必修二课件第一章立体几何初步1.2.2-1

空间两条直线的位置关系第1章

1.2

点、线、面之间的位置关系学习目标1.了解两条直线的三种位置关系.2.理解异面直线的定义及判定，能判断两条直线是不是异面直线.3.理解公理4和等角定理，并会用公理4证明线线平行.4.理解异面直线所成的角的概念.题型探究问题导学内容索引当堂训练问题导学思考

知识点一空间两条直线的位置关系在同一平面内，两条直线有几种位置关系？观察下面两个图形，你能找出既不平行又不相交的两条直线吗？答案答案平行与相交.教室内的日光灯管所在直线与黑板的左右两侧所在的直线；六角螺母中直线AB与CD.梳理位置关系共面情况公共点个数相交直线在

平面内有且只有

个平行直线在

平面内没有异面直线不同在

平面内没有同一一同一任何一个思考

知识点二异面直线的判断分别在两个平面内的两条直线一定是异面直线吗？答案答案不一定，可能平行、相交或异面.梳理判断异面直线的方法方法内容定义法不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线定理法

过平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内不经

过该点的直线是异面直线反证法

判定两条直线既不平行也不相交，那么这两条直线就是

异面直线思考

知识点三平行公理(公理4)在平面内有直线a，b，c，若a∥b，b∥c，则a∥c，该结论在空间中是否成立？答案答案成立.梳理平行公理(1)文字表述：平行于同一条直线的两条直线互相平行.思考1

知识点四等角定理及异面直线所成的角观察图象，在长方体ABCD—A′B′C′D′中，∠ADC与∠A′D′C′，∠ADC与∠D′A′B′的两边分别对应平行，这两组角的大小关系如何？答案从图中可以看出，∠ADC＝∠A′D′C′，∠ADC＋∠D′A′B′＝180°.答案思考2

在长方体A1B1C1D1—ABCD中，BC1∥AD1，则“直线BC1与直线BC所成的角”与“直线AD1与直线BC所成的角”是否相等？答案相等.答案梳理(1)等角定理如果一个角的两边和另一个角的两边分别

并且方向

，那么这两个角

.(2)异面直线所成的角定义前提两条异面直线a，b作法经过空间任意一点O，作直线a′∥a，b′∥b结论

我们把a′和b′所成的

叫做异面

直线a，b所成的角范围记异面直线a与b所成的角为θ，则______________特殊情况当θ＝

时，异面直线a，b互相垂直，记作____平行相同相等锐角(或直角)90°0°<θ≤90°a⊥b题型探究例1

如图，已知在棱长为a的正方体ABCD—A1B1C1D1中，M，N分别是棱CD，AD的中点.求证：类型一公理4与等角定理的应用证明(1)四边形MNA1C1是梯形；证明如图

，连结AC，在△ACD中，∵M，N分别是CD，AD的中点，∴MN是△ACD的中位线，由正方体的性质，得AC∥A1C1，AC＝A1C1.即MN≠A1C1，∴四边形MNA1C1是梯形.(2)∠DNM＝∠D1A1C1.证明证明由(1)可知，MN∥A1C1.又ND∥A1D1，且∠DNM与∠D1A1C1的两边的方向相同，∴∠DNM＝∠D1A1C1.(1)空间两条直线平行的证明①定义法：即证明两条直线在同一平面内且两直线没有公共点.②利用公理4找到一条直线，使所证的直线都与这条直线平行.(2)等角定理的结论是相等，在实际应用时，一般是借助于图形判断两角的两边方向是否相同.反思与感悟跟踪训练1

如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，M，M1分别是棱AD和A1D1的中点.求证：证明(1)四边形BB1M1M为平行四边形；证明在正方形ADD1A1中，M，M1分别为AD，A1D1的中点，∴A1M1綊AM，∴四边形AMM1A1为平行四边形，∴A1A綊M1M.又∵A1A綊B1B，∴M1M綊B1B，∴四边形BB1M1M为平行四边形.(2)∠BMC＝∠B1M1C1.证明证明由(1)知四边形BB1M1M为平行四边形，∴B1M1∥BM.同理可得四边形CC1M1M为平行四边形，∴C1M1∥CM.由平面几何知识可知，∠BMC和∠B1M1C1都是锐角.∴∠BMC＝∠B1M1C1.例2

