01函数综合小题原卷版+解析

01函数综合小题一、单选题1．（2023·江苏泰州·统考一模）已知抛物线在坐标系中的位置如图所示，它与x，y轴的交点分别为A，B，P是其对称轴上的动点，根据图中提供的信息，以下结论中不正确的是（

）A． B．C．周长的最小值是 D．是的一个根2．（2023·江苏扬州·一模）如图，在平面直角坐标系中，，，反比例函数的图象经过点A，反比例函数的图象经过点B，若，则m的值是（）A．1 B． C．2 D．33．（2023·江苏南通·南通田家炳中学校考模拟预测）如图，矩形ABCD中，点A在双曲线y＝﹣上，点B，C在x轴上，延长CD至点E，使CD＝2DE，连接BE交y轴于点F，连接CF，则△BFC的面积为（）A．5 B．6 C．7 D．84．（2023·江苏扬州·模拟预测）如图，抛物线与x轴交于A、B两点，抛物线的顶点为D，点C为的中点，以C为圆心，长为半径在x轴的上方作一个半圆，点E为半圆上一动点，连接，取的中点F，当点E沿着半圆从点A运动至点B的过程中，线段的最小值为（）A． B． C． D．5．（2023·江苏徐州·模拟预测）如图，半圆O的直径长为4，C是弧的中点，连接、、，点P从A出发沿运动至C停止，过点P作于E，于F．设点P运动的路程为x，则四边形的面积y随x变化的函数图像大致为（

）A． B．C． D．6．（2023·江苏无锡·统考一模）如图，矩形ABCD中，点A在双曲线上，点B，C在x轴上，延长CD至点E，使，连接BE交y轴于点F，连接CF，则的面积为（

）A．2 B．3 C． D．47．（2023·江苏扬州·校考二模）关于的一元二次方程（为实数）有且只有一个根在的范围内，则的取值范围是（

）A． B．或C．或 D．8．（2023·江苏徐州·统考一模）如图，P为反比例函数在第一象限内图像上的一点，过点P分别作x轴，y轴的垂线交一次函数的图像于点A，B，若，则k的值是（

）A．10 B．8 C．6 D．49．（2023·江苏泰州·统考一模）如图，一次函数y=2x与反比例函数y=（k＞0）的图象交于A，B两点，点P在以C（﹣2，0）为圆心，1为半径的⊙C上，Q是AP的中点，已知OQ长的最大值为，则k的值为（）A． B． C． D．10．（2023·江苏苏州·统考二模）小明早8点从家骑自行车出发，沿一条直路去公园锻炼，小明出发的同时，他的爸爸锻炼结束从公园沿同一条道路匀速步行回家；小明在公园锻炼了一会后沿原路以原速返回，小明比爸爸早3分钟到家．设两人离家的距离与小明离开家的时间之间的函数关系如图所示，下列说法：①公园与家的距离为1200米；②爸爸的速度为；③小明到家的时间为8：22；④小明在返回途中离家240米处与爸爸相遇．其中，正确的说法有（

）个A．1个 B．2个 C．3个 D．4个11．（2023·江苏无锡·校联考一模）如图，点P是函数的图像上一点，过点P分别作x轴和y轴的垂线，垂足分别为点A、B，交函数的图像于点C、D，连接、、、，其中，下列结论：①；②；③，其中正确的是（

）A．①② B．①③ C．②③ D．①12．（2023·江苏泰州·模拟预测）如图，一次函数的图像与x轴、y轴分别交于点A、B，把直线绕点B顺时针旋转交x轴于点C，则线段长为（

）A． B． C． D．13．（2023·江苏扬州·统考一模）如图，点A，B的坐标分别为A(3，0)、B(0，3)，点C为坐标平面内的一点，且BC=2，点M为线段的中点，连接，则的最大值为（

）A． B． C． D．214．（2023·江苏苏州·模拟预测）如图，平面直角坐标系xOy中，点A（，），点B（，）在双曲线上，且，分别过点A，点B作x轴的平行线，与双曲线分别交于点C，点D．若△AOB的面积为，则的值为（

）A． B． C． D．15．（2023·江苏扬州·校考一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝与x轴的正半轴交于点A，B点为抛物线的顶点，C点为该物线对称轴上一点，则的最小值为（

