2023年重庆市中考学业水平考试数学真题（学生版+解析版）

2023年重庆市中考学业水平考试数学真题

（全卷共四个大题，满分150分，考试时间120分钟）

注意事项：

1.试题的答案书写在答题卡上，不得在试卷上直接作答；

2.作答前认真阅读答题卡上的注意事项；

3.作图（包括作辅助线）请一律用黑色2B铅笔完成；

4.考试结束，由监考人员将试题和答题卡一并收回.

参考公式：抛物线丁=融2+陵+。（”*°）的顶点坐标为〔2/4a1对称袖为“――五.

一、选择题：（本大题12个小题，每小题4分，共48分）在每个小题的下面，都给出了代号

为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对

应的方框涂黑.

1.“人不负青山，青山定不负人”一语道出“人与自然和谐共生”的至简大道.以下是绿色包装、回收、

节水、低碳四个标志，其中是中心对称图形的是（）

3.下列事件，是随机事件的是（）

A.一个三角形的内角和为181度B.掷一次骰子，向上一面点数大于0

C.3人分成两组一定有2人分在一组D.经过有交通信号灯的路口，遇到红灯

4.如图，将线段A3绕点。顺时针旋转90。得到线段AB,那么4（—2,6）的对应点A的坐标是（）

A.（6,2）B,（2,6）C.（2,-6）D,（6,-2）

5.为了解我区某条斑马线上机动车驾驶员“礼让行人”的情况，下表是某志愿者小组6周累计调查的数

据，由此数据可估计机动车驾驶员“礼让行人”的概率（精确到0.01）为（）

抽查车辆数200400800150024004000

礼让行人的驾驶员人数169332689127220473404

礼让行人的频率0.8450.8300.8610.8480.8530.851

A.0.83B.0.84C.0.85D.0.86

6.在2022年北京冬奥会开幕式和闭幕式中，一片“雪花”的故事展现了“世界大同、天下一家”的主

题，让世界观众感受了中国人的浪漫.如图，作出“雪花”图案(正六边形A3CDEF)的外接圆，若已

知该外接圆的半径是4,则正六边形A5CDEF的面积是()

A.B.24C.2473D.4873

7.用点按如图所示的规律拼漏斗形图案，其中第①个图案中有3个点，第②个图案中有7个点，第③个图

案中有12个点，第④个图案中有18个点，按此规律排列下去，则第⑦个图案中点的个数为().

①②③④

A.33B.42C.52D.63

8.习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气.”某校为响

应我区全民阅读活动，利用节假日面向社会开放学校图书馆.据统计，第一个月进馆400人次，进馆人次

逐月增加，到第三个月末算计进馆1456人次，若进馆人次的月平均增长率为x,则可列方程为()

A.400(1+^)=1456B,400(1+x)+400(1+x)~=1456

C.400(1+%)2=1456D.400+400(l+x)+400(l+x)2=1456

9.如图，已知抛物线y=a%2+6x+c与直线y=依+相交于4(—3,—1),3(0,3)两点.则关于x的不等式

ax?+bx+c2+的解集是（）

A.无<-3或无>0B.xW-3或x»0C.-3<x<0D.-3<x<0

10.如图，在平面直角坐标系中，M与x轴相切于点4（4,0）,与y轴分别交于点5（0,2）和点

C（0,8）,则圆心M与坐标原点O之间的距离是（）

A.5B.4A/2C.2^/13D.5

11.从-4,-2,—1,0,1,2,4,6这八个数中，随机抽一个数，记为若数。使得二次函数

y=（a-4）三+2尤+1的图象与x轴有交点，且使得关于V的分式方程=-3=4有整数解，则所

'/y-11-y

有满足条件的”的值之和是（）

A.-4B.-2C.0D.2

12.有〃个依次排列整式，第一个整式为9/,第二个整式为9公+6%+1，第二个整式减去第一个整式

的差记为火,将4+2记为出，将第二个整式加上出作为第三个整式，将为+2记为的，将第三个整式

与的相加记为第四个整式，以此类推.以下结论正确的个数是（）

①%=6x+5；②当x=2时，第四个整式值为81；③若第三个整式与第四个整式的和为25,贝U

%=—2；④第2023个整式为（3x+2022）2.

A.1B.2C.3D.4

二、填空题：（本大题4个小，每小题4分，共16分）请将每小题的答案直接填在答题卡

中对应的横线上.

13.在单词“mathematical”中任意选择一个字母，选到字母的概率是.

