人教A版必修一课后作业第二章基本初等函数（Ⅰ）2.3

学习目标1.理解幂函数的概念.2.掌握y＝xα(α＝－1，eq\f(1,2)，1,2,3)的图象与性质.3.理解和掌握幂函数在第一象限的分类特征，能运用数形结合的方法处理幂函数的有关问题.知识点一幂函数的概念思考y＝eq\f(1,x)，y＝x，y＝x2三个函数有什么共同特征？答案底数为x，指数为常数.梳理一般地，函数y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数.知识点二五个幂函数的图象与性质1.在同一平面直角坐标系内函数(1)y＝x；(2)y＝；(3)y＝x2；(4)y＝x－1；(5)y＝x3的图象如图.2.五个幂函数的性质y＝xy＝x2y＝x3y＝y＝x－1定义域RRR[0，＋∞){x|x≠0}值域R[0，＋∞)R[0，＋∞){y|y≠0}奇偶性奇偶奇非奇非偶奇单调性增在[0，＋∞)上增，在(－∞，0]上减增增在(0，＋∞)上减，在(－∞，0)上减知识点三一般幂函数的图象特征思考类比y＝x3的图象和性质，研究y＝x5的图象与性质.答案y＝x3与y＝x5的定义域、值域、单调性、奇偶性完全相同.只不过当0<x<1时，x5＝x3·x2<x3，当x>1时，x5＝x3·x2>x3，结合两函数性质，可得图象如下：梳理一般幂函数特征：(1)所有的幂函数在(0，＋∞)上都有定义，并且图象都过点(1,1)；(2)α>0时，幂函数的图象通过原点，并且在区间[0，＋∞)上是增函数.特别地，当α>1时，幂函数的图象下凸；当0<α<1时，幂函数的图象上凸；(3)α<0时，幂函数的图象在区间(0，＋∞)上是减函数；(4)幂指数互为倒数的幂函数在第一象限内的图象关于直线y＝x对称；(5)在第一象限，作直线x＝a(a>1)，它同各幂函数图象相交，按交点从下到上的顺序，幂指数按从小到大的顺序排列.类型一幂函数的概念例1已知y＝(m2＋2m－2)＋2n－3是幂函数，求m，n的值.解由题意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m2＋2m－2＝1，,2n－3＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＝－3，,n＝\f(3,2)))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＝1，,n＝\f(3,2).))所以m＝－3或1，n＝eq\f(3,2).反思与感悟幂函数与指数函数、对数函数的定义类似，只有满足函数解析式右边的系数为1，底数为自变量x，指数为常数这三个条件，才是幂函数.如：y＝3x2，y＝(2x)3，y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,2)))4都不是幂函数.跟踪训练1在函数y＝eq\f(1,x2)，y＝2x2，y＝x2＋x，y＝1中，幂函数的个数为()A.0B.1C.2D.3答案B解析因为y＝eq\f(1,x2)＝x－2，所以是幂函数；y＝2x2由于出现系数2，因此不是幂函数；y＝x2＋x是两项和的形式，不是幂函数；y＝1＝x0(x≠0)，可以看出，常数函数y＝1的图象比幂函数y＝x0的图象多了一个点(0,1),所以常数函数y＝1不是幂函数.类型二幂函数的图象及应用例2若点(eq\r(2)，2)在幂函数f(x)的图象上，点(－2，eq\f(1,4))在幂函数g(x)的图象上，问当x为何值时，(1)f(x)>g(x)；(2)f(x)＝g(x)；(3)f(x)<g(x).解设f(x)＝xα，因为点(eq\r(2)，2)在幂函数f(x)的图象上，所以，将点(eq\r(2)，2)代入f(x)＝xα中，得2＝(eq\r(2))α，解得α＝2，则f(x)＝x2.同理可求得g(x)＝x－2.在同一坐标系里作出函数f(x)＝x2和g(x)＝x－2的图象(如图所示)，观察图象可得：(1)当x>1或x<－1时，f(x)>g(x)；(2)当x＝1或x＝－1时，f(x)＝g(x)；(3)当－1<x<1且x≠0时，f(x)<g(x).