）A． B．25 C．30 D．16．（2023·江苏无锡·校考一模）定义：在平面直角坐标系xOy中，若某函数的图象上存在点，满足，m为正整数，则称点P为该函数的“m倍点”．例如：时，点即为函数的“2倍点”．①点是函数的“1倍点”；②若函数存在唯一的“3倍点”，则b的值为；③若函数的“m倍点”在以点为圆心，2m为半径的圆内，则m为大于1的所有整数．上述说法正确的有（

）A．① B．①② C．①③ D．①②③二、填空题17．（2023·江苏苏州·统考二模）如图，菱形OABC在直角坐标系中，点C的坐标为（5，0），对角线OB=，反比例函数经过点A，则k等于__．18．（2023·江苏泰州·统考二模）在平面直角坐标系中，Q是直线上的一个动点，将Q绕点顺时针旋转，得到点连接，则的最小值为__________．19．（2023·江苏无锡·一模）如图，已知正比例函数与反比例函数交于、两点，点是第三象限反比例函数上一点，且点在点的左侧，线段交轴的正半轴于点，若的面积是，则点的坐标是______．20．（2023·江苏常州·统考二模）如图，点为直线上的两点，过两点分别作轴的平行线交双曲线于点，若，则的值为________．21．（2023·江苏苏州·苏州中学校考一模）由直线和直线（是正整数）与轴及轴所围成的图形面积为，则的最小值是______．22．（2023·江苏苏州·统考一模）如图，在平面直角坐标系中，菱形的边经过原点，，且顶点、、都在反比例函数的图像上，则顶点的坐标为______．23．（2023·江苏无锡·模拟预测）如图，二次函数的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，则______°；M是二次函数在第四象限内图象上一点，作轴交于Q，若是以为腰的等腰三角形，则线段的长为______．24．（2023·江苏苏州·校考一模）在平面直角坐标系中，对于点，若点的坐标为（其中k为常数且），则称点为点P的“k—关联点”．已知点A在函数的图像上运动，且A是点B的“3—关联点”，若，则的最小值为________________．25．（2023·江苏苏州·统考一模）如图，平面直角坐标系中，A为函数（）图像上的一点，其中，，交x轴于点C，,若四边形的面积为12，则k的值为______．01函数综合小题一、单选题1．（2023·江苏泰州·统考一模）已知抛物线在坐标系中的位置如图所示，它与x，y轴的交点分别为A，B，P是其对称轴上的动点，根据图中提供的信息，以下结论中不正确的是（

