北京市昌平区新学道临川学校2025届高三数学上学期第三次月考试题理含解析

PAGE18-北京市昌平区新学道临川学校2025届高三数学上学期第三次月考试题理（含解析）一.选择题(共12小题)1.已知复数z=2+i，则A. B. C.3 D.5【答案】D【解析】【分析】题先求得，然后依据复数的乘法运算法则即得.【详解】∵故选D.【点睛】本题主要考查复数的运算法则，共轭复数的定义等学问，属于基础题..2.下列函数中，在区间（0，+）上单调递增的是A. B.y= C. D.【答案】A【解析】【分析】由题意结合函数的解析式考查函数的单调性即可.【详解】函数，在区间上单调递减，函数在区间上单调递增，故选A.【点睛】本题考查简洁的指数函数、对数函数、幂函数的单调性，留意对重要学问、基础学问的考查，蕴含数形结合思想，属于简洁题.3.“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从其次个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于.若第一个单音的频率为f，则第八个单音的频率为A. B.C. D.【答案】D【解析】分析：依据等比数列的定义可知每一个单音的频率成等比数列，利用等比数列的相关性质可解.详解：因为每一个单音与前一个单音频率比为，所以，又，则故选D.点睛：此题考查等比数列的实际应用，解决本题的关键是能够推断单音成等比数列.等比数列的推断方法主要有如下两种：（1）定义法，若（）或（），数列是等比数列；（2）等比中项公式法，若数列中，且（），则数列是等比数列.4.设均为单位向量，则“”是“”的（）A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】C【解析】分析：先对模平方，将等价转化为0，再依据向量垂直时数量积为零得充要关系.详解：，因为均为单位向量，所以a⊥b，即“”是“”的充分必要条件.选C.点睛：充分、必要条件的三种推断方法．1．定义法：干脆推断“若则”、“若则”的真假．并留意和图示相结合，例如“⇒”为真，则是的充分条件．2．等价法：利用⇒与非⇒非，⇒与非⇒非，⇔与非⇔非的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．3．集合法：若⊆，则是的充分条件或是的必要条件；若＝，则是的充要条件．5.定积分的值为()A B. C. D.【答案】C【解析】【分析】依据微积分基本定理，可知求解，即可.【详解】故选：C【点睛】本题考查微积分基本定理，属于较易题.6.七人并排站成一行，假如甲乙两个必需不相邻，那么不同的排法种数是()A.3600种 B.1440种 C.4820种 D.4800种【答案】A【解析】【分析】不相邻问题用插空法，先将除甲乙外的其他5人全排列，再将甲乙2人插入6个空中，即可.【详解】第一步，先将除甲乙外的其他5人全排列，种其次步，将甲乙2人插入6个空中，种则不同的排法种数是种故选：A【点睛】本题考查排列问题，插空法是解决本题的关键.属于较易题.7.的绽开式中的系数为（）A. B. C.、 D.【答案】C【解析】【分析】把依据二项式定理绽开，可得的绽开式中的系数．【详解】解：，故它的绽开式中含的项有的和故系数为，故选：．【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，二项绽开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．8.将三枚骰子各掷一次，设事务为“三个点数都不相同”，事务为“至少出现一个6点”，则概率的值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】考点：条件概率与独立事务．分析：本题要求条件概率，依据要求的结果等于P（AB）÷P（B），须要先求出AB同时发生的概率，除以B发生的概率，依据等可能事务的概率公式做出要用的概率．代入算式得到结果．解：∵P（A|B）=P（AB）÷P（B），P（AB）==P（B）=1-P（）=1-=1-=∴P（A/B）=P（AB）÷P（B）==故选A．9.已知幂函数在上是减函数，则实数（）A.1 B.2 C.1或2 D.【答案】A【解析】【分析】先由幂函数求出的值，再依据函数的单调性确定答案.【详解】由于函数是幂函数，所以或.当时，在上不是减函数，所以舍去.当时，在上是减函数.故选A【点睛】本题主要考查幂函数的定义和性质，意在考查学生对这些学问的理解驾驭水平.10.将函数的图象向右平移个周期后，所得图象对应的函数为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【详解】函数的周期为，将函数的图象向右平移个周期即个单位，所得图象对应的函数为，故选D.【此处有视频，请去附件查看】11.已知一元二次不等式的解集为或，则的解集为（）.A.或 B.C. D.【答案】D【解析】【分析】依据不等式的解集得出，求出解集即可．【详解】一元二次不等式的解集为或，则的解集为，则可化为；解得，所以所求不等式的解集为．故选．【点睛】本题考查一元二次不等式的解法与应用问题，考查指数不等式的解法，是基础题．12.已知函数有唯一零点，则a=A. B. C. D.1【答案】C【解析】函数的零点满意，设，则，当时，；当时，，函数单调递减；当时，，函数单调递增，当时，函数取得最小值，为.设，当时，函数取得最小值，为，若，函数与函数没有交点；若，当时，函数和有一个交点，即，解得.