2023年二轮复习解答题专题十：尺规作图(原卷版+解析)

2023年二轮复习解答题专题十：尺规作图典例分析例1（2022福建中考）如图，BD是矩形ABCD的对角线．（1）求作⊙A，使得⊙A与BD相切（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；（2）在（1）的条件下，设BD与⊙A相切于点E，CF⊥BD，垂足为F．若直线CF与⊙A相切于点G，求的值．专题过关1.（2022贵港中考）尺规作图（保留作图痕迹，不要求写出作法）：如图，已知线段m，n．求作，使．

2.（2022重庆中考A卷）在学习矩形的过程中，小明遇到了一个问题：在矩形中，是边上的一点，试说明的面积与矩形的面积之间的关系．他的思路是：首先过点作的垂线，将其转化为证明三角形全等，然后根据全等三角形的面积相等使问题得到解决．请根据小明的思路完成下面的作图与填空：证明：用直尺和圆规，过点作的垂线，垂足为（只保留作图㾗迹）．在和中，∵，∴．又，∴__________________①∵，∴__________________②又__________________③∴．同理可得__________________④∴．3．（2022广州中考）（10分）如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，且AC＝8，BC＝6．（1）尺规作图：过点O作AC的垂线，交劣弧于点D，连接CD（保留作图痕迹，不写作法）；（2）在（1）所作的图形中，求点O到AC的距离及sin∠ACD的值．4.（2022沈阳中考）如图，在中，AD是的角平分线，分别以点A，D为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点M，N，作直线MN，分别交AB，AD，AC于点E，O，F，连接DE，DF．（1）由作图可知，直线MN是线段AD的______．（2）求证：四边形AEDF是菱形．5.（2022山西中考）如图，在矩形ABCD中，AC是对角线．（1）实践与操作：利用尺规作线段AC的垂直平分线，垂足为点O，交边AD于点E，交边BC于点F（要求：尺规作图并保留作图痕迹，不写作法，标明字母），（2）猜想与证明：试猜想线段AE与CF的数量关系，并加以证明．6.（2022赤峰中考）如图，已知中，，，．（1）作的垂直平分线，分别交、于点、；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）（2）在（1）的条件下，连接，求的周长．7.（2022无锡中考）如图，△ABC为锐角三角形．

（1）请在图1中用无刻度的直尺和圆规作图：在AC右上方确定点D，使∠DAC＝∠ACB，且；（不写作法，保留作图痕迹）（2）在（1）的条件下，若，，，则四边形ABCD的面积为．（如需画草图，请使用试卷中的图2）8.（2022河南中考）如图，反比例函数的图像经过点和点，点在点的下方，平分，交轴于点．（1）求反比例函数的表达式．（2）请用无刻度的直尺和圆规作出线段的垂直平分线．（要求：不写作法，保留作图痕迹，使用2B铅笔作图）（3）线段与（2）中所作的垂直平分线相交于点，连接．求证：．9.（2022北部湾中考）如图，在中，BD是它的一条对角线，（1）求证：；（2）尺规作图：作BD的垂直平分线EF，分别交AD，BC于点E，F（不写作法，保留作图痕迹）；（3）连接BE，若，求的度数．10.（2022兰州中考）综合与实践问题情境：我国东周到汉代一些出土实物上反映出一些几何作图方法，如侯马铸铜遗址出土车軎范、芯组成的（如图1），它的端面是圆形，如图2是用“矩”（带直角的角尺）确定端面圆心的方法：将“矩”的直角尖端A沿圆周移动，直到，在圆上标记A，B，C三点；将“矩”向右旋转，使它左侧边落在A，B点上，“矩”的另一条边与圆的交点标记为D点，这样就用“矩”确定了圆上等距离的A，B，C，D四点，连接AD，BC相交于点，这样就用“矩”确定了圆上等距离的A，B，C，D四点，链接AD，BC相较于点O，即O为圆心．