2024-2025学年黑龙江省双鸭山市建新高级中学高二（上）开学数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年黑龙江省双鸭山市建新高级中学高二（上）开学数学试卷一、选择题：本题共11小题，每小题5分，共55分。1.已知某扇形的圆心角为80°，半径为6cm，则该圆心角对应的弧长为(

)A.480cm B.240cm C.8π3cm 2.设复数z=−i2+i−1−iA.1 B.−1 C.i D.−i3.已知函数f(x)是(−∞,+∞)上的奇函数，且f(x)的图象关于直线x=1对称，当x∈[0,1]时，f(x)=2x−1，则f(2017)+f(2018)的值为A.−2 B.−1 C.0 D.14.下列说法中，正确的个数有(    )个

①圆柱的侧面展开图是一个矩形；

②圆锥的侧面展开图是一个扇形；

③圆台的侧面展开图是一个梯形；

④棱锥的侧面为三角形．A.1 B.2 C.3 D.45.已知向量a，b满足b=(3,1)，b=λa(λ∈R)A.14 B.12 C.2 6.已知AB是圆O：x2+y2=1的直径，C、D是圆O上两点，且∠COD=60°，则A.0 B.−3 C.−3 7.函数f(x)=1−ex1+A. B.

C. D.8.已知四边形ABCD为矩形，AB=2AD=4，E为AB的中点，将△ADE沿DE折起，连接A1B，A1C，得到四棱锥A1−DEBC，M为A1C的中点，在翻折过程中，下列四个命题正确的序号是(

)

①MB//平面A1DE；

②三棱锥M−DEC的体积最大值为22A.①② B.①②③ C.①③ D.①②③④9.已知向量a=(sinωx,sinωx−cosωx)，b=(23cosωx,sinωx+cosωx)(ω>0).设函数f(x)=a⋅bA.f(x)=2sin(2x−π6)

B.(π3,0)是函数y=f(x)图象的对称中心

C.函数y=f(x)在区间(−2π3,−10.已知直四棱柱ABCD−A1B1C1D1的侧棱长为3，底面ABCD是边长为2的菱形，∠BAD=π3,M为棱DDA.若PM与平面ABCD所成的角为π4，则点P的轨迹与直四棱柱的交线长为2π3

B.若点A到平面PDM的距离为3，则三棱锥M−PAD

的体积的最大值为233

C.若以D为球心的球经过点M，则该球与直四棱柱的公共部分的体积为4π11.若复数z=21+i，其中i为虚数单位，则下列结论正确的是(

)A.z的虚部为−i B.|z|=2

C.z2为纯虚数 D.z的共轭复数为二、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.若锐角α满足1tanα2=13.已知α∈(0,3π2),cosα=35，tan14.如图，已知直四棱柱ABCD−A1B1C1D1的所有棱长等于1，∠ABC=60°，O和O1分别是上下底面对角线的交点，H在线段OB1三、解答题：本题共5小题，共60分。15.如图，在四棱锥S−ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，∠ABC=60°，SAD为正三角形．侧面SAD⊥底面ABCD，E、F分别为棱AD、SB的中点．

(Ⅰ)求证：AF//平面SEC

(Ⅱ)求证：平面ASB⊥平面CSB

(Ⅲ)在棱SB上是否存在一点M，使得BD⊥平面MAC？若存在，求BMBS的值；若不存在，请说明理由．16.已知函数f(x)=ln((1)当x≥0时，函数g(x)=f(x)−x−a存在零点，求实数a的取值范围;(2)设函数ℎ(x)=ln(m⋅ex−2m)，若函数f(x)与17.如图，在四棱锥P−ABCD中，BD⊥PC，∠ABC=60°，四边形ABCD是菱形，PA=AB=1，PB=2,E,F是棱PD上的两点，且PF=13PD．

(1)证明：平面PAD⊥平面ABCD；

(2)若再从下面两个条件中选择一个作为已知条件，求平面EAC与平面ACD所成二面角的大小．

①BF//平面ACE；

②三棱锥18.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知b+c=2a，2bsinA=asinC．

(Ⅰ)求cosC的值；

(Ⅱ)求sin(2C−π319.在锐角△ABC中，设角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a=4，cosA=3(1)若c=4，求△ABC的面积;(2)求5b−3ccosC(3)求|AB+AC参考答案1.C

