五年级上册数学培优奥数讲义-第13讲 平面组合图形2

第13讲平面组合图形2知识与方法1、三角形的等积变换指的是使三角形面积相等的变换。通过三角形的等积变换，可以解决许多与三角形相关的面积计算。2、三角形的等积变形中常用的几个重要结论：（1）平行线间的距离处处相等。（2）等底等高的两个三角形面积相等。（3）底在同一条直线上并且相等，底所对的顶点是同一个，这样的两个三角形的面积相等。如下图，△ABD与△ACD底在同一直线上，且BD＝DC，S△ABD＝S△ADC。（4）若两个三角形的高（或底）相等，其中一个三角形的底（或高）是另一个三角形的几倍，那么这个三角形的面积也是另一个三角形的面积的几倍。如下图，△ABD与△ACD的高相等，DC＝2BD，S△ADC＝2S△ABD。（5）若几个三角形的底边相等，并在两条平行线中的同一条直线上，而且相等的底边所对的顶点在两条平行线中的另一条边上，则这几个三角形的面积相等。如下图，三个三角形的底相等，那么S①＝S②＝S③。初级挑战1把任意一个三角形分成四个面积相等的三角形，可以怎样分？思维点拨：根据“等底等高的两个三角形面积相等”，对三角形进行分割，即可保证分割的小三角形面积相等。答案：提供几种分法如下（答案不唯一）。……能力探索1在△ABC中，E、D、G分别是AB、BC、AD的中点，图中与△AGC面积相等的三角形有哪些？答案：共3个，分别是△CDG、△BDE、△ADE。初级挑战2 如图，ABCD是直角梯形，求阴影部分的面积和。（单位：厘米）思路引领：比较阴影部分两个三角形，高相等，底在同一直线上。根据“等底等高的两个三角形面积相等”，你能将阴影部分两个三角形转化在一起吗？答案：如下图，△ACE的面积等于原△CDE的面积，所求阴影部分的面积和就是△ABC的面积，S阴影＝3×6÷2＝9（平方厘米）。能力探索2 求下图中阴影部分的面积和。答案：S阴影＝25×10÷2＝125（平方厘米）中级挑战1 如图，长方形ABCD的面积为80平方厘米，E、F、G分别为AB、BC、CD的中点，H为AD上的任意一点，求阴影部分的面积和。思路引领：如下图，连接BH、HC，由题意可知△BEH面积＝（）的面积，△BFH面积＝（）的面积,△HDG面积＝（）的面积，所以阴影部分的面积恰好是长方形ABCD面积的（）。答案：80÷2＝40(平方厘米)。能力探索3 下图中四边形ABCD是一个长方形，AD＝10厘米，AB＝4厘米，E、F分别是BC、AD的中点，G是CD上的任意一点，则阴影部分的面积和是多少平方厘米？答案：连接BG，长方形ABCD的面积＝4×10＝40（平方厘米）S△AGB＝4×10÷2＝20（平方厘米）因为E、F分别是BC、AD的中点所以S△AFG＝S△DFG,S△BEG＝S△CEG所以S△AFG＋S△CEG＝(40－20)÷2＝10（平方厘米）中级挑战2在三角形ABC中，DC＝2BD，CE＝3AE，阴影部分的面积是20平方厘米，求三角形ABC的面积。思路引领：根据S△AED＝20平方厘米及CE＝3AE，可知S△CDE＝（）×S△AED＝（）平方厘米，则S△ACD＝（）平方厘米。同理，求出S△ABD，则S△ABC即可求出。答案：S△CDE：20×3＝60（平方厘米）S△ACD：60＋20＝80（平方厘米）S△ABD：80÷2＝40（平方厘米）那么S△ABC＝S△ABD＋S△ACD＝40＋80＝120(平方厘米)