（1）问题解决：请你根据“问题情境”中提供的方法，用三角板还原我国古代几何作图确定圆心O．如图3，点A，B，C在上，，且，请作出圆心O．（保留作图痕迹，不写作法）（2）类比迁移：小梅受此问题的启发，在研究了用“矩”（带直角的角尺）确定端面圆心的方法后发现，如果AB和AC不相等，用三角板也可以确定圆心O．如图4，点A，B，C在上，，请作出圆心O．（保留作图痕迹，不写作法）（3）拓展探究：小梅进一步研究，发现古代由“矩”度量确定圆上等距离点时存在误差，用平时学的尺规作图的方法确定圆心可以减少误差．如图5，点A，B，C是上任意三点，请用不带刻度的直尺和圆规作出圆心O．（保留作图痕迹，不写作法）请写出你确定圆心的理由：______________________________．11.（2022黔东南中考）（1）请在图中作出的外接圆（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；（2）如图，是的外接圆，是的直径，点是的中点，过点的切线与的延长线交于点．①求证：；②若，，求的半径．12.（2022陕西中考）问题提出（1）如图1，是等边的中线，点P在的延长线上，且，则的度数为__________．问题探究（2）如图2，在中，．过点A作，且，过点P作直线，分别交于点O、E，求四边形的面积．问题解决（3）如图3，现有一块型板材，为钝角，．工人师傅想用这块板材裁出一个型部件，并要求．工人师傅在这块板材上的作法如下：①以点C为圆心，以长为半径画弧，交于点D，连接；②作的垂直平分线l，与于点E；③以点A为圆心，以长为半径画弧，交直线l于点P，连接，得．请问，若按上述作法，裁得的型部件是否符合要求？请证明你的结论．13.（2022永州中考）如图，是平行四边形的对角线，平分，交于点．（1）请用尺规作的角平分线，交于点（要求保留作图痕迹，不写作法，在确认答案后，请用黑色笔将作图痕迹再填涂一次）；（2）根据图形猜想四边形为平行四边形，请将下面的证明过程补充完整．证明：∵四边形是平行四边形，∴∵______（两直线平行，内错角相等）又∵平分，平分，∴，∴∴______（______）（填推理的依据）又∵四边形是平行四边形∴∴四边形为平行四边形（______）（填推理的依据）．14.（2022陕西中考）如图，已知是的一个外角．请用尺规作图法，求作射线，使．（保留作图痕迹，不写作法）15.（2022绥化中考）已知：．（1）尺规作图：用直尺和圆规作出内切圆的圆心O；（只保留作图痕迹，不写作法和证明）（2）如果的周长为14，内切圆的半径为1.3，求的面积．16.（2022青岛中考）已知：，．求作：点P，使点P在内部，且．17.（2022台州中考）如图，在中，，以为直径的⊙与交于点，连接．（1）求证：；（2）若⊙与相切，求的度数；（3）用无刻度的直尺和圆规作出劣弧的中点．（不写作法，保留作图痕迹）18.（2022扬州中考）【问题提出】如何用圆规和无刻度的直尺作一条直线或圆弧平分已知扇形的面积？【初步尝试】如图1，已知扇形，请你用圆规和无刻度的直尺过圆心作一条直线，使扇形的面积被这条直线平分；【问题联想】如图2，已知线段，请你用圆规和无刻度的直尺作一个以为斜边的等腰直角三角形；【问题再解】如图3，已知扇形，请你用圆规和无刻度的直尺作一条以点为圆心的圆弧，使扇形的面积被这条圆弧平分．（友情提醒：以上作图均不写作法，但需保留作图痕迹）19.（2022泰州中考）已知：△ABC中，D为BC边上的一点.