2.A

3.D

4.C

5.D

6.D

7.C

8.B

9.AC

10.AD

11.C

12.50°

13.1214.315.(I)证明：取SC中点G，连结FG，AF，EG，

∵F，G分别是SB，SC的中点，

∴FG//BC，FG=12BC，

∵底面ABCD是菱形，E是AD的中点，

∴AE//BC，AE=12BC，

∴FG//AE，FG=AE，

∴四边形AFGE是平行四边形，

∴AF//EG，又AF⊄平面SEC，EG⊂平面SEC，

∴AF//平面SEC．

(II)证明：∵△SAD是等边三角形，E是AD的中点，

∴SE⊥AD，

∵底面ABCD是菱形，∠ABC=60°，

∴△ACD是等边三角形，又E是AD的中点，

∴AD⊥CE，又SE∩CE=E，SE、CE⊂平面SEC，

∴AD⊥平面SEC，EG⊂平面SEC，

∴AD⊥EG，又四边形AFGE是平行四边形，

∴四边形AFGE是矩形，

∴AF⊥FG，

又SA=AB，F是SB的中点，

∴AF⊥SB，

又FG∩SB=F，FG⊂平面SBC，SB⊂平面SBC，

∴AF⊥平面SBC，

又AF⊂平面ASB，

∴平面ASB⊥平面CSB．

(III)设AC、BD交于O点，假设棱SB上存在点M，使得BD⊥平面MAC，

连结MO，BE，

MO⊂平面MAC，则BD⊥OM，

∵底面ABCD是边长为2的菱形，∠ABC=60°，SAD为正三角形，

∴由余弦定理得BE=7，SE=3，BD=2OB=23，SD=2，SE⊥AD，

∵侧面SAD⊥底面ABCD，侧面SAD∩底面ABCD=AD，SE⊂侧面SAD，

∴SE⊥平面ABCD，BE⊂平面ABCD，

∴SE⊥BE，∴SB=SE16.解：(1)∵f(x)=ln(e2x+1)−x，

即a=ln(e设φ(x)=ln即φ(x)=ln(1e2x∴φ(x)∈(0,ln即实数a的取值范围为(0,ln(2)若函数f(x)与ℎ(x)的图象只有一个公共点，则关于x的方程ln(m⋅∴m⋅ex−2m=得关于t的方程(m−1)t ①当m=1时，方程的解为t=−12 ②当m>1时，∵t1⋅t ③当m<1时，只需4m2−4(m−1)×(−1)=0综上：实数m的取值范围为m|m=−1−17.(1)证明：因为四边形ABCD是菱形，所以BD⊥AC，

因为BD⊥PC，AC，PC⊂平面PAC，且AC∩PC=C，

所以BD⊥平面PAC，

因为PA⊂平面PAC，所以BD⊥PA，

因为PA=AB=1，PB=2，所以PB2=AB2+PA2，所以AB⊥PA，

因为AB，BD⊂平面ABCD，且AB∩BD=B，所以PA⊥平面ABCD，

因为PA⊂平面PAD，所以平面PAD⊥平面ABCD．

(2)解：若选条件①，

记BD与AC交于点O，则O为BD的中点，连接OE，

由BF//平面ACE，平面BFD∩平面ACE=OE，则BF//OE，

所以E为FD的中点，PE=23PD，

取棱CD的中点G，连接AG，则AB，AG，AP两两垂直，

以A为原点，分别以AB，AG，AP的方向为x，y，z轴的正方向，建立空间直角坐标系，

则A(0,0,0)，C(12,32,0)，D(−12,32,0)，P(0,0,1)，

所以AC=(12,32,0)，PD=(−12,32,−1)，AP=(0,0,1)，

因为PE=23PD，所以PE=(−13,33,−23)，

则AE=AP+PE=(−13,33,13)，

设平面ACE的法向量为n=(x,y,z)，则n⋅AE=−13x+33y+13z=0n⋅AC=12x+32y=0，

令x=3，得n=(3,−1,23)，

平面ACD的一个法向量为m=(0,0,1)，

设二面角E−AC−D的大小为θ，则二面角E−AC−D为锐角，

计算cosθ=|cos<n，m>|=|n⋅m||n||m|=0+0+231×3+1+12=32，

所以二面角18.解：(1)因为2bsinA=asinC，

由正弦定理得：2ab=ac，即c=2b，

因为b+c=2a，所以a=32b，

由余弦定理得：cosC=a2+b2−c22ab=94b2+b2−4b22×19.解：(1)由余弦定理cosA=结合cosA=35，得sinA=45，可知，(2)因为a=4，sinA=45，所以由正弦定理b=5sinB，所以5b−3ccosC由于sinB=代入①式可知：5b−3ccos(3)解法1：设BC中点为D，则|ABAB⋅所以|AB如下图所示，设△ABC的外接圆为圆O，由于△ABC为锐角三角形，

故点A的运动轨迹为劣弧A1