引申探究若对于例2中的f(x)，g(x)，定义h(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(fx，fx≤gx，,gx，fx>gx，))试画出h(x)的图象.解h(x)的图象如图所示：反思与感悟注意本题中对f(x)＞g(x)，f(x)＝g(x)的几何解释.这种几何解释帮助我们从图形角度解读不等式方程，是以后常用的方法.跟踪训练2幂函数y＝xα(α≠0)，当α取不同的正数时，在区间[0,1]上它们的图象是一簇美丽的曲线(如图).设点A(1,0)，B(0,1)，连接AB，线段AB恰好被其中的两个幂函数y＝xα，y＝xβ的图象三等分，即有BM＝MN＝NA.那么αβ等于()A.1 B.2C.3 D.无法确定答案A解析由条件知，M(eq\f(1,3)，eq\f(2,3))、N(eq\f(2,3)，eq\f(1,3))，∴eq\f(1,3)＝(eq\f(2,3))α，eq\f(2,3)＝(eq\f(1,3))β，∴(eq\f(1,3))αβ＝[(eq\f(1,3))β]α＝(eq\f(2,3))α＝eq\f(1,3)，∴αβ＝1.故选A.类型三幂函数性质的综合应用命题角度1比较大小例3设a＝，b＝，c＝，则a，b，c的大小关系是()A.a>b>c B.b>a>cC.b>c>a D.c>b>a答案B解析∵y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))x在R上为减函数，∴<，即a<b；∵f(x)＝在(0，＋∞)上为增函数，∴>，即a>c.∴b>a>c.故选B.反思与感悟此类题在构建函数模型时要注意幂函数的特点：指数不变.比较大小的问题主要是利用函数的单调性，特别是要善于应用“搭桥”法进行分组，常数0和1是常用的中间量.跟踪训练3比较下列各组数中两个数的大小：(1)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,5)))0.3与eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))0.3；(2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,3)))－1与eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,5)))－1；(3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,5)))0.3与.解(1)∵0<0.3<1，∴y＝x0.3在(0，＋∞)上为增函数.又eq\f(2,5)>eq\f(1,3)，∴eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,5)))0.3>eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))0.3.(2)∵y＝x－1在(－∞，0)上是减函数，又－eq\f(2,3)<－eq\f(3,5).∴eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,3)))－1>eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,5)))－1.(3)∵y＝x0.3在(0，＋∞)上为增函数，∴由eq\f(2,5)>0.3，可得eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,5)))0.3>0.30.3.①又y＝0.3x在(－∞，＋∞)上为减函数，∴0.30.3>.②由①②知eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,5)))0.3>.命题角度2幂函数性质的综合应用例4已知幂函数y＝x3m－9(m∈N*)的图象关于y轴对称且在(0，＋∞)上单调递减，求满足<的a的取值范围.解因为函数在(0，＋∞)上单调递减，所以3m－9<0，解得m<3.又因为m∈N*，所以m＝1,2.因为函数的图象关于y轴对称，所以3m－9为偶数，故m＝1.则原不等式可化为.