（1）如图①，过点D作DE∥AB交AC边于点E，若AB=5，BD=9，DC=6，求DE的长；（2）在图②，用无刻度的直尺和圆规在AC边上做点F，使∠DFA=∠A；（保留作图痕迹，不要求写作法）（3）如图③，点F在AC边上，连接BF、DF，若∠DFA=∠A，△FBC的面积等于，以FD为半径作⊙F，试判断直线BC与⊙F的位置关系，并说明理由.20．（2022常州中考）（10分）现有若干张相同的半圆形纸片，点O是圆心，直径AB的长是12cm，C是半圆弧上的一点（点C与点A、B不重合），连接AC、BC．（1）沿AC、BC剪下△ABC，则△ABC是直角三角形（填“锐角”、“直角”或“钝角”）；（2）分别取半圆弧上的点E、F和直径AB上的点G、H．已知剪下的由这四个点顺次连接构成的四边形是一个边长为6cm的菱形．请用直尺和圆规在图中作出一个符合条件的菱形（保留作图痕迹，不要求写作法）；（3）经过数次探索，小明猜想，对于半圆弧上的任意一点C，一定存在线段AC上的点M、线段BC上的点N和直径AB上的点P、Q，使得由这四个点顺次连接构成的四边形是一个边长为4cm的菱形．小明的猜想是否正确？请说明理由．21.（2022武威中考）中国清朝末期的几何作图教科书《最新中学教科书用器画》由国人自编（图1），书中记载了大量几何作图题，所有内容均用浅近的文言文表述，第一编记载了这样一道几何作图题：原文释义甲乙丙为定直角．以乙为圆心，以任何半径作丁戊弧；以丁为圆心，以乙丁为半径画弧得交点己；再以戊为圆心，仍以原半径画弧得交点庚；乙与己及庚相连作线．如图2，为直角．以点为圆心，以任意长为半径画弧，交射线，分别于点，；以点为圆心，以长为半径画弧与交于点；再以点为圆心，仍以长为半径画弧与交于点；作射线，．（1）根据以上信息，请你用不带刻度的直尺和圆规，在图2中完成这道作图题（保留作图痕迹，不写作法）；（2）根据（1）完成的图，直接写出，，的大小关系．2023年二轮复习解答题专题十：尺规作图典例分析例1（2022福建中考）如图，BD是矩形ABCD的对角线．（1）求作⊙A，使得⊙A与BD相切（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；（2）在（1）的条件下，设BD与⊙A相切于点E，CF⊥BD，垂足为F．若直线CF与⊙A相切于点G，求的值．【答案】（1）作图见解析（2）【解析】【分析】（1）先过点A作BD的垂线，进而找出半径，即可作出图形；（2）根据题意，作出图形，设，⊙A的半径为r，先判断出BE＝DE，进而得出四边形AEFG是正方形，然后在Rt△ABE中，根据勾股定理建立方程求解，再判定，根据，，在Rt△ADE中，利用，得到，求解得到tan∠ADB的值为．【小问1详解】解：如图所示，⊙A即为所求作：【小问2详解】解：根据题意，作出图形如下：设，⊙A的半径为r，∵BD与⊙A相切于点E，CF与⊙A相切于点G，∴AE⊥BD，AG⊥CG，即∠AEF＝∠AGF＝90°，∵CF⊥BD，∴∠EFG＝90°，∴四边形AEFG是矩形，又，∴四边形AEFG是正方形，∴，在Rt△AEB和Rt△DAB中，，，∴，在Rt△ABE中，，∴，∵四边形ABCD是矩形，∴，AB＝CD，∴，又，∴，∴，∴，在Rt△ADE中，，即，∴，即，∵，∴，即tan∠ADB的值为．【点睛】此题是圆的综合题，主要考查了尺规作图，切线的性质，全等三角形的判定和性质，正方形的判定与性质，矩形的判定与性质，勾股定理，锐角三角函数，利用三角函数得出线段长建立方程是解决问题的关键．专题过关1.（2022贵港中考）尺规作图（保留作图痕迹，不要求写出作法）：如图，已知线段m，n．求作，使．

【答案】见解析【解析】【分析】作直线l及l上一点A；过点A作l的垂线；在l上截取；作；即可得到．【详解】解：如图所示：为所求．

