24.2.2 课时3 切线长定理与三角形内切圆 人教版九年级数学上册课件

24.2.2课时3切线长定理与三角形内切圆第二十四章

圆1.掌握切线长的定义及切线长定理.2.初步学会运用切线长定理进行计算与证明.3.认识三角形的内切圆及其有关概念，会作一个三角形的内切圆，掌握内心的性质.上节课我们学习了过圆上一点作已知圆的切线(如下图所示)，如果点

P是圆外一点，又怎么作该圆的切线呢？过圆外的一点作圆的切线，可以作几条？POBAO.PAB1.猜想：图中的线段PA与PB有什么关系？2.图中还有哪些量？猜想它们之间有什么关系？O.PAB如图，过圆外一点P有两条直线PA,PB分别与⊙O相切.经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间线段的长，叫做这点到圆的切线长.注意：切线是直线，不可度量；切线长是切线上切点与切点外另一点之间的线段的长，可以度量.POAB如图，PA，PB是☉O的两条切线，切点分别为A，B.在半透明的纸上画出这个图形，沿着直线PO将图形对折，图中的PA与PB，∠APO与∠BPO有什么关系？你能证明吗？POABPOAB证明：如图，连接OA和OB.∵PA和PB是⊙O的两条切线，∴OA⊥AP，OB⊥BP.又OA=OB,OP=OP.∴Rt△AOP≌Rt△BOP.∴PA=PB,∠APO=∠BPO.切线长定理：

从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角.特别提醒经过圆上一点作圆的切线，有且只有一条，过切点的半径垂直于这条切线；经过圆外一点作圆的切线，有两条，这点和两个切点所连的两条线段相等.若连接两切点

A，B，AB交

OP于点

M.你又能得出什么新的结论?请给出证明.解：OP垂直平分

AB.证明：∵

PA，PB是

⊙O的切线，

点

A，B是切点，

∴

PA=PB，∠OPA=∠OPB.∴△PAB是等腰三角形，PM为顶角的平分线.

∴

OP垂直平分

AB.MOPAB如图是切线长定理的一个基本图形,可以直接得到结论：(1)PO⊥AB；(2)AO⊥AP，BO⊥BP；(3)AP=BP；(4)∠1=∠2=∠3=∠4；

(5)AD=BD.例1已知：如图，四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA与⊙O分别相切于点E，F，G，H.求证：AB+CD=AD

+BC.证明：∵AB，BC，CD，DA与

⊙O分别相切于点E，F，G，H，·ABCDOEFGH∴AE=AH，BE=BF，CG=CF，DG=DH.∴AE+BE+CG+DG=AH+BF+CF+DH，∴

AB+CD=AD+BC.思考如图是一块三角形的铁片，如何在它上面截下一块圆形的用料，并且使截下来的圆与三角形的三条边都相切？假设符合条件的圆已作出，那么这个圆的圆心到三角形的三条边的距离都等于半径.如何找到这个圆心呢？已知：△ABC.求作：和△ABC的各边都相切的圆.MND作法：1.作∠ABC和∠ACB的平分线BM和CN，交点为O.2.过点O作OD⊥BC，垂足为D.3.以O为圆心，OD为半径作圆O.☉O就是所求的圆.ABCO1.与三角形三边都相切的圆叫做三角形的内切圆.2.三角形内切圆的圆心叫做这个三角形的内心.3.这个三角形叫做这个圆的外切三角形.归纳要点解读1.一个三角形有一个内切圆，而一个圆有无数多个外切三角形.2.三角形的内心在三角形的内部.三角形内心的性质三角形的内心是三角形三条角平分线的交点.三角形的内心到三角形三边的距离相等.例2如图，△ABC的内切圆⊙O与BC，CA，AB分别相切于点D，E，F，且AB=9，BC=14，CA=13.求AF，BD，CE的长.解：设AF=x，则AE=x.CD=CE=AC－AE=13－x,BD=BF=AB－AF=9－x.由BD+CD=BC,可得(13－x)+(9－x)=14.解得x=4.因此AF=4，BD=5，CE=9.归纳求三角形内切圆的问题，一般的作辅助线的方法为：一是连顶点、内心产生角平分线；二是连切点、内心产生半径及垂直条件.1.下列说法正确的是(

)A．过任意一点总可以作圆的两条切线B．圆的切线长就是圆的切线的长度C．过圆外一点所画的圆的两条切线长相等D．过圆外一点所画的圆的切线长一定大于圆的半径C2.下列说法错误的是()A．三角形有且只有一个内切圆B．等腰三角形的内心一定在它的底边的高上C．三角形的内心不一定都在三角形的内部D．若I是△ABC的内心，则AI平分∠BACCBPOA3.PA，PB是☉O的两条切线，A，B是切点，OA=3.（1）若AP=4，则OP=

；（2）若∠BPA=60°，则OP=

.564.如图，△ABC中，∠B=43°，∠C=61°，点I是△ABC的内心，求∠BIC的度数.ABCI解：连接IB，IC.∵点I是△ABC的内心，∴BI，CI分别平分∠ABC，∠ACB.在△IBC中，5.如图，在△ABC中，I是内心，∠BAC的平分线和△ABC的外接圆相交于点D.求证：DI＝DB.证明：连接BI.∵I是△ABC的内心，∴∠BAD=∠CAD，∠ABI=∠CBI.∵∠CBD=∠CAD，∴∠BAD=