因为y＝在(－∞，0)，(0，＋∞)上单调递减，所以a＋1>3－2a>0或3－2a<a＋1<0或a＋1<0<3－2a.解得eq\f(2,3)<a<eq\f(3,2)或a<－1.故a的取值范围是{a|a<－1或eq\f(2,3)<a<eq\f(3,2)}.反思与感悟幂函数y＝xα中只有一个参数α，幂函数的所有性质都与α的取值有关，故可由α确定幂函数的定义域、值域、单调性、奇偶性，也可由这些性质去限制α的取值.跟踪训练4已知幂函数f(x)＝(m∈N*).(1)试确定该函数的定义域，并指明该函数在其定义域上的单调性；(2)若函数还经过(2，eq\r(2))，试确定m的值，并求满足f(2－a)>f(a－1)的实数a的取值范围.解(1)∵m∈N*，∴m2＋m＝m×(m＋1)为偶数.令m2＋m＝2k，k∈N*，则f(x)＝eq\r(2k,x)，∴定义域为[0，＋∞)，在[0，＋∞)上f(x)为增函数.(2)∵eq\r(2)＝＝，∴m2＋m＝2，解得m＝1或m＝－2(舍去)，∴f(x)＝，由(1)知f(x)在定义域[0，＋∞)上为增函数.∴f(2－a)>f(a－1)等价于2－a>a－1≥0，解得1≤a<eq\f(3,2).1.已知幂函数f(x)＝k·xα的图象过点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(\r(2),2)))，则k＋α等于()A.eq\f(1,2)B.1C.eq\f(3,2)D.2答案C解析由幂函数的定义知k＝1.又f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝eq\f(\r(2),2)，所以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))α＝eq\f(\r(2),2)，解得α＝eq\f(1,2)，从而k＋α＝eq\f(3,2).2.已知幂函数f(x)的图象经过点(2，eq\f(\r(2),2))，则f(4)的值等于()A.16 B.eq\f(1,16)C.2 D.eq\f(1,2)答案D3.设α∈{－1,1，eq\f(1,2)，3}，则使函数y＝xα的定义域为R的所有α的值为()A.1,3 B.－1,1C.－1,3 D.－1,1,3答案A4.下列是y＝的图象的是()答案B5.以下结论正确的是()A.当α＝0时，函数y＝xα的图象是一条直线B.幂函数的图象都经过(0,0)，(1,1)两点C.若幂函数y＝xα的图象关于原点对称，则y＝xα在定义域内y随x的增大而增大D.幂函数的图象不可能在第四象限，但可能在第二象限答案D1.幂函数y＝xα(α∈R)，其中α为常数，其本质特征是以幂的底x为自变量，指数α为常数，这是判断一个函数是不是幂函数的重要依据和唯一标准.2.幂函数y＝xα的图象与性质由于α的值不同而比较复杂，一般从两个方面考查：(1)α＞0时，图象过点(0,0)，(1,1)，在第一象限的图象上升；α＜0时，图象不过原点，在第一象限的图象下降，反之也成立.(2)曲线在第一象限的凹凸性，α＞1时，曲线下凸；0＜α＜1时，曲线上凸；α＜0时，曲线下凸.3.在具体应用时，不一定是y＝xα，α＝－1，eq\f(1,2)，1,2,3这五个已研究熟的幂函数，这时可根据需要构造幂函数，并针对性地研究某一方面的性质.课时作业一、选择题1．下列函数中是幂函数的是()A．y＝x4＋x2 B．y＝10xC．y＝eq\f(1,x3) D．y＝x＋1答案C解析根据幂函数的定义知，y＝eq\f(1,x3)是幂函数，y＝x4＋x2，y＝10x，y＝x＋1都不是幂函数．2．已知y＝(m2＋m－5)xm是幂函数，且在第一象限内是单调递减的，则m的值为()A．－3 B．2C．－3或2 D．3答案A解析由y＝(m2＋m－5)xm是幂函数，知m2＋m－5＝1，解得m＝2或m＝－3.∵该函数在第一象限内是单调递减的，∴m<0.故m＝－3.3．已知f(x)＝xeq\f(1,2)，若0<a<b<1，则下列各式中正确的是()A．f(a)<f(b)<f(eq\f(1,a))<f(eq\f(1,b))B．f(eq\f(1,a))<f(eq\f(1,b))<f(b)<f(a)C．f(a)<f(b)<f(eq\f(1,b))<f(eq\f(1,a))D．