注：（1）作直线l及l上一点A；（2）过点A作l的垂线；（3）在l上截取；（4）作．【点睛】本题考查作图——复杂作图，解题的关键是熟练掌握五种基本作图，属于中考常考题型.2.（2022重庆中考A卷）在学习矩形的过程中，小明遇到了一个问题：在矩形中，是边上的一点，试说明的面积与矩形的面积之间的关系．他的思路是：首先过点作的垂线，将其转化为证明三角形全等，然后根据全等三角形的面积相等使问题得到解决．请根据小明的思路完成下面的作图与填空：证明：用直尺和圆规，过点作的垂线，垂足为（只保留作图㾗迹）．在和中，∵，∴．又，∴__________________①∵，∴__________________②又__________________③∴．同理可得__________________④∴．【答案】、、、【解析】【分析】过点作的垂线，垂足为，分别利用AAS证得，，利用全等三角形的面积相等即可求解．【详解】证明：用直尺和圆规，过点作的垂线，垂足为（只保留作图㾗迹）．如图所示，在和中，∵，∴．又，∴①∵，∴②又③∴．同理可得④∴．故答案为：、、、【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的面积相等是解题的关键．3．（2022广州中考）（10分）如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，且AC＝8，BC＝6．（1）尺规作图：过点O作AC的垂线，交劣弧于点D，连接CD（保留作图痕迹，不写作法）；（2）在（1）所作的图形中，求点O到AC的距离及sin∠ACD的值．【分析】（1）利用尺规作图，作线段AC的垂直平分线即可；（2）根据垂径定理、勾股定理可求出直径AB＝10，AE＝EC＝3，由三角形中位线定理可求出OE，即点O到AC的距离，在直角三角形CDE中，求出DE，由勾股定理求出CD，再根据锐角三角函数的定义可求出答案．【解答】解：（1）分别以A、C为圆心，大于AC为半径画弧，在AC的两侧分别相交于P、Q两点，画直线PQ交劣弧于点D，交AC于点E，即作线段AC的垂直平分线即可；（2）∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，在Rt△ABC中，且AC＝8，BC＝6．∴AB＝＝10，∵OD⊥AC，∴AE＝CE，又∵OA＝OB，∴OE是△ABC的中位线，∴OE＝BC＝4，即点O到AC的距离为4，∵DE＝OD﹣CE＝5﹣4＝1，CE＝AC＝3，∴CD＝＝＝，∴sin∠ACD＝＝＝．【点评】本题考查尺规作图，直角三角形的边角关系以及三角形中位线定理，掌握直角三角形的边角关系以及三角形的中位线定理是解决问题的前提．4.（2022沈阳中考）如图，在中，AD是的角平分线，分别以点A，D为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点M，N，作直线MN，分别交AB，AD，AC于点E，O，F，连接DE，DF．（1）由作图可知，直线MN是线段AD的______．（2）求证：四边形AEDF是菱形．【答案】（1）垂直平分线（2）见详解【解析】【分析】（1）根据线段垂直平分线的尺规作图可直接得出答案；（2）由题意易得，然后可证，则有OF=OE，进而问题可求证．【小问1详解】解：由题意得：直线MN是线段AD的垂直平分线；故答案为：垂直平分线；【小问2详解】证明：∵直线MN是线段AD的垂直平分线，∴，∵AD是的角平分线，∴，∵AO=AO，∴（ASA），∴OF=OE，∵AO=DO，∴四边形AEDF是平行四边形，∵，∴四边形AEDF菱形．【点睛】本题主要考查线段垂直平分线的尺规作图、全等三角形的性质与判定及菱形的判定，熟练掌握线段垂直平分线的尺规作图、全等三角形的性质与判定及菱形的判定是解题的关键．5.（2022山西中考）如图，在矩形ABCD中，AC是对角线．（1）实践与操作：利用尺规作线段AC的垂直平分线，垂足为点O，交边AD于点E，交边BC于点F（要求：尺规作图并保留作图痕迹，不写作法，标明字母），（2）猜想与证明：试猜想线段AE与CF的数量关系，并加以证明．【答案】（1）作图见解析（2），证明见解析【解析】【分析】（1）根据垂直平分线的尺规作图的画法，分别以A、C为圆心，以大于AC的长为半径画弧，交于两点，过两点作直线即可得到线段AC的垂直平分线．（2）利用矩形及垂直平分线的性质，可以证得，根据全等三角形的性质即可得出结论．【小问1详解】解：如图，【小问2详解】解：．