2024-2025学年湖北省高中名校联盟高三（上）第一次测评数学试卷（8月份）（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年湖北省高中名校联盟高三（上）第一次测评数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知复数z满足1+iz=z−2i，则|z|=(

)A.32 B.52 C.102.已知集合A={x|0<x2+x≤6}，B={−3,−2,−1,0,1,2,3}，则A∩B包含的元素个数为A.3 B.4 C.5 D.63.长江被称为黄金水道，而三峡大坝则是长江上防洪发电的国之重器.三峡大坝坝前正常蓄水位为海拔175米，而坝下通航最低水位为海拔62米.为了改善船舶的通航条件，常常会通过修建阶梯船闸来实现，船只只需要像爬楼梯一样，以实现上升或者下降.假设每个闸室之间的水位差均可控制在15至25米之间，则要保证全年通航，那么三峡大坝船闸至少需要修建闸室的个数为(

)A.4 B.5 C.6 D.74.若sin(π12+α)=4A.−1225 B.−725 C.5.已知一组数据34，36，39，41，44，45，x，50的第65百分位数是45，那么实数x的取值范围是(

)A.[45,+∞) B.(45,+∞) C.(45,50) D.[45,50]6.已知函数f(x)=cos(ωx+φ)的部分图象如下，y=12与其交于A，B两点.若|AB|=πA.1 B.2 C.3 D.47.长方体ABCD−A1B1C1D1中，AC1与平面ABCD所成的角为αA.α>β B.a+β=90° C.α+β>90° D.α+β<90°8.设抛物线C：x2=2y的焦点为F，过抛物线C上的点P作C的切线交x轴于点M，若∠FPM=30°，则|FP|=(

)A.23 B.2 C.2 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知无穷数列{an}和{bn}的各项均为整数，{an}和A.若{an}和{bn}是各项均为正数的等差数列，如果所有相等的项不止一项，则这些项构成等差数列

B.若{an}和{{bn}是各项均为正数的等比数列，如果所有相等的项不止一项，则这些项构成等比数列

C.10.如图，造型为“∞”的曲线C称为双纽线，其对称中心在坐标原点O，且C上的点满足到点F1(−1,0)和F2(1,0)的距离之积为定值a，则A.点(2,0)在曲线C上

B.曲线C的方程为(x2+y2)2=2x2−11.类比平面上的三角形是由三条线段首尾顺次相接构成的封闭图形，我们把球面上三条大圆的劣弧AB、BC、AC首尾顺次相接构成的封闭图形称为球面三角形.如图所示，分别连接球心O与不在同一大圆上三点A，B，C，定义球面△ABC的三个内角∠A，∠B，∠C分别为二面角B−OA−C，A−OB−C，B−OC−A的平面角.则下列说法正确的是A.若∠AOB=π3，球的半径为2，则AB=2π3

B.存在球面三角形ABC，使得∠A+∠B+∠C=3π2

C.若∠AOB=π3，球的半径为2，OC⊥OA，OC⊥OB，那么球面三角形ABC的面积为8π3三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知向量a,b的夹角为π6，且|a|=2,|b13.(2−x2)(x−1)414.已知函数f(x)=ax,g(x)=1aloga(x+1)四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

如图，在平面四边形ABCD中，AB=5,AD=4,cos∠BAD=18,∠BCD=90°．

(1)若AC与BD交于点O，且BD⊥AC，求BO的长；

(2)16.(本小题15分)

已知椭圆Γx2a2+y2b2=1经过点A(1,32)，右焦点为F(1,0)．

(1)求椭圆Γ的方程；

(2)若直线l与Γ交于B，17.(本小题15分)

如图，直角梯形ACDE中，∠A=45°,ED=CD=12AC=2,B、M分别为AC、ED边的中点，将△ABE沿BE边折起到△A′BE的位置，N为边A′C的中点．

(1)证明：MN//平面A′BE；

(2)当三棱锥A′−BEN的体积为33，且二面角A′−BE−C为锐二面角时，求平面18.(本小题17分)

