2023年北京市重点校初三（上）期末数学试题汇编：点和圆、直线和圆的位置关系

第1页/共1页2023北京重点校初三（上）期末数学汇编点和圆、直线和圆的位置关系一、单选题1．（2023秋·北京密云·九年级统考期末）已知的半径为2，点O到直线l的距离是4，则直线l与的位置关系是（

）A．相离 B．相切 C．相交 D．以上情况都有可能2．（2023秋·北京海淀·九年级期末）如图，已知正方形，以点为圆心，长为半径作，点与的位置关系为（

）A．点在外 B．点在内 C．点在上 D．无法确定3．（2023秋·北京海淀·九年级期末）如图，过点作的切线，，切点分别是，，连接．过上一点作的切线，交，于点，．若，的周长为4，则的长为（

）A．2 B． C．4 D．4．（2023秋·北京海淀·九年级期末）如图，的半径为2，，是的两条切线，切点分别为A，B．连接，，，，若，则的周长为（

）A． B． C．6 D．35．（2023秋·北京海淀·九年级期末）如图，中，，，，点是的内心，则的长度为（）A．2 B．3 C． D．6．（2023秋·北京海淀·九年级期末）如图，在一张纸片中，，，，是它的内切圆．小明用剪刀沿着的切线剪下一块三角形，则的周长为（

）A．4 B．5 C．6 D．87．（2023秋·北京海淀·九年级期末）如图，是的切线，切点分别是P、C、D．若，则的长是（）．A．3 B．4 C．5 D．68．（2023秋·北京海淀·九年级期末）在平面直角坐标系xOy中，如果⊙O是以原点O（0，0）为圆心，以5为半径的圆，那么点A（﹣3，﹣4）与⊙O的位置关系是（）A．在⊙O内 B．在⊙O上 C．在⊙O外 D．不能确定二、填空题9．（2023秋·北京密云·九年级统考期末）如图，A，B、C三点都在上，，过点A作的切线与的延长线交于点P，则的度数是_________．10．（2023秋·北京海淀·九年级期末）如图，上有两点，点在内，若的半径为，则弦的弦心距离__________，__________．11．（2023秋·北京东城·九年级统考期末）如图，在⊙O中，AB切⊙O于点A，连接OB交⊙O于点C，过点A作AD∥OB交⊙O于点D，连接CD．若∠B=50°，则∠OCD的度数等于___________．三、解答题12．（2023秋·北京平谷·九年级统考期末）如图，平面直角坐标系中，矩形，其中、、、定义如下：若点P关于直线l的对称点在矩形的边上，则称点P为矩形关于直线l的“关联点”．(1)已知点、点、点、点中是矩形关于y轴的关联点的是___；(2)的圆心半径为，若上至少存在一个点是矩形关于直线的关联点，求t的取值范围；(3)的圆心半径为r，若存在t值使上恰好存在四个点是矩形关于直线的关联点，写出r的取值范围，并写出当r取最小值时t的取值范围(用含m的式子表示)．13．（2023秋·北京东城·九年级统考期末）下面是小美设计的“过圆上一点作圆的切线”的尺规作图过程．已知：点A在上．求作：的切线．作法：①作射线；②以点A为圆心，适当长为半径作弧，交射线于点C和点D；③分别以点C，D为圆心，大于长为半径作弧，两弧交点B；④作直线．则直线即为所求作的的切线.根据小美设计的尺规作图过程，解决下面的问题：(1)使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）(2)完成下面的证明.证明：连接，．由作图可知，，．∴．∵点A在上，∴直线是的切线()(填写推理依据)．14．（2023秋·北京东城·九年级统考期末）在平面直角坐标系中，我们给出如下定义：将图形M绕直线上某一点P顺时针旋转，再关于直线对称，得到图形N，我们称图形N为图形M关于点P的二次关联图形．已知点．(1)若点P的坐标是，直接写出点A关于点P的二次关联图形的坐标________；(2)若点A关于点P的二次关联图形与点A重合，求点P的坐标（直接写出结果即可）；(3)已知的半径为1，点A关于点P的二次关联图形在上且不与点A重合．若线段，其关于点P的二次关联图形上的任意一点都在及其内部，求此时P点坐标及点B的纵坐标的取值范围．15．