2023年北京市初三（上）期末数学试题汇编：圆（上）章节综合

第1页/共1页2023北京初三（上）期末数学汇编圆（上）章节综合一、单选题1．（2023秋·北京东城·九年级统考期末）如图，在中，是直径，弦的长为5，点D在圆上，且，则的半径为（

）A． B．5 C． D．2．（2023秋·北京密云·九年级统考期末）如图，是的直径，C、D是上两点，，则的度数是（

）A． B． C． D．3．（2023秋·北京通州·九年级统考期末）有下列说法：①直径是圆中最长的弦；②等弦所对的圆周角相等；③圆中90°的角所对的弦是直径；④相等的圆心角对的弧相等．其中正确的有（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个4．（2023秋·北京平谷·九年级统考期末）“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”这是《九章算术》中的一个问题，用现代的语言表述为：如图，为的直径，弦于E，寸，弦寸，则的半径为多少寸（

）A．5 B．12 C．13 D．265．（2023秋·北京西城·九年级北京市第六十六中学校考期末）如图，在⊙O中，C、D为⊙O上两点，AB是⊙O的直径，已知∠AOC=130°，则∠BDC的度数为（

）A．65° B．50° C．30° D．25°6．（2023秋·北京通州·九年级统考期末）如图，点A，B，C在⊙O上，∠ACB=35°，则∠AOB的度数是（

）A．75° B．70° C．65° D．55°7．（2023秋·北京西城·九年级北京市第六十六中学校考期末）已知⊙O的半径为4，点P在⊙O外部，则OP需要满足的条件是（

）A．OP>4 B．0≤OP<4 C．OP>2 D．0≤OP<28．（2023秋·北京海淀·九年级北京市十一学校校考期末）如图，四边形ABCD内接于，若四边形ABCO是菱形，则的度数为（

