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文档简介
两角差的余弦公式第三章
§3.1
两角和与差的正弦、余弦和正切公式学习目标1.了解两角差的余弦公式的推导过程.2.理解用向量法导出公式的主要步骤.3.熟记两角差的余弦公式的形式及符号特征,并能利用该公式进行求值、计算.题型探究问题导学内容索引当堂训练问题导学思考1
知识点一两角差的余弦公式的探究如何用角α,β的正弦、余弦值来表示cos(α-β)呢?有人认为cos(α-β)=cosα-cosβ,你认为正确吗,试举出两例加以说明.答案答案不正确.故cos(α-β)≠cosα-cosβ;故cos(α-β)≠cosα-cosβ.思考2
计算下列式子的值,并根据这些式子的共同特征,写出一个猜想.①cos45°cos45°+sin45°sin45°=___;②cos60°cos30°+sin60°sin30°=____;③cos30°cos120°+sin30°sin120°=___;④cos150°cos210°+sin150°sin210°=___.猜想:cosαcosβ+sinαsinβ=_________,即______________________________.答案10cos(α-β)cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ思考1
知识点二两角差的余弦公式单位圆中(如图),∠AOx=α,∠BOx=β,那么A,B的坐标是什么?
的夹角是多少?答案答案
A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ).思考2
请根据上述条件推导两角差的余弦公式.答案∴cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ.梳理C(α-β):cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ.(1)适用条件:公式中的角α,β都是任意角.(2)公式结构:公式右端的两部分为同名三角函数的积,连接符号与左边角的连接符号相反.题型探究解答类型一利用两角差的余弦公式化简求值例1计算:(1)cos(-15°);解方法一原式=cos(30°-45°)=cos30°cos45°+sin30°sin45°方法二原式=cos15°=cos(45°-30°)=cos45°cos30°+sin45°sin30°解答(2)cos15°cos105°+sin15°sin105°.解原式=cos(15°-105°)=cos(-90°)=cos90°=0.反思与感悟利用两角差的余弦公式求值的一般思路:(1)把非特殊角转化为特殊角的差,正用公式直接求解.(2)在转化过程中,充分利用诱导公式,构造两角差的余弦公式的右边形式,然后逆用公式求值.跟踪训练1求下列各式的值:(1)cos105°;解答解原式=cos(150°-45°)=cos150°cos45°+sin150°sin45°(2)cos46°cos16°+sin46°sin16°.类型二给值求值解答所以cosβ=cos[α-(α-β)]=cosαcos(α-β)+sinαsin(α-β)反思与感悟三角恒等变换是三角运算的灵魂与核心,它包括角的变换、函数名称的变换、三角函数式结构的变换.其中角的变换是最基本的变换.常见的有:α=(α+β)-β,α=β-(β-α),α=(2α-β)-(α-β),解答又∵β=(α+β)-α,∴cosβ=cos[(α+β)-α]=cos(α+β)cosα+sin(α+β)sinα类型三给值求角解答由β=α-(α-β),得cosβ=cos[α-(α-β)]=cosαcos(α-β)+sinαsin(α-β),反思与感悟求解给值求角问题的一般步骤:(1)求角的某一个三角函数值;(2)确定角的范围;(3)根据角的范围写出所求的角.解答∴cos2β=cos[(α+β)-(α-β)]=cos(α+β)cos(α-β)+sin(α+β)sin(α-β)当堂训练答案23451解析√2.若a=(cos60°,sin60°),b=(cos15°,sin15°),则a·b等于答案23451解析√答案23451解析√解答23451以上两式展开两边分别相加,得2+2cos(α-β)=1,解答所以cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ23451规律与方法1.“给式求值”或“给值求值”问题,即由给出的某些函数关系式或某些角的三角函数值,求另外一些角的三角函数值,关键在于“变式”或“变角”,使“目标角”换成“已知角”.注意公式的正用、逆用、变形用,有时需运用拆角、拼角等技巧.
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