广东省汕头市潮南区2025届高三上学期摸底考试数学试题（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页广东省汕头市潮南区2025届高三上学期摸底考试数学试题一、选择题：本题共11小题，每小题5分，共55分。1.设集合A=1,3，B=xx2−3x+m=0，若A∩B=A.1,−2 B.1,2 C.1,0 D.1,52.设复数z在复平面内对应的点为1,−1，则z1+i的模为(

)A.1 B.2 C.2 D.3.a=6，e为单位向量，当a，e的夹角为135°时，向量a在向量e上的投影向量为(

)A.2e B.−22e4.双曲线C:x2a2−y2bA.2 B.3 C.2 5.已知数列an=n−2025n−2024A.a1，a100 B.a45，a44 C.a45，a6.已知三棱锥P−ABC中，AP=AC=BP=BC=25，AB=PC=22A.6 B.86π C.7.已知函数gx的图象与fx=x2−mx的图象关于点1,1对称，且gxA.2 B.−1 C.−4 D.48.如图为一款3∗3电子触控灯面板，每个方格中的灯只有“亮”与“不亮”两种状态，触摸灯一次，将导致自身和所有相邻的灯状态发生改变.例如，在面板灯全不亮状态下，触摸E号灯时，E号灯亮起，周围的B、D、F、H号灯也发亮，其他号灯仍保持“不亮”状态.如果在面板灯都“不亮”状态下，只要A号灯亮，则需要触摸面板灯最少次数为(

)

A.5 B.7 C.1 D.99.某校高三年级选考地理科的学生有100名，现将他们该科的一次考试分数转换为等级分，已知等级分X的分数转换区间为30,100，若等级分X∼N80,25，则(

)参考数据：Pμ−σ<X≤μ+σ=0.6827；Pμ−2σ<X≤μ+2σA.这次考试等级分的标准差为5

B.这次考试等级分超过80分的约有45人

C.这次考试等级分在70,80内的人数约为48人

D.P10.函数fx=2sinωx+φω>0,φ<π图象上相邻的最高点与最低点的横坐标相差π2，fA.函数fx的解析式为fx=2sin2x+π6

B.fx的一个对称中心5π12,0，且在π6,2π3上单调递减

C.fx向左平移11.已知曲线C上点满足：到定点1,0与定直线y轴的距离的差为定值m，其中A1，A2分别为曲线C上的两点，且点A2恒在点A1A.若m=14，则曲线C的图像为一条抛物线

B.若m=1，则曲线C的方程为y2=4xx≥0

C.当m>1时，对于任意的A1x1,y0和A2二、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.若3sinα−sinβ=1，α+β=π2，则13.已知函数fx的定义域为R，数列an满足an=fn，已知两个条件：①函数fx在1,+∞是减函数；②an是递减数列.写出一个满足①和②的函数fx解析式：

；写出一个满足②14.某填空题有两小问，按目前掌握信息：十个人中有四人能够答对第一问；在第一问答错情况下，第二问答对的概率仅为0.05；第一问答对的情况下，第二问答错的概率为0.7.用频率估计概率，选择有效信息估计该题两小问均答错的概率：

．三、解答题：本题共5小题，每小题12分，共60分。15.在五边形ABCDE中，∠BCD=∠BAE=2π3，∠CBD=π4，cos∠DBE=3(1)求BE的长度；(2)求三角形ABE周长的最大值为多少？16.已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>(1)求椭圆C的标准方程；(2)如图，过点F且斜率为k的直线l与椭圆交于M，N两点，记直线AM的斜率为k1，直线BN的斜率为k2，求证：k17.多面体E−ABCD的底面为梯形，AB//CD，AB=2CD=22，EA=ED=BC，∠BCD=2∠CBD=90∘，且四边形BDEN为矩形，点P为线段EN上一点