（2023秋·北京东城·九年级统考期末）如图，点在以为直径的上，平分交于点D，交于点E，过点D作交的延长线于点F．(1)求证：直线是的切线；(2)若°，，求DF的长．16．（2023秋·北京通州·九年级统考期末）如图，是直角三角形的外接圆，直径，过点作的切线，与延长线交于点，为的中点，连接，且与相交于点．(1)求证：与相切；(2)当时，在的圆上取点，使，求点到直线的距离．17．（2023秋·北京平谷·九年级统考期末）如图，已知锐角，以为直径画，交边于点M，平分与交于点D，过点D作于点E．(1)求证：是的切线；(2)连接交于点F，若，，求长．18．（2023·北京海淀·九年级期末）已知：点，，在上，且．求作：直线，使其过点，并与相切．作法：①连接；②分别以点，点为圆心，长为半径作弧，两弧交于外一点；③作直线．直线就是所求作直线．(1)使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；(2)完成下面的证明．证明：连接，，∵，∴四边形是菱形，∵点，，在上，且，∴______°（_________________）（填推理的依据）．∴四边形是正方形，∴，即，∵为半径，∴直线为的切线（_________________）（填推理的依据）．19．（2023·北京海淀·九年级期末）已知：如图，是的切线，为切点．求作：的另一条切线，为切点．作法：以为圆心，长为半径画弧，交于点；作直线．直线即为所求．(1)根据上面的作法，补全图形（保留作图痕迹）；(2)完成下面证明过程．证明：连接，，．∵是的切线，为切点，∴．∴．在与中，∴．∴．∴于点．∵是的半径，∴是的切线（____________________）（填推理的依据）．20．（2023·北京海淀·九年级期末）在平面直角坐标系中，对于点和线段，若线段或的垂直平分线与线段有公共点，则称点为线段的融合点．(1)已知，，①在点，，中，线段的融合点是______；②若直线上存在线段的融合点，求的取值范围；(2)已知的半径为4，，，直线过点，记线段关于的对称线段为．若对于实数，存在直线，使得上有的融合点，直接写出的取值范围．21．（2023·北京海淀·九年级期末）尺规作图：（不写作法，保留作图痕迹）已知：和外一点P．求作：过点P的的切线，PB．22．（2023·北京海淀·九年级期末）如图，点，在上，且，点为的中点，过点作交的延长线于点．(1)求证：直线是的切线；(2)若的半径为4，求的长．23．（2023·北京海淀·九年级期末）下面是小乐设计的“过圆外一点作这个圆的两条切线”的尺规作图过程．已知：及外一点．求作：直线和直线，使切于点，切于点．作法：如图，①连接，分别以点和点为圆心，大于的同样长为半径作弧，两弧分别交于点，；②连接，交于点，再以点为圆心，的长为半径作弧，交于点和点；③作直线和直线．所以直线和就是所求作的直线．根据小乐设计的尺规作图过程，(1)使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）(2)完成下面的证明．证明：∵是的直径，∴________（________）（填推理的依据）．∴，．∵，是的半径，∴，是的切线．24．（2023·北京海淀·九年级期末）下面是“过圆外一点作圆的切线”的尺规作图过程．已知：如图1，和外一点．求作：过点的的切线．作法：如图2，①连结，作线段的中点；②以为圆心，的长为半径作圆，交于点；③作直线和，直线即为所求作的切线．请在图2中补全图形，并完成下面的证明．证明：连接，如图2，由作法可知，为的直径，∴（_____________）（填推理的依据），∴，∵点在上，∴直线是圆的切线（_____________）（填推理的依据），同理，直线也是圆的切线．25．（2023·北京海淀·九年级期末）对于平面直角坐标系中的图形G和点P给出如下定义；Q为图形G上任意一点，若P，Q两点间距离的最大值和最小值都存在，且最大值是最小值的k倍，则称点P为图形G的“k分点”．已知点，，，．