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第=page11页,共=sectionpages11页2024-2025学年陕西省延安市培文学校高三(上)开学数学试卷一、单选题:本题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题给出的选项中,只有一项是符合题目要求的。1.已知集合A={y|y=x2,x∈Z},B={x|x2A.{0,1,4} B.{1,2,3} C.{3,4,5} D.{0,3,6}2.已知向量a=(2,1),b=(t,1),若a⋅b=|A.−12 B.0 C.123.已知α,β∈(0,π2),且tanα=cosβA.π8 B.π4 C.π24.图中的花盆可视作两个圆台的组合体,其上半部分的圆台上、下底面直径分别为30cm和26cm,下半部分的圆台上、下底面直径分别为24cm和18cm,且两个圆台侧面展开图的圆弧所对的圆心角均相等,若上半部分的圆台的高为8cm,则该花盆的总高度为(
)A.16cm B.18cm C.20cm D.24cm5.“0<a<1”是“函数f(x)=loga(2a−x)在(−∞,1)上单调递增”的A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件6.已知过点C(2,0)的直线交抛物线y2=4x于A,B两点,且AC=2CB,O为坐标原点,则△AOBA.2 B.4 C.6 D.87.已知等差数列{an}中,a3=3,a1+a4=5,记bn=[lgA.4965 B.4964 C.1893 D.18928.已知三棱锥A−BCD中,AC=3,其余各棱长均为2,P是三棱锥A−BCD外接球的球面上的动点,则点P到平面BCD的距离的最大值为(
)A.266 B.263 C.二、多选题:本题共3小题,共15分。在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求。9.2023年我国居民消费价格月度涨跌幅度的数据如图所示,对于这组数据,下列说法正确的是(
)
A.极差为2.6 B.平均数约为0.24 C.中位数为0 D.众数只有−0.3和010.已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω∈N∗,0<φ<π)的图象关于直线x=5π12对称,最小正周期
T∈(2π3,2π)A.f(x)=sin(2x+2π3) B.g(x)=cos(2x+2π3)
C.g(x)11.已知函数f(x)的定义域为(−∞,0)∪(0,+∞),若f(x)+f(y)−f(x)f(y)=f(xy),且f(x)在(0,+∞)上单调递增,f(−1)<1,则(
)A.f(1)=0 B.f(−1)=0
C.f(x)是奇函数 D.∀x≠0,f(x)<1三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分。12.若复数z满足(z+2)2=−4,则|z|=13.设m=100×299,则m被7除的余数为______.14.已知P是双曲线C:x2a2−y2b2四、解答题:本题共5小题,共60分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。15.(本小题12分)
如图,在△ABC中,D为边BC上一点,且CD=2AD,AC=33,cos∠ADC=13.
(Ⅰ)求CD;
(Ⅱ)若sinB=16.(本小题12分)
已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左焦点为F(−1,0),过点F且不与x轴重合的动直线与C交于P,Q两点,且当PQ⊥x轴时,|PQ|=3.
(Ⅰ)求C的方程;
(Ⅱ)若D(−2,0),R(−3,0),直线DP,DQ17.(本小题12分)
如图,在三棱柱ABC−A1B1C1中,△ABC为等边三角形,平面A1ACC1⊥平面ABC,四边形A1ACC1为菱形,∠A1AC=60°,AB=2.F为BB1的中点.18.(本小题12分)
已知函数f(x)=axex+b的图象在点(1,f(1))处的切线方程为y=2ex−e.
(Ⅰ)求a,b的值;
(Ⅱ)讨论f(x)的单调性;
(Ⅲ)若关于x的方程f(x)−(x+lnx)=m有两个正根x1,x219.(本小题12分)
在一个不透明的口袋中装有2个黑球和2个白球,每次从口袋中随机取出1个球,再往口袋中放入1个白球,取出的球不放回,像这样取出1个球再放入1个白球称为1次操作,重复操作至口袋中4个球均为白球后结束.假设所有球的大小、材质均相同,记事件“n次操作后结束”为An,事件An发生的概率为pn.
(Ⅰ)求第1次操作取出黑球且3次操作后结束的概率;
(Ⅱ)求数列|pn|的通项公式;
(Ⅲ)设参考答案1.A
2.B
3.C
4.C
5.B
6.C
7.A
8.D
9.ABC
10.ACD
11.ABD
12.213.2
14.2315.解:(Ⅰ)因为CD=2AD,AC=33,cos∠ADC=13,
在△ACD中,由余弦定理可得:AC2=AD2+CD2−2AD⋅CDcos∠ADC,
即33=(CD2)2+CD2−2⋅CD2⋅CD⋅13,
解得CD=6;
(Ⅱ)由图知:∠BAD=∠ADC−∠B,由16.解:(Ⅰ)因为椭圆C的左焦点为F(−1,0),
所以a2−b2=1,①
联立x=−1x2a2+y2b2=1,
解得|y|=ba2−1a,
因为|PQ|=3,
所以2ba2−1a=3,②
联立①②,
解得a2=4,b2=3,
则C的方程为x24+y23=1;
(Ⅱ)证明:易知直线PQ不垂直于y轴,
设直线PQ的方程为x=ty−1,P(x1,y1),Q(x2,17.(Ⅰ)证明:设A1C∩AC1=O,取AC的中点E,连接OE,OF,BE,则OE//A1A,OE=12A1A,
又BF//A1A,BF=12A1A,所以BF//OE,BF=OE,
所以四边形EOFB为平行四边形,所以EB//OF,
因为平面A1ACC1⊥平面ABC,平面A1ACC1∩平面ABC=AC,BE⊥AC,
所以BE⊥平面A1ACC1,所以FO⊥平面A1ACC1,所以FO⊥AC1,
又因为四边形A1ACC1为菱形,所以AC1⊥A1C,
又FO∩A1C=O,所以AC1⊥平面A1CF;
(Ⅱ)解:由题意知,△A1AC为等边三角形,以AC的中点E为原点,
EB,18.解:(1)函数f(x)=axex+b,求导得f′(x)=a(x+1)ex,
由f(x)的图象在点(1,f(1))处的切线方程为y=2ex−e,得f′(1)=2ae=2ef(1)=ae+b=e,
所以a=1,b=0.
(2)由(1)知f(x)=xex,f′(x)=(x+1)ex.
由f′(x)>0,得x>−1,由f′(x)<0,得x<−1,
所以f(x)在(−∞,−1)上单调递减,在(−1,+∞)上单调递增.
(3)证明:由xex−(lnx+x)=m,得f(x)−lnf(x)=m,
令t1=f(x1),t2=f(x2),依题意,t1−lnt1=mt2−lnt2=m,则lnt2t1=t2−t1,
设u=t2t1,由(2)知f(x)在(0,+∞)上单调递增,则t2>t1>0,u>1,
由u=t19.解:(Ⅰ)用Ai表示第i次操作取出黑球,Wi表示第i次操作取出白球,
则第1次操作取出黑球且3次操作后结束的概率为P(
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