24.1.4 圆周角 人教版九年级数学上册课件3

第二十四章圆24.1.4圆周角1.理解圆周角的概念，会叙述并证明圆周角定理.2.理解圆周角与圆心角的关系并能运用圆周角定理解决简单的几何问题.

3.理解掌握圆周角定理的推论及其证明过程和运用.CAEDB思考：图中过球门A、E两点画圆，球员射中球门的难易程度与他所处的位置B、C、D有关（张开的角度大小）、仅从数学的角度考虑，球员应选择从哪一点的位置射门更有利？情景导入一.圆周角的定义问题1

什么叫圆心角？指出图中的圆心角？问题2∠ABE的顶点和边有哪些特点?∠ABE的顶点在☉O上，角的两边分别交☉O于A、E两点.顶点在圆心的角叫圆心角，如∠AOE.顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角.（两个条件必须同时具备，缺一不可）·COAB·COB·COBAA·COAB·COB·COBAA判一判：下列各图中的∠BAC是否为圆周角并简述理由.（2）（1）（3）（5）（6）顶点不在圆上边AC没有和圆相交√√√（4）顶点不在圆上如图，连接BO,CO,得圆心角∠BOC.试猜想∠BAC与∠BOC存在怎样的数量关系.二.圆周角定理及其推论测量与猜测圆心O在∠BAC的内部圆心O在∠BAC的一边上圆心O在∠BAC的外部推导与论证圆心O在∠BAC的一边上（特殊情形）OA=OC∠A=∠C∠BOC=∠A+∠C圆心O在∠BAC的内部OABDOACDOABCDOACDOABD圆心O在∠BAC的外部OABDCOADCOABDCOADOABDCOADOABD圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.圆周角定理问题1如图，OB，OC都是⊙O的半径，点A

，D是⊙O上任意两点，连接AB，AC，BD，CD.∠BAC与∠BDC相等吗？请说明理由.D∴∠BAC=∠BDC.解：相等.理由如下：DABOCEF问题2如图，若∠A与∠B相等吗？想一想：反过来，若∠A=∠B，那么成立吗？解：相等.理由如下：圆周角定理的推论1同弧或等弧所对的圆周角相等.A1A2A3如图，线段AB是☉O的直径，点C是☉O上的任意一点（除点A、B外），那么∠ACB就是直径AB所对的圆周角.想一想，∠ACB会是怎样的角？·OACB解：∵AB是直径，点O是圆心，∴∠AOB=180°.∵∠ACB是直径AB所对的圆周角，∴∠ACB=∠AOB=90°.想一想:能不能直接运用圆周角定理解答？半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径.圆周角定理的推论2例1如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点P，∠ACD=60°，∠ADC=70°.求∠APC的度数..OADCPB解：连接BC，则∠ACB=90°.∴∠DCB＝∠ACB－∠ACD＝90°－60°=30°.∴∠BAD=∠DCB=30°.∴∠APC=∠BAD＋∠ADC＝30°＋70°＝100°.典型例题例2

如图，⊙O的直径AB为10cm，弦AC为6cm．∠ACB的平分线交⊙O于点D,求BC，AD，BD的长．解：如图，连接OD．在Rt△ABC中，DCBAO∴∠ACB=∠ADB=90°.∵AB是直径，又在Rt△ABD中，AD2+BD2=AB2，∵CD平分∠ACB，归纳：解答圆周角有关问题时，若题中出现“直径”这个条件，则考虑构造直角三角形来求解.

DCBAO∴AD=BD.∴∠AOD=∠BOD.∴∠ACD=∠BCD.如果一个多边形所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做圆内接多边形，这个圆叫做这个多边形的外接圆.三.圆内接四边形

如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，⊙O为四边形ABCD的外接圆.

探究性质猜想：∠A与∠C,∠B与∠D之间的关系为：

∠A+∠C=180º，∠B+∠D=180º.想一想：如何证明你的猜想呢？∵∠A所对的圆心角是∠β，∠C所对的圆心角是∠α，则

又同理

证明猜想性质：圆内接四边形的对角互补.连接OB，OD．αβ

∴归纳总结1．四边形ABCD是⊙O的内接四边形，且∠A=110°，∠B=80°，则∠C=

，∠D=

.2．⊙O的内接四边形ABCD中，∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶3，则∠D=

.

70º100º90º练一练例3

如图，AB为⊙O的直径，CF⊥AB于E，交⊙O于D，AF交⊙O于G.求证：∠FGD＝∠ADC.证明：∵四边形ACDG内接于⊙O，∴∠FGD＝∠ACD.又∵AB为⊙O的直径，CF⊥AB，∴AB垂直平分CD.∴AC＝AD.∴∠ADC＝∠ACD.∴∠FGD＝∠ADC.方法总结：圆内接四边形的性质是推导角相等关系的重要依据．1.如图，点A，B，C是⊙O上点，且∠AOB＝50°，则∠ACB等于()A．20° B．25° C．30° D．50°B2.如图，在⊙O的内接四边形

ABCD中，∠BOD＝120°，那么∠BCD=(

)A．120°B．100°C．80°D．60°A3.如图，四边形ABCD

是半圆的内接四边形，AB是直径，DC=CB，若∠C=110°，则∠ABC的度数等于()55°B.60°C.65°D.70°A4.如图，BD是⊙O的直径，∠CBD＝30°，求∠A的度数.解：∵BD是⊙O的直径，∴∠BCD＝90°.∵∠CBD＝30°，∴∠D＝60°，