2024-2025学年河北省石家庄市无极县文苑中学高二（上）开学数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年河北省石家庄市无极县文苑中学高二（上）开学数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知平面向量a=(2,−1)，b=(1,1)，c=(−5,1)，若(a+kbA.−114 B.12 C.22.设复数z=1−i(i是虚数单位)，则1+iz−z=(

)A.−1 B.1−2i C.1+2i D.−1+2i3.在平行四边形ABCD中，∠ABD=90°，且AB=1，BD=2，若将其沿BD折起使平面ABD⊥平面BCD，则三棱锥A−BDC的外接球的表面积为(

)A.2π B.8π C.16π D.4π4.如图，已知边长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1，点E为线段CDA.22B.12

C.5.我市对上、下班交通情况作抽样调查，上、下班时间各抽取12辆机动车测其行驶速度(单位：km/ℎ)如下表：上班时间182021262728303233353640下班时间161719222527283030323637则上、下班时间行驶时速的中位数分别为(

)A.28与28.5 B.29与28.5 C.28与27.5 D.29与27.56.已知n个数x1，x2，…xn的平均数为x，方差为s2，则数3x1，A.x，3s2 B.3x，s2 C.3x，37.正方形ACDE与等腰直角三角形ACB所在的平面互相垂直，且AC=BC=2，∠ACB=90°，F，G分别是线段AE，BC的中点，则CD与GF所成的角的余弦值为(

)A.36 B.C.66 8.在△ABC中，D为AC的中点，E为线段CB上靠近B的三等分点，则DE=(

)A.23AB+16AC B.1二、多选题：本题共3小题，共15分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.设点M是△ABC所在平面内一点，则下列说法正确的是(

)A.若AM=13AB+13AC，则点M是△ABC的重心

B.若AM=2AB−AC，则点M在边BC的延长线上

C.若O在△ABC所在的平面内，角A、B、C所对的边分别是a，b，c，满足以下条件2OA+210.如图，在正六边形ABCDEF中，点O为其中心，则下列判断正确的是(

)A.AB=OC

B.AB//DE

C.11.某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2017年1月至2019年12月期间月接待游客量(单位：万人)的数据，绘制了下面的折线统计图.根据该折线统计图，下列结论正确的是(

)

A.年接待游客量逐年增加

B.各年的月接待游客量高峰期大致都在8月

C.2017年1月至12月月接待游客量逐月增加

D.各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.设向量a=(3,x)，b=(y,9)，且a/​/b，则xy=13.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，角C等于60°，若a=4，b=2，则c的长为______．14.鲁班锁是中国传统的智力玩具，起源于中国古代建筑中首创的榫卯结构，它的外观是如图所示的十字立方体，其上下、左右、前后完全对称，六根等长的正四棱柱体分成三组，经90°榫卯起来．若正四棱柱的高为8，底面正方形的边长为2，现将该鲁班锁放进一个球形容器内，则该球形容器的表面积至少为_______(容器壁的厚度忽略不计，结果保留π)

四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题12分)

已知|a|=2，|b|=3，(2a−b)⋅(a+3b)=−34．

(1)求a与b的夹角16.(本小题12分)

已知复数z=3+bi(b∈R)，且(1+3i)⋅z纯虚数．

(1)求复数z；

(2)若w=z⋅(2+i)，求复数w17.(本小题12分)

为了让学生了解环保知识，增强环保意识，某中学举行了一次环保知识竞赛，共有900名学生参加了这次竞赛.为了解本次竞赛的成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩进行统计.请根据尚未完成的频率分布表和频数分布直方图，解答下列问题．分组频数频率50.5～60.540.0860.5～70.50.1670.5～80.580.5～90.51690.5～100.5合计501.00(1)填充频率分布表的空格(将答案直接填在表格内)；

(2)补全频数分布直方图；

(3)若成绩在75.5～85.5分的学生获得二等奖，问获得二等奖的学生约为多少人？18.(本小题12分)如图，在四棱锥P−ABCD中，PA⊥面ABCD，AB//CD，且CD=2，AB=1，BC=22，PA=1，AB⊥BC，N为(1)求证：AN//平面PBC．(2)求平面PAD与平面PBC所成二面角的余弦值(3)在线段PD上是否存在一点M，使得直线CM与平面PBC所成角的正弦值是2626，若存在求出DM19.(本小题12分)

已知△ABC的角A，B，C对边分别为a，b，c，且bcosA+acosB=c(3cosA−1)．

(1)求cosA；

(2)若BA⋅AC=−10，求△ABC的面积S的值．参考答案1.B

2.D

3.D

4.A

5.D

6.D

7.C

8.D

9.ACD

10.ABC

11.ABD

12.27

13.214.84π

15.解：(1)因为|a|=2，|b|=3，(2a−b)⋅(a+3b)=−34．

所以(2a−b)⋅(a+3b)=2a2+5a⋅b−3b216.解：(1)z=3+bi(b∈R)，且(1+3i)⋅z=(1+3i)⋅(3+bi)=3−3b+(9+b)i为纯虚数，

得3−3b=09+b≠0，即b=1，∴z=3+i；

(2)若17.解：(1)频率分布表：分组频数频率50.5～60.540.0860.5～70.580.1670.5～80.5100.2080.5～90.5160.3290.5～100.5120.24合计501.00(2)频数分布直方图如下图所示：

(3)成绩在75.5～80.5分的学生占70.5～80.5分的学生的510，

因为成绩在70.5～80.5分的学生频率为0.20，

所以成绩在75.5～80.5分的学生频率为0.10，

成绩在80.5～85.5分的学生占80.5～90.5分的学生的510，

因为成绩在80.5～90.5分的学生频率为0.32，

所以成绩在80.5～85.5分的学生频率为0.16，

所以成绩在75.5～85.5分的学生频率为0.26，

由于有900名学生参加了这次竞赛，

所以该校获得二等奖的学生约为0.26×900=234(人)．18.解：过A作AE⊥CD，垂足为E，则DE=1，以A为坐标原点，分别以AE,AB,AP所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系，

则A(0,0,0),B(0,1,0),E(22,0,0),

D(22,−1,0),C22,1,0,P0,0,1，

∴N(2,−12,12)

，

则AN=(2,−12,12)，

(1)设平面PBC的一个法向量为n1=(x,y,z)，

BP=(0,−1,1),BC=(22,0,0)，−y+z=022x=0，

取

n1=(0,1,1)

∴AN⋅n1=−12+12=0，

AN→⊥n1→，

又AN⊄平面PBC，

∴AN//平面PBC

(2)