故选C.【名师点睛】利用函数零点的状况求参数的值或取值范围的方法：（1）利用零点存在性定理构建不等式求解.（2）分别参数后转化为函数的值域(最值)问题求解.（3）转化为两个熟识的函数图像的上、下关系问题，从而构建不等式求解.二.填空题(共4小题)13.已知向量=（－4，3），=（6，m），且，则m=__________.【答案】8.【解析】【分析】利用转化得到加以计算，得到.【详解】向量则.【点睛】本题考查平面对量的坐标运算、平面对量的数量积、平面对量的垂直以及转化与化归思想的应用.属于简洁题.14.设是等差数列，且，，则的通项公式为_____.【答案】【解析】【分析】设等差数列的公差为，，依据列方程求解公差，即可.【详解】设等差数列的公差为，，解得.所以故答案为：【点睛】本题考查等差数列通项公式，属于较易题.15.倾斜角为且过点的直线方程为______．【答案】.【解析】【分析】干脆依据直线方程点斜式写出直线方程，化简后得到所求的结果.【详解】依题意得，化简得.【点睛】本小题主要考查直线方程点斜式，考查倾斜角和斜率的对应关系，属于基础题.16.已知，则_______.【答案】【解析】【分析】先对函数求导，然后求出，进而求出答案．【详解】由题可得，令，则，解得，所以，则【点睛】本题考查导函数，解题的关键是先求出，属于一般题．三.解答题(共6小题)17.已知函数f（x）=2sinωxcosωx+cos2ωx（ω>0）的最小正周期为π.（Ⅰ）求ω的值；（Ⅱ）求f（x）的单调递增区间.【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）（）．【解析】试题分析：（Ⅰ）运用两角和的正弦公式对f（x）化简整理，由周期公式求ω的值；（Ⅱ）依据函数y=sinx的单调递增区间对应求解即可.试题解析：（Ⅰ）因为，所以的最小正周期．依题意，，解得．（Ⅱ）由（Ⅰ）知．函数的单调递增区间为（）．由，得．所以单调递增区间为（）．【考点】两角和的正弦公式、周期公式、三角函数的单调性.【名师点睛】三角函数的单调性：1.三角函数单调区间的确定，一般先将函数式化为基本三角函数标准式，然后通过同解变形或利用数形结合方法求解．关于复合函数的单调性的求法；2.利用三角函数的单调性比较两个同名三角函数值的大小，必需先看两角是否同属于这一函数的同一单调区间内，不属于的，可先化至同一单调区间内．若不是同名三角函数，则应考虑化为同名三角函数或用差值法（例如与0比较，与1比较等）求解．【此处有视频，请去附件查看】18.已知数列的前项和为，，.(1)求数列的前项和为；(2)令，求数列的前项和.【答案】(1)(2)【解析】【分析】(1)将变形整理为，则数列符合等差数列定义，首项，公差，求解数列的通项公式，即可.(2)先依据(1)中的，求出，从而确定，再依据错位相减法求解，即可.【详解】(1)即数列是首项为，公差为的等差数列.则，即(2)由(1)可知.当时，当时，当时，成立.所以，则①②①②得即【点睛】本题考查定义法求数列的通项公式，以及错位相减法求前项和，属于中档题.19.如图，在三棱柱ABC−中，平面ABC，D，E，F，G分别为，AC，，的中点，AB=BC=，AC==2．（1）求证：AC⊥平面BEF；（2）求二面角B−CD−C1的余弦值；（3）证明：直线FG与平面BCD相交．【答案】(1)见解析（2）；（3）见解析．【解析】【详解】分析：（1）由等腰三角形性质得，由线面垂直性质得,由三棱柱性质可得，因此，最终依据线面垂直判定定理得结论，（2）依据条件建立空间直角坐标系，设立各点坐标，利用方程组解得平面BCD一个法向量，依据向量数量积求得两法向量夹角，再依据二面角与法向量夹角相等或互补关系求结果，（3）依据平面BCD一个法向量与直线FG方向向量数量积不为零，可得结论.详解：（Ⅰ）在三棱柱ABC-A1B1C1中，∵CC1⊥平面ABC，∴四边形A1ACC1为矩形．又E，F分别为AC，A1C1的中点，∴AC⊥EF．∵AB=BC．∴AC⊥BE，∴AC⊥平面BEF．（Ⅱ）由（I）知AC⊥EF，AC⊥BE，EF∥CC1．又CC1⊥平面ABC，∴EF⊥平面ABC．∵BE平面ABC，∴EF⊥BE．如图建立空间直角坐称系E-xyz．由题意得B（0，2，0），C（-1，0，0），D（1，0，1），F（0，0，2），G（0，2，1）．∴，设平面BCD的法向量为，∴，∴，令a=2，则b=-1，c=-4，∴平面BCD的法向量，又∵平面CDC1的法向量为，∴．由图可得二面角B-CD-C1为钝角，所以二面角B-CD-C1的余弦值为．（Ⅲ）平面BCD的法向量为，∵G（0，2，1），F（0，0，2），∴，∴，∴与不垂直，∴GF与平面BCD不平行且不在平面BCD内，∴GF与平面BCD相交．点睛：垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型.(1)证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行.(2)证明线面垂直，需转化为证明线线垂直.(3)证明线线垂直，需转化为证明线面垂直.20.德阳中学数学竞赛培训共开设有初等代数、初等几何、初等数论和微积分初步共四门课程，要求初等代数、初等几何都要合格，且初等数论和微积分初步至少有一门合格，则能取得参与数学竞赛复赛的资格，现有甲、乙、丙三位同学报名参与数学竞赛培训，每一位同学对这四门课程考试是否合格相互独立，其合格的概率均相同，（见下表），且每一门课程是否合格相互独立，课程