(1)①在点A，B，C中，线段的“分点”是______；②点，若点C为线段的“二分点”，求a的值；(2)以点O为圆心，r为半径画图，若线段上存在的“二分点”，直接写出r的取值范围．26．（2023秋·北京海淀·九年级期末）如图，内接于，，是的直径，交于点，是的切线交的延长线于点．求证：．27．（2023·北京海淀·九年级期末）按要求作图：(1)如图1，在正方形网格中，有一圆经过了两个小正方形的顶点A，B，利用无刻度直尺画出这个圆的一条直径；(2)如图2，BA，BD是⊙O中的两条弦，C是BD上一点，BAC50，利用无刻度直尺在图中画一个含有50角的直角三角形；(3)如图3，利用无刻度直尺和圆规，以AB边上一点O为圆心，过A、D两点作⊙O（不写作法，保留作图痕迹）；(4)如图4，AB与圆相切，且切点为点B，利用无刻度直尺在网格中找出点B的位置．28．（2023·北京海淀·九年级期末）探究：如图①，点P在⊙O上，利用直尺（没有刻度）和圆规过点P作⊙O的切线，小明所在的数学小组经过合作探究，发现了很多作法，精彩纷呈．作法一：①作直径PA的垂直平分线交⊙O于点B；②分别以点B、P为圆心，OP为半径作弧，交于点C；③作直线PC．作法二：①作直径PA的四等分点B、C；②以点A为圆心，CA为半径作弧，交射线PA于点D；③分别以点A、P为圆心，PD、PC为半径作弧，两弧交于点E；④作直线PE．以上作法是否正确？选一个你认为正确的作法予以证明．29．（2023·北京海淀·九年级期末）如图，四边形OABC是平行四边形，以点O为圆心，OC为半径的⊙O与AB相切于点B，与AO相交于点D，AO的延长线交⊙O于点E，连接EB交OC于点F．求∠C和∠E的度数．30．（2023·北京海淀·九年级期末）如图，AB为的直径，点E在弦AC的延长线上，过点E作，ED与相切于点D．(1)求证：AD平分．(2)若，，求CE和DE的长．

参考答案1．A【分析】欲求直线l与圆O的位置关系，关键是比较圆心到直线的距离d与圆半径r的大小关系．若，则直线与圆相交；若，则直线与圆相切；若，则直线与圆相离．据此判断即可．【详解】∵圆半径，圆心到直线的距离．∴，∴直线l与的位置关系是相离．故选：A．【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，解题的关键是可通过比较圆心到直线距离与圆半径大小关系完成判定．2．A【分析】设正方形的边长为，用勾股定理求得点到的圆心之间的距离，为的半径，通过比较二者的大小，即可得到结论．【详解】解：设正方形的边长为，则，，，点在外，故选：A．【点睛】本题考查了点与圆的位置关系，解题的关键是确定圆的半径和点到圆心之间的距离的大小关系．3．B【分析】利用切线长定理得出，，，再根据三角形周长等于4，可求得，从而利用勾股定理可求解．【详解】解：∵，是的切线，切点分别是，，∴，∵、是的切线，切点是D，交，于点，，∴，，∵的周长为4，即，∴，∵，∴，故选：B．【点睛】本题考查切线长定理，勾股定理，熟练掌握切线长定理是解题的关键．4．A【分析】由切线的性质可得出，由切线长定理可得出，从而可判断为等边三角形，又易证，即可求出，从而可求出，进而可求出，最后由三角形周长公式求解即可．【详解】解：∵，是的两条切线，切点分别为A，B，∴，．∵，∴为等边三角形，∴．∵，∴，∴，∴，∴，∴的周长为．故选A．【点睛】本题考查切线的性质，切线长定理，等边三角形的判定和性质，三角形全等的判定和性质．掌握从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等是解题关键．5．C【分析】根据点是的内心，画出的内切圆，如图，过点D作，，，垂足为E，F，H，连接AD，根据内切圆的性质可知垂足E，F，H也是三边与的切点，，，，，利用勾股定理可得，设，则，根据切线长定理可求得，设，根据，可得，即，问题随之得解．【详解】根据点是的内心，画出的内切圆，如图，过点D作，，，垂足为E，F，H，连接AD，根据内切圆的性质可知垂足E，F，H也是三边与的切点，∴，∵，∴，设，则，∴，，，∴，∴，∴，设，∵，∴，∴，∴，∴．故选：C．