2024-2025学年北京师大附属实验中学高二（上）开学数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年北京师大附属实验中学高二（上）开学数学试卷一、单选题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知角α的终边经过P(2,−1)，则cosα等于(

)A.55 B.−55 2.已知复数z满足z⋅i=1−i，则复数z在复平面内对应的点位于(

)A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限3.cos30°cos15°−sin30°sin15°的值为(

)A.1 B.12 C.224.在△ABC中，bcosB=csinC，则A.π6 B.π4 C.π35.已知l，m是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题正确的是(

)A.若m⊥α，α⊥β，则m//β B.若α∩β=l，l//m，则m//β

C.若m⊂α，α⊥β，则m⊥β D.若m⊥α，α//β，则m⊥β6.下列函数中，以π为最小正周期，且在区间(0,π2)上单调递增的是A.y=tan(x+π4) B.y=|sinx| 7.将函数y=sin(2x+π3)的图象向右平移π2个单位长度，得到的图象关于点(φ,0)A.π6 B.π4 C.π38.在△ABC中，已知a=2,A=π3，则下列说法正确的是(

)A.当b=1时，△ABC是锐角三角形 B.当b=433时，△ABC是直角三角形

C.当b=73时，△ABC是钝角三角形 9.已知a，b是非零向量，则“a⊥b”是“对于任意的λ∈R，都有|a+λA.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件10.海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫潮汐.一般早潮叫潮，晚潮叫汐.在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近船坞；卸货后落潮时返回海洋.下面是某港口在某季节某天的时间与水深值(单位：m)的部分记录表．时间0：003：006：009：0012：00水深值5.07.55.02.55.0据分析，这个港口的水深值与时间的关系可近似地用三角函数来描述.试估计13：00的水深值为(

)A.3.75 B.5.83 C.6.25 D.6.67二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。11.若z(1+i)=2i，则|z|=______．12.在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称.若角α的终边与单位圆交于点P(35,m)，则cosβ=13.已知菱形ABCD的边长为2，∠BAD=60°，BC=2BP，则AP⋅BD=14.陀螺是中国民间的娱乐工具之一，早期陀螺的形状由同底的一个圆柱和一个圆锥组合而成(如图).已知一木制陀螺模型内接于一表面积为16πcm2的球，其中圆柱的两个底面为球的两个截面，圆锥的顶点在该球的球面上，若圆柱的高为2cm，则该圆柱的侧面积为______cm2，该陀螺的体积为______15.在棱长为1的正方体ABCD−A1B1C1D1中，E，F，G分别为棱AA1，C1D1，CC1的中点，动点H在平面EFG内，且DH=1.给出下列四个结论：

①A1B//平面EFG；

②点H轨迹的长度为π；

③存在点三、解答题：本题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。16.(本小题13分)

已知函数f(x)=sin(x−π6)+sin(x+π2)．

(Ⅰ)求f(0)的值和f(x)17.(本小题14分)

如图，在长方体ABCD−A1B1C1D1中，AB=BC=2，CC1=4，E为CC1的中点．

(Ⅰ)求证：AC1//平面EDB；

(Ⅱ)18.(本小题14分)

已知OA=a，OB=b，|a|=2，|b|=1，<a，b>=π4．

(Ⅰ)19.(本小题14分)

在△ABC中，b+2c−2acosB=0．

(Ⅰ)求∠A；

(Ⅱ)若△ABC的面积是32，求a20.(本小题15分)

如图1，在△ABC中，AB=3，AC=4，BC=5，D，E分别为AC，BC的中点.将△CDE沿DE折起到△C1DE的位置，得到四棱锥C1−DABE，如图2．

(Ⅰ)求证：DE⊥C1A；

(Ⅱ)若M是线段C1B上的点，平面DEM与线段C1A交于点N.再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知.使点M唯一确定，并解答问题．

(i)求证：N为C1A的中点；

(ii)求证：C1A⊥平面DEMN．

条件①：21.(本小题15分)