14.已知4（—3,%）,5（3,%）是抛物线y=2（x—2y+l上的两点，则%,为的大小关系是%—为・（用

“<”、“>”或“="填空）

15.把量角器和含30角的三角板按如图方式摆放：零刻度线与长直角边重合，移动量角器使圆弧与斜边

相切（即A3C的斜边A3与，。相切于点£）时，发现量角器的中心。恰好在三角板的刻度3处（即

OC=3cm）,短直角边过量角器的外沿刻度120处（即尸=120），则阴影部分的面积为

16.如图，四边形A3CD是矩形，AB=4,AD=6,点£是平面内的一个动点，连接AEDE,在运动

的过程中，AE始终垂直于。石，将AE绕点A顺时针旋转90得到■，连接。尸，则C厂的最大值为

三、解答题：（本大题2个小题，每小题8分，共16分）解答时每小题必须给出必要的演算

过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程写在答题卡中对应的位置

上.

17.解方程：

（1）厂-l=3（x-1）；

（2）2/—11%+12=0・

18.如图，.A3C（0°<NA<90°）内接于（O.

（1）尺规作图：过点。作的垂线，重足为M,与交于点N；（不写作法，保留作图应迹）

（2）点。为2c上一点，连接08、BD、CD.求证：ZBON+ZBDC=1SO0.

证明：连接OC

V。中，ONLBC

，BN=①（垂径定理）

/.②

又,:③（同弧所对的圆周角是圆心角的一半）

：.ZA=ZBON,

•.•四边形ABDC内接于O,

：.④,

ZBON+ZBDC=1800■

四、解答题：（本大题7个小题，每小题10分，共70分）解答时每小题必须给出必要的演算

过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程写在答题卡中对应的位置

上.

19.某校为落实“双减”工作，增强课后服务的吸引力，充分利用好课后服务时间，为学有余力的学生拓展

学习空间，成立了5个活动小组（每位学生只能参加一个活动小组）：A.礼仪；陶艺；C.园艺；

D.厨艺；E.编程.为了解学生对以上活动的参与情况，随机抽取部分学生进行了调查统计，并根据统

计结果，绘制了如图所示的两幅不完整的统计图.

调查结果的条形统计图调查结果的扇形统计图

根据图中信息，解答下列问题：

(1)此次调查一共随机抽取了名学生；“D厨艺”在扇形统计图中所对应的圆心角是

度；

(2)补全条形统计图(请在条形图上方注明人数)；

(3)学校计划从参加“£•编程”活动的四位优秀学生甲、乙、丙、丁中随机抽取两人参加区青少年人工智

能编程比赛，请用树状图或列表法求出恰好抽中甲、乙两人的概率.

20.如图，内接于。0,AB.8是;一。的直径，E是ZM延长线上一点，且

/DEC=NBAC.

(1)求证：CE是］。的切线；

(2)知NAOC=60°,。的半径为2月，求线段CE的长.

21.在函数的学习中，我们经历了列表、描点、连线画出函数图象，并结合函数图象研究函数性质及其应

用的过程中，以下是我们研究函数y=万必-》-4的性质及其应用的部分过程，请按要求完成下列各小

题.

X-4-3-2-10123456

35

y83.502.544.542.508

(1)请根据表中的数据在平面直角坐标系中画出该函数图象;

(2)观察发现:

①该函数图象关于对称；

②当时，该函数最大值为.

③当y随X的增大而增大时，自变量X的取值范围是.

(3)问题解决：

1,_

若函数了=-X-X-4-m的图象与X轴有4个交点，则加的取值范围是

22.春节是中国人最具节日气氛的日子，春节旅游作为一种时尚的生活方式，被越来越多的人接受.春节

期间，甲、乙两支队伍计划自驾去某地旅游.两队计划同一天出发，沿不同的路线前往同一目的地汇

合.甲队走A路线，全程1200千米，乙队走8路线，全程1500千米.由于8路线高速公路较多，乙队平

均每天行驶的路程是甲队的L5倍，这样乙队可以比甲队提前1天到达目的地.

(1)求甲、乙两队分别计划多少天到达目的地？

(2)在他们的旅行计划中，甲队最开始计划有10个人同行，计划每人每天花费300元，后来又有。个人

加入队伍，经过计算，甲队实际每增加1人时，每人每天的平均花费将减少30元.乙队每人每天的平均花

费始终为200元.最终甲、乙两队旅行的人数相同，且旅行天数与各自原计划天数一致，两队共花费

28500元，求。的值.

23.一个四位正整数若十位、百位上的数字相同，我们则称跖为“同心数”.如：1223是“同心

数”，1234不是“同心数”.