证明如下：∵四边形ABCD是矩形，∴．∴．∵EF为AC的垂直平分线，∴．∴．∴．【点睛】本题主要考查了垂直平分线尺规作图的画法、矩形的性质、全等三角形的判定和性质．6.（2022赤峰中考）如图，已知中，，，．（1）作的垂直平分线，分别交、于点、；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）（2）在（1）的条件下，连接，求的周长．【答案】（1）见解析（2）【解析】【分析】（1）利用基本作图，作BC的垂直平分线分别交、于点、；（2）根据平行线分线段成比例计算即可．【小问1详解】如图所示，点D、H即为所求

【小问2详解】在（1）的条件下，,∵，∴DH∥AC，∴∴，解得∴故答案为：．【点睛】本题考查尺规作图中的作垂直平分线、平行线分段成比例、垂直平分线的性质，解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．7.（2022无锡中考）如图，△ABC为锐角三角形．

（1）请在图1中用无刻度的直尺和圆规作图：在AC右上方确定点D，使∠DAC＝∠ACB，且；（不写作法，保留作图痕迹）（2）在（1）的条件下，若，，，则四边形ABCD的面积为．（如需画草图，请使用试卷中的图2）【答案】（1）见解析（2）【解析】【分析】（1）先作∠DAC＝∠ACB，再利用垂直平分线的性质作，即可找出点D；（2）由题意可知四边形ABCD是梯形，利用直角三角形的性质求出AE、BE、CE、AD的长，求出梯形的面积即可．【小问1详解】解：如图，

∴点D为所求点．【小问2详解】解：过点A作AE垂直于BC，垂足为E，

∵，，∴，∵，∴，，∴，∵∠DAC＝∠ACB，∴，四边形ABCD是梯形，∴，∴四边形AECD是矩形，∴，∴四边形ABCD的面积为，故答案为：．【点睛】本题考查作图，作相等的角，根据垂直平分线的性质做垂线，根据直角三角形的性质及勾股定理求线段的长，正确作出图形是解答本题的关键．8.（2022河南中考）如图，反比例函数的图像经过点和点，点在点的下方，平分，交轴于点．（1）求反比例函数的表达式．（2）请用无刻度的直尺和圆规作出线段的垂直平分线．（要求：不写作法，保留作图痕迹，使用2B铅笔作图）（3）线段与（2）中所作的垂直平分线相交于点，连接．求证：．【答案】（1）（2）图见解析部分（3）证明见解析【解析】【分析】（1）把点的坐标代入反比例函数解析式，即可得出答案；（2）利用基本作图作线段的垂直平分线即可；（3）根据垂直平分线的性质和角平分线的定义可得到，然后利用平行线的判定即可得证.【小问1详解】解：∵反比例函数的图像经过点，∴当时，，∴，∴反比例函数的表达式为：；【小问2详解】如图，直线即为所作；【小问3详解】证明：如图，∵直线是线段的垂直平分线，∴，∴，∵平分，∴，∴，∴．【点睛】本题考查了作图—基本作图，用待定系数法求反比例函数的解析式，垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，平行线的判定，角平分线的定义等知识．解题的关键是熟练掌握五种基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．9.（2022北部湾中考）如图，在中，BD是它的一条对角线，（1）求证：；（2）尺规作图：作BD的垂直平分线EF，分别交AD，BC于点E，F（不写作法，保留作图痕迹）；（3）连接BE，若，求的度数．【答案】（1）见解析（2）见解析（3）50°【解析】【分析】（1）由平行四边形的性质得出，可利用“SSS”证明三角形全等；（2）根据垂直平分线的作法即可解答；（3）根据垂直平分线的性质可得，由等腰三角形的性质可得，再根据三角形外角的性质求解即可．【小问1详解】四边形ABCD平行四边形，，，【小问2详解】如图，EF即为所求；【小问3详解】BD的垂直平分线为EF，，，，，．【点睛】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，垂直平分线的作法和性质，等腰三角形的性质及三角形外角的性质，熟练掌握知识点是解题的关键．