【点睛】本题考查了三角形的内切圆和内心，勾股定理，三角形的外接圆与外心，作出辅助线构建直角三角形是解题的关键．6．C【分析】设的内切圆切三边于点，连接，得四边形是正方形，由切线长定理可知，根据是的切线，可得，，根据勾股定理可得，再求出内切圆的半径，进而可得的周长．【详解】解：如图，设的内切圆切三边于点、、，连接、、，∴四边形是正方形，由切线长定理可知，∵是的切线，∴，∵，，，∴∵是的内切圆，∴内切圆的半径，∴，∴，∴的周长．故选：C．【点睛】本题考查了三角形的内切圆与内心，勾股定理，切线的性质，解决本题的关键是掌握切线的性质．7．B【分析】根据是的切线，则，再求出的长，即可求出的长．【详解】解：∵为的切线，∴．∵为的切线，∴．∵，∴．故选B．【点睛】本题考查切线长定理，掌握从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等是解题关键．8．B【分析】根据两点间的距离公式求出AO的长，然后与⊙O的半径比较，即可确定点A的位置．【详解】∵点A（﹣3，﹣4），∴AO==5，∵⊙O是以原点O（0，0）为圆心，以5为半径的圆，∴点A在⊙O上，故选B．考点:点与圆的位置关系；坐标与图形性质．9．/20度【分析】连接，则，由圆周角定理得：，进而求出的度数．【详解】连接∵∴∵过点A作的切线与的延长线交于点P∴∴故答案为：【点睛】本题考查切线的性质和圆周角定理，解题的关键是连接，运用相关定理求解．10．【分析】过点O作，垂足为D，根据垂径定理和勾股定理即可求出弦的弦心距离；延长交于点F，连接，，过点O作，垂足为点E，通过证明求出的长度，再结合垂径定理和勾股定理即可求出的长度．【详解】解：过点O作，垂足为D，在中，由勾股定理可得：，∵，∴，∵半径为，∴，延长交于点F，连接，，过点O作，垂足为点E．∵，∴，∵，∴，∵，，∴，∴，∴，即，解得：，∴，∵，∴，∴，在中，由勾股定理可得：，∴在中，由勾股定理可得：，故答案为：，．【点睛】本题主要考查了垂径定理，勾股定理，解题的关键是熟练掌握相关知识点，根据题意作出辅助线求解．11．20°/20度【分析】连接OA，如图，根据切线的性质得到∠OAB=90°，则利用互余可计算出∠AOB=40°，再利用圆周角定理得到∠ADC=20°，然后根据平行线的性质得到∠OCD的度数．【详解】解：连接OA，如图，∵AB切⊙O于点A，∴OA⊥AB，∴∠OAB=90°，∵∠B=50°，∴∠AOB=90°-50°=40°，∴∠ADC=∠AOB=20°，∵AD∥OB，∴∠OCD=∠ADC=20°．故答案为：20°．【点睛】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了圆周角定理．12．(1)，(2)(3)r的取值范围为或；t的取值范围为或【分析】（1）根据关联点的定义，一次判断各个点即可；（2）根据图形，先找出只有一个关联点的情况，即可进行解答；（3）根据题意，画出图形，进行分类讨论即可．【详解】（1）解：∵点关于y轴的对称点为，与点D重合，∴点是矩形关于y轴的关联点；∵点关于y轴的对称点为，不在矩形上，∴点不是矩形关于y轴的关联点；∵点关于y轴的对称点为，在边上，∴点是矩形关于y轴的关联点；∵点关于y轴的对称点为，不在矩形上，∴点不是矩形关于y轴的关联点；故答案为：，；（2）如图：过点O作x轴的平行线交于点M和点N，∵的圆心半径为，∴①当上只有点N是矩形关于直线的关联点时，∵点N关于直线的对称点坐标为，∴；②当上只有点M是矩形关于直线的关联点时，∵点M关于直线的对称点坐标为，∴；综上：t的取值范围为；（3）如图，当关于的对称图形与和相切时，，当关于的对称图形与和相切时，，当关于的对称图形与相切时，如下图:则解得，∴，当关于的对称图形为矩形的外接圆时，连接，∵，，∴，∴，综上：r的取值范围为或；∴r的最小值为1，令当与相切时，，此时，∴，∵，∴，整理得：当与相切时，，此时，∴，∵，∴，整理得：，综上，t的取值范围为或．【点睛】本题主要考查了轴对称的性质，矩形的性质，圆的相关知识，解题的关键是熟练掌握轴对称的性质，会根据已知点的坐标求出对称轴，以及根据对称轴求对称点的坐标．