2024-2025学年山东省潍坊市高三（上）开学数学试卷含答案

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年山东省潍坊市高三（上）开学数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.复数1−2i1+2i的虚部是(

)A.45 B.−45 C.32.设集合A={1,2,4}，B={x|x2−5x+m=0}，若A∩B={2}，则B=A.{2,−3} B.{2,−6} C.{2,3} D.{2,6}3.已知向量a，b，c在正方形网格中的位置如图所示，若网格纸上小正方形的边长为2，则(a+b)A.0

B.3

C.6

D.124.坡屋顶是我国传统建筑造型之一，蕴含着丰富的数学元素.如图，某坡屋顶可视为一个五面体，其中两个面是全等的等腰梯形，还有两个面是全等的等腰三角形，若AB=25m，BC=10m，且等腰梯形所在平面、等腰三角形所在平面与平面ABCD的夹角均为45°，则该五面体的体积为(

)A.375m3 B.16253m3 5.已知圆C：x2+y2−2x=0，则过点P(3,0)的圆A.y=±12(x−3) B.y=±2(x−3) C.y=±6.数列{an}中，a1=2，an+1=A.7 B.8 C.9 D.107.设10≤x1<x2<x3<x4≤104，随机变量ξ1取值x1，x2，x3，x4的概率均为14A.D(ξ1)>D(ξ2) B.D(ξ1)=D(8.已知定义在实数集R上的函数f(x)，其导函数为f′(x)，且满足f(x+y)=f(x)+f(y)+xy，f(1)=0，f′(1)=12，则f′(2)=(

)A.0 B.34 C.1 D.二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(其中ω，φ均为常数，|φ|<π)的部分图像如图所示，则(

)A.φ=−π3

B.f(x)的最小正周期为π

C.f(x)图像的一个对称中心为(−5π12,0)

D.10.已知数列{an}的各项均为正数，其前n项和Sn满足aA.a2=5−1 B.{an}为等比数列

C.11.已知正方体ABCD−A1B1C1D1棱长为1，E为棱AA.当点E与点A重合时，CE/​/平面A1BC1

B.当点E与点A重合时，四面体ECD1B1的外接球的体积为3π2

C.直线CD与平面α所成角的正弦值的取值范围是[三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.边长为2的正三角形绕其一边所在直线旋转一周所形成的曲面所围成的几何体的表面积为______．13.已知四个函数：①y=−ex，②y=−lnx，③y=x，④y=x，从中任选2个，则事件“所选14.已知椭圆C：x25+y2=1，过x轴正半轴上一定点M作直线l，交椭圆C于A，B两点，当直线l绕点M旋转时，有1|AM|2四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知csinB=bsin(C+π3)，

(1)求C；

(2)若b=6，且△ABC的面积为616.(本小题15分)

如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠CAB=30°，BC=3，AD=23，过点D作DE⊥AB，垂足为E，将△ADE沿DE翻折至△PDE，使得PB=32．

(1)求证：PE⊥平面BCDE；

(2)若DM=PM，求直线EM17.(本小题15分)

已知函数f(x)=ex−ax2−x−1．

(1)若f(1)=e−2，求f(x)的单调区间；

(2)若x∈(0,+∞)18.(本小题17分)

已知双曲线：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的焦距为4，离心率为2，F1，F2分别为C的左、右焦点，两点A(x1,y1)，B(x2,y2)都在C上．

(1)求C的方程；

(2)19.(本小题17分)

错位重排是一种数学模型.通常表述为：编号为1，2，3，…，n的n封信，装入编号为1，2，3，…，n的n个信封，若每封信和所装入的信封的编号不同，问有多少种装法？这种问题就是错位重排问题.上述问题中，设n封信均被装错有an种装法，其中a1=0．

(1)求a2，a3，a4；

(2)推导an+2，an+1，an之间的递推关系，并证明：{an+1−(n+1)an参考答案1.B

2.C

3.B

4.B

5.C

6.C

7.A

8.D

9.ABD

10.ACD

11.ACD

12.413.1214.(30315.解：(1)在△ABC中，由csinB=bsin(C+π3)及正弦定理，

得sinCsinB=sinBsin(C+π3)，而sinB>0，

则sin(C+π3)=sinC，即12sinC+32cosC=sinC′，

化简得tanC=3，又C∈(0,π)，

所以C=π3；

(2)16.解：(1)证明：∵DE⊥AB，由折叠前后的关系，可知PE⊥DE，

又PB=32，PE=AE=AD×∠CAB=23×32=3，

∴EB=AB−AE=6−3=3，∴PE2+EB2=PB2，

∴PE⊥EB，又PE⊥DE，且EB∩DE=E，

∴PE⊥平面BCDE；

(2)由(1)可知PE，ED，EB两两相互垂直，故建系如图：

由ED=3，C到AB的距离为BC×sin60°=3×32=332，

又AE=EB=EC=BC=3，M为PD中点，

∴E(0,0,0)，D(3,0,0)，P(0,0,3)，M(32,0,32)，17.解：(1)f(x)=ex−ax2−x−1，

则f(1)e−a−2=e−2，得a=0，

则f(x)=ex−x−1，f′(x)=ex−1，

当x∈(−∞,0)时，f′(x)<0，f(x)单调递减，

当x∈(0,+∞)时，f′(x)>0，f(x)单调递增；

(2)由f(x)=ex−ax2−x−1，得f′(x)=ex−2ax−1，

令g(x)=f′(x)=ex−2ax−1，则g′(x)=ex−2a(x>0)，

当a≤12时，g′(x)=ex−2a>0在(0,+∞)上恒成立，

则g(x)单调递增，即f′(x)>f′(0)=0，

可得f(x)在(0,+∞)上单调递增，有f(x)>f(0)=0成立；

18.解：(1)由题意，2c=4ca=2a2+b2=c2，解得a=1b=3．

∴C的方程为x2−y23=1；

(2)根据题意知，直线AB的斜率不为0，设直线AB的方程为x=my+2，

AF2=2F2B，得y1=−2y2，A，B都在右支上，

由x=my+2x2−y23=1，得(3m2−1)y2+12my+9=0．

由已知可得3m2−1≠0，Δ=36m2+36>0．

y1+y2=−12m3m2−1，y1y2=93m2−1，

结合y1=−2y2，可得(12m3m2−1)2=−92(3m2−1)，解得m=±3535，满足△>0，

则直线AB的方程为x±3535y−2=0；

(3)A(x1,y1)，B(x2,y2)，AF1/​/BF2且x1x19.解：(1)由题意可得a2=1，a3=2，a4=3×3×1×1=9．

(2)若有n+2封信时，其装法可分为两个步骤：

第一步：编号为n+2的信，有n+1种装法；

第二步：重装其余的n+1封信，根据第一步装法可分为两类，

第一类，若编号为n+2的信，装入编号为k的信封(k=1,2,…,n+1)，但编号为k的信装入编号为n+2的信封，这样有an种装法；

第二类，若编号为n+2的信，装入编号为k的信封(k=1,2,…,n+1)，但编号为k的信不装入编号为n+2的信封，这样有an+1种装法；

由