辽宁省名校联盟（东北三省三校）高三上学期9月份联合考试数学试题

绝密★启用前辽宁省名校联盟2024年高三9月份联合考试数学命题人：大连市第二十四中学王辉审题人：大连市第二十四中学李响本试卷满分150分，考试时间120分钟.注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上.2.答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.（）A. B. C. D.2【答案】C【解析】【分析】利用对数的运算法则即可得解.【详解】.故选：C.2.已知命题，命题，则（）A.和都是真命题B.和都是真命题C.和都是真命题D.和都是真命题【答案】A【解析】【分析】由存在性命题可知满足为真命题，利用作差法可判断，即为真命题.【详解】对于可知，当时满足命题，为真命题，所以为假命题；易知，所以，也即为真命题，为假命题；可得和都是真命题.故选：A3.已知为全集的非空真子集，且不相等，若，则（）A B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根据题意分析可知集合是集合的真子集，结合韦恩图逐项分析判断.【详解】因为，等价于，等价于，且不相等，可知集合是集合的真子集，故A错误；且，故B正确；据此作出韦恩图，可知，，故CD错误；故选：B.4.如图，有一个无盖的盛水的容器，高为，其可看作将两个完全相同的圆台面积较大的底面去掉后对接而成.现从顶部向该容器中倒水，且任意相等的时间间隔内所倒的水的体积相等，记容器内水面的高度随时间变化的函数为，则下列函数图象中最有可能是图象的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】考虑函数增长速度得到结论可得正确选项.【详解】因为单位时间内注水的体积不变，结合容器的形状，在单位时间内，高度变化率先由快变慢，后由慢变快.故选：D.5.已知等比数列的公比为，则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】D【解析】【分析】举反例，结合充分、必要条件分析判断.【详解】例如，则，满足，但，即充分性不成立；例如，则，满足，但，即，即必要性不成立；综上所述：“”是“”的既不充分也不必要条件.故选：D.6.若定义在上的偶函数在上单调递增，则的大小关系为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】利用偶函数性质以及函数在上单调递增即可判断得出结论.【详解】易知，显然，又因为在上单调递增，所以可得；由偶函数性质可得，即.故选：B7.已知定义在上的函数，对，都有，若函数的图象关于直线对称，则（）A. B. C.2 D.1【答案】C【解析】【分析】先由函数图象平移的性质得到为偶函数，再利用函数周期性的判定得到为周期函数，进而利用赋值法即可得解.【详解】因为函数的图象关于直线对称，又的图象由的图象向左平移一个单位长度得到，所以的图象关于直线对称，故为偶函数，因为4，所以，所以是以8为一个周期的偶函数，所以，由，得，则.故选：C.8.已知函数，则当时，方程的不同的实数解的个数为（）A.4 B.3 C.2 D.1【答案】A【解析】【分析】根据题意分和两种情况，利用导数分析的单调性和极值，并作出的图象，令，分析可知方程的2根的正负性相反，结合图象即可得结果.【详解】由题意可知：的定义域为，若，则，且，令，则，令，解得；令，解得；可知在内单调递减，在内单调递增，则，即f′x>0对任意可知在1,+∞内单调递增，当x趋近于时，趋近于，当x趋近于时，趋近于；若，则，且，令，则，可知hx在内单调递减，且，当，则hx>0，即f′x>0；当，则h可知在内单调递增，在0,1内单调递减，则，当x趋近于时，趋近于，当x趋近于时，趋近于；据此作出函数的图形，如图所示：对于方程，令，则，且，，可知方程有2个不相等的实根，则，可知的正负性相反，不妨设，则有3个不相等的实根；有1个不相等的实根；综上所述：程的不同的实数解的个数为4.故选：A【点睛】方法点睛：数形结合就是通过数与形之间的对应和转化来解决数学问题．它包含以形助数和以数解形两个方面．一般来说，涉及函数、不等式、确定参数取值范围、方程等问题时，可考虑数形结合法．运用数形结合法解题一定要对有关函数图象、方程曲线、几何图形较熟悉，否则，错误的图象反而导致错误的选择．二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知且，则（）A. B.C. D.【答案】BD【解析】【分析】根据题意解不等式即可得，，即可判断AB；对于C：举反例说明即可；对于D：利用基本不等式可得，进而结合对数函数性质分析判断.【详解】对于选项AB：因为，则，且，则，解得，若，则，故A错误，B正确；对于选项C：令，则，故C错误；对于选项D：可知均为正数，则，即，当且仅当时，等号成立，所以，故D正确；故选：BD.10.已知幂函数的图象经过点，下列结论正确的有（）A.B.是偶函数C.D.若，则【答案】BCD【解析】【分析】利用待定系数法可得，可判断A，B；求导可得代入计算得C；利用幂函数单调性以及偶函数性质解不等式得D.【详解】设幂函数，代入点可得，解得；所以，因此函数的定义域为，不存在，A错误；易知，因此是偶函数，即B正确；由可得，所以，即C正确；由幂函数性质可得在0,+∞上单调递减，又是偶函数,所以不等式转化为，且；整理可得，解得且；即不等式的解集为，即D正确.故选：BCD11.表示不超过的最大整数，例如，，已知函数，下列结论正确的有（）A.若，则B.C.设，则D.所有满足的点组成的区域的面积为【答案】ABD【解析】【分析】对于AB，理解函数的定义，从而分析对应函数的值或性质即可判断；对于C，将问题转化为表示边长为20的正方形内整点的个数之和，从而结合图形得解；对于D，分类讨论的取值范围，从而依次求得对应的面积，从而得解.