(1)最小的“同心数”是，最大的“同心数”是

(2)我们把“同心数”/记为：M=abbc(其中l<a<9,。<人<9,0<c<9,a、b、c是自然数)，若

其中a=c,则称以为“永结同心数”.

①求证：“永结同心数”M能被11整除；

②请求出使关于x的一元二次方程依2+bx+c=o有两个相等实数根的所有“永结同心数”.

24.如图1,在平面直角坐标系中，抛物线丁=以2+6%+5的对称轴为x=2,与x轴交于点AB,与丁轴

图1图2

(1)求该抛物线的解析式；

(2)如图2,连接3C,过点。作CD〃x轴，交抛物线于点。，点尸为抛物线上一点，且在CD的上

方，过点尸作PEy轴，交BC于点、E.连接PD、PC、DE,求四边形CPDE的面积的最大值及此时

点P的坐标；

(3)在(2)中四边形CPDE的面积最大的条件下，将该抛物线沿水平方向向左平移3个单位，点尸为点

P的对应点，平移后的抛物线与y轴交于点点N为平移后的抛物线的对称轴上一点.在平移后的抛物

线上确定一点G,使得以点尸、M、N、G为顶点的四边形是平行四边形，写出所有符合条件的点G的坐

标，并把求其中一个点G的坐标的过程写出来.

25.如图1,是等腰直角三角形，其中NR4c=90，点。是内部任意一点，连接AO,并

将AD绕点A逆时针旋转90°得到AE,连接3D、CE,延长BD交CE于点

(1)求证：ZABD^ZACE；

(2)如图2,连接"，求证：BF-CF=41AF；

(3)如图3,若斯于点£>,且NAB尸=30°，A3=6点G是线段3C上一个动点，连接AG,

将，ABG沿AG所在的直线翻折得到AHG,连接EH、CH,当取得取小值时，直接写出C〃的

值.

2023年重庆市中考学业水平考试数学真题

（全卷共四个大题，满分150分，考试时间120分钟）

注意事项：

1.试题的答案书写在答题卡上，不得在试卷上直接作答；

2.作答前认真阅读答题卡上的注意事项；

3.作图（包括作辅助线）请一律用黑色2B铅笔完成；

4.考试结束，由监考人员将试题和答题卡一并收回.

参考公式：抛物线丁=融2+陵+。（”*°）的顶点坐标为〔2/4a1对称袖为“――五.

一、选择题：（本大题12个小题，每小题4分，共48分）在每个小题的下面，都给出了代号

为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对

应的方框涂黑.

1.“人不负青山，青山定不负人”一语道出“人与自然和谐共生”的至简大道.以下是绿色包装、回收、

【答案】A

【解析】

【分析】根据中心对称图形的定义（在平面内，把一个图形绕某点旋转180。，如果旋转后的图形与另一个

图形重合，那么这两个图形互为中心对称图形）逐项判断即可得.

【详解】选项D、B、C的图形都不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180。后与原来的图形重

合，所以不是中心对称图形，

选项A的图形能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以是中心对称图

形，

故选：A.

【点睛】本题考查是中心对称图形，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合.

2.下列方程中，是一元二次方程的是（）

A.%2--=2023B.3X2-5X=0C.y—3x=0D.32+l=0

xx+x

【答案】B

【解析】

【分析】根据一元二次方程的定义：未知数的最高次数是2；二次项系数不为0；是整式方程；含有一个未

知数.由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件的为正确答案.

1

【详解】A.f9――=2023,不是一元二次方程，不符合题意；

x

B.3f_5x=0,是一元二次方程，符合题意；

C.y-3x=0,不是一元二次方程，不符合题意；

D.三+三+1=0,不是一元二次方程，不符合题意；

故选：B.

【点睛】本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方

程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2.

3.下列事件，是随机事件的是（）

A.一个三角形的内角和为181度B.掷一次骰子，向上一面点数大于0

C.3人分成两组一定有2人分在一组D.经过有交通信号灯的路口，遇到红灯

【答案】D

【解析】

【分析】根据事件发生的可能性大小判断即可.

【详解】A、一个三角形的内角和为181度，是不可能事件，不符合题意；

B、掷一次骰子，向上一面点数大于0,是必然事件，不符合题意；

C、3人分成两组一定有2人分在一组，是必然事件，不符合题意；

D、经过有交通信号灯的路口，遇到红灯，是随机事件，符合题意；

故选：D.

【点睛】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念.必然事件指在一定条件下，一定发生的

事件.不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可

能发生也可能不发生的事件.