为抽查车辆文明驾驶情况，在某路口设有高清摄像头，对经过的车辆进行抓拍.抓拍系统设定：经过该路口的每一辆车被抓拍的概率均为13，但为保证抽查量，设定前2辆车经过该路口都没有被抓拍时，第3辆车必被抓拍.假设汽车依次通过该路口．

(1)从某一时刻开始，记第n辆车经过该路口时被抓拍的概率为Pn，求P1，P2，P3；

(2)当任意连续有2辆车经过该路口时，Y00表示2辆车均未被抓拍的概率，Y01表示第1辆车未被抓拍，且第2辆车被抓拍的概率，Y10表示第1辆车被抓拍，且第2辆车未被抓拍的概率，Y11表示2辆车均被抓拍的概率．

①试用Y10和Y00表示Y01

19.(本小题17分)

牛顿法(Newton′smetℎod)是牛顿在17世纪提出的一种用导数求方程近似解的方法，其过程如下：如图，设r是f(x)=0的根，选取x.作为r的初始近似值，过点(x0,f(x0))作曲线y=f(x)的切线L，L的方程为y=f(x0)+f′(x0)(x−x0).如果f′(x0)≠0，则L与x轴的交点的横坐标记为x1，称x1为r的一阶近似值.再过点(x1,f(x1))作曲线y=f(x)的切线，并求出切线与x轴的交点横坐标记为x2，称x2为r的二阶近似值.重复以上过程，得r的近似值序列：x1，x2，⋯，xn，根据已有精确度ε，当|xn−r|<ε时，给出近似解.

参考答案1.C

2.B

3.B

4.C

5.A

6.D

7.D

8.B

9.ABD

10.AC

11.ABD

12.1313.−4

14.(e15.解：(1)△ABD

中，由余弦定理得BD2=AB2+AD2−2AB⋅ADcos∠BAD=36，

所以BD=6，

因为cos∠BAD=18，∠BAD∈(0,π)，

所以sin∠BAD=378．

由BD⊥AC可知，AO=2S△ABDBD=AB⋅ADsin∠BAD16.解：(1)由已知a2−b2=c2=1,1a2+94b2=1,，

解得a2=4，b2=3，

所以椭圆方程为x24+y23=1．

(2)由于AB，AC的斜率互化相反数，不妨设AB的斜率为k，AC的斜率为−k．

则AB的方程为y=k(x−1)+32，

联立x24+y23=1y=k(x−1)+32⇒(3+4k2)x2+(12k−8k2)x+4k2−12k−3=0，

故xAxB17.解：(1)证明：取A′B的中点H，BC的中点O，由题意知，CD=ED=BC=BE=2，

直角梯形ACDE中BC/​/ED，BC⊥CD，∴四边形BEDC为正方形，

∵N为A′C的中点，

∴NH//BO//EM，NH=BO=EM，

∴四边形EMNH为平行四边形，∴EH//NM，

∵EH⊂平面A′BE，NM不在面A′BE内，

∴MN/​/平面A′BE；

(2)连接A′O，则A′O⊥BC，以OC所在直线为x轴，OM所在直线为y轴，OA′所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，

∵BE⊥A′B，BE⊥BC，A′B，BC⊂面A′BN，

∴BE⊥平面A′BN，

VA′−BEN=VE−A′BN=13×BE×S△A′BN=23S△A′BE=33，∴S△A′BN=32，

∵BA′=BC，∴S△A′BC=12×BC×A′B×sin∠A′BC=2S△A′BN=3，

∴sin∠A′BC=32，∴△A′BC为等边三角形，

则B(−1,0,0),C(1,0,0),A′(0,0,3),N(12,0,32),M(0,2,0),D(1,2,0)，

∴BN=(318.解：(1)记事件“第i辆车经过路口时被抓拍”为Ai，i=1，2，3，…，

则P1=P(A1)=13，

P2=P(A1A2)+P(A1−A2)=13×13+23×13=13，

P319.解：(1)函数f(x)=x+lnx，求导得f′(x)=1+1x，

依题意，x1=x0−f(x0)f′(x0)=x0−x0+lnx01+1x0=x0(1−lnx0)x0+1，当x0=1时，x1=12，

同理x2=x1