）A． B．C．周长的最小值是 D．是的一个根【答案】C【分析】根据对称轴方程求得a、b的数量关系即可判断A；根据抛物线的对称性知抛物线与x轴的另一个交点的横坐标是3，则x=3时，y=0，得到3a+3=0，即2a+3=-a>0即可判断B、D；利用两点间直线最短来求△PAB周长的最小值即可判断C．【详解】A．根据图象知，对称轴是直线x=-=1，则b=-2a，即2a+b=0，故A正确；B．根据图象知，点A的坐标为(-1,0)，对称轴是x=1，则根据抛物线关于对称轴对称的性质知，抛物线与x轴的另一个交点的坐标是(3,0)，∴x=3时，y=9a+3b+3=0，∴9a-6a+3=0,∴3a+3=0，∴2a+3=-a，∵抛物线开口向下，则a<0，∴2a+3=-a＞0，∴a>-，故B正确；C．点A关于x=1对称的点是A´(3,0)，即抛物线与x轴的另一个交点，连接BA´与直线x=1的交点即为点P，则△PAB的周长的最小值是(BA´+AB)的长度，∵A(-1,0)，B(0,3)，A´(3,0)，∴AB=，BA´=，即△PAB周长的最小值为+，故C错误；D．根据图象知，点A的坐标为(-1,0)，对称轴是x=1，则根据抛物线关于对称轴对称的性质知，抛物线与x轴的另一个交点的坐标为(3,0)，所以是的一个根，故D正确．故选C．【点睛】本题考查了二次函数综合题，涉及二次函数图象与系数的关系，二次函数图象的性质及两点之间线段最短．解答该题时，充分利用了抛物线的对称性．2．（2023·江苏扬州·一模）如图，在平面直角坐标系中，，，反比例函数的图象经过点A，反比例函数的图象经过点B，若，则m的值是（）A．1 B． C．2 D．3【答案】D【分析】过A、B分别作AM⊥x轴，BN⊥x轴，垂足为M、N，首先证明，即得出．再根据含30度角的直角三角形的性质结合勾股定理可得，然后设，则，，即表示出点B和点A的坐标，最后根据反比例函数图象上点的坐标特征，进而求出m的值．【详解】解：过A、B分别作AM⊥x轴，BN⊥x轴，垂足为M、N．∵∴．∵，∴，∴，∴，∴．∵，∴，∴，即．设，则，，∴，．∵点B在反比例函数的图象上，且，∴．∵点A在反比例函数的图象上，∴．故选D．【点睛】本题考查反比例函数的图象和性质、相似三角形的判定和性质、含30度角的直角三角形的性质和勾股定理等知识．正确的作出辅助线构建相似三角形是解题的关键．3．（2023·江苏南通·南通田家炳中学校考模拟预测）如图，矩形ABCD中，点A在双曲线y＝﹣上，点B，C在x轴上，延长CD至点E，使CD＝2DE，连接BE交y轴于点F，连接CF，则△BFC的面积为（）A．5 B．6 C．7 D．8【答案】B【分析】设交y轴于J，交于点K，设，则，，利用平行线分线段成比例定理求出，即可求解．【详解】如图，设交y轴于J，交于点K，设，则，，∵点A在双曲线上，∴A(，)∴∵四边形是矩形，∴∴∴，∵，∴∴∴∴∴故选B．【点睛】本题主要考查反比例函数的几何意义，矩形的性质，平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，综合性较强，难度较大．4．（2023·江苏扬州·模拟预测）如图，抛物线与x轴交于A、B两点，抛物线的顶点为D，点C为的中点，以C为圆心，长为半径在x轴的上方作一个半圆，点E为半圆上一动点，连接，取的中点F，当点E沿着半圆从点A运动至点B的过程中，线段的最小值为（）A． B． C． D．【答案】C【分析】如图，连接，交于，连接，，求解抛物线的顶点坐标坐标为：，即，再求解，，可得，证明，可得在以为圆心，半径为1的半圆周上运动，则当，，三点共线时，最短，从而可得答案．【详解】解：如图，连接，交于，连接，，∵，∴抛物线的顶点坐标坐标为：，即，∵当时，解得：，，∴，，∴，∴为的中点，而为的中点，∴，∴在以为圆心，半径为1的半圆周上运动，当，，三点共线时，最短，此时，∴的最小值为：，故选C．【点睛】本题考查的是二次函数的顶点坐标，与x轴的交点坐标，三角形的中位线的性质，圆的基本性质，确定在以为圆心，半径为1的半圆周上运动是解本题的关键．5．（2023·江苏徐州·模拟预测）如图，半圆O的直径长为4，C是弧的中点，连接、、，点P从A出发沿运动至C停止，过点P作于E，于F．设点P运动的路程为x，则四边形的面积y随x变化的函数图像大致为（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】分别根据当点P在上运动和运动两种情况进行讨论，通过C是弧的中点得到是等腰直角三角形，根据，得到四边形为矩形，计算出矩形的边长即可得到面积，从而得到函数表达式，根据二次函数的性质即可得到答案．【详解】解：∵C是弧的中点，∴,∵是直径，∴是等腰直角三角形，,∵，∴，四边形为矩形，当点P在上运动时，∵，∴，，∴四边形的面积，当点P在上运动时，，如下图所示，∵,，，∴，∴四边形是矩形，∵，∴，∴四边形的面积，∴，∴y随x变化的函数图像大致为A所示，故选：A【点睛】本题考查圆和二次函数的性质，解题的关键是根据题意得到函数的表达式．6．（2023·江苏无锡·统考一模）如图，矩形ABCD中，点A在双曲线上，点B，C在x轴上，延长CD至点E，使，连接BE交y轴于点F，连接CF，则的面积为（

）A．2 B．3 C． D．4【答案】B【分析】设交轴于点，交于点，设，，利用平行线分线段成比例推出和长度，从而求出长度，即可求出的面积.【详解】解：设交轴于点，交于点，设，则.在双曲线上，..四边形为矩形，..，.，，，，..故答案选：B.【点睛】本题考查了反比例函数的几何意义、矩形的性质，平行线分线段成比例定理，解题的关键在于学会利用参数解决问题，综合性比较强.7．（2023·江苏扬州·校考二模）关于的一元二次方程（为实数）有且只有一个根在的范围内，则的取值范围是（