【详解】对于A项，若，则，则，所以，故A正确；对于B，设，则，又，所以，所以，即，故B正确；对于C，因为，而表示轴，直线，及曲线所围成区域的整点（横、纵坐标均为整数的点）的个数（不含轴上的点），设函数和，可得函数和互为反函数，即两个函数的图象关于直线对称，由函数对称性可得轴，直线及曲线围成的区域与以轴，直线及曲线围成的区域所包含的整点一样多，如图所示：则表示边长为20的正方形内整点的个数之和，其中有两个，且不含坐标轴上的点，所以整点的个数为，故C错误；对于D，当时，，此时组成区域的面积为1；当时，，，此时组成区域的面积为1；当时，，此时组成区域的面积为1；当时，，，此时组成区域的面积为1；当时，，此时组成区域的面积为.综上，点组成区域的面积为，故D正确.故选：ABD.【点睛】思路点睛：关于新定义题的思路有：（1）找出新定义有几个要素，找出要素分别代表什么意思；（2）由已知条件，看所求的是什么问题，进行分析，转换成数学语言；（3）将已知条件代入新定义的要素中；（4）结合数学知识进行解答.三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.若，则的取值范围是______.【答案】【解析】【分析】根据对数的定义可得，根据对数单调性解不等式即可.【详解】因为，可得且，可得且，可知，且，可得，解得或（舍去），若，则，则，可得，整理可得，解得或（舍去），所以的取值范围是.故答案为：.13.数列共有5项，前三项成等差数列，且公差为，后三项成等比数列，且公比为.若第1项为1，第2项与第4项的和为18，第3项与第5项的和为35，则______.【答案】5【解析】【分析】根据等差、等比数列通项列出5项，结合题意列式求解即可.【详解】由题意可知：数列的有5项为，因为，则，可得，整理可得，解得或（舍去），若，可得，即，所以.故答案为：5.14.已知均为正数，，则的最大值为______.【答案】【解析】【分析】利用配方法可得，设，利用辅助角公式结合正弦函数最值分析求解.【详解】因为，当且仅当，即时，等号成立，又因为，，设，则，其中，可知的最大值为，其中，即，可得，综上所述：的最大值为，其中.故答案为：.【点睛】关键点点睛：对于平方关系的等式，常借助于三角换元，把最值问题转化为三角问题分析求解，本题的关键在于令，进而运算求解.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.已知数列是首项为3，公比为9的等比数列，数列满足.（1）求数列和的通项公式；（2）求数列的前项和.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）利用等比数列的通项公式可得，利用数列的递推式作差可得，从而得解；（2）由（1）求得，再利用错位相减法即可得解.【小问1详解】因为数列是首项为3，公比为9的等比数列，所以，所以，由，得当时，，两式相减，得，即，又当时，也符合，所以.【小问2详解】设，则，故.，两式作差得，即，所以.16.定义三阶行列式运算：，其中.已知，关于的不等式的解集为.（1）求；（2）已知函数不存在最小值，求的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由三阶行列式运算，列不等式求解集；（2）由分段函数解析式，分别讨论定义区间内函数不存在最小值的条件，可求的取值范围.【小问1详解】，解得且，又，，所以不等式解集.【小问2详解】由（1）可知，有，所以当时，；当时，当，即时，，所以不存最小值；当，即时，，因为不存在最小值，所以，解得，综上，的取值范围是.17.已知函数.（1）求曲线在处的切线方程；（2）设，当时，记在区间上的最大值为，最小值为，求的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）直接求导得，再计算出，则得到切线方程；（2）求出，再利用导数得，，再作差得，最后再利用导数求出其范围即可.【小问1详解】由，得，所以，所以，所以，所以，所以曲线在处的切线方程为，即.【小问2详解】由（1）可得，，因为，所以，所以当时，，单调递减，当时，，单调递增，所以的最小值.又，，所以，从而的最大值，所以设，则，由，知，所以单调递增，因为，，所以的取值范围为.18.已知为数列的前项和，为数列的前项和，.（1）求的通项公式；（2）若，求的最大值；（3）设，证明：.【答案】（1）（2）（3）证明见解析【解析】【分析】（1）根据递推公式得出等差数列再应用基本量运算得出通项公式；（2）分组求和分别求出,再计算化简结合指数函数单调性计算求解；（3）先根据得出,再化简裂项，裂项相消求和证明右侧不等式【小问1详解】由，得，所以数列an为等差数列，所以，所以.又，所以，设an公差为d，即解得所以an的通项公式是.【小问2详解】由（1）知，所以，，令，得，设，则数列是递增数列.又，，所以n的最大值为5.【小问3详解】由（2）知，设是的前n项和，则，所以是递增数列，所以成立.又，所以当时，得，所以.综上，.19.已知函数（是自然对数的底数）.（1）若，求的极值；（2）若，求；（3）利用（2）中求得的，若，数列满足，且，证明：.【答案】（1）极大值为，无极小值；（2）（3）证明过程见解析【解析】【分析】（1）求导，得到函数单调性，进而得到在处取得极大值，极大值为，无极小值；（2）放缩得到，构造函数，注意到，所以，即为的极大值点，求导，根据求出，检验后得到答案；（3）求出，求导，得到其单调性，故，求出，构造，求导得到其单调性，得到，作差法求出，所以，即，故，又，证明出，证毕.【小问1详解】由题意得，则，为减函数，令得，所以当时，，单调递增，当时，，单调递减，所以在处取得极大值，极大值为，无极小值；【小问2详解】因为，所以，从而，所以，即，设，注意到，所以，即为的极大值点