13．(1)见解析；(2)；；经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．【分析】（1）依据题意，按步骤正确尺规作图即可；（2）结合作图，完成证明过程即可．【详解】（1）补全图形如图所示，（2）证明：连接，．由作图可知，，．∴，∵点A在上，∴直线是的切线(经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线，故答案为：；；经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线【点睛】本题考查了尺规作图能力和切线的证明；能够按要求规范作图是解题的关键．14．(1)(2)(3)，，【分析】（1）根据二次关联图形的定义分别找到和，过点作轴于点D，可证得，从而得到，即可求解；（2）根据题意得：点P位于x轴的下方，设点P的纵坐标为m，过点P作轴于点E，过点作轴交延长线于点F，坐标为m，表达点的坐标，可得出结论；（3）由（2）可知，点的坐标，由A关于点P的二次关联图形在上且不与点A重合可得出点的坐标，由线段，其关于点P的二次关联图形上的任意一点都在及其内部，找到临界点，可得出的坐标，进而可得出点B的坐标，即可得出的取值范围．【详解】（1）如图1，根据二次关联图形的定义分别找到和，过点作轴于点D，∴由旋转可知，，∴，∴，∴，∴，∴，∵点和关于直线对称，∴点，即点A关于点P的二次关联图形的坐标为；故答案为：（2）解：根据题意得：点P位于x轴的下方，设点P的纵坐标为m，如图，过点P作轴于点E，过点作轴交延长线于点F，由（1）得：，∴，∴，根据题意得：点A和点关于直线对称，∴，解得：，∴点P的坐标为，（3）解：设点P的纵坐标为n，由（2）得：，∴，∵在上，∴，解得：（舍去）或，∴点P的坐标为，∵，其关于点P的二次关联图形上的任意一点都在及其内部，此时点是一个临界点，连接，如图，∵，∴是等边三角形，过点作轴于点M，则，∴，∴，∴，∴，由对称性得：另一个点的坐标为，∴的取值范围为．【点睛】本题属于新定义类问题，主要考查轴对称最值问题，等边三角形的性质与判定，圆的定义等相关知识，关键是理解给出新定义，画出对应的图形．15．(1)见解析(2)【分析】（1）连接，证明可得结论；（2）再中，，，得到，，再在中，由，继而求得；【详解】（1）证明：连接．∵是的直径，平分，∴.又∵，∴．即．∴直线为的切线．（2）解：∵是的直径，∴．又∵，，∴．∴．∵，∴.∵，∴,，设则，又，在中，由勾股定理得：，解得：，故【点睛】本题属于圆综合题，考查了垂径定理，圆周角定理，平行线的判定，特殊角的直角三角形性质，等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线解决问题．16．(1)见解析(2)或【分析】（1）根据题意可得，根据直径所对的圆周角是直角，得出，进而得出，证明，得出，即可得证；（2）分点在以及半圆上，分别作出图形，根据含30度角的直角三角形的性质，勾股定理即可求解．【详解】（1）证明：如图，为的中点，是中点，，是的直径，，，，又，，，是切线，，，是切线；（2）当点在上时，连接，交于点，，，，，直径，，，当点在半圆上时，过点作，垂足为点,，垂足为点，四边形是矩形，在中，，，，．【点睛】本题考查了切线的判定，全等三角形的性质与判定，垂径定理，直径所对的圆周角是直角，综合运用以上知识是解题的关键．17．(1)见解析(2)【分析】（1）连接，根据可得，根据角平分线的定义，则，最后根据，，即可证明；（2）连接，可得，即可求出的长度，根据勾股定理求出的长度，进而求出的长度，通过证明，即可根据相似三角形对应边成比例求解．【详解】（1）证明：连接，∵，∴，∵平分，∴，∴，∵，∴，∴，∴是的切线；（2）如图：连接，∵为直径，，∴，∵，平分，∴，∴，在中，根据勾股定理可得，∴，在中，根据勾股定理可得，∵，，∴，∴，∴，∴，即，解得：．【点睛】本题主要考查了切线的判定和性质，相似三角形的判定和性质，圆周角定理，勾股定理，角平分线的定义，解题的关键是熟练掌握相关内容并灵活运用．