高中数学 3.3 一元二次不等式及其解法（第2课时）练习 新人教B版必修5

第三章3.3第2课时一、选择题1．已知不等式x2＋ax＋4＜0的解集为空集，则a的取值范围是()A．－4≤a≤4 B．－4＜a＜4C．a≤－4或a≥4 D．a＜－4或a＞4[答案]A[解析]欲使不等式x2＋ax＋4＜0的解集为空集，则Δ＝a2－16≤0，∴－4≤a≤4.2．若0＜t＜1，则不等式x2－(t＋eq\f(1,t))x＋1＜0的解集是()A．{x|eq\f(1,t)＜x＜t} B．{x|x＞eq\f(1,t)或x＜t}C．{x|x＜eq\f(1,t)或x＞t} D．{x|t＜x＜eq\f(1,t)}[答案]D[解析]化为(x－t)(x－eq\f(1,t))＜0，∵0＜t＜1，∴eq\f(1,t)＞1＞t，∴t＜x＜eq\f(1,t)，3．如果不等式eq\f(2x2＋2mx＋m,4x2＋6x＋3)<1对一切实数x均成立，则实数m的取值范围是()A．(1,3) B．(－∞，3)C．(－∞，1)∪(2，＋∞) D．(－∞，＋∞)[答案]A[解析]由4x2＋6x＋3＝(2x＋eq\f(3,2))2＋eq\f(3,4)>0对一切x∈R恒成立，从而原不等式等价于2x2＋2mx＋m<4x2＋6x＋3(x∈R)⇔2x2＋(6－2m)x＋(3－m)>0对一切实数x恒成立⇔Δ＝(6－2m)2－8(3－m)＝4(m－1)(m－3)<0，解得1<m<3.4．(·江西文，6)下列选项中，使不等式x＜eq\f(1,x)＜x2成立的x的取值范围是()A．(－∞，－1) B．(－1,0)C．(0,1) D．(1，＋∞)[答案]A[解析]本题考查了分式不等式解法等．由eq\f(1,x)>x知eq\f(1,x)－x>0，eq\f(1－x2,x)>0即x(1－x2)>0，所以x<－1或0<x<1；由eq\f(1,x)<x2知eq\f(1,x)－x2<0，eq\f(1－x3,x)<0，即x(1－x3)<0，所以x<0或x>1，所以x<eq\f(1,x)<x2的解集为x<－1，选A．本题可也用特殊值代入法进行排除．5．若f(x)＝－x2＋mx－1的函数值有正值，则m的取值范围是()A．m＜－2或m＞2 B．－2＜m＜2C．m≠±2 D．1＜m＜3[答案]A[解析]∵f(x)＝－x2＋mx－1有正值，∴△＝m2－4＞0，∴m＞2或m＜－2.6．对于任意实数x，不等式(a－2)x2－2(a－2)x－4＜0恒成立，则实数a的取值范围()A．(－∞，2) B．(－∞，2]C．(－2,2) D．(－2,2][答案]D[解析]当a＝2时，－4＜0恒成立；当a≠2时，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a－2＜0,4a－22＋16a－2＜0))，∴－2＜a＜2，综上得－2＜a≤2.二、填空题7．不等式eq\f(2x－5,3x－1)＜1的解集是________．[答案]{x＜－4或x＞eq\f(1,3)}[解析]化为eq\f(x＋4,3x－1)＞0，化为(x＋4)(3x－1)＞0，∴x＜－4或x＞eq\f(1,3).8．若关于x的不等式－eq\f(1,2)x2＋2x>mx的解集是{x|0<x<2}，则实数m的值是________．[答案]1[解析]不等式可化为x2－(4－2m)x<0，则0与2是方程x2－(4－2m)x＝0的两个根，∴4－(4－2m)×2＝0，即m＝1.三、解答题9．解关于x的不等式x2－(a＋a2)x＋a3>0(a∈R)．[解析]原不等式可化为(x－a)(x－a2)>0.∴当a<0时，a<a2，x<a或x>a2；当a＝0时，a2＝a，x≠0；当0<a<1时，a2<a，x<a2或x>a；当a＝1时，a2＝a，x≠1；当a>1时，a<a2，x<a或x>a2.综上所述，当a<0或a>1时，原不等式的解集为{x|x<a或x>a2}；当0<a<1时，原不等式的解集为{x|x<a2或x>a}；当a＝0时，原不等式的解集为{x|x≠0}；当a＝1时，原不等式的解集为{x|x≠1}.一、选择题1．已知关于x的不等式x2＋bx＋c>0的解集为{x|x<－1或x>2}，则b2＋c2＝()A．5 B．4C．1 D．2[答案]A[解析]由x2＋bx＋c>0的解集为{x|x<－1或x>2}，可知－1、2为x2＋bx＋c＝0的两个根，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－1＋2＝－b,－1×2＝c))，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(b＝－1,c＝－2)).