必修二课件第一章立体几何初步1.2.4第1课时

第1课时两平面平行第1章

平面与平面的位置关系学习目标1.了解平面与平面的位置关系，掌握面面平行的判定定理、性质定理.2.会进行“线线平行”、“线面平行”及“面面平行”相互之间的转化，来证明“线线平行”、“线面平行”及“面面平行”等问题.3.了解两个平面间的距离的概念.题型探究问题导学内容索引当堂训练问题导学知识点一两个平面的位置关系位置关系图形表示符号表示公共点平面α与平面β平行_____没有公共点平面α与平面β相交________有一条公共直线α∥βα∩β＝l思考1

知识点二平面与平面平行的判定定理三角板的一条边所在的直线与平面α平行，这个三角板所在的平面与平面α平行吗？答案不一定.答案思考2

三角板的两条边所在的直线分别与平面α平行，这个三角板所在的平面与平面α平行吗？答案平行.答案梳理表示定理图形文字符号

两个平面

平行的判

定定理

如果一个平面内有两条

直线都平行于另一

个平面，那么这两个平

面平行⇒α∥βa⊂αb⊂α________a∥βb∥βa∩b＝A相交知识点三平面与平面平行的性质定理观察长方体ABCD—A1B1C1D1中的两个平面：平面ABCD及平面A1B1C1D1.答案思考1

平面A1B1C1D1中的所有直线都平行于平面ABCD吗？答案是的.思考2

若m⊂平面ABCD，n⊂平面A1B1C1D1，则m∥n吗？答案不一定，也可能异面.答案思考3

过BC的平面交平面A1B1C1D1于B1C1，B1C1与BC是什么关系？答案平行.答案梳理

表示定理图形文字符号

两个平面

平行的性

质定理

如果两个平行平面同

时和第三个平面相交，

那么所得的两条交线_____α∥β，α∩γ＝a，

β∩γ＝b⇒_______平行a∥b题型探究例1

已知在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD为平行四边形，点M，N，Q分别在PA，BD，PD上，且PM∶MA＝BN∶ND＝PQ∶QD.求证：平面MNQ∥平面PBC.类型一两平面平行的判定证明证明∵PM∶MA＝BN∶ND＝PQ∶QD，∴MQ∥AD，NQ∥BP.∵BP⊂平面PBC，NQ⊄平面PBC，∴NQ∥平面PBC.又底面ABCD为平行四边形，∴BC∥AD，∴MQ∥BC.∵BC⊂平面PBC，MQ⊄平面PBC，∴MQ∥平面PBC.又MQ∩NQ＝Q，根据平面与平面平行的判定定理，得平面MNQ∥平面PBC.判定平面与平面平行的常用方法(1)利用定义，证明两个平面没有公共点，常用反证法.(2)利用判定定理.要证明两平面平行，只需在其中一个平面内找到两条相交直线平行于另一个平面.应遵循先找后作的原则，即先在一个平面内找到两条与另一个平面平行的相交直线，若找不到再作辅助线.(3)利用平行平面的传递性，即α∥β，β∥γ，则α∥γ.(客观题用)反思与感悟跟踪训练1

如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，O为底面ABCD的中心，P是DD1的中点，设Q是CC1上的点，问：当点Q在什么位置时，平面D1BQ∥平面PAO?解答解当Q为CC1的中点时，平面D1BQ∥平面PAO.∵Q为CC1的中点，P为DD1的中点，连结PQ，易证四边形PQBA是平行四边形，∴QB∥PA.又∵AP⊂平面APO，QB⊄平面APO，∴QB∥平面APO.∵P、O分别为DD1、DB的中点，∴D1B∥PO.同理可得D1B∥平面PAO，又D1B∩QB＝B，∴平面D1BQ∥平面PAO.命题角度1由面面平行的性质定理求线段长例2

如图，平面α∥β，A、C∈α，B、D∈β，直线AB与CD交于S，且AS＝8，BS＝9，CD＝34，求SC的长.类型二面面平行的性质定理的应用解答解设AB，CD确定平面γ，因为γ∩α＝AC，γ∩β＝BD，且α∥β，所以AC∥BD，所以△SAC∽△SBD，所以SC＝272.引申探究若将本例改为：点S在平面α，β之间(如图)，其他条件不变，求CS的长.解答解设AB，CD确定平面γ，γ∩α＝AC，γ∩β＝BD.因为α∥β，所以AC∥BD，即CS＝16.应用平面与平面平行性质定理的基本步骤反思与感悟跟踪训练2

如图所示，平面α∥平面β，△ABC，△A′B′C′分别在α，β内，线段AA′，BB′，CC′共点于O，O在平面α和平面β之间，若AB＝2，AC＝2，∠BAC＝60°，OA∶OA′＝3∶2，则△A′B′C′的面积为______.答案解析解析AA′，BB′相交于点O，所以AA′，BB′确定的平面与平面α，平面β的交线分别为AB，A′B′，所以△ABC，△A′B′C′面积的比为9∶4，命题角度2利用面面平行证明线线平行例3