）A． B．或C．或 D．【答案】C【分析】由题意得出原方程有两个实数根，进而分两种情况讨论：①当时，得出，进而求出方程的解，判断即可得出结论，②当时，结合二次函数的图象和性质，即可得出结论．【详解】解：根据题意得，，解得：．分类讨论：①当时，即，∴原方程为，解得：，满足题意；②当时，即时．∴原方程有两个不相等的实数根．∵该二次函数的对称轴为直线，且有且只有一个根在的范围内，∴在平面直角坐标系中画出大致函数图象，如图所示，观察图象可知，当时，方程的两个根分别为，，不满足题意；当时，方程的两个根分别为，，满足题意；当时，方程的两个根都在范围内，不满足题意．综上可知，满足条件的t的范围为或，故选C．【点睛】本题考查一元二次方程和二次函数的关系，解题关键是树立数形结合思想，利用二次函数图象解决一元二次方程根的问题．8．（2023·江苏徐州·统考一模）如图，P为反比例函数在第一象限内图像上的一点，过点P分别作x轴，y轴的垂线交一次函数的图像于点A，B，若，则k的值是（

）A．10 B．8 C．6 D．4【答案】B【分析】过作轴于，过作轴于，易得、和都是等腰直角三角形，进而得到，，再根据，可得，设，则，，依据，即可得到．【详解】解：如图所示，过作轴于，过作轴于，一次函数中，令，则；令，则，∴，，、和都是等腰直角三角形，，，，，又，，同理可得，，，∴，设，则，，，即，∵点P为反比例函数上的点，，故答案为：8．【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、反比例函数、一次函数图象上点的坐标特征、等腰直角三角形等知识，综合性强，解题的关键是正确作出辅助线，构造相似三角形．9．（2023·江苏泰州·统考一模）如图，一次函数y=2x与反比例函数y=（k＞0）的图象交于A，B两点，点P在以C（﹣2，0）为圆心，1为半径的⊙C上，Q是AP的中点，已知OQ长的最大值为，则k的值为（）A． B． C． D．【答案】C【分析】如图，连接BP，由反比例函数的对称性质以及三角形中位线定理可得OQ=BP，再根据OQ的最大值从而可确定出BP长的最大值，由题意可知当BP过圆心C时，BP最长，过B作BD⊥x轴于D，继而根据正比例函数的性质以及勾股定理可求得点B坐标，再根据点B在反比例函数y=（k＞0）的图象上，利用待定系数法即可求出k的值.【详解】如图，连接BP，由对称性得：OA=OB，∵Q是AP的中点，∴OQ=BP，∵OQ长的最大值为，∴BP长的最大值为×2=3，如图，当BP过圆心C时，BP最长，过B作BD⊥x轴于D，∵CP=1，∴BC=2，∵B在直线y=2x上，设B（t，2t），则CD=t﹣（﹣2）=t+2，BD=﹣2t，在Rt△BCD中，由勾股定理得：BC2=CD2+BD2，∴22=（t+2）2+（﹣2t）2，t=0（舍）或t=﹣，∴B（﹣，﹣），∵点B在反比例函数y=（k＞0）的图象上，∴k=﹣×（-）=，故选C．【点睛】本题考查的是代数与几何综合题，涉及了反比例函数图象上点的坐标特征，中位线定理，圆的基本性质等，综合性较强，有一定的难度，正确添加辅助线，确定出BP过点C时OQ有最大值是解题的关键.10．（2023·江苏苏州·统考二模）小明早8点从家骑自行车出发，沿一条直路去公园锻炼，小明出发的同时，他的爸爸锻炼结束从公园沿同一条道路匀速步行回家；小明在公园锻炼了一会后沿原路以原速返回，小明比爸爸早3分钟到家．设两人离家的距离与小明离开家的时间之间的函数关系如图所示，下列说法：①公园与家的距离为1200米；②爸爸的速度为；③小明到家的时间为8：22；④小明在返回途中离家240米处与爸爸相遇．其中，正确的说法有（

）个A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】D【分析】根据题意和函数图象中的数据，可以判断各个小题中的结论是否成立，从而可以解答本题．【详解】根据图象可得：公园与家的距离为1200米，故①正确；爸爸的速度为：1200÷（12＋10＋3）＝48（m/min），故②正确；∵10＋12＋10＝22，∴小明到家的时间为8：22分，故③正确；小明的速度为：1200÷10＝120（m/min），设小明在返回途中离家a米处与爸爸相遇，，解得，a＝240，即小明在返回途中离家240米处与爸爸相遇，故④正确；故选：D．【点睛】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，从图象中获得相关信息，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答．11．（2023·江苏无锡·校联考一模）如图，点P是函数的图像上一点，过点P分别作x轴和y轴的垂线，垂足分别为点A、B，交函数的图像于点C、D，连接、、、，其中，下列结论：①；②；③，其中正确的是（

