2024-2025学年北京市清华大学附中朝阳学校、望京学校高三（上）开学数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年清华大学附中朝阳学校、望京学校高三（上）开学数学试卷一、单选题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合A={1,2,3,4}，B={x|x=n2,n∈A}，则A∩B=A.{1,4} B.{2,3} C.{9,16} D.{1,2}2.命题“∃x0∈(0,+∞)，lnxA.∃x0∈(0,+∞)，lnx0≠x0−1 B.∃x0∉(0,+∞)3.下列函数中，是偶函数，且在区间(0,+∞)上单调递增的为(

)A.y=1x B.y=ln|x| C.4.在同一个坐标系中画出函数y=ax，y=sinax的部分图象，其中a>0且a≠1，则下列所给图象中可能正确的是(

)A. B.

C. D.5.已知实数a，b，c在数轴上对应的点如图所示，则下列式子中正确的是(

)A.b−a<c+a B.c2<abC.cb>c6.若向量a，b满足|a|=1，|b|=2，且a⊥(aA.π2 B.2π3 C.3π47.已知x1=log132，x2=A.x1<x3<x2 B.8.“α+β=2kπ(k∈Z)”是“sin(α+β)=sinα+sinβ”的(

)A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件9.函数f(x)=x，g(x)=x2−x+3.若存在x1,x2,…,A.5 B.63 C.7 D.810.已知函数f(x)=x2−ax+2,x≥a|x+a|,x<a，若对于任意正数k，关于x的方程f(x)=k都恰有两个不相等的实数根，则满足条件的实数aA.0 B.1 C.2 D.无数二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。11.如图所示，在平面直角坐标系xOy中，角α的终边与单位圆交于点A在第二象限，cosα=−35，则点A的坐标为______．12.已知函数f(x)是R上的奇函数，并且是周期为3的周期函数，若f(1)=2，则f(2)=______；f(2019)=______．13.已知a>1，则a+100a−1的最小值为______，此时a等于______．14.已知函数f(x)=sinx，若对任意x∈R都有f(x)+f(x+m)=0，则常数m的一个取值为______．15.已知f(x)=ax2−2x−bln|x−1|，给出以下命题：

①当a=0时，存在b>0，f(x)有两个不同的零点；

②当a=0时，存在b<0，f(x)有三个不同的零点；

③当a=1时，对任意的b∈R，f(x)的图象关于直线x=1对称；

④当a=1时，对任意的b∈R，f(x)有且只有两个零点．

三、解答题：本题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。16.(本小题13分)

已知函数f(x)=cosx(23sinx+cosx)−sin2x．

(Ⅰ)求函数f(x)的最小正周期和单调递增区间；

(Ⅱ)若f(x)17.(本小题14分)

某公司在2013−2021年生产经营某种产品的相关数据如表所示：年份201320142015201620172018201920202021年生产台数(单位：万台)3456691010a年返修台数(单位：台)3238545852718075b年利润(单位：百万元)3.854.504.205.506.109.6510.0011.50c注：年返修率=年返修台数年生产台数

(Ⅰ)从2013−2020年中随机抽取一年，求该年生产的产品的平均利润不小于100元/台的概率；

(Ⅱ)公司规定：若年返修率不超过千分之一，则该公司生产部门当年考核优秀．现从2013−2020年中随机选出3年，记ξ表示这3年中生产部门获得考核优秀的次数，求ξ的分布列和数学期望；

(Ⅲ)记公司在2013−2015年，2016−2018年，2019−2021年的年生产台数的方差分别为s12，s22，s32．

若s32≤max{s118.(本小题13分)

在△ABC中，∠B≠π2，cos2B=3cosB−1．

(Ⅰ)求∠B；

(Ⅱ)从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得△ABC存在且唯一确定，求△ABC的面积．

条件①：sinA=3sinC，b=2；

条件②：AC=6，BC边上的高为2；

条件③：2b=3a，bsinA=119.(本小题15分)

已知函数f(x)=x−alnx．

(Ⅰ)求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程；

(Ⅱ)求f(x)的单调区间；

(Ⅲ)若关于x的方程x−alnx=0有两个不相等的实数根，记较小的实数根为x0，求证：(a−1)x20.(本小题15分)

已知函数f(x)=lnx−a(x−1)x+1．

(Ⅰ)当a=2时，求函数f(x)在点(1,f(1))处的切线方程；

(Ⅱ)若函数f(x)在区间(0,+∞)上单调递增，求实数a的取值范围；

(Ⅲ)讨论函数f(x)21.(本小题15分)

在平面直角坐标系中，O为坐标原点．对任意的点P(x,y)，定义|OP|=|x|+|y|.任取点A(x1,y1)，B(x2,y2)，记A′(x1,y2)，B′(x2,y1)，若此时|OA|2+|OB|2≥|OA′|2+|OB′|2成立，则称点A，B相关．