∴b2＋c2＝5.2．(～学年度河南郑州市高二期末测试)不等式x2－ax－6a2<0(a<0)的解集为()A．(－∞，－2a)∪(3a，＋∞) B．(－2a,3a)C．(－∞，3a)∪(2a，＋∞) D．(3a，－2a)[答案]D[解析]不等式x2－ax－6a2<0可化为(x－3a)(x＋2a)<0，又∵a<0，∴3a<x<－2a，故选D．3．a＞0，b＞0.不等式－b＜eq\f(1,x)＜a的解集为()A．{x|x＜－eq\f(1,b)或x＞eq\f(1,a)} B．{x|－eq\f(1,a)＜x＜eq\f(1,b)}C．{x|x＜－eq\f(1,a)或x＞eq\f(1,b)} D．{x|－eq\f(1,b)＜x＜0或0＜x＜eq\f(1,a)}[答案]A[解析]∵b＞0∴－b＜0，又a＞0，∴不等式－b＜eq\f(1,x)＜a化为－b＜eq\f(1,x)＜0或0＜eq\f(1,x)＜A．∴x＜－eq\f(1,b)或x＞eq\f(1,a).∴选A．4．已知函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋2，x≤0,－x＋2，x>0))，则不等式f(x)≥x2的解集为()A．[－1,1] B．[－2,2]C．[－2,1] D．[－1,2][答案]A[解析]不等式f(x)≥x2化为(1)eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x≤0,x＋2≥x2))或(2)eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x>0,－x＋2≥x2)).解不等式组(1)得－1≤x≤0；解不等式组(2)得0<x≤1.因此原不等式的解集是[－1,1]，选A．二、填空题5．已知函数y＝(m2＋4m－5)x2＋4(1－m)x＋3对任意实数x，函数值恒大于零，则实数m的取值范围是__________．[答案]1≤m<19[解析]①当m2＋4m－5＝0时，m＝－5或m＝1，若m＝－5，则函数化为y＝24x＋3.对任意实数x不可能恒大于0.若m＝1，则y＝3＞0恒成立．②当m2＋4m－5≠0时，据题意应有，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m2＋4m－5＞0,161－m2－12m2＋4m－5＜0))，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＜－5或m＞1,1＜m＜19))，∴1＜m＜19.综上可知，1≤m＜19.[点评]y＝ax2＋bx＋c>0恒成立(a≠0)⇔eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a>0,Δ<0))；y＝ax2＋bx＋c<0(a≠0)恒成立⇔eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a<0,Δ<0)).6．不等式[(a－1)x＋1](x－1)＜0的解集为{x|x＜1或x＞2}，则a＝__________.[答案]eq\f(1,2)[解析]由题意x＝2是方程(a－1)x＋1＝0的根，且a－1＜0，∴a＝eq\f(1,2).三、解答题7．解关于x的不等式：56x2－ax－a2>0.[解析]56x2－ax－a2＞0可化为(7x－a)(8x＋a)＞0.①当a＞0时，－eq\f(a,8)＜eq\f(a,7)，∴x＞eq\f(a,7)或x＜－eq\f(a,8)；②当a＜0时，－eq\f(a,8)＞eq\f(a,7)，∴x＞－eq\f(a,8)或x＜eq\f(a,7)；③当a＝0时，x≠0.综上所述，当a>0时，原不等式的解集为{x|x>eq\f(a,7)或x<－eq\f(a,8)}；当a＝0时，原不等式的解集为{x|x∈R且x≠0}；当a<0时，原不等式的解集为{x|x>－eq\f(a,8)或x<eq\f(a,7)}．8．解关于x的不等式eq\f(mx2,mx－1)－x>0.[解析]原不等式可化为eq\f(x,mx－1)>0，即x(mx－1)>0.当m>0时，解得x<0或x>eq\f(1,m)；当m<0时，解得eq\f(1,m)<x<0；当m＝0时，解得x<0.综上，当m>0时，不等式的解集为{x|x<0或x>eq\f(1,m)}；当m<0时，不等式的解集为{x|eq\f(1,m)<x<0}；当m＝0时，不等式的解集为{x|x<0}．9．当a为何值时，不等式(a2－1)x2＋(a－1)x－1<0的解集是R?[解析]由a2－1＝0，得a＝±1.当a