高考数学（理）一轮课时达标32不等关系与不等

课时达标第32讲[解密考纲]主要考查不等式及其性质，以选择题或填空题的形式出现，位于选择题或填空题的中间位置，难度较易或中等．一、选择题1．设a，b为实数，则“a<eq\f(1,b)或b<eq\f(1,a)”是“0<ab<1”的(D)A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件解析可通过举反例说明，当a＝b＝－10时，a＜eq\f(1,b)，b＜eq\f(1,a)，但ab＝100＞1，所以不是充分条件；反之，当a＝－1，b＝－eq\f(1,2)时，0＜ab＜1，但a＞eq\f(1,b)，b＞eq\f(1,a)，所以不是必要条件．综上可知“a＜eq\f(1,b)或b＜eq\f(1,a)”是“0＜ab＜1”的既不充分也不必要条件．2．若eq\f(1,a)<eq\f(1,b)<0，则下列结论不正确的是(D)A．a2<b2 B．ab<b2C．a＋b<0 D．|a|＋|b|>|a＋b|解析令a＝－1，b＝－2代入选项验证可知D项错误，故选D．3．(2018·浙江富阳模拟)如果a，b，c满足c<b<a，且ac<0，那么下列选项中不一定成立的是(C)A．ab>ac B．bc>acC．cb2<ab2 D．ac(a－c)<0解析因为c＜b＜a，且ac＜0，所以a＞0，c＜0，所以ab－ac＝a(b－c)＞0，bc－ac＝(b－a)c＞0，ac(a－c)＜0，所以A，B，D项均正确．因为b可能等于0，也可能不等于0，所以cb2＜ab2不一定成立．4．(2016·北京卷)已知x，y∈R，且x＞y＞0，则(C)A．eq\f(1,x)－eq\f(1,y)＞0 B．sinx－siny＞0C．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))y＜0 D．lnx＋lny＞0解析函数y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x在(0，＋∞)上为减函数，∴当x>y>0时，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x<eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))y，即eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))y<0，故C项正确；函数y＝eq\f(1,x)在(0，＋∞)上为减函数，∴x>y>0⇒eq\f(1,x)<eq\f(1,y)⇒eq\f(1,x)－eq\f(1,y)<0，故A项错误；函数y＝sinx在(0，＋∞)上不单调，当x>y>0时，不能比较sinx与siny的大小，故B项错误；x>y>0⇒xy>1⇔ln(xy)>0⇔lnx＋lny>0，故D项错误．5．(2016·浙江卷)已知a>0，b>0且a≠1，b≠1，若logab>1，则(D)A．(a－1)(b－1)<0 B．(a－1)(a－b)>0C．(b－1)(b－a)<0 D．(b－1)(b－a)>0解析讨论a的取值范围，可以利用指数式、对数式的互化将条件转化为a与b的关系，再判断即可．∵a>0，b>0且a≠1，b≠1，∴当a>1，即a－1>0时，不等式logab>1可化为logab>logaa，∴b>a>1，∴(a－1)(a－b)<0，(b－1)(a－1)>0，(b－1)(b－a)>0.当0<a<1，即a－1<0时，不等式logab>1可化为logab>logaa，即0<b<a<1，∴(a－1)(a－b)<0，(b－1)(a－1)>0，(b－1)(b－a)>0.故选D．6．(2018·陕西西安检测)设α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，β∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，那么2α－eq\f(β,3)的取值范围是(D)A．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(5π,6))) B．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,6)，\f(5π,6)))C．(0，π) D．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,6)，π))解析由题设得0＜2α＜π，0≤eq\f(β,3)≤eq\f(π,6)，∴－eq\f(π,6)≤－eq\f(β,3)≤0，∴－eq\f(π,6)＜2α－eq\f(β,3)＜π.二、填空题7．(2018·山西四校联考)已知a＋b>0，则eq\f(a,b2)＋eq\f(b,a2)与eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)的大小关系是__eq\f(a,b2)＋eq\f(b,a2)≥eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)__.解析eq\f(a,b2)＋eq\f(b,a2)－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)＋\f(1,b)))＝eq\f(a－b,b2)＋eq\f(b－a,a2)＝(a－b)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,b2)－\f(1,a2)))＝eq\f(a＋ba－b2,a2b2).因为a＋b＞0，(a－b)2≥0，所以eq\f(a＋ba－b2,a2b2)≥0，所以eq\f(a,b2)＋eq\f(b,a2)≥eq\f(1,a)＋eq\f(1,b).8．设x，y为实数，满足3≤xy2≤8,4≤eq\f(x2,y)≤9，则eq\f(x3,y4)的最大值是__27__.解析由4≤eq\f(x2,y)≤9，得16≤eq\f(x4,y2)≤81.又3≤xy2≤8，∴eq\f(1,8)≤eq\f(1,xy2)≤eq\f(1,3)，∴2≤eq\f(x3,y4)≤27.∴eq\f(x3,y4)的最大值是27.9．(2018·贵州遵义模拟)已知下列结论：①若a>|b|，则a2>b2；②若a>b，则eq\f(1,a)<eq\f(1,b)；③若a>b，则a3>b3；④若a<0，－1<b<0，则ab2>a.其中正确的是__①③④__(只填序号即可)．解析对于①，因为a＞|b|≥0，所以a2＞b2，即①正确；对于②，当a＝2，b＝－1时，显然不正确；对于③，显然正确；对于④，因为a＜0，－1＜b＜0，ab2－a＝a(b2－1)＞0，所以ab2＞a，即④正确．三、解答题10．若实数a≠1，比较a＋2与eq\f(3,1－a)的大小．解析∵a＋2－eq\f(3,1－a)＝eq\f(－a2－a－1,1－a)＝eq\f(a2＋a＋1,a－1)，a2＋a＋1＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋\f(1,2)))2＋eq\f(3,4)>0，∴当a＞1时，a＋2＞eq\f(3,1－a)；当a＜1时，a＋2＜eq\f(3,1－a).11．已知x，y为正实数，满足1≤lgxy≤2,3≤lgeq\f(x,y)≤4，求lg(x4y2)的取值范围．解析设a＝lgx，b＝lgy，则lgxy＝a＋b，lgeq\f(x,y)＝a－b，lgx4y2＝4a＋2b，设4a＋2b＝m(a＋b)＋n(a－b)，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＋n＝4，,m－n＝2，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＝3，,n＝1.))∴lgx4y2＝3lgxy＋lgeq\f(x,y).∵3≤3lgxy≤6,3≤lgeq\f(x,y)≤4，∴6≤lg(x4y2)≤10，即lg(x4y2)的取值范围是[6,10]．12．已知函数f(x)＝ax2＋bx＋c满足f(1)＝0，且a>b>c，求eq\f(c,a)的取值范围．解析∵f(1)＝0，∴a＋b＋c＝0，∴b＝