4.如图，将线段A3绕点。顺时针旋转90。得到线段A3',那么4（—2,6）的对应点A'的坐标是（）

A.（6,2）B.（2,6）C.（2,-6）D.（6,-2）

【答案】A

【解析】

【分析】由线段A5绕点。顺时针旋转90°得到线段43'可以得出NAQ4'=90。，A。=AO,作AC，y

轴于。，4。'，》轴于。'，就可以得出—ACO勺ACO,就可以得出AC=A'C'，CO=C'O,由A

的坐标就可以求出结论.

【详解】线段绕点。顺时针旋转90。得到线段49,

作ACLy轴于C,40',》轴于。'，

.•.ZACO=ZA,CO=90°.

NCOC'=90。，

ZAON-ZCOA=ZCOC-ZCOA,

.-.ZAOC^ZAOC.

在△ACO和^ACO中，

ZACO=ZA'CO

<ZAOC=ZA'OC,

AO=A'O

：.ACO^.A'C'O(AAS),

•1•AC=AC'-CO=CO.

VA(-2,6),

AC=2,CO=6，

:.AC'=2,OC=6,

4(6,2).

故选：A.

【点睛】本题考查了旋转的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，点的坐标的运用，正确作出辅助

线并证得.ACO勺AC'O是解决问题的关键.

5.为了解我区某条斑马线上机动车驾驶员“礼让行人”的情况，下表是某志愿者小组6周累计调查的数

据，由此数据可估计机动车驾驶员“礼让行人”的概率（精确到0.01）为（）

抽查车辆数200400800150024004000

礼让行人的驾驶员人数169332689127220473404

礼让行人的频率0.8450.8300.8610.84808530.851

A.0.83B.0.84C.0.85D.0.86

【答案】C

【解析】

【分析】由表格数据知，随着抽查车辆数的增加，“礼让行人”的频率逐渐稳定在0.85附近，从而得出答

案.

【详解】由表格数据知，随着抽查车辆数的增加，“礼让行人”的频率逐渐稳定在0.85附近，

所以由此数据可估计机动车驾驶员“礼让行人”概率为0.85,

故选：C.

【点睛】本题主要考查利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，

并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近

似值就是这个事件的概率.

6.在2022年北京冬奥会开幕式和闭幕式中，一片“雪花”的故事展现了“世界大同、天下一家”的主

题，让世界观众感受了中国人的浪漫.如图，作出“雪花”图案（正六边形A3CDEF）的外接圆，若已

知该外接圆的半径是4,则正六边形A3CDEF的面积是（）

A.1273B.24C.24A/3D.4873

【答案】C

【解析】

【分析】连接OE、OD,由正六边形的特点求出判断出，的形状，作石。，由特殊角的三角函

数值求出3的长，利用三角形的面积公式即可求出,ODE的面积，进而可得出正六边形A3CDEF的面

积.

【详解】连接OE、OD,

■六边形ABCDEF是正六边形，

:.ZDEF=120°,

:.ZOED^6Q0,

OE=OD=4，

.ODE是等边三角形，

作交瓦）于点“，则〃D=goD=2,OH=26

S8E=gDEOH=1X4X2V3=46，

S正六边形ABCDEF=6S.ODE=6X44=24^3.

故选：c.

【点睛】本题考查了正多边形的性质，在本题中，注意正六边形的边长等于半径的特点，进行解题.

7.用点按如图所示的规律拼漏斗形图案，其中第①个图案中有3个点，第②个图案中有7个点，第③个图

案中有12个点，第④个图案中有18个点，按此规律排列下去，则第⑦个图案中点的个数为（）.

①②③④

A.33B.42C.52D.63

【答案】B

【解析】

【分析】仔细观察图形，找到图形的变化规律，利用规律求解即可.

【详解】解：第①个图案中有0+1+2=3个点，

第②个图案中有1+1+2+3=7个点，

第③个图案中有2+1+2+3+4=12个点，

第④个图案中有3+1+2+3+4+5=18个点，

L

，第〃个图案中有一手个点，

2

当"=7时，7+5x7=42个点,

2

故选：B.

【点睛】本题考查了图形的变化类问题，解题的关键是找到图形的变化规律.

8.习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气.”某校为响

应我区全民阅读活动，利用节假日面向社会开放学校图书馆.据统计，第一个月进馆400人次，进馆人次

逐月增加，到第三个月末算计进馆1456人次，若进馆人次的月平均增长率为x,则可列方程为()

A.400(1+x)=1456B,400(1+x)+400(1+%)2=1456

C.400(1+%)2=1456D.400+400(l+x)+400(l+x)2=1456

【答案】c

【解析】

【分析】先分别表示出第二个月和第三个月的进馆人次，再根据第三个月末算计进馆1456人次，列方程即

可.