）A．45° B．60° C．90° D．120°二、填空题9．（2023秋·北京平谷·九年级统考期末）如图，在中，A，B，C是O上三点，如果，弦，那么的半径长为___．10．（2023秋·北京东城·九年级统考期末）《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作，其中《方田》章计算弧田面积所用的经验公式是：弧田面积（弦×失+失²）．弧田（图中阴影部分）由圆弧和其所对的弦所围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差．现有圆心角为，半径等于4米的弧田，按照上述公式计算出弧田的面积约为______米．（）11．（2023秋·北京密云·九年级统考期末）如图，的弦长为2，是的直径，．①的半径长为_________．②P是上的动点，则的最小值是_________．12．（2023秋·北京通州·九年级统考期末）如图，边长为1的小正方形构成的网格中，半径为1的⊙O在格点上，则∠AED的正切值为_____．三、解答题13．（2023秋·北京密云·九年级统考期末）如图，内接于，是的直径，，垂足为D．(1)求证：；(2)已知的半径为5，，求长．14．（2023秋·北京平谷·九年级统考期末）如图，已知劣弧，如何等分？下面给出两种作图方法，选择其中一种方法，利用直尺和圆规完成作图，并补全证明过程．方法一：①作射线、；②作的平分线，与交于点C；点C即为所求作．证明：∵平分，∴∴___（_____）（填推理的依据）．方法二：①连接；②作线段的垂直平分线，直线与交于点C；点C即为所求作．证明：∵垂直平分弦，∴直线经过圆心O，∴___（___）（填推理的依据）．15．（2023秋·北京东城·九年级统考期末）如图，是的直径，弦于点E，，若，求的长.16．（2023秋·北京东城·九年级统考期末）在平面直角坐标系中，我们给出如下定义：将图形M绕直线上某一点P顺时针旋转，再关于直线对称，得到图形N，我们称图形N为图形M关于点P的二次关联图形．已知点．(1)若点P的坐标是，直接写出点A关于点P的二次关联图形的坐标________；(2)若点A关于点P的二次关联图形与点A重合，求点P的坐标（直接写出结果即可）；(3)已知的半径为1，点A关于点P的二次关联图形在上且不与点A重合．若线段，其关于点P的二次关联图形上的任意一点都在及其内部，求此时P点坐标及点B的纵坐标的取值范围．17．（2023秋·北京西城·九年级北京市第六十六中学校考期末）下面是小玟同学设计的“作一个角等于已知角”的尺规作图过程．已知：在△ABC中，AB=BC，BD平分∠ABC交AC于点D．求作：∠BPC，使∠BPC=∠BAC．作法：①分别以点B和点C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点E和点F，连接EF交BD于点O；②以点O为圆心，OB的长为半径作⊙O；③在劣弧AB上任取一点P（不与点A、B重合），连接BP和CP．所以∠BPC=∠BAC．根据小玟设计的尺规作图过程．(1)使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）；(2)完成下面的证明．证明：连接OA、OC．∵AB=BC，BD平分∠ABC，∴BD⊥AC且AD=CD．∴OA=OC．∵EF是线段BC的垂直平分线，∴OB=．∴OB=OA．∴⊙O为△ABC的外接圆．∵点P在⊙O上，∴∠BPC=∠BAC（）（填推理的依据）．18．（2023秋·北京海淀·九年级北京市十一学校校考期末）在平面直角坐标系xOy中，的半径为2．点P，Q为外两点，给出如下定义：若上存在点M，N，使得P，Q，M，N为顶点的四边形为矩形，则称点P，Q是的“成对关联点”．（1）如图，点A，B，C，D横、纵坐标都是整数．在点B，C，D中，与点A组成的“成对关联点”的点是______；（2）点在第一象限，点F与点E关于x轴对称．若点E，F是的“成对关联点”，直接写出t的取值范围；（3）点G在y轴上．若直线上存在点H，使得点G，H是的“成对关联点”，直接写出点G的纵坐标的取值范围．19．（2023秋·北京海淀·九年级北京市十一学校校考期末）下面是小石设计的“过三角形一个顶点作其对边的平行线”的尺规作图过程．已知：如图，．求作：直线BD，使得．作法：如图，①分别作线段AC，BC的垂直平分线，，两直线交于点O；②以点O为圆心，OA长为半径作圆；③以点A为圆心，BC长为半径作弧，交于点D；④作直线BD．所以直线BD就是所求作的直线．根据小石设计的尺规作图过程，（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）（2）完成下面的证明．证明：连接AD，∵点A，B，C，D在上，，∴______．∴（______）（填推理的依据）．∴．20．（2023秋·北京通州·九年级统考期末）在平面直角坐标系xOy中，给出如下定义：若点P在图形M上，点Q在图形N上，如果PQ两点间的距离有最小值，那么称这个最小值为图形M，N的“近距离”，记为d（M，N）．特别地，当图形M与图形N有公共点时，d（M，N）＝0．已知A（﹣4，0），B（0，4），C（﹣2，0），（1）d（点A，点B）＝，d（点A，线段BC）＝．（2）⊙O半径为r，①当r＝1时，⊙O与线段AB的“近距离”d（⊙O，线段AB）＝．②若d（⊙O，△ABC）＝1，则r＝．