(1)若点P为线段EN中点，求证：CP//平面DAE；(2)是否存在点P，使直线BE与平面PAD所成的角的正弦值为63？若存在，求EP18.为提高我国公民整体健康水平，2022年1月，由国家卫生健康委疾控局指导、中国疾病预防控制中心和国家体育总局体育科学研究所牵头组织编制的《中国人群身体活动指南(2021)》(以下简称《指南》)正式发布.《指南》建议18−64岁的成年人每周进行150−300分钟中等强度或75−150分钟高强度的有氧运动(以下简称为“达标成年人”).经过两年的宣传，某体育健康机构为制作一期《达标成年人》的纪录片，采取街头采访的方式进行拍摄，当采访到第二位“达标成年人”时，停止当天采访.记采访的18−64岁的市民数为随机变量XX≥2，且该市随机抽取的18−64岁的市民是达标成年人的概率为13(1)求某天采访刚好到第五位可停止当天采访的概率；(2)若抽取的18−64岁的市民数X不超过n的概率大于23，求整数n的最小值．19.悬链线的原理运用于悬索桥、架空电缆、双曲拱桥、拱坝等工程.通过建立坐标系，悬链线可表示为双曲余弦函数cℎx=ex+e(1)类比三角函数的导数关系：sinx′=cosx，cos(2)对任意x>0，恒有sℎx>ax成立，求实数(3)求fx=cℎx参考答案1.B

2.A

3.D

4.C

5.B

6.D

7.C

8.A

9.ACD

10.ABD

11.AD

12.35或013.fx=12x. (答案不唯一)

14.0.57

15.解：(1)在▵BCD中，由正弦定理知BDsin∠BCD=CDsin在▵BDE中，由余弦定理知cos∠DBE=BD化简得5BE2−36BE−140=0，解得BE=10或−故BE的长度为BE=10；(2)在▵ABE中，由余弦定理知，BE所以100=BA2+A即(BA+AE)2−100=BA⋅AE≤此时34(BA+AE)2=100所以三角形ABE周长的最大值为20

16.解：(1)依题意，可得，a2=故椭圆C的标准方程为：x2(2)如图，当直线l的斜率k=0时，可得k1=k当k≠0时，不妨设直线l:x=my+1，由x=my+1x24+y显然Δ>0，设M(x1,y1因A(−2,0),B(2,0)，则k1则3k此式的分子为：3y故得3k1=

17.解：(1)由条件可知∠CBD=∠ABD=45则AD=即▵ADB为等腰直角三角形，所以∠ADC=135取BD的中点F，连接CF,∴∠DCF=45因为AD⊂平面DAE，CF⊄平面DAE，所以CF//平面DAE，又因为

四边形BDEN为矩形，点P为线段EN中点，所以PF//DE，同理有PF//平面DAE，而PF∩CF=F,PF、CF⊂平面CFP，所以平面CFP//平面DAE，因为CP⊂平面CFP，所以CP//平面DAE；

(2)

取AD的中点O，连接EO,OB，根据题意知AD2=E∴EO⊥AD,BO=则EO⊥BO，因为BO∩AD=O,OB、AD⊂底面ABCD，所以EO⊥底面ABCD，过O作Oy⊥AD，易知Oy//BD//EN，如图所示建立空间直角坐标系，易知A1,0,0设P0,λ,1λ∈0,2设平面PAD的一个法向量为n=则n⋅DA=2x=0n⋅AP=x+λy+z=0设直线BE与平面PAD所成的角为α，sinα=解之得λ=43，即

18.解：(1)依题意，采访的前四位中有一位是达标成年人，第五位必是达标成年人，因抽取的市民只有“是达标成年人”或“不是达标成年人”两个结果，且抽查结果相互独立，故这是个n重伯努利概型．故“这一天采访刚好到第五位可停止当天采访”的概率为C4(2)依题意，可列出随机变量XX≥2X2345⋯nP(CCC⋯C于是(1化简得，19即1+2×不妨记S=1+2×则2由①−②，可得，13即13故得，S=9−(2n+4)×(23)n−2，代入设an由an+1an又a6=16×(23)4=

19.解：(1)平方关系：cℎ和角公式：cℎx+y导数：{ℎ理由如下：平方关系，c=ecℎx+y和角公式：cℎ==故cℎx+y导数：sℎ′x(2)构造函数Fx=sℎx−ax，x∈0,+∞i.当a≤1时，由cℎx故F′(x)≥0，故F(x)单调递增，此时F(x)≥F(0)=0，故对任意x>0，sh(x)ii.当a>1时，令Gx=F′则G′x=sℎx由G(0)=1−a<0与G(ln2a)=14a>故当x∈(0,x0)时