2024-2025学年湖南省天壹名校联盟高三（上）入学数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年湖南省天壹名校联盟高三（上）入学数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知向量a=(m,−1),b=(1,2)，且a⋅b<0A.(−∞,2) B.(−∞,−2) C.(−2,2) D.(−1,2)2.已知集合A={y|y=(x−52)2−14A.⌀ B.[2,3] C.[−14,3]3.已知母线长为10的圆台的侧面积为100π，且其上底面的半径r与下底面的半径R满足R=4r，则R=(

)A.2 B.4 C.8 D.124.已知复数z满足zz+i=2+i4，则A.1 B.455 C.25.记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若acosC−ccosA=b，则sinA=(

)A.3−12 B.12 C.6.记抛物线E：y2=4x的焦点为F，点A在E上，B(2,1)，则|AF|+|AB|的最小值为(

)A.2 B.3 C.4 D.57.记A，B为随机事件，已知P(B)=12，P(B−|A)=13A.13 B.12 C.7128.已知f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π2)的部分图象如图所示，点A，B，C是f(x)与坐标轴的交点，若△ABC是直角三角形，且ωsinφ=A.12

B.22

C.二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.北京时间2024年7月27日，我国射击健将黄雨婷、李豪战胜韩国选手，摘夺了射击混合团体10米气步枪金牌，通过赛后数据记录得到其中一名选手的得分分别为7，12，13，17，18，20，32，则(

)A.该组数据的极差为25

B.该组数据的75%分位数为19

C.该组数据的平均数为17

D.若该组数据去掉一个数得到一组新数据，则这两组数据的平均数可能相等10.已知首项为1的数列{an}满足(an+1−nan)(aA.{an+1an}可能为等差数列 B.an=(−1)n−1

C.若11.已知函数f(x)=ln(1+eax)−x是偶函数，点A(x1,f(x1))，点B(x2,f(A.a=2 B.函数g(x)=f(x)−x是减函数

C.点B可能在以AC为直径的圆上 D.ℎ的最大值为ln三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知4cosθ+sinθ=0，则tan2θ=______．13.写出一个同时具有下列性质的函数f(x)的解析式：______．

①f(x)不是常函数

②f(x)的最小正周期为2

③f(x)不存在对称中心14.已知双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左，右焦点为F1，F2，过F2的直线l1交C的右支于点A，B(点A在点B上方)，|AF2|=2|BF2|，过点F1四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

已知椭圆M：y2a2+x2b2=1(a>b>0)过点(0,6)和(1,3)．

16.(本小题15分)

中国能源生产量和消费量持续攀升，目前已经成为全球第一大能源生产国和消费国，能源安全是关乎国家经济社会发展的全局性、战略性问题，为了助力新形势下中国能源高质量发展和能源安全水平提升，发展和开发新能源是当务之急.近年来我国新能源汽车行业蓬勃发展，新能源汽车不仅对环境保护具有重大的意义，而且还能够减少对不可再生资源的开发，是全球汽车发展的重要方向.“保护环境，人人有责”，在政府和有关企业的努力下，某地区近几年新能源汽车的购买情况如下表所示：年份x20192020202120222023新能源汽车购买数量y(万辆)0.400.701.101.501.80(1)计算y与x的相关系数r(保留三位小数)；

(2)求y关于x的线性回归方程，并预测该地区2025年新能源汽车购买数量．

参考公式r=i=1n(xi−17.(本小题15分)

如图，三棱柱ABC−A1B1C1中，侧面AA1C1C是边长为2的正方形，AB=22，∠BB1A118.(本小题17分)

已知函数f(x)=x−lnx，g(x)=12e2x−a−1−ex−1−aex−a+ax．

(1)求f(x)的极值；

(2)讨论g(x)的单调性；

(3)若19.(本小题17分)

对于一个非零整数n和质数p，我们称n中含的p幂次为vp(n)，vp(n)定义为最大的非负整数k，使得存在非零整数m，有n=pk⋅m，例如v2(8)=3，v3(36)=2等等.且补充定义一个非零有理数st的vp(st)=vp(s)−vp(t)，如v2(14)=−2，v5(2509)=3，且规定vp(0)=+∞.现在对于任意一个有理数st，我们定义其的“p示数”为||st||p=1pu，其中u=vp(st)，规定||0||p=0.记两个有理数参考答案1.A

2.D

3.C

4.A

5.D

6.B

7.D

8.C

9.ACD

10.ACD

11.ABD

12.81513.f(x)=|sin(π14.2115.解：(1)因为椭圆M：y2a2+x2b2=1(a>b>0)过点(0,6)和(1,3)，

所以6a2=13a2+1b2=1，解得a2=6b2=2，

由a2=b2+c216.解：(1)x−=2021×5+(−2)+(−1)+0+1+25=2021,y−=0.40+0.70+1.10+1.50+1.805=1.10，

i=15(xi−x−)2=(−2)2+(−1)2+02+12+22=10，i=117.(1)证明：∵侧面ACC1A1是边长为2的正方形，

∴AA1⊥A1C1，AA1=A1C1=2，AC1=22，

∵侧面AA1B1B是平行四边形，

∴∠BB1A1=∠BAA1=π4，

在△BAA1中，由余弦定理得，AA12+AB2−A1B2=2AA1⋅ABcos∠BAA1，

即4+8−A1B2=2⋅2⋅22⋅22，解得A1B=2，

∴A1B2+AA12=AB2，即AA1⊥A1B，

又A1B∩A1C1=A1，A1B，18.解：(1)f′(x)=1−1x，x∈(0,1)时，f′(x)<0，x∈(1,+∞)时，f′(x)>0，

∴f(x)在(0,1)上单调递减，在(1,+∞)上单调递增，

∴f(x)在x=1处取到极小值f(1)=1，没有极大值．

(2)g′(x)=e2x−a−1−aex−a−ex−1+a=(ex−a−1)(ex−1−a)

情形一

若a≤0，可得ex−1−a>0恒成立，且g′(a)=0，

∴x∈(−∞,a)时，g′(x)<0，故g(x)在x∈(−∞,a)单调递减；

x∈(a,+∞)时，g′(x)>0，故g(x)在x∈(a,+∞)单调递增；

情形二

若a=1，g′(x)=(ex−1−1)(ex−1−1)=(ex−1−1)2，则g′(x)≥0，

∴g(x)在x∈(−∞,+∞)单调递增；

情形三

若a∈(0,1)∪(1,+∞)，令g′(x)=(ex−a−1)(ex−1−a)=0，解得x=lna+1或x=a，

又由(1)知当a∈(0,1)∪(1,+∞)时，f(a)=a−lna>f(1)=1可得a>lna+1，

∴x∈(lna+1,a)时，g′(x)<0，故g(x)在x∈(lna+1,a)单调递减；

x∈(−∞,lna+1)和x∈(a,+∞)时，g′(x)>0，故g(x)在x∈(−∞,lna+1)和x∈(a,+∞)单调递增．

综上所述，若a≤0，x∈(−∞,a)时，g(x)单调递减，x∈(a,+∞)时，g(x)单调递增；

若a=1，x∈(−∞,+∞)，g(x)在单调递增；

若a∈(0,1)∪(1,+∞)，x∈(lna+1,a)时，g(x)单调递减，x∈(−∞,lna+1)和x∈(a,+∞)时