）A．①② B．①③ C．②③ D．①【答案】B【分析】设P（m，），分别求出A，B，C，D的坐标，得到PD，PC，PB，PA的长，判断和的关系，可判断①；利用三角形面积公式计算，可得△PDC的面积，可判断③；再利用计算△OCD的面积，可判断②．【详解】解：∵PB⊥y轴，PA⊥x轴，点P在上，点C，D在上，设P（m，），则C（m，），A（m，0），B（0，），令，则，即D（，），∴PC==，PD==，∵，，即，又∠DPC=∠BPA，∴△PDC∽△PBA，∴∠PDC=∠PBC，∴CD∥AB，故①正确；△PDC的面积===，故③正确；=====，故②错误；故选B．【点睛】此题主要考查了反比例函数的图象和性质，k的几何意义，相似三角形的判定和性质，解题关键是表示出各点坐标，得到相应线段的长度．12．（2023·江苏泰州·模拟预测）如图，一次函数的图像与x轴、y轴分别交于点A、B，把直线绕点B顺时针旋转交x轴于点C，则线段长为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据一次函数表达式求出点A和点B坐标，得到△OAB为等腰直角三角形和AB的长，过点C作CD⊥AB，垂足为D，证明△ACD为等腰直角三角形，设CD=AD=x，结合旋转的度数，用两种方法表示出BD，得到关于x的方程，解之即可．【详解】解：∵一次函数的图像与x轴、y轴分别交于点A、B，令x=0，则y=，令y=0，则x=，则A（，0），B（0，），则△OAB为等腰直角三角形，∠ABO=45°，∴AB==2，过点C作CD⊥AB，垂足为D，∵∠CAD=∠OAB=45°，∴△ACD为等腰直角三角形，设CD=AD=x，∴AC==x，∵旋转，∴∠ABC=30°，∴BC=2CD=2x，∴BD==x，又BD=AB+AD=2+x，∴2+x=x，解得：x=+1，∴AC=x=（+1）=，故选A．【点睛】本题考查了一次函数与坐标轴的交点问题，等腰直角三角形的判定和性质，直角三角形的性质，勾股定理，二次根式的混合运算，知识点较多，解题的关键是作出辅助线，构造特殊三角形．13．（2023·江苏扬州·统考一模）如图，点A，B的坐标分别为A(3，0)、B(0，3)，点C为坐标平面内的一点，且BC=2，点M为线段的中点，连接，则的最大值为（

）A． B． C． D．2【答案】A【分析】根据同圆的半径相等可知：点C在半径为2的⊙B上，通过画图可知，C在BD与圆B的交点时，OM最小，在DB的延长线上时，OM最大，根据三角形的中位线定理可得结论．【详解】解：如图，∵点C为坐标平面内一点，BC=2，∴C在⊙B上，且半径为2，取OD=OA=3，连接CD，∵AM=CM，OD=OA，∴OM是△ACD的中位线，∴OM==CD，当OM最大时，即CD最大，而D，B，C三点共线时，当C在DB的延长线上时，OM最大，∵OB=3，OD=3，∠BOD=90°，∴BD=，∴CD=，∴OM=CD=，即OM的最大值为；故选A【点睛】本题考查了坐标和图形的性质，三角形的中位线定理等知识，确定OM为最大值时点C的位置是关键，也是难点．14．（2023·江苏苏州·模拟预测）如图，平面直角坐标系xOy中，点A（，），点B（，）在双曲线上，且，分别过点A，点B作x轴的平行线，与双曲线分别交于点C，点D．若△AOB的面积为，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】过点A作轴，交y轴于点E，过点B作轴，交x轴于点F，延长BF，交AC于点G，根据矩形、双曲线函数的性质，推导得，结合分式方程和一元二次方程的性质分析，即可得到答案．【详解】过点A作轴，交y轴于点E，过点B作轴，交x轴于点F，延长BF，交AC于点G，∴四边形为矩形，∵点A（，），点B（，）在双曲线上，∴，，，矩形面积，∵，∴，∴，设，则，∴，∴，∴，或，∵，∴不符合题意，经检验，是原方程的解，∴，根据题意，得，，∴，，∴，故选：C．【点睛】本题考查了反比例函数、矩形、分式方程、一元二次方程的知识；解题的关键是熟练掌握反比例函数、矩形、分式方程的性质，从而完成求解．15．（2023·江苏扬州·校考一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝与x轴的正半轴交于点A，B点为抛物线的顶点，C点为该物线对称轴上一点，则的最小值为（