f(eq\f(1,a))<f(a)<f(eq\f(1,b))<f(b)答案C解析因为函数f(x)＝在(0，＋∞)上是增函数，又0<a<b<eq\f(1,b)<eq\f(1,a)，故选C.4．设a＝，b＝，c＝，则a，b，c的大小关系是()A．a>c>b B．a>b>cC．c>a>b D．b>c>a答案A解析根据幂函数与指数函数的单调性直接可以判断出来，y＝在x>0时是增函数，所以a>c，y＝(eq\f(2,5))x在x>0时是减函数，所以c>b.5．已知幂函数f(x)＝(n2＋2n－2)xn2－3n(n∈Z)的图象关于y轴对称，且在(0，＋∞)上是减函数，则n的值为()A．－3B．1C．2D．1或2答案B解析由于f(x)为幂函数，所以n2＋2n－2＝1，解得n＝1或n＝－3，经检验只有n＝1适合题意，故选B.6．若α∈eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(－2，－1，－\f(1,2)，\f(1,3)，\f(1,2)，1，2，3))，则使幂函数y＝xα为奇函数且在(0，＋∞)上单调递增的α值的个数为()A．3 B．4C．5 D．6答案A解析∵幂函数y＝xα是奇函数，∴α＝－1，eq\f(1,3)，1,3.又∵幂函数y＝xα在(0，＋∞)上单调递增，∴α＝eq\f(1,3)，1,3.故选A.7．幂函数y＝x2，y＝x－1，y＝y＝在第一象限内的图象依次是图中的曲线()A．C2，C1，C3，C4 B．C4，C1，C3，C2C．C3，C2，C1，C4 D．C1，C4，C2，C3答案D解析由于在第一象限内直线x＝1的右侧时，幂函数y＝xα的图象从上到下相应的指数α由大变小，故幂函数y＝x2在第一象限内的图象为C1，同理，y＝x－1在第一象限的图象为C4，y＝在第一象限内的图象为C2，y＝在第一象限内的图象为C3，故选D.二、填空题8．判断大小：5.25－1________5.26－2.(填“>”或“<”)答案>解析∵y＝x－1在(0，＋∞)上是减函数，5.25<5.26，∴5.25－1>5.26－1；∵y＝5.26x是增函数，－1>－2，∴5.26－1>5.26－2.综上，5.25－1>5.26－1>5.26－2.9．函数f(x)＝(x＋3)－2的单调增区间是________．答案(－∞，－3)解析y＝x－2＝eq\f(1,x2)的单调增区间为(－∞，0)，单调减区间为(0，＋∞)，y＝(x＋3)－2是由y＝x－2向左平移3个单位得到的．∴y＝(x＋3)－2的单调增区间为(－∞，－3)．10．已知幂函数f(x)＝xm2－1(m∈Z)的图象与x轴，y轴都无交点，且关于原点对称，则函数f(x)的解析式是__________________．答案f(x)＝x－1解析∵函数的图象与x轴，y轴都无交点，∴m2－1<0，解得－1<m<1.∵图象关于原点对称，且m∈Z，∴m＝0，∴f(x)＝x－1.11．已知x2>，则x的取值范围是________________．答案(－∞，0)∪(1，＋∞)解析作出函数y＝x2和y＝的图象(如图所示)．由图象易知x<0或x>1.12．已知函数f(x)＝在(－∞，0)上是增函数，在(0，＋∞)上是减函数，那么最小的正整数α＝________.答案3解析取值验证．当α＝1时，y＝x0，不满足；当α＝2时，y＝，在(0，＋∞)上是减函数．∵它为奇函数，∴在(－∞，0)上也是减函数，不满足；当α＝3时，y＝满足题意．13．已知实数a，b满足等式＝，下列五个关系式：①0<b<a<1；②－1<a<b<0；③1<a<b；④－1<b<a<0；⑤a＝b.其中可能成立的式子有________．(填上所有可能成立式子的序号)答案①③⑤解析首先画出y1＝与y2＝的图象(如图)，已知＝＝m，作直线y＝m.若m＝0或1，则a＝b；若0<m<1，则0<b<a<1；若m>1，则1<a<b.从图象知，成立的是①③⑤.三、解答题14．已知幂函数f(x)＝x3m－5(m∈N)在(0，＋∞)上是减函数，且f(－x)＝f(x)，求m的值．解因为f(x)＝x3m－5(m∈N)在(0，＋∞)上是减函数，所以3m－5<0，故m<eq\f(5,3).又因为m∈N，所以m＝0或