【详解】解：由题意得：400(1+%)2=1456,

故选：C.

【点睛】本题属于一元二次方程的应用题，列出方程是解题的关键.本题难度适中，属于中档题.

9.如图，已知抛物线丁=以2+法+。与直线、=丘+加交于4(—3,—1),3(0,3)两点.则关于X的不等式

ox?+Ax+根的解集是()

),

u

二5Y：10i134'x

A.x<-3或尤>0B.xW-3或九20C.-3<x<0D.-3<^<0

【答案】B

【解析】

【分析】根据图象写出抛物线在直线上方部分的x的取值范围即可.

【详解】：抛物线丁=⑪2+法+,与直线>=履+相交于人(—3,—1),5(0,3),

，不等式依2+bx+c2Ax+/〃为：xW-3或尤20,

故选：B.

【点睛】此题考查了二次函数与不等式的关系，能利用数形结合求不等式的解集是解题的关键2

10.如图，在平面直角坐标系中，M与X轴相切于点4(4,0),与y轴分别交于点5(0,2)和点

C(0,8),则圆心”与坐标原点O之间的距离是()

A.5B.4A/2C.2A/13D.屈

【答案】D

【解析】

【分析】如图连接BM、OM,40,作于"，先证明四边形。4MH是矩形，根据垂径定理

求出HB，在RtzXAOM中求出OA1即可.

【详解】解：如图连接OM,AM，作V"，3c于”.

•.•3(0,2)和点C(0,8),

AOB=2,OC=8,

BC=6

M与无轴相切于点4(4,0),

:.AM±OA,04=4,

ZOAM=ZMHO=ZHOA=90°,

四边形Q4MH是矩形，

:.AM=OH,

MHIBC,

:.HC=HB==BC=3,

2

在RtAAOM中，OM=VAM2+6M2=依+5?=屈■

故选：D.

【点睛】本题考查切线的性质、坐标与图形性质、垂径定理、勾股定理等知识，解题的关键是正确添加辅助

线，构造直角三角形.

11.从-4,-2,—1,0,1,2,4,6这八个数中，随机抽一个数，记为若数a使得二次函数

y=(a-4)必+2%+1的图象与x轴有交点，且使得关于V的分式方程=-3=4有整数解，则所

有满足条件的〃的值之和是()

A.-4B.-2C.0D.2

【答案】A

【解析】

【分析】由二次函数y=(a—4)/+2x+1的图象与X轴有交点可得一元二次方程(a—4)f+2x+1=0有

y+a1

实数解，确定〃的范围，由分式方程3=；一有整数解，确定〃的值即可判断.

y—11—y

【详解】解：由题意得：方程(。―4)/+2%+1=0有实数解，

A=22-4(a-4)N0,且Q-4W0

解得a<5且aw4,

，满足条件的。的值为-4,-2,-1,0,1,2,

y+a1

r-3=--,

y-11—y

解得y=_|+2,

「y有整数解，

ci=—4,—2,0,2,

综上所述，满足条件的。的值为-4,-2,0,2,

符合条件的。的值的和是-4,

故选：A.

【点睛】本题考查二次函数图象的性质，根的判别式，分式方程的解等知识，解题的关键是灵活运用所学

知识解决问题，属于中考常考题型.

12.有〃个依次排列的整式，第一个整式为9炉，第二个整式为9f+6x+l，第二个整式减去第一个整式

的差记为力,将q+2记为出，将第二个整式加上出作为第三个整式，将%+2记为的，将第三个整式

与的相加记为第四个整式，以此类推.以下结论正确的个数是()

①%=6x+5；②当x=2时，第四个整式的值为81；③若第三个整式与第四个整式的和为25,则

x=-2；④第2023个整式为(3x+2022)2.

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【解析】

【分析】先求出前几项的值，再求出4,%，。3的值，找到它们的变化规律，再逐一判断求解

【详解】解：由题意得：第一个整式为：（3x）2,第二个整式为：（3X+1）2,

a1—9炉+6x+1—9/=6%+1,

%=。］+2=6%+3,

%=4+2=6%+5；故①正确；

第三个整式为9/+6无+1+4=9X2+6X+1+6X+3=9/+12X+4=（3X+2）2

第四个整式为9/+12*+4+6无+5=9/+18X+9=（3X+3）2

...当x=2时，第四个整式的值为（3x+3）2=92=81,故②正确；

第2023个整式为（3x+2022y,故④正确；

若第三个整式与第四个整式的和为25,则9%2+12%+4+9/+18%+9=25,解得X1=g,X2=-2,故

③错误；

综上分析可知，正确的有3个.