(Ⅰ)分别判断下面各组中两点是否相关，并说明理由；

①A(−2,1)，B(3,2)；②C(4,−3)，D(2,4)．

(Ⅱ)给定n∈参考答案1.A

2.C

3.B

4.D

5.D

6.C

7.B

8.A

9.D

10.B

11.(−312.−2

0

13.21

11

14.π

15.①②③

16.解：(I)f(x)=cosx(23sinx+cosx)−sin2x

=23sinxcosx+cos2x−sin2x

=3sin2x+cos2x

=2sin(2x+π6)，

所以函数f(x)的最小正周期T=π，

由2kπ−π2≤2x+π6≤2kπ+π2(k∈Z)，解得kπ−π3≤x≤kπ+π6(k∈Z)，

所以函数f(x)的单调递增区间为[kπ−π3,kπ+π6](k∈Z)；

(Ⅱ)令2x+π6=kπ，k∈Z，则x=17.解：(Ⅰ)由图表知，2013年～2020年中，产品的平均利润少于100元/台的年份只有2015年，2016年，

∴从2013年～2020年中随机抽取一年，该年生产的平均利润不少于100元/台的概率为P=68=0.75．

(Ⅱ)由图表得，2013～2020年中，返修率超过千分之一的年份只有2013年和2015年，

∴ξ的所有可能取值为1，2，3，

P(ξ=1)=C61C22C8

ξ

1

2

3

P

3

15

5∴E(ξ)=1×328+2×1528+3×514=9418.解：(Ⅰ)已知△ABC中，∠B≠π2，cos2B=3cosB−1．

则2cos2B=3cosB，

即cosB=32，

又0<B<π，

则B=π6；

(Ⅱ)选①，即sinA=3sinC，b=2，

由正弦定理可得a=3c，

由余弦定理b2=a2+c2−2accosB可得：a2+c2−3ac=4，

又a=3c，

则a=23，c=2，

则S△ABC=12×23×2×12=3，

即△ABC存在且唯一确定，此时△ABC的面积为3；

选②，即b=6，BC边上的高为2，19.(Ⅰ)解：由f(x)=x−alnx，可得f′(x)=1−ax，

则f′(1)=1−a，又f(1)=1，

所以曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y−1=(1−a)(x−1)，

即y=(1−a)x+a．

(Ⅱ)解：f(x)=x−alnx的定义域为(0,+∞)，f′(x)=1−ax=x−ax，

当a≤0时，f′(x)>0，f(x)在(0,+∞)上单调递增；

当a>0时，令f′(x)>0，可得x>a，令f′(x)<0，可得0<x<a，

所以f(x)在(0,a)上单调递减，在(a,+∞)上单调递增．

(Ⅲ)证明：由(Ⅱ)可知，当a>0时，f(x)=x−alnx=0才有两个不相等的实根，且x0>0，

则要证(a−1)x0>a，即证a−1a>1x0，即证1−1a>1x0，

而x0−alnx0=0，则a=x0lnx0(x0≠1，否则方程不成立)，

所以即证1−lnx020.解：(Ⅰ)当a=2时，f(x)=lnx−2(x−1)x+1，则f′(x)=1x−2(x+1)−2(x−1)(x+1)2=1x−4(x+1)2，

所以切线的斜率k=f′(1)=0，切点为(1,0)，

所以切线方程：y=0；

(Ⅱ)由f′(x)=1x−a(x+1)−a(x−1)(x+1)2=(x+1)2−2axx(x+1)2，

由函数f(x)在区间(0,+∞)上单调递增，

所以，当x∈(0,+∞)时，f′(x)≥0恒成立，即(x+1)2−2ax≥0恒成立，

所以a≤(x+1)22x=12(x+1x+2)，

由12(x+1x+2)≥12×(2x×1x+2)=2，当且仅当x=1x，即x=1时，

所以12(x+1x+2)有最小值，最小值为2，

所以a≤2，

经检验，a≤2时，函数f(x)x

(0,

x

(

x

(f′(x)+0−0+

f(x)

增

极大

减极小增因为f(1)=0，所以f(x1)>0，f(x2)<0，

当x∈(0,+∞)时，x−1x+1=1−2x+1∈(−1,1)，

取x=e−a∈(0,1)，f(e−a)<−a−a×(−1)=0，

再取x=ea∈(1,+∞)，有f(ea)>a−a×1=0，

所以函数f(x)在区间(0,1)，21.解：若点A(x1,y1)，B(x2,y2)相关，不妨设x1，y1，x2，y2≥0，

则(x1+y1)2+(x2+y2)2≥(x1+y2)2+(x2+y1)2，

∴(x1−