2024-2025学年四川省大数据精准教学联盟高三（上）月考数学试卷（一模）（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年四川省大数据精准教学联盟高三（上）月考数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知i为虚数单位，则(1+i)2+2(1−i)的值为A.4 B.2 C.0 D.4i2.已知集合A={x|−1≤x≤2}，B={x|−a≤x≤a+1}，则“a=1”是“A⊆B”的(

)A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分又不必要条件3.已知双曲线x2a2−y2A.223 B.72 4.如图，在△ABC中，点D，E分别在AB，AC边上，且BD=DA，AE=3EC，点F为DE中点，则BFA.−18BA+38BCB.5.一家水果店为了解本店苹果的日销售情况，记录了过去200天的日销售量(单位：kg)，将全部数据按区间[50,60)，[60,70)，…，[90,100]分成5组，得到如图所示的频率分布直方图：

根据图中信息判断，下列说法中不恰当的一项是(

)A.图中a的值为0.005

B.这200天中有140天的日销售量不低于80kg

C.这200天销售量的中位数的估计值为85kg

D.店长希望每天的苹果尽量新鲜，又能85%地满足顾客的需要(在100天中，大约有85天可以满足顾客的需求)，则每天的苹果进货量应为91kg6.函数f(x)=14cosπx⋅(ex−A.B.C.D.7.已知正四棱锥P−ABCD的各顶点都在同一球面上，且该球的体积为36π，若正四棱锥P−ABCD的高与底面正方形的边长相等，则该正四棱锥的底面边长为(

)A.16 B.8 C.4 D.28.已知a，b，c∈(0,4)，且满足a+12=cos2a2A.c>a>b B.c>b>a C.a>c>b D.a>b>c二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知函数f(x)=sinωx+3cosωx(ω>0)的最小正周期为π，则A.f(x)的最大值为2

B.f(x)在(−π3,π6)上单调递增

C.f(x)的图象关于点(−π6,0)10.已知椭圆E：x24+y23=1的左顶点为A，左、右焦点分别为F1，F2A.|F1F2|=1

B.|PQ|≤4

C.当F2，P，Q不共线时，△F2PQ的周长为8

11.已知函数f(x)=(x−1)ex−x，则下列说法正确的是A.f(x)的极小值一定小于−1

B.函数y=f(f(x))有6个互不相同的零点

C.若对于任意的x∈R，f(x)≥ax−1，则a的值为−1

D.过点(0,−2)有且仅有1条直线与曲线y=f(x)相切三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知角α的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点P(1,2)，则cos2α=______．13.已知数列{an}满足a3=5，a2n=2an+1，2an+114.条件概率与条件期望是现代概率体系中的重要概念，近年来，条件概率和条件期望已被广泛的应用到日常生产生活中.定义：设X，Y是离散型随机变量，则X在给定事件Y=y条件下的期望为E(X|Y=y)=i=1nxi⋅P(X=xi|Y=y)=i=1nxi⋅P(X=xi,Y=y)P(T=y)，其中{x1,x2,…,xn}为X的所有可能取值集合，P(X=x,Y=y)表示事件“X=x”与事件“四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且sin2A=sin2B+sin2C+sinBsinC．

(1)求角A；

(2)若∠BAC的平分线交边BC于点D16.(本小题15分)

如图，在三棱锥P−ABC中，PA⊥平面ABC，AC⊥BC．

(1)求证；平面PAC⊥平面PBC；

(2)若AC=5，BC=12，三棱锥P−ABC的体积为100，求二面角A−PB−C的余弦值．17.(本小题15分)

已知函数f(x)=xlnx−ax2+1．

(1)若f(x)在(0,+∞)上单调递减，求a的取值范围；

(2)若a<0，证明：f(x)>018.(本小题17分)

甲、乙两名同学进行定点投篮训练，据以往训练数据，甲每次投篮命中的概率为23，乙每次投篮命中的概率为12，各次投篮互不影响、现甲、乙两人开展多轮次的定点投篮活动，每轮次各投2个球，每投进一个球记1分，未投进记−1分．

(1)求甲在一轮投篮结束后的得分不大于0的概率；

(2)记甲、乙每轮投篮得分之和为X．

①求X的分布列和数学期望；

②若X>0，则称该轮次为一个“成功轮次”.在连续n(n≥8)轮次的投篮活动中，记“成功轮次”为Y，当n为何值时，P(Y=8)的值最大？19.(本小题17分)

