2024-2025学年陕西省延安市培文学校高三（上）开学数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年陕西省延安市培文学校高三（上）开学数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合A={y|y=x2,x∈Z}，B={x|x2A.{0,1,4} B.{1,2,3} C.{3,4,5} D.{0,3,6}2.已知向量a=(2,1)，b=(t,1)，若a⋅b=|A.−12 B.0 C.123.已知α,β∈(0,π2)，且tanα=cosβA.π8 B.π4 C.π24.图中的花盆可视作两个圆台的组合体，其上半部分的圆台上、下底面直径分别为30cm和26cm，下半部分的圆台上、下底面直径分别为24cm和18cm，且两个圆台侧面展开图的圆弧所对的圆心角均相等，若上半部分的圆台的高为8cm，则该花盆的总高度为(

)A.16cm B.18cm C.20cm D.24cm5.“0<a<1”是“函数f(x)=loga(2a−x)在(−∞,1)上单调递增”的A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件6.已知过点C(2,0)的直线交抛物线y2=4x于A，B两点，且AC=2CB，O为坐标原点，则△AOBA.2 B.4 C.6 D.87.已知等差数列{an}中，a3=3，a1+a4=5，记bn=[lgA.4965 B.4964 C.1893 D.18928.已知三棱锥A−BCD中，AC=3，其余各棱长均为2，P是三棱锥A−BCD外接球的球面上的动点，则点P到平面BCD的距离的最大值为(

)A.266 B.263 C.二、多选题：本题共3小题，共15分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.2023年我国居民消费价格月度涨跌幅度的数据如图所示，对于这组数据，下列说法正确的是(

)

A.极差为2.6 B.平均数约为0.24 C.中位数为0 D.众数只有−0.3和010.已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω∈N∗,0<φ<π)的图象关于直线x=5π12对称，最小正周期

T∈(2π3,2π)A.f(x)=sin(2x+2π3) B.g(x)=cos(2x+2π3)

C.g(x)11.已知函数f(x)的定义域为(−∞,0)∪(0,+∞)，若f(x)+f(y)−f(x)f(y)=f(xy)，且f(x)在(0,+∞)上单调递增，f(−1)<1，则(

)A.f(1)=0 B.f(−1)=0

C.f(x)是奇函数 D.∀x≠0，f(x)<1三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.若复数z满足(z+2)2=−4，则|z|=13.设m=100×299，则m被7除的余数为______．14.已知P是双曲线C：x2a2−y2b2四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题12分)

如图，在△ABC中，D为边BC上一点，且CD=2AD，AC=33，cos∠ADC=13．

(Ⅰ)求CD；

(Ⅱ)若sinB=16.(本小题12分)

已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左焦点为F(−1,0)，过点F且不与x轴重合的动直线与C交于P，Q两点，且当PQ⊥x轴时，|PQ|=3．

(Ⅰ)求C的方程；

(Ⅱ)若D(−2,0)，R(−3,0)，直线DP，DQ17.(本小题12分)

如图，在三棱柱ABC−A1B1C1中，△ABC为等边三角形，平面A1ACC1⊥平面ABC，四边形A1ACC1为菱形，∠A1AC=60°，AB=2.F为BB1的中点．18.(本小题12分)

已知函数f(x)=axex+b的图象在点(1,f(1))处的切线方程为y=2ex−e．

(Ⅰ)求a，b的值；

(Ⅱ)讨论f(x)的单调性；

(Ⅲ)若关于x的方程f(x)−(x+lnx)=m有两个正根x1，x219.(本小题12分)

在一个不透明的口袋中装有2个黑球和2个白球，每次从口袋中随机取出1个球，再往口袋中放入1个白球，取出的球不放回，像这样取出1个球再放入1个白球称为1次操作，重复操作至口袋中4个球均为白球后结束.假设所有球的大小、材质均相同，记事件“n次操作后结束”为An，事件An发生的概率为pn．

(Ⅰ)求第1次操作取出黑球且3次操作后结束的概率；

(Ⅱ)求数列|pn|的通项公式；

(Ⅲ)设参考答案1.A

2.B

3.C

4.C

5.B

6.C

7.A

8.D

9.ABC

10.ACD

11.ABD

12.213.2

14.2315.解：(Ⅰ)因为CD=2AD，AC=33，cos∠ADC=13，

在△ACD中，由余弦定理可得：AC2=AD2+CD2−2AD⋅CDcos∠ADC，

即33=(CD2)2+CD2−2⋅CD2⋅CD⋅13，

解得CD=6；

(Ⅱ)由图知：∠BAD=∠ADC−∠B，由16.解：(Ⅰ)因为椭圆C的左焦点为F(−1,0)，

所以a2−b2=1，①

联立x=−1x2a2+y2b2=1，

解得|y|=ba2−1a，

因为|PQ|=3，

所以2ba2−1a=3，②

联立①②，

解得a2=4，b2=3，

则C的方程为x24+y23=1；

(Ⅱ)证明：易知直线PQ不垂直于y轴，

设直线PQ的方程为x=ty−1，P(x1,y1)，Q(x2,17.(Ⅰ)证明：设A1C∩AC1=O，取AC的中点E，连接OE，OF，BE，则OE//A1A，OE=12A1A，

又BF//A1A，BF=12A1A，所以BF//OE，BF=OE，

所以四边形EOFB为平行四边形，所以EB//OF，

因为平面A1ACC1⊥平面ABC，平面A1ACC1∩平面ABC=AC，BE⊥AC，

所以BE⊥平面A1ACC1，所以FO⊥平面A1ACC1，所以FO⊥AC1，

又因为四边形A1ACC1为菱形，所以AC1⊥A1C，

又FO∩A1C=O，所以AC1⊥平面A1CF；

(Ⅱ)解：由题意知，△A1AC为等边三角形，以AC的中点E为原点，

EB，18.解：(1)函数f(x)=axex+b，求导得f′(x)=a(x+1)ex，

由f(x)的图象在点(1,f(1))处的切线方程为y=2ex−e，得f′(1)=2ae=2ef(1)=ae+b=e，

所以a=1，b=0．

(2)由(1)知f(x)=xex，f′(x)=(x+1)ex．

由f′(x)>0，得x>−1，由f′(x)<0，得x<−1，

所以f(x)在(−∞,−1)上单调递减，在(−1,+∞)上单调递增．

(3)证明：由xex−(lnx+x)=m，得f(x)−lnf(x)=m，

令t1=f(x1)，t2=f(x2)，依题意，t1−lnt1=mt2−lnt2=m，则lnt2t1=t2−t1，

设u=t2t1，由(2)知f(x)在(0,+∞)上单调递增，则t2>t1>0，u>1，

由u=t19.解：(Ⅰ)用Ai表示第i次操作取出黑球，Wi表示第i次操作取出白球，

则第1次操作取出黑球且3次操作后结束的概率为P(