）A． B．25 C．30 D．【答案】A【分析】连接OB，过C点作CM⊥OB于M点，过A点作AN⊥OB于N点，抛物线的对称轴与x轴交于点D，先求出抛物线与坐标轴的交点坐标，继而得出BD、OA、OD，在证明△OBD∽△CBM，△OBD∽△OAN，进而可得3BC+5AC=5MC+5AC=5(AC+CM)，当A、C、M三点共线，且三点连线垂直OB时，AC+CM最小，根据求出AN，AC+CM最小值即为AN，则问题得解．【详解】连接OB，过C点作CM⊥OB于M点，过A点作AN⊥OB于N点，抛物线的对称轴与x轴交于点D，如图，令y=0，得方程，解得x=0或者x=6，∴A点坐标为(6,0)，即OA=6，将配成顶点式得：，∴B点坐标为(3,4)，∴BD=4，OD=3，∵CM⊥OB，AN⊥OB，∴∠BMC=∠ANO=90°，根据抛物线对称轴的性质可知BD⊥OA，∴∠BDO=90°，在Rt△BDO中，利用勾股定理得，∵∠OBD=∠CBM，∠BDO=90°=∠BMC∴△OBD∽△CBM，同理可证得△OBD∽△OAN，∴，，∴，即3BC=5MC，∴3BC+5AC=5MC+5AC=5(AC+CM)，∵当A、C、M三点共线，且三点连线垂直OB时，AC+CM最小，∴AC+CM最小值为AN，如图所示，∵，∴，∴AC+CM最小值，∴即3BC+5AC=5(AC+CM)=24，故选：A．【点睛】本题考查了求抛物线与坐标轴的交点和抛物线顶点的坐标、相似三角形的判定与性质、垂线段最短等知识，利用三角形相似得出3BC=5MC，进而得出3BC+5AC=5(AC+CM)是解答本题的关键．16．（2023·江苏无锡·校考一模）定义：在平面直角坐标系xOy中，若某函数的图象上存在点，满足，m为正整数，则称点P为该函数的“m倍点”．例如：时，点即为函数的“2倍点”．①点是函数的“1倍点”；②若函数存在唯一的“3倍点”，则b的值为；③若函数的“m倍点”在以点为圆心，2m为半径的圆内，则m为大于1的所有整数．上述说法正确的有（