10.（2022兰州中考）综合与实践问题情境：我国东周到汉代一些出土实物上反映出一些几何作图方法，如侯马铸铜遗址出土车軎范、芯组成的（如图1），它的端面是圆形，如图2是用“矩”（带直角的角尺）确定端面圆心的方法：将“矩”的直角尖端A沿圆周移动，直到，在圆上标记A，B，C三点；将“矩”向右旋转，使它左侧边落在A，B点上，“矩”的另一条边与圆的交点标记为D点，这样就用“矩”确定了圆上等距离的A，B，C，D四点，连接AD，BC相交于点，这样就用“矩”确定了圆上等距离的A，B，C，D四点，链接AD，BC相较于点O，即O为圆心．（1）问题解决：请你根据“问题情境”中提供的方法，用三角板还原我国古代几何作图确定圆心O．如图3，点A，B，C在上，，且，请作出圆心O．（保留作图痕迹，不写作法）（2）类比迁移：小梅受此问题的启发，在研究了用“矩”（带直角的角尺）确定端面圆心的方法后发现，如果AB和AC不相等，用三角板也可以确定圆心O．如图4，点A，B，C在上，，请作出圆心O．（保留作图痕迹，不写作法）（3）拓展探究：小梅进一步研究，发现古代由“矩”度量确定圆上等距离点时存在误差，用平时学的尺规作图的方法确定圆心可以减少误差．如图5，点A，B，C是上任意三点，请用不带刻度的直尺和圆规作出圆心O．（保留作图痕迹，不写作法）请写出你确定圆心的理由：______________________________．【答案】（1）见解析（2）见解析（3）见解析【解析】【分析】（1）作∠ABD=90°，BD与圆相交于D，连接BC、AD相交于点O，即可；（2）作∠ABD=90°，BD与圆相交于D，连接BC、AD相交于点O，即可；（3）作AB的垂直平分线DE，作AC的垂直平分线MN，DE交MN于O，即可，则垂径定理得出确定圆心的理由即可．【小问1详解】解：如图所示，点O就是圆的圆心．作∠ABD=90°，BD与圆相交于D，连接BC、AD相交于点O，∵∠CAB=∠ABC=90°，∴BC、AD是圆的直径，∴点O是圆的圆心．小问2详解】解：如图所示，点O就是圆的圆心．作∠ABD=90°，BD与圆相交于D，连接BC、AD相交于点O，∵∠CAB=∠ABC=90°，∴BC、AD是圆的直径，∴点O是圆的圆心．【小问3详解】解：如图所示，点O就是圆的圆心．作AB的垂直平分线DE，作AC的垂直平分线MN，DE交MN于O，∵DE垂直平分AB，∴DE经过圆心，即圆心必在直线DE上，∵MN垂直平分AC，∴MN经过圆心，即圆心必在直线MN上，∴DE与MN的交点O是圆心．确定圆心的理由：弦的垂直平分线经过圆心．【点睛】本题考查圆周角定理的推论，垂径定理的推论，尺规作线段垂直平分线，熟练掌握直角的圆周角所对的弦是直径是解题的关键．11.（2022黔东南中考）（1）请在图中作出的外接圆（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；（2）如图，是的外接圆，是的直径，点是的中点，过点的切线与的延长线交于点．①求证：；②若，，求的半径．【答案】（1）见详解（2）①见详解②5【解析】【分析】（1）做AB、AC的垂直平分线交于点O，以OB为半径，以O为圆心做圆即可得到的外接圆；（2）①证明即可证明，从而证得；②证明，根据得正切求得EC，再根据勾股定理求得AE．【详解】（1）如下图所示∵的外接圆的圆心为任意两边的垂直平分线的交点，半径为交点到任意顶点的距离，∴做AB、AC的垂直平分线交于点O，以OB为半径，以O为圆心做圆即可得到的外接圆；（2）①如下图所示，连接OC、OB∵BD是的切线∴∵是对应的圆周角，是对应的圆心角∴∵点是的中点∴∴∴∴∴②如下图所示，连接CE∵与是对应的圆周角∴∵是的直径∴∴∴∵∴∴的半径为．【点睛】本体考查圆、直角三角形的性质，解题的关键是掌握圆和直角三角形的相关知识．12.（2022陕西中考）问题提出（1）如图1，是等边的中线，点P在的延长线上，且，则的度数为__________．问题探究（2）如图2，在中，．过点A作，且，过点P作直线，分别交于点O、E，求四边形的面积．问题解决（3）如图3，现有一块型板材，为钝角，．工人师傅想用这块板材裁出一个型部件，并要求．