18．(1)见解析；(2)90°；一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半；经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线【分析】（1）按照题中作法步骤作图即可；（2）根据圆周角定理和切线的判定定理填空．【详解】（1）解：补全图形，如图所示；（2）90°；一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半；经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．【点睛】本题考查作图-复杂作图，圆周角定理，切线的判断和性质，熟练掌握知识点是解题的关键．19．(1)见解析(2)，经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线【分析】（1）按照作法作出图形即可；（2）连接，，，证明即可证明是的切线．【详解】（1）补全图形，如图所示：（2）连接，，．∵是的切线，A为切点，∴．∴．在与中，∴．∴．∴于点．∵是的半径，∴是的切线（经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线）．故答案为：，经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．【点睛】本题考查了尺柜作图，切线的性质和判定，以及全等三角形的判定与性质，熟练掌握切线的判定与性质是解答本题的关键．20．(1)①，；②当时，直线上存在线段的融合点(2)或【分析】（1）①画出对应线段的垂直平分线，再根据融合点的定义进行判断即可；②先确定线段融合点的轨迹为分别以点，为圆心，长为半径的圆及两圆内区域，则当直线与两圆相切时是临界点，据此求解即可；（2）先推理出的融合点的轨迹即为以T为圆心，的长为半径的圆和以T为圆心，以的长为半径的圆的组成的圆环上（包括两个圆上），再求出两个圆分别与内切，外切时a的值即可得到答案．【详解】（1）解：①如图所示，根据题意可知，是线段的融合点，故答案为；，；②如图1所示，设的垂直平分线与线段的交点为Q，∵点Q在线段的垂直平分线上，∴，∴当点Q固定时，则点P在以Q为圆心，的长为半径的圆上，∴当点Q在上移动时，此时点P的轨迹即线段的融合点的轨迹为分别以点，为圆心，长为半径的圆及两圆内区域．当直线与两圆相切时，记为，，如图2所示．∵，，∴,∴或．∴当时，直线上存在线段的融合点．（2）解：如图3-1所示，假设线段位置确定，由轴对称的性质可知，∴点在以T为圆心，的长为半径的圆上运动，点在以T为圆心，以的长为半径的圆上运动，∴的融合点的轨迹即为以T为圆心，的长为半径的圆和以T为圆心，以的长为半径的圆的组成的圆环上（包括两个圆上）；当时，如图3-2所示，当以T为圆心，为半径的圆与外切时，∴，∴，∴，∴（负值舍去）；如图3-3所示，当以为圆心，为半径的圆与内切时，∴，∴，∴，∴（负值舍去）；∴时，存在直线，使得上有的融合点；同理当时，当以T为圆心，为半径的圆与外切时，∴，∴，∴，∴（正值舍去）；当以为圆心，为半径的圆与内切时，∴，∴，∴，∴（正值舍去）；∴时，存在直线，使得上有的融合点；综上所述，当或时存在直线，使得上有的融合点．【点睛】本题主要考查了坐标与图形，轴对称的性质，线段垂直平分线的性质，勾股定理，圆与圆的位置关系等等，正确推理出对应线段的融合点的轨迹是解题的关键．21．见解析【分析】根据几何语言画出对应的几何图形即可；【详解】作图如图，直线、即为所作的的切线．【点睛】本题考查了作图﹣复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．22．(1)见解析(2)【分析】（1）连接，证明是等边三角形，得出，根据，可得，即可得证；（2）过点作于点，得出四边形是矩形，进而得出，根据（1）可得，进而根据含30度角的直角三角形的性质求得，即可求解．