如图所示，四边形ABCD的四个顶点A，B，C，D均在平行四边形A′B′C′D′外，且AA′，BB′，CC′，DD′互相平行，求证：四边形ABCD是平行四边形.证明证明∵四边形A′B′C′D′是平行四边形，∴A′D′∥B′C′.∵A′D′⊄平面BB′C′C，B′C′⊂平面BB′C′C，∴A′D′∥平面BB′C′C.同理AA′∥平面BB′C′C.∵A′D′⊂平面AA′D′D，AA′⊂平面AA′D′D，且A′D′∩AA′＝A′，∴平面AA′D′D∥平面BB′C′C.又∵AD，BC分别是平面ABCD与平面AA′D′D，平面BB′C′C的交线，∴AD∥BC.同理可证AB∥CD.∴四边形ABCD是平行四边形.本类题的解题思路一般为先得出线面平行，再得面面平行，最后由面面平行的性质定理得线线平行.反思与感悟跟踪训练3

如图，已知E，F分别是正方体ABCD－A1B1C1D1的棱AA1，CC1的中点，求证：四边形BED1F是平行四边形.证明证明如图，连结AC，BD，交点为O，连结A1C1，B1D1，交点为O1，连结BD1，EF，OO1，设OO1的中点为M，由正方体的性质可得四边形ACC1A1为矩形.又因为E，F分别为AA1，CC1的中点，所以EF过OO1的中点M，同理四边形BDD1B1为矩形，BD1过OO1的中点M，所以EF与BD1相交于点M，所以E，B，F，D1四点共面.又因为平面ADD1A1∥平面BCC1B1，平面EBFD1∩平面ADD1A1＝ED1，平面EBFD1∩平面BCC1B1＝BF，所以ED1∥BF.同理可证EB∥D1F.所以四边形BED1F是平行四边形.例4设AB，CD为夹在两个平行平面α，β之间的线段，且直线AB，CD为异面直线，M，P分别为AB，CD的中点.求证：MP∥平面β.类型三平行关系的综合应用证明证明如图，过点A作AE∥CD交平面β于点E，连结DE，BE.∵AE∥CD，∴AE，CD确定一个平面，设为γ，则α∩γ＝AC，β∩γ＝DE.又α∥β，∴AC∥DE(面面平行的性质定理)，取AE的中点N，连结NP，MN，∴M，P分别为AB，CD的中点，∴NP∥DE，MN∥BE.又NP⊄β，DE⊂β，MN⊄β，BE⊂β，∴NP∥β，MN∥β，∵NP∩MN＝N，∴平面MNP∥β.∵MP⊂平面MNP，MP⊄β，∴MP∥β.线线平行、线面平行、面面平行是一个有机整体，平行关系的判定定理、性质定理是转化平行关系的关键，其内在联系如图所示：反思与感悟跟踪训练4如图所示，在棱长为a的正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F、P、Q分别是BC、C1D1、AD1、BD的中点.(1)求证：PQ∥平面DCC1D1；证明证明方法一如图，连结AC、CD1.∵P、Q分别是AD1、AC的中点，∴PQ∥CD1.又PQ⊄平面DCC1D1，CD1⊂平面DCC1D1，∴PQ∥平面DCC1D1.方法二取AD的中点G，连结PG、GQ，则有PG∥DD1，GQ∥DC，且PG∩GQ＝G，∴平面PGQ∥平面DCC1D1.又PQ⊂平面PGQ，∴PQ∥平面DCC1D1.(2)求PQ的长；解答(3)求证：EF∥平面BB1D1D.证明证明方法一取B1D1的中点O1，∴四边形BEFO1为平行四边形，∴EF∥BO1.又EF⊄平面BB1D1D，BO1⊂平面BB1D1D，∴EF∥平面BB1D1D.方法二取B1C1的中点E1，连结EE1、FE1，则有FE1∥B1D1，EE1∥BB1，且FE1∩EE1＝E1，B1D1∩BB1＝B1，∴平面EE1F∥平面BB1D1D.又EF⊂平面EE1F，∴EF∥平面BB1D1D.当堂训练1.下列条件中，可以用来判定平面α与平面β平行的是_____.(填序号)①α内有无穷多条直线与β平行；②直线a∥α，a∥β；③直线a⊂α，直线b⊂β，且a∥β，b∥α；④α内的任何直线都与β平行.答案2341④52.已知α，β是两个不同的平面，a，b是两条不同的直线，若α∥β，且a⊂α，b⊂β，则直线a，b的位置关系是___________.答案23415解析利用正方体模型及两个平面的位置关系的定义，可得直线a，b的位置关系是平行或异面.解析平行或异面3.在正方体ABCD—A1B1C1D1中，下列四对截面中彼此平行的是____.(填序号)①截面A1BC1和截面ACD1；

②截面BDC1和截面B1D1C；③截面B1D1D和截面BDA1；

④截面ADC1和截面AD1C.答案解析2341①解析易证A1B∥CD1，BC1∥AD1，由面面平行的判定定理，可得截面A1BC1∥截面ACD1，所以①符合条件；因为截面BDC1和截面B1D1C相交，截面B1D1D和截面BDA1相交，截面ADC1和截面AD1C相交，所以②③④不符合条件.故填①.54.若一平面截平行六面体，与两组相对的面相交，则截面四边形的形状一定是____________.2341答案解析解析