第2章控制系统的数学模型

第二章控制系统的数学模型Chapter2Mathematicalmodelofcontrolsystem控制系统的数学模型是指描述系统或元件输入量、输出量以及内部各变量之间关系的数学表达式。建立数学模型，可以使用解析法和实验法

数学模型时域模型频域模型方框图和信号流图状态空间模型本章重点内容系统微分方程的列写传递函数的定义和性质系统框图的建立和等效变换信号流图和梅逊公式的应用2.1列写系统微分方程的一般方法解析法建立微分方程的一般步骤是根据实际工作情况，确定系统和各元件的输入、输出量；1从输入端开始，按照信号的传递时序及方向，根据各变量所遵循的物理、化学定律，列写出变化（运动）过程中的微分方程组；2消去中间变量，得到只包含输入、输出量的微分方程；3标准化工作:将与输入有关的各项放在等号的右侧，即将与输出有关的各项放在等号的左侧，并按照降幂排列。4例2-1R-L-C串联电路图2-1动态数学模型为二阶常系数线性微分方程。2.1.1简单系统微分方程的建立

例2-2已知一R-C网络如图所示，试写出该网络输入与输出之间的微分方程。解：设回路电流i1、i2①

②

③④

⑤由④、⑤得由②导出

将i1、i2代入①、③，则得

例2-3设弹簧—质量—阻尼器系统如图所示，试求外力与质量为m的质量块的位移之间的微分方程式。

弹簧—质量—阻尼器系统

式中，f为阻尼系数；k为弹簧的弹性系数。这是一种机械平移运动的运动方程，它是一个二阶微分方程。2.1.2复杂系统微分方程的建立找到控制系统的总输入量和最终的输出量，明确系统中各元件的连接方式和各自的工作原理;分别列写出各个典型元件的微分方程，组成方程组;消去所有中间变量，得到系统最终输入量和输出量的关系式,即为控制系统的微分方程。

例2-5直流调速系统(DCspeedcontrolsystem)当电动机的负载或电网电压变化时，由于系统的自动控制作用，电动机的转速能近似的维持不变。

解：系统框图执行元件参考输入控制变量被控制量扰动量被控对象控制器测量元件偏差

(1)放大器(amplifier)

假设无惯性

（2）直流他励发电机(DCseparatelyexcitedgenerator)

为分析简化起见，假设拖动发电机的原动机的转速恒定不变，发电机没有磁滞回线和剩磁。此外，还设发电机的磁化曲线为一直线，即。

由电机学的原理得其中。把式(2-6)代入式(2-5)，于是得式中，（2-5）（2-6）(3)直流他励电动机(DCseparatelyexcitedmotor)由基尔霍夫定律和牛顿第二定律得由上述三式中消去中间变量后，得式中,称为电动机的机电时间常数；称为电动机的电气时间常数；的量纲与时间的量纲相同。

(2-8)(4)测速发电机测速发电机的磁场恒定不变。测速发电机发出的电压与转速成正比

(5)比较环节

(2-11)

(2-10)

系统方程:对整个系统而言，引起系统运动的外部因素是给定电压和负载转矩。其余的物理量均为中间变量，经消元后得(2-12)线性定常系统微分方程的一般形式2.2非线性数学模型的线性化

•绝对的线性元件和线性系统不存在

非本质非线性

本质非线性

线性化:在满足一定条件的前提下，用近似的线性系统代替非线性方程。线性化的基本条件:非线性特性必须是非本质的，系统各变量对于工作点仅有微小的偏离。

微偏法:若非线性函数不仅连续，而且其各阶导数均存在，则由级数理论可知，可在给定工作点邻域将此非线性函数展开为泰勒级数，并略去二阶及二阶以上的各项，用所得的线性化方程代替原有的非线性方程。线性化的方法:设一非线性元件的输入为x、输出为y，它们间的关系如图所示，相应的数学表达式为

(2-13)在给定工作点附近，将上式展开泰勒级数若在工作点附近增量的变化很小，则可略去式中项及其后面所有的高阶项，这样，上式近似表示为

(2-14)

或写为

（2-14）

式中，式（2-14）就是式（2-13）的线性化方程。叠加原理：可叠加性和齐次性线性系统的基本特性当f(t)=f1(t)时，上述方程的解为x1(t)；当f(t)=f2(t)时，上述方程的解为x2(t)；如果f(t)=f1(t)+f2(t),方程的解为x(t)=x1(t)+x2(t),这就是叠加性当f(t)=Af1(t)时，上述方程的解为x1(t)=Ax1(t),这就是齐次性

END

10≤y≤12上线性化。求用线性化方程来计算当x=5，y=10时z值所产生的误差。解：由于研究的区域为5≤x≤7、10≤y≤12，故选择工作点x0=6，y0=11。于是z0=x0y0=6×11=66.求在点x0=6，y0=11，z0=66附近非线性方程的线性化表达式。将非线性方程在点x0,y0,z0处展开成泰勒级数，并忽略其高阶项，则有因此，线性化方程式为：z-66=11(x-6)+6(y-11)z=11x+6y-66当x=5,y=10时，z的精确值为z=xy=5×10=50由线性化方程求得的z值为z=11x+6y=55+60-66=49因此，误差为50-49=1，表示成百分数

例2-4试把非线性方程z=xy在区域5≤x≤7、例子：直流他励发电机磁化曲线的线性化设发电机原工作于磁化曲线的A点。若令发电机的励磁电压增加，求其增量电动势的变化规律。若发电机在小（增量）信号励磁电压的作用下，工作点A的偏离范围便较小，从而可以通过A点作一切线CD，且依此切线CD近似地代替原有的曲线EAF。在平衡点A处，发电机的方程为当励磁电压增加后，则有（2-15）（2-16）（2-17）（2-18）

由式（2-17）减式（2-15），式（2-18）减去式（2-16）后得作上述相减的运算，消去了原平衡工作点A处各变量间的关系，使所求的式（2-19）、（2-20）中的变量均为增量，因而称这两个方程式为增量方程式。（2-19）（2-20）

增量方程只描述了发电机在平衡工作点A处受到增量励磁电压作用下的运动过程。对于式（2-19）、（2-20）而言，发电机励磁曲线的坐标原点不是在O点而是移至原平衡点A处。因此，发电机的初始条件变为零了。这样，不仅便于求解方程，而且也是我们以后研究控制系统时假设零初始条件的依据。需要注意的是，在式（2-19）中之所以不写作，而用表示，原因是那一段磁化曲线不是一直线，即，表示电感L不是一个常数，因而用反电动势来表示。

把磁化曲线在平衡工作点处展开为泰勒级数略去上式中项及其后面所有的高阶项，并令 则式（2-21）便简化为（2-21）或写作式中为平衡工作点A处的正切值。根据式（2-22），式（2-19）和式（2-20）可改写为其中，（2-22）（2-23）（2-24）

不难看出，随着发电机平衡工作点的不同，其时间常数和放大倍数也不同。由线性化引起的误差的大小与非线性的程度和工作点偏移的大小有关。

严格