初等代数

初等几何

初等数论

微积分初步

合格的概率

（1）求甲同学取得参与数学竞赛复赛的资格的概率；（2）记表示三位同学中取得参与数学竞赛复赛的资格的人数，求的分布列及期望．【答案】(1);(2)见解析.【解析】【分析】(1)先将合格事务标记，然后依据题目给出的条件求出复赛的资格的概率.(2)干脆依据离散型随机变量的概率计算方法解答.【详解】（1）分别记甲对这四门课程考试合格为事务,则“甲能修得该课程学分”的概率为,事务相互独立，.(2)，，,因此，的分布列如下：因为～所以考点：1.离散型随机变量的分布列；2.数学期望；3.相互独立事务的概率.21.已知椭圆的右焦点为，且经过点.（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设O为原点，直线与椭圆C交于两个不同点P，Q，直线AP与x轴交于点M，直线AQ与x轴交于点N，若|OM|·|ON|=2，求证：直线l经过定点.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）见解析.【解析】【分析】(Ⅰ)由题意确定a,b的值即可确定椭圆方程；(Ⅱ)设出直线方程，联立直线方程与椭圆方程确定OM,ON表达式，结合韦达定理确定t的值即可证明直线恒过定点.【详解】（Ⅰ）因为椭圆的右焦点为，所以；因为椭圆经过点,所以，所以，故椭圆的方程为.（Ⅱ）设联立得，，，.直线，令得，即；同理可得.因为,所以；，解之得，所以直线方程为，所以直线恒过定点.【点睛】解决直线与椭圆的综合问题时，要留意：(1)留意视察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；(2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算实力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．22.已知函数.（1）求函数的单调区间；（2）若存在，使成立，求整数的最小值.【答案】（1）见解析（2）5.【解析】试题分析：(1)求导，分类探讨时三种状况的单调性(2)分别含参量，构造新函数，，求导算出零点的范围，从而求出结果解析：（1）由题意可知，，，方程对应的，当，即时，当时，，∴在上单调递减；当时，方程的两根为，且，此时，在上，函数单调递增