工人师傅在这块板材上的作法如下：①以点C为圆心，以长为半径画弧，交于点D，连接；②作的垂直平分线l，与于点E；③以点A为圆心，以长为半径画弧，交直线l于点P，连接，得．请问，若按上述作法，裁得的型部件是否符合要求？请证明你的结论．【答案】（1）（2）（3）符合要求，理由见解析【解析】【分析】（1）利用等腰三角形的判定及性质，结合三角形内角和，先求出即可；（2）连接．先证明出四边形是菱形．利用菱形的性质得出，由，得出．根据，得，，即可求出，再求出，利用即可求解；（3）由作法，知，根据，得出．以为边，作正方形，连接．得出．根据l是的垂直平分线，证明出为等边三角形，即可得出结论．【小问1详解】解：，，，，解得：，，，故答案为：；【小问2详解】解：如图1，连接．图1∵，∴四边形是菱形．∴．∵，∴．∵，∴．∴．∵，∴．∴．∴．【小问3详解】解：符合要求．由作法，知．∵，∴．如图2，以为边，作正方形，连接．图2∴．∵l是的垂直平分线，∴l是的垂直平分线．∴．∴为等边三角形．∴，∴，∴．∴裁得型部件符合要求．【点睛】本题考查了等边三角形的性质，等腰三角形的判定及性质、三角形内角和定理、菱形的判定及性质、锐角三角函数、正方形、垂直平分线，解题的关键是要灵活运用以上知识点进行求解，涉及知识点较多，题目较难．13.（2022永州中考）如图，是平行四边形的对角线，平分，交于点．（1）请用尺规作的角平分线，交于点（要求保留作图痕迹，不写作法，在确认答案后，请用黑色笔将作图痕迹再填涂一次）；（2）根据图形猜想四边形为平行四边形，请将下面的证明过程补充完整．证明：∵四边形是平行四边形，∴∵______（两直线平行，内错角相等）又∵平分，平分，∴，∴∴______（______）（填推理的依据）又∵四边形是平行四边形∴∴四边形为平行四边形（______）（填推理的依据）．【答案】（1）详见解析（2）∠DBC；BF；内错角相等，两直线平行；两组对边分别相等的四边形是平行四边形

【解析】【分析】（1）根据作角平分线的步骤作平分即可；（2）结合图形和已有步骤合理填写即可；【小问1详解】解：如图，根据角平分线的作图步骤，得到DE，即为所求；【小问2详解】证明：∵四边形是平行四边形，∴∵．（两直线平行，内错角相等）.又∵平分，平分，∴，∴．∴（内错角相等，两直线平行）（填推理的依据）又∵四边形是平行四边形．∴，∴四边形为平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形）（填推理的依据）．【点睛】本题主要考查平行四边形的性质、角平分线的性质，掌握相关性质并灵活应用是解题的关键．14.（2022陕西中考）如图，已知是的一个外角．请用尺规作图法，求作射线，使．（保留作图痕迹，不写作法）【答案】见解析【解析】【分析】作的角平分线即可．【详解】解：如图，射线即为所求作．【点睛】本题考查了角平分线、三角形外角的性质、平行线的判定，解题的关键是掌握平行线的判定定理．15.（2022绥化中考）已知：．（1）尺规作图：用直尺和圆规作出内切圆的圆心O；（只保留作图痕迹，不写作法和证明）（2）如果的周长为14，内切圆的半径为1.3，求的面积．【答案】（1）作图见详解（2）9.1【解析】【分析】（1）根据角平分线的性质可知角平分线的交点为三角形内切圆的圆心，故只要作出两个角的角平分线即可；（2）利用割补法，连接OA，OB，OC，作OD⊥AB，OE⊥BC，OF⊥AC，这样将△ABC分成三个小三角形，这三个小三角形分别以△ABC的三边为底，高为内切圆的半径，利用提取公因式可将周长代入，进而求出三角形的面积．【小问1详解】解：如下图所示，O为所求作点，【小问2详解】解：如图所示，连接OA，OB，OC，作OD⊥AB，OE⊥BC，OF⊥AC，∵内切圆的半径为1.3，∴OD=OF=OE=1.3，∵三角形ABC的周长为14，∴AB+BC+AC=14，则故三角形ABC的面积为9.1．【点睛】本题考查三角形的内切圆，角平分线的性质，割补法求几何图形的面积，能够将角平分线的性质与三角形的内切圆相结合是解决本题的关键．16.（2022青岛中考）已知：，．求作：点P，使点P在内部，且．