参考答案1．B【分析】连接,由题意易得，在中解三角形求解．【详解】连接,在中，是直径，，在中，，，故选：B．【点睛】本题主要考查圆周角定理及含直角三角形的性质；熟练掌握圆周角定理及含直角三角形的性质是解题的关键．2．C【分析】首先根据是直径得出，然后利用圆周角定理的推论得出，最后利用直角三角形两锐角互余即可得出答案．【详解】解：∵AB是的直径，．∵和都是所对的圆周角，，，故选：C．【点睛】本题主要考查圆周角定理的推论及三角形内角和定理，掌握圆周角定理及其推论的内容是解题的关键．3．A【分析】根据直径的定义对①进行判断；根据圆周角定理对②③进行判断；根据圆心角、弧、弦的关系对④进行判断．【详解】解：直径是圆中最长的弦，所以①正确；在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角相等，所以②错误；90°的圆周角所对的弦是直径，所以③错误；在同圆或等圆中，相等的圆心角对的弧相等，所以④错误．故选：A．【点睛】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．也考查了圆的认识和圆心角、弧、弦的关系．掌握这些知识点是解题关键．4．C【分析】连接，构造直角三角形，根据垂径定理和勾股定理求解．【详解】解：连接，如图所示，设直径的长为，则半径，为的直径，弦于，，，而，根据勾股定理得，解得，即的半径为13寸．故选C．【点睛】此题考查了垂径定理和勾股定理；熟练掌握垂径定理，由勾股定理得出方程是解决问题的关键．5．D【分析】先求出∠BOC的度数，再根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半求出答案．【详解】解：∵∠AOC=130°，AB是⊙O的直径，∴∠BOC=180°-∠AOC=50°，∴∠BDC=∠BOC=25°，故选：D．【点睛】此题考查了圆周角定理：同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，熟记定理是解题的关键．6．B【分析】直接根据圆周角定理求解．【详解】解：，．故选：B．【点睛】本题考查了圆周角定理，解题的关键是掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．7．A【分析】点在圆外，则点与圆心的距离大于半径，根据点与圆的位置关系解答．【详解】解：∵⊙O的半径为4，点P在⊙O外部，∴OP需要满足的条件是OP>4，故选：A．【点睛】此题考查了点与圆的位置关系，熟记点在圆内、圆上、圆外的判断方法是解题的关键．8．B【分析】设∠ADC=α，∠ABC=β，由菱形的性质与圆周角定理可得，求出β即可解决问题．【详解】解：设∠ADC=α，∠ABC=β；∵四边形ABCO是菱形，∴∠ABC=∠AOC；∠ADC=β；四边形为圆的内接四边形，α+β=180°，∴，解得：β=120°，α=60°，则∠ADC=60°，故选：B．【点睛】该题主要考查了圆周角定理及其应用，圆的内接四边形的性质，菱形的性质；掌握“同圆或等圆中，一条弧所对的圆周角是它所对的圆心角的一半”是解本题的关键.9．5【分析】如图，作直径，连接，则，，可得，从而可得答案．【详解】解：如图，作直径，连接，则，，∵，∴，∴的半径为5．故答案为：5．【点睛】本题考查的是圆周角定理的应用，含的直角三角形的性质，作出合适的辅助线构建直角三角形是解本题的关键．10．【分析】由题意可知于D，交圆弧于C，由题意得米，解得米，再求出，最后由勾股定理得到，由垂径定理求出即可得出结果．【详解】解：如图，由题意可知，，，（米），，（米）（米）（米）（米）弧田面积（平方米）故答案为：【点睛】本题考查了勾股定理以及垂径定理的应用；熟练掌握垂径定理是解答本题的关键．11．2【分析】①连接，易证是等边三角形，弦长为2，，即可得到答案；②先证，延长交于点E，连接交于点P，连接,则此时，即的最小值是的长，再用勾股定理求出即可．【详解】解：①连接，∵∴,∵，∴是等边三角形，∵弦长为2，∴，即的半径长为2，故答案为：2②∵，∴,∴，延长交于点E，连接交于点P，连接,则此时，即的最小值是的长，∵，∵，∴，∴，∴，即的最小值是．故答案为：【点睛】此题考查了圆周角定理、勾股定理、等边三角形的判定和性质、轴对称最短路径等知识，熟练掌握相关定理并灵活应用是解题的关键．12．．【分析】根据圆周角定理可知∠AED=∠ABC，再根据正切值的定义求解即可．【详解】解：根据圆周角定理可得∠AED=∠ABC，所以tan∠AED=tan∠ABC=．故答案为：．【点睛】本题考查圆周角定理；锐角三角函数，解题的关键是找到∠AED=∠ABC13．(1)见解析(2)8【分析】（1）由垂径定理可得，由圆周角定理得到，由得到，即可得到结论；（2）由垂径定理可得，，在中，由勾股定理可得，即可得到长．