）A．① B．①② C．①③ D．①②③【答案】C【分析】根据函数的“倍点”的定义即可判断①；确定函数存在唯一的“3倍点”，则，满足，两函数有唯一一个交点，△，求得的值可判断②；根据定义可知：“倍点”的横纵坐标是与的公共解，计算可得其解为且，根据函数的“倍点”，再以点为圆心，半径长为的圆内，列不等式求得解集即可判断③．【详解】解：①当时，，，点是函数的“1倍点”；①正确；②当时，，函数存在唯一的“3倍点”，，，，；②错误；③，，函数的“倍点”为，如图所示，直线与交于点，连接，过点作轴于，，，，为正整数，的所有整数．③正确．故选：C．【点睛】本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，一次函数图象上点的坐标特征，反比例函数图象上点的坐标特征，新定义，两函数图象的交点，关键是将新定义转化为常规知识进行解答．难度较大，是中考压轴题．二、填空题17．（2023·江苏苏州·统考二模）如图，菱形OABC在直角坐标系中，点C的坐标为（5，0），对角线OB=，反比例函数经过点A，则k等于__．【答案】12【分析】如下图，根据勾股定理，先求得CE、BE的长，从而得出OD，DA的长，进而得出点A的坐标，最后得出反比例函数k的值．【详解】如下图，过点A、B分别作x轴的垂线，交x轴于点D、E∵四边形OCBA是菱形∴CB=OA，OA∥CB∴∠BCE=∠AOD∵∠BEC=∠ADO=90°∴△BCE≌△AOD设CE=x∵C(5，0)，∴OC=5=CB则在Rt△BCE中，在Rt△BOE中，∴解得：x=3∴在Rt△CEB中，BE=4∴OD=3，DA=4∴A(3，4)∴k=3×4=12故答案为：12．【点睛】本题考查菱形的性质，用到了三角形的全等和勾股定理，解题关键是利用勾股定理，求出CE、EB的长．18．（2023·江苏泰州·统考二模）在平面直角坐标系中，Q是直线上的一个动点，将Q绕点顺时针旋转，得到点连接，则的最小值为__________．【答案】【分析】利用等腰直角三角形构造全等三角形，求出旋转后的坐标，进而可得点所在直线的函数关系式，然后根据勾股定理求解即可解决问题．【详解】解：作轴于点，轴于，，，，在和△中，，△，，，设，，，，，，设点，，则，整理，得：，则点，在直线上，设直线与x轴，y轴的交点分别为E、F，如图，当时，取得最小值，令，则，解得，∴，令，则，∴，在中，，当时，则，∴，的最小值为，故答案为：．【点睛】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特征，一次函数的性质，三角形全等，坐标与图形的变换－旋转，勾股定理，表示出点的坐标以及点所在直线的函数关系式是解题的关键．19．（2023·江苏无锡·一模）如图，已知正比例函数与反比例函数交于、两点，点是第三象限反比例函数上一点，且点在点的左侧，线段交轴的正半轴于点，若的面积是，则点的坐标是______．【答案】【分析】过作轴的平行线交于点，联立正比例函数与反比例函数求得，，得到的解析式为，利用的面积即可求得点的坐标【详解】联立，解得：，，设，：，则，解得：，，：过作轴的平行线交于点，则，，即：，解得，，．【点睛】本题是一次函数与反比例函数的交点问题，考查了反比例函数的性质、待定系数法求一次函数的表达式及三角形的面积，熟练掌握反比例函数的性质和两个函数的交点是解决问题的关键20．（2023·江苏常州·统考二模）如图，点为直线上的两点，过两点分别作轴的平行线交双曲线于点，若，则的值为________．【答案】4【分析】延长交轴于，延长交轴于，设的横坐标分别是，点为直线上的两点，的坐标是，的坐标是，则，，根据得到的关系，然后利用勾股定理，即可用表示出所求的式子，从而求解．【详解】解：如图所示，延长交轴于，延长交轴于，设的横坐标分别是，点为直线上的两点，的坐标是，的坐标是，则，，两点在双曲线上，则，，，，，两边平方得：，即，在直角中，，同理可得，，，故答案为：4．【点睛】本题考查了反比例函数、一次函数图象上点的坐标特征、勾股定理，正确利用得到的关系是解题的关键．21．（2023·江苏苏州·苏州中学校考一模）由直线和直线（是正整数）与轴及轴所围成的图形面积为，则的最小值是______．【答案】【分析】首先用k表示出两条直线与坐标轴的交点坐标，然后表示出围成的面积S，根据得到的函数的取值范围确定其最值即可．【详解】解：恒过，也恒过，k为正整数，那么，如图，直线与x轴的交点是，与y轴的交点是直线与x轴的交点是，与y轴的交点是，那么，=又，∴当时，值最小，因此，当时，四边形的面积最小，最小值．故答案为：【点睛】本题考查了两条指向相交或平行问题，解题的关键是用k表示出直线与坐标轴的交点坐标并用k表示出围成的三角形的面积，从而得到函数关系式，利用函数的知识求最值问题．22．（2023·江苏苏州·统考一模）如图，在平面直角坐标系中，菱形的边经过原点，，且顶点、、都在反比例函数的图像上，则顶点的坐标为______．【答案】【分析】过点A作轴于N，过点C作轴于M，连接，设，则由对称性可知，先证明是等边三角形，得到，再证明，得到，则，再求出点D的坐标为，由点D在反比例函数图象上，得到，解方程即可得到答案．【详解】解：如图所示，过点A作轴于N，过点C作轴于M，连接，设，则由对称性可知，∴，∵四边形是菱形，∴，又∵，∴是等边三角形，∴，∵轴，轴，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∵四边形是菱形，∴点B平移到点A和点C平移到到点D的平移方式相同，∴点D的坐标为，又∵点D在反比例函数图象上，∴，∴，∴，∴，解得（负值舍去），∴，故答案为：．【点睛】本题主要考查了反比例函数与几何综合，菱形的性质，等边三角形的