(1)在四棱锥P—ABCD中，各棱所在的直线互为异面的有______对.类型二异面直线的判断8解析与AB异面的有侧棱PD和PC，同理，与底面的各条边异面的都有两条侧棱，故共有异面直线4×2＝8(对).答案解析(2)如图是一个正方体的展开图，如果将它还原成正方体，那么AB，CD，EF，GH这四条线段所在直线是异面直线的有几对？分别是哪几对？解答解三对，分别为AB与CD，AB与GH，EF与GH.还原的正方体如图所示.判定异面直线的方法(1)定义法：利用异面直线的定义，说明两条直线不平行，也不相交，即不可能同在同一个平面内.(2)利用异面直线的判定定理.(3)反证法：假设两条直线不是异面直线，根据空间两条直线的位置关系，这两条直线一定共面，即可能相交或平行，然后推出矛盾即可.反思与感悟跟踪训练2

如图所示，在三棱锥A—BCD中，E，F是棱AD上异于A，D的不同两点，G，H是棱BC上异于B，C的不同两点，给出下列说法：①AB与CD互为异面直线；②FH分别与DC，DB互为异面直线；③EG与FH互为异面直线；④EG与AB互为异面直线.其中说法正确的是________.(填序号)答案解析①②③④解析因为直线DC⊂平面BCD，直线AB⊄平面BCD，点B∉直线DC，所以由异面直线的判定定理可知，①正确；同理，②③④正确.当堂训练1.若a和b是异面直线，b和c是异面直线，则a和c的位置关系是____________________.答案2341相交、解析解析异面直线不具有传递性，可以以长方体为载体加以说明，异面直线a、b，直线c的位置可如图所示.平行或异面52.下列四个结论中错误命题的个数是_____.(填序号)答案23412解析①垂直于同一直线的两条直线互相平行；②平行于同一直线的两直线平行；③若直线a，b，c满足a∥b，b⊥c，则a⊥c；④若直线l1，l2是异面直线，则与l1，l2都相交的两条直线是异面直线.5解析①④均为错误命题.①可举反例，如a、b、c三线两两垂直.2341④如图甲，c、d与异面直线l1、l2交于四个点，此时c、d异面；当点A在直线l1上运动(其余三点不动)时，会出现点A与B重合的情形，如图乙所示，此时c、d共面相交.53.在三棱锥的所有棱中，互为异面直线的有____对.答案23413解析如图，在三棱锥A—BCD中，AB与CD异面，BC与AD异面，AC与BD异面，所以有3对异面直线.解析54.如图所示，在三棱锥A—BCD中，E，F，G，H分别是棱AB，BC，CD，DA的中点，则当AC，BD满足________时，四边形EFGH为菱形；当AC，BD满足___________________时，四边形EFGH是正方形.答案2341解析AC＝BDAC＝BD且AC⊥BD52341∴四边形EFGH为平行四边形，故当EF＝FG，即AC＝BD时，四边形EFGH为菱形；当EF⊥FG且EF＝FG，即AC⊥BD且AC＝BD时，四边形EFGH为正方形.5234155.如图所示，已知E，F，G，H分别是空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点.(1)求证：E，F，G，H四点共面；证明23415证明如图所示，连结EF，FG，GH，HE，在△ABD中，∵E，H分别是AB，AD的中点，∴EH綊FG，∴E，F，G，H四点共面.23415(2)若AC⊥BD，求证：四边形EFGH是矩形.证明由(1)知EH綊FG，∴四边形EFGH为平行四边形.∵HG是△ADC的中位线，∴HG∥AC.又EH∥BD，AC⊥BD，∴EH⊥HG，∴四边形EFGH为矩形.证明规律与方法1.判定两直线的位置关系的依据就在于两直线平行、相交、异面的定义.很多情况下，定义就是一种常用的判定方法.对于异面直线的判断，常用判定定理和反证法.2.在研究异面直