已知抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点为F，过点F的直线与C相交于点A，B，△AOB面积的最小值为12(O为坐标原点).按照如下方式依次构造点Fn(n∈N∗)：F1的坐标为(p,0)，直线AFn，BFn与C的另一个交点分别为An，Bn，直线AnBn与x轴的交点为Fn+1，设点Fn的横坐标为xn．参考答案1.B

2.A

3.C

4.C

5.D

6.D

7.C

8.A

9.ACD

10.BCD

11.ACD

12.−313.2n14.2

15.解：(1)因为sin2A=sin2B+sin2C+sinBsinC，

所以a2=b2+c2+bc，则b2+c2−a2=2bccosA=−bc，

所以cosA=−12，

因为16.解：(1)证明：由题意得，PA⊥平面ABC，因为BC⊂平面ABC，所以PA⊥BC，

又因为AC⊥BC，PA，AC⊂平面PAC，所以BC⊥平面PAC，

又因为BC⊂平面PCB，所以平面PAC⊥平面PBC．

(2)因为AC=5，BC=12，AC⊥BC，所以S△ABC=12×12×5=30，

又因为三棱锥P−ABC的体积为100，即100=13×PA×30，得PA=10，

由题意可得以A为原点，分别以平行于BC的直线，AC，AP所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图，

则A(0,0,0)，B(12,5,0)C(0,5,0)，P(0,0,10)，

所以AP=(0,0,10)，CB=(12,0,0)，PB=(12,5,−10)，

设平面APB的一个法向量为n=(x,y,z)，

则n⋅PB=12x+5y−10z=0n⋅AP=10z=0，令x=−5，得y=12，z=0，则n=(−5,12,0)，

设平面PBC的一个法向量为m=(a,b,c)，

则m⋅PB=12a+5b−10c=0m17.解：(1)由f(x)=xlnx−ax2+1，则f′(x)=lnx+1−2ax，

因为f(x)在(0,+∞)上单调递减，所以f′(x)=lnx+1−2ax≤0在(0,+∞)上恒成立，

所以lnx+1−2ax≤0，即a≥lnx+12x，

构造函数g(x)=lnx+12x(x>0)，所以g′(x)=1x⋅2x−2(lnx+1)4x2=−2lnx4x2，

当x∈(0,1)时，g′(x)>0；当x∈(1,+∞)时，g′(x)<0，

所以g(x)在区间(0,1)上单调递增，在区间(1,+∞)上单调递减，

所以当x=1时f(x)取得极大值也是最大值，即g(x)max=g(1)=12，所以a≥12，

所以a的取值范围为[12,+∞)．

证明：(2)由题意得f(x)=xlnx−ax2+1的定义域为(0,+∞)，

当a<0时，要证f(x)>0，即证：xlnx−ax2+1>0，等价于证明lnx−ax+1x>0

构造函数ℎ(x)=lnx−ax+1x(x>0)，即证ℎ(x)min>0；

所以ℎ′(x)=1x−a−1x2=−ax2+x−1x2，令T(x)=−ax2+x−1(x>0)，

因为函数T(x)的对称轴为x=12a<0，所以T(x)在(0,+∞)上单调递增，

且T(0)=−1<0，T(1)=−a>0，所以存在x0∈(0,1)，使T(x18.解：(1)甲在一轮投篮结束后的得分不大于0，即甲在一轮投篮中至多命中一次，

所以甲在一轮投篮结束后的得分不大于0的概率为P=1−(23)2=59；

(2)①由题知X可能取值为−4，−2，0，2，4，

则P(X=−4)=13×13×12x−4−2024P11311数学期望E(X)=(−4)×136+(−2)×16+0×1336+2×13+4×19=23；

②由①知P(X>0)=13+19=49，

由题知Y～B(n,49)，

P(Y=k)=Cnk(49)k(1−49)n−k(0≤k≤n,k∈N)，

由P(n=k)≥P(n=k−1)19.解：(1)设直线AB：x=ty+p2，A(x1,y1)，B(x2,y2)，

联立方程组y2=2pxx=ty+p2得：y2−2pty−p2=0