「初中数学」利用对称求线段和最值

「初中数学」利用对称求线段和最值用轴对称思想解决线段最值问题是常用的方法，本质是利用三角形三边关系或两点之间线段最短解决问题，即化折为直。常见的类型笔者归纳为五种：即两定一动型，一定两动型，两定两动型，两定滑动型（架桥），三动型等类型一：两定一动型【模型介绍】已知直线l同侧有A,B两点，在l上找一点P，使得PA+PB最小。作法：作点A关于直线l的对称点A',连接A'B，与直线l的交点就是点P，线段A'B的长度即为最小值。验证：如图，AQ+BQ=A'Q+BQ>A'B【例1】如图，在正方形ABCD中，E是AB上一点，BE=2，AB=3BE，P是AC上一动点，则PB+PE的最小值是__________.【分析】这是两定一动模型，需要作一个定点关于动点所在直线的对称点，根据本题图形特征，B点关于AC的对称点恰好是C点，连接CE，CE即为所求的最小值。【答案】10【例2】如图，在平面直角坐标系中，A（2，1），B（5，5），P是x轴上一动点，当PA+PB值最小时，求点P坐标【分析】这是两定一动模型，作A点关于x轴的对称点A'，A'B与x轴的交点即为P，P点坐标可以用直线解析式或勾股定理求，初三学生也可用相似。【答案】P（2.5，0）类型二：一定两动型【模型介绍】已知，在∠AOB内有一点M，在边OA,OB上分别找点P,Q，使MP+MQ+PQ最小。作法：作M关于OA的对称点M‘，关于OB的对称点M''，连接M'M''，交OA于点P，交OB于点Q，此时则MP+MP+PQ的值最小，最小值即为线段M'M''的长。验证:如图，OA上取一点P',OB上取一点Q'，连接M'P',M''Q',则MP'+MQ'+P'Q'=M'P'+M''Q'+P'Q'>M'M''(两点之间线段最短)【例3】五边形ABCDE中，∠A=120°，∠B=∠E=90°，AB=BC=1，AE=DE=2，在BC、DE上分别找一点M、N，使得△AMN的周长最小，则△AMN周长的最小值为____.【分析】这是一定两动模型，作点A关于BC的对称点A’，关于ED的对称点A''，连接A'A''，交BC于M，交ED于N，此时△AMN的周长最小，最小值即为A'A''的长。解含120°的△AA'A'‘即可求出A'A''。【答案】2√7。倘若追加一问：此时∠AMN+∠ANM=_____°，你能答对吗？【例4】如图，点P是四边形ABCD内一点，BP=2，∠ABC=60°，分别在边AB,BC上作出点M,N，使△PMN的周长最小，求这个最小值。【分析】这是一定两动模型，作点P关于AB的对称点P’，关于BC的对称点P''，连接P'P''，交AB于M,交BC于N，此时△PMN的周长最小。在△BP'P''中，∠P'BP''=120°，BP'=BP=BP''=2，P'P''的长度很容易求。【答案】2√3【例5】如图，在矩形ABCD中，AB=20，AC=10，若在AC,AB上各取一点M,N，求BM+MN的最小值。【分析】这是一定两动型的变异模型，其变化在于：①定点与动点所在的直线在同一直线上，②求的是两条线段和的最小值，而不是周长最小值。要使BM+MN的值最小，应设法把折线BM+MN拉直(即化折为直)，从而想到用轴对称性质来做。画出点B关于直线AC的对称点B1，则B1N的长就是最小值；又因为N也是动点，所以，当B1N⊥AB时这个值最小，利用勾股定理和三角形面积公式可以求得这个最小值，初三的同学也可以用相似或三角函数求解。【解答】作B点关于AC的对称点B1,再过B1作AB的垂线，垂足为N，与AC的交点为M，此时BM+MN的值最小。类型三：两定两动型【模型介绍】在∠MON内有两点P,Q，在边OM,ON上分别找点R,S，使得PR+RS+SQ+PQ最小。作法：作点P关于OM的对称点P',点Q关于ON的对称点Q'，连接P'Q'，与OM,ON的交点就是R,S，此时四边形PRSQ的周长最小。验证：在OM上取一点R‘，ON上取一点S’，则PR'+R'S'+QS'=P'R'+R'S'+S'Q'>P'Q'(两点之间，线段最短)【例6】如图，∠MON=30°，A在OM上，OA=2，D在ON，OD=4，C在OM上的任意一点，B是ON上的任意一点，则折线ABCD的最短长度为______.【分析】作D关于OM的对称点D'，A关于ON的对称点A‘，连接D'A'，交OM于C，交ON于B，则AB+BC+CD的值最小，最小值即为D'A'。此时∠D'OA'=90°，OD'=4,OA'=2，D'A'=2√5类型四：两定滑动型（架桥）【模型介绍】在A和B两地之间有一条河，现要在这条河上建一座桥CD，桥建在何处才能使从A到B的路径最短？（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河岸垂直）作法：过点B作BB'垂直于河岸，且使BB'长等于这条河宽，连接AB'交河的一岸于点C，过点C作CD垂直于河岸，与另一岸交点D,则CD即为架桥最合适的位置。验证：在河的两岸任取一点C',D'，连接B'C'，易知四边形BB'C'D'是平行四边形，则AC'+C'D'+BD'=AC'+B'C'+BB'>AB'+BB'=AC+CD+DB（三角形的两边之和大于第三边）【例7】如图，在平面直角坐标中，已知点A（0，2）、B（4，0），点C、D分别在直线x=1与x=2上，且CD∥x轴，则AC+CD+DB的最小值为______．【分析】这是典型的架桥问题，将B沿x轴向左平移一个单位到B’，连接AB'，交直线x=1于点C，交直线x=2于点D，此时AC+CD+DB的值最小，最小值为AB'+CD=√13+1.【例8】如图，A、B是直线a同側的两定点，定长线段PQ在a上平行移动，问PQ移动到什么位置时，AP+PQ+QB的长最短？【分析】本题与架桥问题有所区别，动线段不是在平行线间移动了，而是在一条直线上移动，故处理策略截然不同，需用轴对称及平行四边形的性质化折为直。作AA'平行且等于PQ，再作A'关于直线a的对称点A''，连接A''B，与直线a的交点为D，在D的左边截取线段CD，使CD=PQ,则当PQ移动到与CD重合的位置时，AP+PQ+QB的长最短。类型五：三动型【模型介绍】在直角△ABC中，∠B=90°，D,E,F分别是边AB,BC,CA上的点，求DE+EF+DF的最小值。分析：首先假设F点固定，作关于AB,BC的对称点F',F''（如图1），则DE+EF+FD=DE+F'D+F''E，此时最小值就是线段F'F''的长。于是问题转化为：当F运动时，F'F''什么时候最短。将Rt△ABC补全为菱形（如图2），发现F‘，F''是这个菱形对边上的关于B中心对称的对称点，很容易发现，F'F''的最短距离就是菱形对边的距离，即菱形的高。此时（如图3）F就是斜边AC上的高的垂足点，D,E与B点重合。验证：如图所示，在AB,BC上任取点D,E，则FD+DE+EF=F'D+DE+EF''>F'F''(两点之间线段最短)【例9】在直角△ABC中，∠B=90°，D,E,F分别是边AB,BC,CA上的点，AB=3,BC=4,求DE+EF+DF的最小值。【答案】构造菱形，其对边间距离为4.8，即DE+EF+DF的最小值为4.8【总结】两定一动型是较为简单的一种类型