2024-2025学年河南省新乡市原阳第一高级中学高二（上）开学数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年河南省新乡市原阳第一高级中学高二（上）开学数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.到x轴距离与到y轴距离之比等于12的点的轨迹方程为(

)A.y=2x(x≠0) B.y=±2x(x≠0) C.x=2y(x≠0) D.x=±2y(x≠0)2.若两条平行直线x−2y+m=0(m>0)与x+ny−3=0之间的距离是25，则m+n=(

)A.5 B.−15 C.0 D.13.如图，二面角的度数为60°，其棱上有两点A、B，线段AC、BD分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱AB，若AB=5，AC=BD=4，则线段CD的长为(

)A.73 B.41 C.73 D.4.已知平面α的一个法向量为n=(3,1,3),M(1,0,0),N(1,32,0)，其中M∈α，N∉α，则点N到平面αA.1938 B.51938 5.有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回的随机取两次，每次取1个球，甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则(

)A.甲与丙相互独立 B.甲与丁相互独立 C.乙与丙相互独立 D.丙与丁相互独立6.已知圆C的方程为x2+y2=9，直线l：x+2y−10=0，点P是直线l上的一动点，过P作圆C的两条切线，切点分别为A，B，当四边形PACB的面积最小时，直线A.2x+4y+9=0 B.4x+2y+9=0 C.4x+2y−9=0 D.2x+4y−9=07.在棱长为3的正方体ABCD−A1B1C1D1中，EF是正方体ABCD−A1A.[−92,0] B.[−52,0]8.已知函数为f(x)的定义域为R，f(x)>f(x−1)+f(x−2)，且当x<3时，f(x)=x，则下列结论中一定正确的是(

)A.f(10)>100 B.f(20)>1000 C.f(10)<1000 D.f(20)<10000二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.下列说法正确的是(

)A.已知直线l过点P(2,3)，且在x、y轴上截距相等，则直线l的方程为x+y−5=0

B.直线3x+y+1=0的倾斜角为120°

C.a∈R，b∈R，“直线ax+2y−1=0与直线(a+1)x−2ay+1=0垂直”是“a=3”的必要不充分条件

D.若直线l沿x轴向左平移3个单位长度，再沿y轴向上平移2个单位长度后，回到原来的位置，则该直线l10.关于空间向量，以下说法正确的是(

)A.已知两个向量a=(m,1,3),b=(−1,5,n)，且a//b，则mn=−3

B.已知a=(0,1,1),b=(0,0,−1)，则b在a上的投影向量为(0,−12,−12)

C.设{a,b,11.下列说法正确的是(

)A.圆x2+y2−10x−10y=0与圆x2+y2−6x+2y−40=0的公共弦长为410

B.过点P(2,1)作圆O：x2+y2=1的切线l，则切线l的方程为4x−3y−5=0三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.假如P(A)=0.7，P(B)=0.8，且A与B相互独立，则P(A∪B)=______．13.直线l经过点(3,1)，且直线l的一个方向向量为(−2,−23)，若直线l与x轴交于点(a,0)14.写出与圆x2+y2=1和(x−3四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

如图，在空间四边形OABC中，2BD=DC，点E为AD的中点，设OA=a,OB=b,OC=c．

(1)试用向量a,b16.(本小题15分)

已知△ABC的顶点A(2,0)，B(0,4)，且重心G的坐标为(−23,43)．

(1)求C点坐标；

(2)数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，这条直线被后人称之为三角形的欧拉线17.(本小题15分)

在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2bsinA=3a,b2=c(2a+c)．

(1)求sinAsinC的值；

(2)若D是△ABC的外接圆上一点(B与D位于直线AC异侧)18.(本小题17分)

如图，AE⊥平面ABCD，CF//AE，AD//BC，AD⊥AB，AB=AD=2，AE=BC=4．

(1)求直线CE与平面BDE所成角的正弦值；

(2)若二面角E−BD−F的余弦值为13，求线段CF的长．19.(本小题17分)