【详解】（1）证明：如图，连接，∵，点为的中点，∴，∵∴是等边三角形，∴∴∴，∵∴，∴是的切线；（2）如图，过点作于点，∵，∴四边形是矩形，∴，∵，，∴，∵，∴，∴，即的长为2．【点睛】本题考查了切线的判定，矩形的性质与判定，含30度角的直角三角形的性质，等边三角形的性质与判定，综合运用以上知识是解题的关键．23．(1)见解析(2)，直径所对的圆周角为直角【分析】（1）根据题意，画出图形即可；（2）根据直径所对的圆周角为直角，得出，再根据垂线的定义，得出，，再根据切线的判定定理，即可得出结论．【详解】（1）解：补全图形如图：（2）证明：∵是的直径，∴（直径所对的圆周角为直角）．∴，．∵，是的半径，∴，是的切线．故答案为：，直径所对的圆周角为直角【点睛】本题考查了尺规作图，线段的垂直平分线的性质、圆周角定理、切线的判定定理，解本题的关键在理解题意，灵活运用所学知识解决问题．24．见详解，直径所对的圆周角为直角，经过圆半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线【分析】根据题干步骤补全作图即可；根据圆周角定理的推论和切线的判定定理即可填空．【详解】解：补画图形如下，证明：连接，如图2，由作法可知，为的直径，∴（直径所对的圆周角为直角），∴，∵点在上，∴直线是圆的切线（经过圆半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线），同理，直线也是圆的切线．【点睛】本题主要考查了作图—过圆外一点作圆的切线、圆周角定理的推论和切线的判定定理等知识，熟练掌握基本作图方法和熟记直径所对的圆周角为直角是解题关键．25．(1)①点B，②(2)或【分析】（1）①分别找出点A、B、C到线段的最小值和最大值，是否满足“分点”定义即可，②对a的取值分情况讨论：，，和，根据“二分点”的定义可求解，（2）设线段上存在的“二分点”为．对r的取值分情况讨论，且，且，，根据二分点的定义可求解．【详解】（1）解：①∵点A在上，故最小值为0，不符合题意，点B到的最小值为，最大值为，∴点B是线段的“分点”，点C到的最小值为1，最大值为∴点C不是线段的“分点”，故答案为：点B；②当时，点C到的最小值为，点C到的最大值为，∵点C为线段的“二分点”，∴，即，∵，故无解，舍去；当时，点C到的最小值为1，点C到的最大值为，最大值不是最小值的2倍，所以舍去，当时，点C到的最小值为1，点C到的最大值为，∵点C为线段的“二分点”，∴，（舍去），当时，点C到的最小值为，点C到的最大值为，∵点C为线段的“二分点”，同时，无解，舍去；综上．（2）如图所示，设线段上存在的“二分点”为，当时，最小值为：，最大值为：，∴，即，∵，∴，当且时，最小值为：，最大值为，∴，即，∵，∴，∵，∴r不存在，当且时，最小值为：，最大值为：，∴，即，∵，∵，∴r不存在．当时，最小值为：，最大值为：，∴，即，∴．∵，∴，综上所述，r的取值范围为或．【点睛】本题考查坐标上的两点距离，勾股定理，点到圆的距离．根据题目所给条件，掌握“二分点”的定义是解题的关键．26．证明见解析【分析】根据等弧或同弧所对的圆周角相等可得，利用直径所对的圆周角是直角和切线性质得到，，继而得到即可解答．【详解】解：连接，如图所示：∵，∴，又∵，∴，∵是的直径，∴，即，∵是的切线，∴，即，∴，∴．【点睛】本题考查切线的性质、圆周角定理和平行线的判定，熟练掌握圆周角定理和切线性质，根据角度的转换得到内错角相等是解题的关键．27．(1)见解析；(2)见解析；(3)见解析；(4)见解析．【分析】（1）根据垂径定理可知，AB的垂直平分线过圆心，连接AB，利用网格找出线段AB的垂直平分线即可；（2）延长AC交⊙O与点E，连接BO并延长交⊙O于点F，在连接EF，则即为所求；（3）作线段AD的垂直平分线，交AB于点O，再以点O为圆心，OA为半径作圆即可；（4）过点A作圆的两条割线：ACD和AEF；连接CF，DE交于点G，延长EC和FD交于点H，连接HG交圆于点B，连接AB即可．【详解】（1）解