【详解】（1）证明：∵是的直径，，∴，∴，∵，∴是等腰三角形，∴，∴；（2）∵是的直径，，∴，，在中，，，∴，∴．【点睛】此题主要考查了垂径定理、圆周角定理、勾股定理等知识，熟练掌握垂径定理和圆周角定理的内容是解题的关键．14．方法一：画图见解析，，，在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等；方法二：画图见解析，，，垂径定理．【分析】方法一：按照作图语句提示作图，再根据圆心角与弧的关系进行证明即可；方法二：按照作图语句提示作图，再根据垂径定理进行证明即可；【详解】解：方法一：如图，点C即为所求作．证明：∵平分，∴∴（在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等）．方法二：如图，点C即为所求作．证明：∵垂直平分弦，∴直线经过圆心O，∴（垂径定理）．【点睛】本题考查的是复杂的作图，平分弧的作图，熟练的利用基本作图解决复杂的作图是解本题的关键，同时考查了角平分线的定义，线段的垂直平分线的性质．15．.【分析】由垂径定理得到，推出，在中，利用勾股定理即可求解.【详解】解：如图，连接．∵是的直径，弦于点E，∴．又∵，∴．∵，∴．在中，，∴．∴．【点睛】本题考查了垂径定理、勾股定理，掌握垂直于弦的直径平分这条弦是解题的关键．16．(1)(2)(3)，，【分析】（1）根据二次关联图形的定义分别找到和，过点作轴于点D，可证得，从而得到，即可求解；（2）根据题意得：点P位于x轴的下方，设点P的纵坐标为m，过点P作轴于点E，过点作轴交延长线于点F，坐标为m，表达点的坐标，可得出结论；（3）由（2）可知，点的坐标，由A关于点P的二次关联图形在上且不与点A重合可得出点的坐标，由线段，其关于点P的二次关联图形上的任意一点都在及其内部，找到临界点，可得出的坐标，进而可得出点B的坐标，即可得出的取值范围．【详解】（1）如图1，根据二次关联图形的定义分别找到和，过点作轴于点D，∴由旋转可知，，∴，∴，∴，∴，∴，∵点和关于直线对称，∴点，即点A关于点P的二次关联图形的坐标为；故答案为：（2）解：根据题意得：点P位于x轴的下方，设点P的纵坐标为m，如图，过点P作轴于点E，过点作轴交延长线于点F，由（1）得：，∴，∴，根据题意得：点A和点关于直线对称，∴，解得：，∴点P的坐标为，（3）解：设点P的纵坐标为n，由（2）得：，∴，∵在上，∴，解得：（舍去）或，∴点P的坐标为，∵，其关于点P的二次关联图形上的任意一点都在及其内部，此时点是一个临界点，连接，如图，∵，∴是等边三角形，过点作轴于点M，则，∴，∴，∴，∴，由对称性得：另一个点的坐标为，∴的取值范围为．【点睛】本题属于新定义类问题，主要考查轴对称最值问题，等边三角形的性质与判定，圆的定义等相关知识，关键是理解给出新定义，画出对应的图形．17．(1)作图见解析(2)OC，同弧所对的圆周角相等【分析】（1）按照步骤作图即可（2）由垂直平分线性质，以及圆周角性质补全证明过程即可．【详解】（1）如图所示（2）证明：连接OA、OC．∵AB=BC，BD平分∠ABC，∴BD⊥AC且AD=CD．∴OA=OC．∵EF是线段BC的垂直平分线，∴OB=OC．∴OB=OA．∴⊙O为△ABC的外接圆．∵点P在⊙O上，∴∠BPC=∠BAC（同弧所对的圆周角相等）．【点睛】本题考查了尺规作图、线段垂直平分线性质、圆周角性质，线段垂直平分线性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等，圆周角性质推论：同弧或等弧所对的圆周角相等．18．（1）B和C；（2）；（3）【分析】（1）根据图形可确定与点A组成的“成对关联点”的点；（2）如图，点E在直线上，点F在直线上，当点E在线段上，点F在线段上时，有的“成对关联点”，求出即可得出的取值范围；（3）分类讨论：点G在上，点G在的下方和点G在的上方，构造的“成对关联点”，即可求出的取值范围．【详解】（1）如图所示：在点B，C，D中，与点A组成的“成对关联点”的点是B和C，故答案为：B和C；（2）∵∴在直线上，∵点F与点E关于x轴对称，∴在直线，如下图所示：直线和与分别交于点，，与直线分别交于，，由题可得：，当点E在线段上时，有的“成对关联点”∴；（3）如图，当点G在上时，轴，在上不存在这样的矩形；如图，当点G在下方时，也不存在这样的矩形；如图，当点G在上方时，存在这样的矩形GMNH，当恰好只能构成一个矩形时，设，直线与y轴相交于点K，则，，，，，∴，即，∴，解得：或（舍），综上：当时，点G，H是的“成对关联点”．【点睛】本题考查几何图形综合问题，属于中考压轴题，掌握“成对关联点”的定义是解题的关键．19．（1）作图见解析；（2）在同圆中，等弧所对的圆周角相等【分析】（1）根据题干的作图步骤依次作图即可；（2）由作图可得，证明，利用圆周角定理可得，从而可得答案.【详解】解：（1