结论；（2）过点作于，可证四边形是矩形，可得，通过证明，可得结论．【详解】解：（1）∵四边形ABCD是正方形，∴，，在和中，，，∴，∵，∴，∴，∴，∴；（2）如图，过点E作于M，∵，，∴，∵，，∴四边形ABME是矩形，∴，∴，∵，∴，，∴，∴，∴，∴．【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，灵活运用相关图形的性质与判定是解决本题的关键．26．如图，已知△ABC中，∠C=90°，AB=10cm，AC=8cm．如果点P由B出发沿BA方向向点A匀速运动，同时点Q由A出发沿AC方向向点C匀速运动，它们的速度均为2cm/s，连接PQ，设运动的时间为t（单位：s）（0≤t≤4）．解答下列问题：（1）是否存在某时刻t，使线段PQ恰好把△ABC的面积平分？若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由；（2）如果BP=PQ，求此时t的值．【答案】（1）不存在，见解析；（2）【分析】（1）假设存在某时刻t，使线段PQ恰好把△ABC的面积平分，据此得出一元二次方程；由于此一元二次方程的判别式小于0，则可以得出结论：不存在这样的某时刻t，使线段PQ恰好把△ABC的面积平分；（2）由相似三角形的性质求得PD、QD的长，再在Rt△PQD中，由勾股定理求得PQ的长，依题意列出方程即可求解．【详解】（1）由题意知：BP=2t，AP=10-2t，AQ=2t，BC=(cm)，如图所示，过P点作PD⊥AC于点D，∴PD∥BC，∴△APD△ABC，∴，即，解得PD=6−t，∴△AQP的面积S=PD×AQ=6t−t2，假设存在某时刻t，使线段PQ恰好把△ABC的面积平分，则有S△AQP=S△ABC，∵△ABC中，AC=8cm，BC=6cm，∠C=90°，∴S△ABC=AC•BC=24，∴S△AQP=12，而S△AQP=6t−t2，∴6t−t2=12，化简得：t2-5t+10=0，∵△=（-5）2-4×1×10=-15＜0，∴此方程无解，∴不存在某时刻t，使线段PQ恰好把△ABC的面积平分；（2）∵，∴△APD△ABC，∴，即，∴．又，，∴．在中，由勾股定理，得，．化简，得，解得，，∵，不符合题意，舍去，∴．【点睛】本题主要考查了勾股定理，解一元二次方程以及相似三角形的性质和判定的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造相似三角形以及直角三角形，根据相似三角形的对应边成比例以及勾股定理进行列式求解．27．如图所示，在平面直角坐标系xOy中，有点，点，点，将沿x轴向右平移得到，连接，，当取得最小值时，求点的坐标．【答案】【分析】方法1：过点A作轴，并使，由平行的性质可以得到，即可利用“SAS”证明得到，则，即可得到当点B，，在同一条直线上时，最小，再只需要证明得到，由此求解即可；方法2：将点沿射线AE方向平移AE线段长得点M，则点M的坐标为，连接BM，易证四边形是平行四边形，则，作点M关于直线的对称点，连接，则点坐标为，当点B，，在同一条直线上时，最小，然后求出直线的解析式即可求解；方法3：设，则由平移的性质可得，点，点，由两点距离公式可得：，可将看成坐标平面中x轴上一动点到定点和的距离之和，由此利用将军饮马模型进行求解即可得到答案；【详解】方法1如图1所示，过点A作轴，并使．由平移的性质可得∥，=，∴，∴，又