已知n维向量a=(a1,a2,⋯,an)，给定k∈{1,2,…,n−1)，定义变换φk：选取i∈(0,1,…n−1}，再选取一个实数x，对a的坐标进行如下改变：

若此时i+k≤n，则将ai+1，ai+2，…，ai+k同时加上x，其余坐标不变；

若此时i+k>n，则将ai+1，ai+2，…an及a1，a2，…，ai+k−n同时加上x，其余坐标不变．

若a经过有限次变换φk(每次变换所取的i，x的值可能不同)后，最终得到的向量(t1,t2,⋯,tn)满足t1=t2=⋯=tn，则称a为k阶可等向量．

例如，向量(1,3,2)经过两次变换φ2可得：

(1,3,2)→i=2,x=1(2,3,3)→i=1,x=−1(2,2,2)，所以(1,3,2)是2阶可等向量．

(Ⅰ)判断(1,2,3)是否是2阶可等向量？说明理由；

(Ⅱ)若取参考答案1.C

2.C

3.C

4.B

5.D

6.B

7.A

8.B

9.C

10.C

11.212.−313.−1

14.43π15.①②④

16.解：(Ⅰ)∵f(x)=sin(x−π6)+sin(x+π2)=32sinx−12cosx+cosx=sin(x+π6)，

∴f(0)=12；

令17.解：(Ⅰ)证明：如图，设AC∩BD=F，连接EF，

∵在长方体ABCD−A1B1C1D1中，AB=BC，

∴F为AC的中点，又E为CC1的中点，

∴AC1//FE，又AC1⊄平面EDB，FE⊂平面EDB，

∴AC1/​/平面EDB；

(Ⅱ)证明：∵在长方体ABCD−A1B1C1D1中，AB=BC，

∴BD⊥AC，且CC1⊥底面ABCD，又BD⊂底面ABCD，

∴BD⊥CC1，又AC∩CC1=C，

∴BD⊥平面ACC1，又BD⊂平面EDB，

∴平面EDB⊥平面ACC1；

(Ⅲ)由(Ⅱ)知平面18.解：(Ⅰ)因为|a|=2，|b|=1，<a，b>=π4，

所以a⋅b=|a|⋅|b|cos<a,b>=1，

所以|a19.解：(Ⅰ)因为b+2c−2acosB=0，

由正弦定理可得：sinB+2sinC−2sinAcosB=0，

在△ABC中，sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB，

所以sinB+2cosAsinB=0，而sinB>0，

所以cosA=−12，

因为A∈(0,π)，

可得A=2π3；

(Ⅱ)因为S△ABC=12bcsinA=32，A=2π3，

可得bc=4，

20.证明：(Ⅰ)在△ABC中，因为AB=3，AC=4，BC=5，

所以AB2+AC2=BC2，即AB⊥AC，

因为D，E分别为AC，BC的中点，

所以DE/​/AB，所以DE⊥AC，

所以DE⊥C1D，DE⊥AD，

又因为C1D∩AD=D，

所以DE⊥平面C1AD，

又因为C1A⊂平面C1AD，

所以DE⊥C1A.

(Ⅱ)选条件①：C1M=MB，

(i)因为DE/​/AB，

又因为DE⊄平面C1AB，AB⊂平面C1AB，

所以DE/​/平面C1AB，

又因为DE⊂平面DEMN，平面DEMN∩平面C1AB=NM，

所以DE//NM，

又因为DE/​/AB，所以NM//AB，

因为C1M=MB，

所以C1N=NA，即N为C1A的中点．

(ⅱ)因为DC1=DA，由(i)得C1N=NA，

所以DN⊥C1A，

由(Ⅰ)得DE⊥C1A，

又因为DN∩DE=D，

所以C1A⊥平面DEMN．

(Ⅱ)选条件③：EM⊥C1B，

又因为EC1=EB，所以C1M=MB，

(i)因为DE/​/AB，

又因为DE⊄平面C1AB，AB⊂平面C1AB，

所以DE/​/平面C1AB，

又因为21.解：(Ⅰ)(1，2，3)是2阶可等向量，

例如，向量(1,2,3)经过两次变换φ2可得：

(1,2,3)→i=3,x=1(2,3,3)→i=1,x=−1(2,2,2)，

所以(1,2,3)是2阶可等向量．

(Ⅱ)设(a1,a2,a3,a4)进行一次变换φ2后