数学人教A版必修四课件第三章三角恒等变换3.1.1

两角差的余弦公式第三章

§3.1

两角和与差的正弦、余弦和正切公式学习目标1.了解两角差的余弦公式的推导过程.2.理解用向量法导出公式的主要步骤.3.熟记两角差的余弦公式的形式及符号特征，并能利用该公式进行求值、计算.题型探究问题导学内容索引当堂训练问题导学思考1

知识点一两角差的余弦公式的探究如何用角α，β的正弦、余弦值来表示cos(α－β)呢？有人认为cos(α－β)＝cosα－cosβ，你认为正确吗，试举出两例加以说明.答案答案不正确.故cos(α－β)≠cosα－cosβ；故cos(α－β)≠cosα－cosβ.思考2

计算下列式子的值，并根据这些式子的共同特征，写出一个猜想.①cos45°cos45°＋sin45°sin45°＝___；②cos60°cos30°＋sin60°sin30°＝____；③cos30°cos120°＋sin30°sin120°＝___；④cos150°cos210°＋sin150°sin210°＝___.猜想：cosαcosβ＋sinαsinβ＝_________，即______________________________.答案10cos(α－β)cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ思考1

知识点二两角差的余弦公式单位圆中(如图)，∠AOx＝α，∠BOx＝β，那么A，B的坐标是什么？

的夹角是多少？答案答案

A(cosα，sinα)，B(cosβ，sinβ).思考2

请根据上述条件推导两角差的余弦公式.答案∴cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ.梳理C(α－β)：cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ.(1)适用条件：公式中的角α，β都是任意角.(2)公式结构：公式右端的两部分为同名三角函数的积，连接符号与左边角的连接符号相反.题型探究解答类型一利用两角差的余弦公式化简求值例1计算：(1)cos(－15°)；解方法一原式＝cos(30°－45°)＝cos30°cos45°＋sin30°sin45°方法二原式＝cos15°＝cos(45°－30°)＝cos45°cos30°＋sin45°sin30°解答(2)cos15°cos105°＋sin15°sin105°.解原式＝cos(15°－105°)＝cos(－90°)＝cos90°＝0.反思与感悟利用两角差的余弦公式求值的一般思路：(1)把非特殊角转化为特殊角的差，正用公式直接求解.(2)在转化过程中，充分利用诱导公式，构造两角差的余弦公式的右边形式，然后逆用公式求值.跟踪训练1求下列各式的值：(1)cos105°；解答解原式＝cos(150°－45°)＝cos150°cos45°＋sin150°sin45°(2)cos46°cos16°＋sin46°sin16°.类型二给值求值解答所以cosβ＝cos[α－(α－β)]＝cosαcos(α－β)＋sinαsin(α－β)反思与感悟三角恒等变换是三角运算的灵魂与核心，它包括角的变换、函数名称的变换、三角函数式结构的变换.其中角的变换是最基本的变换.常见的有：α＝(α＋β)－β，α＝β－(β－α)，α＝(2α－β)－(α－β)，解答又∵β＝(α＋β)－α，∴cosβ＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cosα＋sin(α＋β)sinα类型三给值求角解答由β＝α－(α－β)，得cosβ＝cos[α－(α－β)]＝cosαcos(α－β)＋sinαsin(α－β)，反思与感悟求解给值求角问题的一般步骤：(1)求角的某一个三角函数值；(2)确定角的范围；(3)根据角的范围写出所求的角.解答∴cos2β＝cos[(α＋β)－(α－β)]＝cos(α＋β)cos(α－β)＋sin(α＋β)sin(α－β)当堂训练答案23451解析√2.若a＝(cos60°，sin60°)，b＝(cos15°，sin15°)，则a·b等于答案23451解析√答案23451解析√解答23451以上两式展开两边分别相加，得2＋2cos(α－β)＝1，解答所以cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ23451规律与方法1.“给式求值”或“给值求值”问题，即由给出的某些函数关系式或某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，关键在于“变式”或“变角”，使“目标角”换成“已知角”.注意公式的正用、逆用、变形用，有时需运用拆角、拼角等技巧.