故选：C.

【点睛】本题考查了数字的变化类，找到数字的变化规律是解题的关键.

二、填空题：（本大题4个小，每小题4分，共16分）请将每小题的答案直接填在答题卡

中对应的横线上.

13.在单词“mathematical”中任意选择一个字母，选到字母的概率是.

3

【答案】—

【解析】

【分析】先数出"mathematical"中共多少个字母，让字母个数除以所有字母的总个数即为所求的

概率.

【详解】解：“mathematical"中共12个字母，其中共3个“。，

3

选到字母“a”的概率是一.

3

故答案为：—.

【点睛】本题考查概率的求法.用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比.

14.已知4（—3,%）,5（3,%）是抛物线y=2（x—2y+l上的两点，则%,为的大小关系是%—为・（用

“<”、">”或“="填空）

【答案】>

【解析】

【分析】根据抛物线开口向上，对称轴为x=2,判定在对称轴的右侧，y随工的增大而增大，即可求解.

【详解】解：；抛物线y=2（x—2了+1,

抛物线开口向上，对称轴x=2,

抛物线上与点4（—3,%）关于x=2对称的点的坐标为（7,%）,

...当x〉2时，y随天的增大而增大，

7>3>2,

%>%，

故答案为：>.

【点睛】此题考查了抛物线的开口，对称轴，函数的增减性，熟练确定函数的增减性，判断点与对称轴的

位置关系是解题的关键.

15.把量角器和含30角的三角板按如图方式摆放：零刻度线与长直角边重合，移动量角器使圆弧与斜边

相切（即A3C的斜边A3与。相切于点E）时，发现量角器的中心。恰好在三角板的刻度3处（即

OC=3cm）,短直角边过量角器的外沿刻度120处（即尸=120），则阴影部分的面积为

【答案】18占-6万

【解析】

【分析】先求出NCOF,进而求出OE=O尸=6cm,再求出03,进而求出3E,最后用三角形的面积减去

扇形的面积，即可求出答案.

【详解】解：在RtOCF中，ZCOF=180°-ZBOF=60°,

.•.ZOFC=30°,

OC=3cm,

/.OF=2OC=6cm,

连接。E,则OE=O尸=6cm,

A

在Rt5OE中，ZB=30°,

:.ZDOE=60°,OB=2OE=l2cm,

根据勾股定理得,BE=yjOB2-OE2=673cm，

S阴影=SME-S扇形.，。£-6%6=1x673x6-67Z-=（1873-6万卜n?）

23602'7

故答案为：18后-6%.

【点睛】此题主要考查了切线的性质，含30。角的直角三角形的性质，三角形的面积公式和扇形的面积公

式，求出圆的半径是解本题的关键.

16.如图，四边形A3CD是矩形，AB=4,AD=6,点£是平面内的一个动点，连接AEDE,在运动

的过程中，AE始终垂直于DE,将AE绕点A顺时针旋转90得到AF-连接，则CF的最大值为

F

【答案】737+3

【解析】

【分析】先通过4石,。石，则可判断点E在A。为直径的圆上运动，将AO绕点A顺时针旋转90。至

AD'，设的中点为“，则点E在为直径的圆上运动，当点C,M,R三点共线时，Cb有最

大值，最后利用勾股定理即可求解.

【详解】如图，

AELDE，

，ZAED=9Q°,

.,.点E在AD为直径的圆上运动，

将AD绕点A顺时针旋转90。至，设AD'的中点为M,

又：AELAF，

/.由题意可知点E在AO'为直径的圆上运动，

当点C,M,P三点共线时，C厂有最大值，

•.•四边形A3CD是矩形，

/.AD=BC=6,AB=4,ZABC=9Q°,

：AD=AD'=6,M为AD'中点，

：.AM=3,BM=L

在RtMBC中，由勾股定理得：CM=y/BM2+BC2=#+62=#7-

厂的最大值为：737+3.

【点睛】此题考查了旋转变换和圆有关的概念，解题的关键是正确理解点E,E的运动路径是圆.

三、解答题：（本大题2个小题，每小题8分，共16分）解答时每小题必须给出必要的演算

过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程写在答题卡中对应的位置

上.

17.解方程：

（1）1=3（X-1）；

（2）2X2-11X+12=0.

【答案】（1）%=1,々=2；

3

(2)%]=—,x2=4.

【解析】

【分析】(1)利用因式分解法解方程即可；

(2)利用因式分解法解方程即可.