中国古代数学名著《九章算术》中记载：“刍甍者，下有袤有广，而上有袤无广.刍，草也.甍，屋盖也.”翻译为“底面有长有宽为矩形，顶部只有长没有宽为一条棱.刍甍是茅草屋顶.”现有一个刍甍如图所示，四边形ABCD为正方形，四边形ABFE，CDEF为两个全等的等腰梯形，AB=4，EF/​/AB，AB=2EF，EA=ED=FB=FC=3．

(1)当点N为线段AD的中点时，求证：直线AD⊥平面EFN；

(2)当点N在线段AD上时(包含端点)，求平面BFN和平面ADE的夹角的余弦值的取值范围．

参考答案1.D

2.A

3.D

4.C

5.B

6.D

7.A

8.B

9.BCD

10.ABC

11.AC

12.0.94

13.214.x+1=0或7x−24y−25=0或3x+4y−5=0(填一条即可)

15.解：(1)因为2BD=DC，OA=a,OB=b,OC=c，

所以BD=13BC=13(OC−OB)，

所以OD=OB+BD=OB+13(OC−OB)=23OB16.解：(1)设C(x,y)，则由重心G的坐标为(−23,43)，

则13(2+0+x)=−2313(0+4+y)=43，

解得x=−4，y=0，即C(−4,0)，

所以C点坐标为(−4,0)．

(2)设△ABC的外心P(x,y)，则由外心性质可得P在AC的中垂线x=−1上，即P(−1,y)，

由|PC|=(−1+4)2+y2，|PB|=(−1)2+(y−4)17.解：(1)在锐角△ABC中，

因为2bsinA=3a，由正弦定理可得：2sinBsinA=3sinA，

而sinA>0，故sinB=32，

因为B是锐角，所以B=π3，

由余弦定理得b2=a2+c2−2accosB=a2+c2−ac，

又因为b2=c(2a+c)，所以c(2a+c)=a2+c2−ac，

整理的ac=3，

故18.解：(1)因为AE⊥平面ABCD，AD，AB在平面ABCD内，则AE⊥AD，AE⊥AB，又AD⊥AB，

故以A为坐标原点，AB，AD，AE所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，

则A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(2,4,0)，D(0,2,0)，E(0,0,4)，

故BD=(−2,2,0)，BE=(−2,0,4)，CE=(−2,−4,4)，

设n=(x,y,z)为平面BDE的法向量，

则n⋅BD=−2x+2y=0n⋅BE=−2x+4z=0，令z=1，得n=(2,2,1)，

设直线CE与平面BDE所成角为θ，

则有sinθ=|cos<CE,n>|=|CE⋅n|CE||n||=|−4−8+436×9|=49，

∴直线CE与平面BDE所成角的正弦值为49；

19.解：(1)证明：因为点N为线段AD的中点，且EA=ED，

所以AD⊥EN，

因为EF/​/AB，且四边形ABCD为正方形，故AD⊥AB，

所以AD⊥EF，而EN∩EF=E，EN，EF⊂平面EFN，

故AD⊥平面EFN；

(2)设正方形ABCD的中心为O，分别取AB，BC，EF的中点为P，Q，S，

设点H为线段AD的中点，由(1)知E，F，H，Q四点共面，且AD⊥平面EFH，

连接OS，OS⊂平面EFH，故AD⊥OS，

又AD⊂平面ABCD，故平面ABCD⊥平面EFHQ，

且平面ABCD∩平面EFHQ=HQ，

由题意可知四边形EFQH为等腰梯形，故OS⊥HQ，

OS⊂平面EFHQ，故OS⊥平面ABCD，

故以O为坐标原点，OP−．OO−．OS−为x，y，z轴建立空间直角坐标系，

因为AB=4，则A(2,−2,0)，B(2,2,0)，C(−2,2,0)，D(−2,−2,0)，

又AB=2EF，故EF=2，

设EF到底面ABCD的距离为ℎ，

四边形ABFE，CDEF为两个全等的等腰梯形，且EF/​/AB，

故E(0,−1,ℎ)，F(0,1,ℎ)，又EA=ED=FB=FC=3，

故22+12+ℎ2=3，∴ℎ=2，则E(0,−1,2)，F(0,1,2)，

AE=(−2,1,2),A