【答案】见解析【解析】【分析】分别以点B、C为圆心，大于BC长的一半为半径画弧，交于两点，连接这两点，然后再以点B为圆心，适当长为半径画弧，交AB、BC于点M、N，以点M、N为圆心，大于MN长一半为半径画弧，交于一点Q，连接BQ，进而问题可求解．【详解】解：如图，点P即为所求：【点睛】本题主要考查角平分线与垂直平分线的尺规作图，熟练掌握角平分线与垂直平分线的尺规作图是解题的关键．17.（2022台州中考）如图，在中，，以为直径的⊙与交于点，连接．（1）求证：；（2）若⊙与相切，求的度数；（3）用无刻度的直尺和圆规作出劣弧的中点．（不写作法，保留作图痕迹）【答案】（1）证明见详解（2）（3）作图见详解【解析】【分析】（1）根据直径所对的圆周角是直角、等腰三角形的三线合一即可证明；（2）根据切线的性质可以得到，然后在等腰直角三角形中即可求解；（3）根据等弧所对的圆周角相等，可知可以作出AD的垂直平分线，的角平分线，的角平分线等方法均可得到结论．【小问1详解】证明：∵是的直径，∴，∴，∵，∴．【小问2详解】∵与相切，∴，又∵，∴．【小问3详解】如下图，点就是所要作的的中点．【点睛】本题考查了等腰三角形的三线合一、切线的性质、以及尺规作图、等弧所对的圆周角相等，理解圆的相关知识并掌握基本的尺规作图方法是解题的关键．18.（2022扬州中考）【问题提出】如何用圆规和无刻度的直尺作一条直线或圆弧平分已知扇形的面积？【初步尝试】如图1，已知扇形，请你用圆规和无刻度的直尺过圆心作一条直线，使扇形的面积被这条直线平分；【问题联想】如图2，已知线段，请你用圆规和无刻度的直尺作一个以为斜边的等腰直角三角形；【问题再解】如图3，已知扇形，请你用圆规和无刻度的直尺作一条以点为圆心的圆弧，使扇形的面积被这条圆弧平分．（友情提醒：以上作图均不写作法，但需保留作图痕迹）【答案】见解析【解析】【分析】【初步尝试】如图1，作∠AOB的角平分线所在直线即为所求；【问题联想】如图2，先作MN的线段垂直平分线交MN于点O，再以O为圆心MO为半径作圆，与垂直平分线的交点即为等腰直角三角形的顶点；【问题再解】如图3先作OB的线段垂直平分线交OB于点N，再以N为圆心NO为半径作圆,与垂直平分线的交点为M，然后以O为圆心，OM为半径作圆与扇形所交的圆弧即为所求．【详解】【初步尝试】如图所示，作∠AOB的角平分线所在直线OP即为所求；【问题联想】如图，先作MN的线段垂直平分线交MN于点O，再以O为圆心MO为半径作圆，与垂直平分线的交点即为等腰直角三角形的顶点；【问题再解】如图，先作OB的线段垂直平分线交OB于点N，再以N为圆心NO为半径作圆,与垂直平分线的交点为M，然后以O为圆心，OM为半径作圆与扇形所交的圆弧CD即为所求．【点睛】本题考查了尺规作图，角平分线的性质，线段垂直平分线的性质，扇形的面积等知识，解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，掌握基本作图方法．19.（2022泰州中考）已知：△ABC中，D为BC边上的一点.

（1）如图①，过点D作DE∥AB交AC边于点E，若AB=5，BD=9，DC=6，求DE的长；（2）在图②，用无刻度的直尺和圆规在AC边上做点F，使∠DFA=∠A；（保留作图痕迹，不要求写作法）（3）如图③，点F在AC边上，连接BF、DF，若∠DFA=∠A，△FBC的面积等于，以FD为半径作⊙F，试判断直线BC与⊙F的位置关系，并说明理由.【答案】（1）2（2）图见详解（3）直线BC与⊙F相切，理由见详解【解析】【分析】（1）由题意易得，则有，然后根据相似三角形的性质与判定可进行求解；（2）作DT∥AC交AB于点T，作∠TDF=∠ATD，射线DF交AC于点F，则点F即为所求；（3）作BR∥CF交FD的延长线于点R，连接CR，证明四边形ABRF是等腰梯形，推出AB=FR，由CF∥BR，推出，推出CD⊥DF，然后问题可求解．【小问1详解】解：∵DE∥AB，∴，∴，∵AB=5，BD=9，DC=6，∴，∴；【小问2详解】解：作DT∥AC交AB于点T，作∠TDF=∠ATD，射线DF交AC于点F，则点F即为所求；如图所示：点F即为所求，