【小问1详解】

1=3(1),

(^+1)(^-1)-3(%-1)=0,

(%+l-3)(x-l)=0,

(x-2)(%-1)=0,

解得：X]=1,%=2；

【小问2详解】

解：：2必—11%+12=0，

/.(2x—3)(x—4)=0,

3

解得：Xj=—,X,=4.

【点睛】此题考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键.

18.如图，.A3C(0°<NA<90°)内接于(O.

(1)尺规作图：过点。作的垂线，重足为与交于点N；(不写作法，保留作图应迹)

(2)点。为上一点，连接03、BD、CD.求证：ZBON+ZBDC=1SO0.

证明：连接OC

•.•在。中，ON1BC

BN=①(垂径定理)

又：③（同弧所对的圆周角是圆心角的一半）

：.ZA=ZBON,

•.•四边形ABDC内接于0,

：.④,

ZBON+ZBDC=1800-

【答案】（1）见解析图；

11

（2）CN，^BON=ZCON=-ZBOC,ZA=-ZBOC,ZA+ZBDC=180°.

【解析】

【分析】（1）根据过直线外一点作已知直线的作法即可；

（2）先由垂径定理的到，利用圆内接四边形的对角互补即可求证.

【小问1详解】

如图，ON即为所求；

BN=®CN（垂径定理）

/.②NBON=ZCON=-ZBOC

2

又：③NA=1NBOC（同弧所对的圆周角是圆心角的一半）

：.ZA=ZBON,

•.•四边形A3DC内接于0,

/.④NA+A5DC=180°,

•••ZBON+ZBDC=180°-

11

故答案为：CN，^BON=ZCON=-ZBOC,ZA=-ZBOC,ZA+ZBDC=180°.

【点睛】此题考查了尺规作图，垂径定理，圆周角定理，解题的关键是熟练掌握以上知识的应用.

四、解答题：（本大题7个小题，每小题10分，共70分）解答时每小题必须给出必要的演算

过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程写在答题卡中对应的位置

上.

19.某校为落实“双减”工作，增强课后服务的吸引力，充分利用好课后服务时间，为学有余力的学生拓展

学习空间，成立了5个活动小组（每位学生只能参加一个活动小组）：A.礼仪；5.陶艺；C.园艺；

D.厨艺；E.编程.为了解学生对以上活动的参与情况，随机抽取部分学生进行了调查统计，并根据统

计结果，绘制了如图所示的两幅不完整的统计图.

调查结果的条形统计图调查结果的扇形统计图

根据图中信息，解答下列问题：

（1）此次调查一共随机抽取了名学生；“D厨艺”在扇形统计图中所对应的圆心角是

度；

（2）补全条形统计图（请在条形图上方注明人数）；

（3）学校计划从参加“E编程”活动的四位优秀学生甲、乙、丙、丁中随机抽取两人参加区青少年人工智

能编程比赛，请用树状图或列表法求出恰好抽中甲、乙两人的概率.

【答案】（1）120,96

（2）见解析（3）-

6

【解析】

【分析】（1）由E组的人数除以所占百分比即可得到总数；由“D厨艺”所占总数的百分比即可得到“D厨

艺”在扇形统计图中所对应的圆心角度数；

（2）求出陶艺;C.园艺”的人数即可；

（3）画树状图，共有12种等可能的结果，其中恰好抽中甲、乙两人的结果有2种，再由概率公式求解即

可.

【小问1详解】

此次调查一共随机抽取了30+25%=120人,

32

“D.厨艺”在扇形统计图中所对应的圆心角是——x360°=96°

120

故答案为：120,96；

【小问2详解】

84°

“B.陶艺”的人数为120x——=28人，

360°

“C.园艺”的人数120—12—28—32—30=18人,

•••补全条形统计图为

调查结果的条形统计图

开始

甲乙丙丁

小小小小

乙丙丁甲丙丁甲乙丁甲乙丙

:共有12中等可能的结果，其中恰好抽中甲、乙两人有2种，

恰好抽中甲、乙两人的概率工=工.

126

【点睛】本题考查的是用树状图法求概率以及条形统计图和扇形统计图等知识.树状图法可以不重复不遗

漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件.用到的知识点为：概率=所求情况数与总情

况数之比.

20.如图，一A3C内接于O。，AB.CD是；。的直径，E是ZM延长线上一点，且

/DEC=NBAC.

C-----,

（1）求证：CE是；。的切线；

（2）知NAOC=60°,。的半径为2石，求线段CE的长.