能力探索41、在△ABC中，BD＝DE＝EC，BF＝FA，△EDF的面积是1，那么△ABC的面积是多少？答案：连接AE。由BD＝DE知，S△BDF＝S△DEF＝1由BF＝FA知，S△AEF＝S△BEF＝S△BDF＋S△DEF＝2所以S△ABE＝S△BEF＋S△AEF＝4而BD＝DE＝EC，所以BE＝2EC，所以S△AEC＝S△ABE÷2＝2所以S△ABC＝S△ABE＋S△AEC＝4＋2＝62、如图，在△ABC中，D是BC的中点，AE＝2EC。已知△ABC的面积是108平方厘米，求△CDE的面积。答案：因为BD＝DC，所以S△BDE＝S△CDE，S△BCE＝2S△CDE。又因为AE＝2EC，所以S△ABE＝2S△BCE,S△ABC＝3S△BCE＝6S△CDE，所以S△CDE＝108÷6＝18（平方厘米）。聪明泉应酬爸爸打电话告诉儿子，说今晚有应酬，不能回来吃饭了。儿子问：“什么叫应酬？”爸爸说：“不想去，又不得不去的叫应酬。”第二天早上儿子上学时，说道：“爸爸，我要去应酬了。”拓展挑战如下图，在梯形ABCD中，AD∥BC，S△AOB＝4平方厘米。（1）△COD的面积是多少？（2）若OC＝2OA，梯形ABCD的面积是多少？思维点拨：（1）由图可知，△ABC与△BCD同底等高，所以S△ABC＝S△BCD，而S△ABC＝S△AOB＋S△BOC，S△BCD＝S△COD＋S△BOC,，所以S△AOB＝S△COD，所以S△COD＝4平方厘米。（2）因为OC＝2OA，所以在△ACD中，S△COD＝2S△AOD，所以S△AOD＝4÷2＝2（平方厘米）。而在△ABC中，由OC＝2OA，有S△BOC＝2S△AOB，所以S△BOC＝4×2＝8（平方厘米）。所以梯形的面积＝S△AOD＋S△AOB＋S△BOC＋S△COD＝2＋4＋8＋4＝18（平方厘米）。能力探索5两条对角线把梯形ABCD分割成四个三角形。如图所示，已知两个三角形的面积分别为6和12，求另两个三角形的面积各是多少？（单位：平方厘米）BBAC6OD12答案：根据蝴蝶定理，有S△AOB＝S△COD＝6（平方厘米）因为S△BOC＝12（平方厘米），S△COD＝6（平方厘米），所以S△BOC＝2S△COD,所以OB＝2OD。在△ABD中，则有S△AOB＝2S△AOD，所以S△AOD＝6÷2＝3（平方厘米）所以另两个三角形AOB、AOD的面积分别是6平方厘米和3平方厘米。课堂小测1、把下图三角形的底边BC四等分，在下面括号里填上“＞”、“＜”或“＝”。甲的面积（）乙的面积。答案：＝（等底等高的两个三角形面积相等）2、如图，这个长方形的长是9厘米，宽是8厘米，A和B是宽的中点，求长方形内阴影部分的面积。答案：S阴影＝9×8÷2÷2＝18（平方厘米）3、E是长方形ABCD的BC边上一点，连接BD、AE、DE。已知△ADE的面积是10平方厘米，△BED的面积是3平方厘米。求△DEC的面积。答案：因为S△ADE＝10平方厘米所以S△DAB＝10平方厘米又因为ABCD是长方形所以S△DAB＝S△DCB＝10平方厘米又因为S△BED＝3平方厘米所以S△DEC＝S△DCB－S△BED＝10－3＝7（平方厘米）4、三角形ABC和CDE组合成下图，△CDE面积是7平方厘米，BC＝CD，AC＝3EC，求三角形ABC的面积。答案：连接BE，由BC＝CD，得S△BCE＝S△CDE＝7平方厘米，由AC＝3EC，得S△ABC＝3S△BCE，S△ABC的面积是7×3＝21（平方厘米）。课后作业1、求下图长方形ABCD的面积。（单位：厘米）2、如图，平行四边形ABCD的面积是24平方厘米，E、F分别是AB、BC边上的中点，图中阴影部分的面积是多少？3、△ABC中，BD＝DC，AE＝2BE，已知△BDE的面积是5平方厘米，求△ABC的面积。4、如图，三个小三角形ABC、BCD和CDE组成大三角形ABE，ABC的面积是24平方厘米，3BD＝DE，2AC＝CE，△BCD的面积是多少平方厘米?答案：1、大三角形的面积为6×8÷2＝24（平方厘米），长方形ABCD的面积是大三角形面积的2倍，长方形