【答案】（1）见解析（2）线段CE的长为4

【解析】

【分析】（1）根据直径所对的圆周角是直角，得出？ZMC?DEC7ACE90?,再证

ZBAC=ZACD,得至UNACE+NACD=90°,从而得出结论；

（2）由NAOC=60。可证士。4c是等边三角形，再根据。的半径为求出AC长，在RjACE中

根据三角函数求出CE的长即可.

【小问1详解】

证明：CD是<O的直径，

.-.ZZMC=90o,

\?DEC?ACE90?,

OA=OC,

:.ZBAC=ZACD,

ZDEC=ZBAC,

\?DEC?ACD,

ZACD+ZACE=90°，

:.CD±CE,

.•.CE是。。的切线；

【小问2详解】

解：ZAOC=60°,OA=OC=2^>

Q4c是等边三角形，

\OA=OC=AC=2>j3.

Q?ZMC?ECD90?,

:.ZACE=3Q°,NE4c=90°,

在Rt一ACE中，AC=2。

\cos?ACEcos30?—=-)

CE2

.-.CE=4,

线段CE的长为4.

【点睛】本题考查了切线的判定、直径所对的圆周角是直角、等边三角形判定与性质及解直角三角形等知

识，掌握相关性质并灵活应用是解题关键.

21.在函数的学习中，我们经历了列表、描点、连线画出函数图象，并结合函数图象研究函数性质及其应

1,

用的过程中，以下是我们研究函数>=-%-4的性质及其应用的部分过程，请按要求完成下列各小

题.

-4-3-2-10123456

y83.502.544.542.503.58

(1)请根据表中的数据在平面直角坐标系中画出该函数图象;

(2)观察发现：

①该函数图象关于对称；

②当—4<x<5时，该函数的最大值为

③当y随x的增大而增大时，自变量》的取值范围是.

(3)问题解决：

1

若函数>=-x-?-x-4—〃z的图象与无轴有4个交点，则加的取值范围是.

【答案】(1)见解析(2)①x轴；②8；③—24<1或x>4

(3)0<m<4.5

【解析】

【分析】(1)根据列表、描点、连线画出函数图象；

(2)根据图象求解即可；

(3)根据题意得到函数y=gf-X-4与直线y=机有4个交点，然后由图象求解即可.

【小问1详解】

如图所示,

①由图象可得，

该函数图象关于X轴对称;

②当时，当x=T时，函数取得最大值8；

③由图象可得,

当丁随龙的增大而增大时，自变量》的取值范围是-2<x<l或x>4；

【小问3详解】

1,

•函数y=,x-X—4-〃z的图象与X轴有4个交点

—x2-x-4一根=0有4个本艮,

2

1

，函数y=耳厂9-％—4与直线y=机有4个交点

19

，由图象可得，当0（机＜4.5时，函数y=万厂一%-4一根的图象与X轴有4个交点.

【点睛】本题考查了画二次函数图象，根据函数图象求方程的解的情况，数形结合是解题的关键.

22.春节是中国人最具节日气氛的日子，春节旅游作为一种时尚的生活方式，被越来越多的人接受.春节

期间，甲、乙两支队伍计划自驾去某地旅游.两队计划同一天出发，沿不同的路线前往同一目的地汇

合.甲队走A路线，全程1200千米，乙队走8路线，全程1500千米.由于8路线高速公路较多，乙队平

均每天行驶的路程是甲队的L5倍，这样乙队可以比甲队提前1天到达目的地.

（1）求甲、乙两队分别计划多少天到达目的地？

（2）在他们的旅行计划中，甲队最开始计划有10个人同行，计划每人每天花费300元，后来又有。个人

加入队伍，经过计算，甲队实际每增加1人时，每人每天的平均花费将减少30元.乙队每人每天的平均花

费始终为200元.最终甲、乙两队旅行的人数相同，且旅行天数与各自原计划天数一致，两队共花费

28500元，求。的值.

【答案】（1）甲队计划6天到达目的地，乙队计划5天到达目的地；

（2）。的值为5.

【解析】

【分析】（1）设乙队计划x天到达目的地，则甲队计划（X+D天到达目的地，利用速度=路程+时间，结合

乙队平均每天行驶的路程是甲队的2倍，可得出关于x的分式方程，解之经检验后，可得出乙队计划到达目

的地的时间，再将其代入（尤+1）中，即可求出甲队计划到达目的地的时间；

（2）根据两队共需花费28500元，可得出关于。的一元二次方程，解之取其正值，即可得出结论.

【小问1详解】

设乙队计划了天到达目的地，则甲队计划（X+1）天到达目的地,

根据题意得: