第2课时+轨迹问题同步练习 高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

第2课时轨迹问题一、选择题1.设F1(-4,0),F2(4,0)为定点,动点M满足|MF1|+|MF2|=8,则动点M的轨迹是 ()A.椭圆 B.直线C.圆 D.线段2.已知动点P到两坐标轴的距离相等,则点P的轨迹方程为 ()A.y=x B.y=-xC.y=±x D.y=x23.将单位圆x2+y2=1上所有点的横坐标变为原来的3倍,再将所得曲线上所有点的纵坐标变为原来的2倍,得到的曲线的方程为 ()A.9x2+4y2=1 B.x29+4y2C.x29+y24=1 D.9x24.已知F1,F2分别为椭圆E:x29+y2=1的左、右焦点,P是椭圆E上一动点,G是△PF1F2的重心,则G的轨迹方程为 (A.x2+9y2=1 B.x2+9y2=1(y≠0)C.x281+y29=1 D.x2815.已知F1(0,-3),F2(0,3),动点P满足|PF1|+|PF2|=a+9a(a>0),则点P的轨迹为 (A.椭圆 B.线段C.椭圆或线段 D.不能确定6.在△ABC中,已知A(-1,0),C(1,0),且sinA+sinC=2sinB,则动点B的轨迹方程为 ()A.x23+y24=1(x<0)B.x23C.x24+y23=1(y≠0)D.x247.已知圆x2+y2=1与坐标轴的交点为A,B,C,D,点P为椭圆x24+y23=1上一点,若|PA|+|PB|+|PC|+|PD|=8,则点P到x轴的距离为A.223 BC.2135 D8.(多选题)下列说法不正确的是 ()A.若定点F1,F2满足|F1F2|=8,动点P满足|PF1|+|PF2|=8,则动点P的轨迹是椭圆B.若定点F1,F2满足|F1F2|=8,动点M满足|MF1|+|MF2|=10,则动点M的轨迹是椭圆C.当1<k<4时,曲线C:x24-kD.若动点M的坐标满足方程x24+y22=1,则点M9.(多选题)设点A,F1,F2的坐标分别为(-1,1),(-1,0),(1,0),动点P(x,y)满足(x+1)2+y2+A.点P的轨迹方程为x24+yB.|PA|+|PF2|<5C.存在4个点P,使得△PAF1的面积为3D.|PA|+|PF1|>1二、填空题10.若两定点A,B间的距离为3,动点M满足|MA|=2|MB|,则点M的轨迹围成区域的面积为.

11.在平面直角坐标系中,已知正三角形ABC的边长为4,B,C在坐标轴上,坐标原点O为BC的中点,则以点B,C为焦点,经过点A的椭圆的标准方程为.

12.已知O为坐标原点,定点F(1,0),M是圆O:x2+y2=4内一动点,圆O与以线段FM为直径的圆内切,则动点M的轨迹方程为.

三、解答题13.已知A(-1,0),B(1,0),AP=AB+AC,|AP|+|AC|=4.求P的轨迹方程.14.已知点M为圆O:x2+y2=4上一动点,过M作x轴的垂线,垂足为N,点R满足NR=12NM,求点R已知一张纸上面有半径为4的圆C,在圆C内有一个定点A,且AC=2,折叠纸片,使圆C上某一点A'刚好与点A重合,这样的每一种折法,都留下一条直线折痕,当A'取遍圆C上所有点时,所有折痕与A'C的交点形成的曲线记为S,以CA的中点为原点,CA所在直线为x轴建立平面直角坐标系,则曲线S的方程为.

16.在平面直角坐标系中,△ABC的两个顶点为A(-1,0),B(1,0),GA+GB+GC=0,GP=GA+λAB|AB|+AC|AC|(λ>0),∠ACB的平分线与点P的轨迹相交于点I.若存在非零实数μ,使得

第2课时轨迹问题1.D[解析]∵|F1F2|=8,动点M满足|MF1|+|MF2|=8,∴点M在线段F1F2上.故选D.2.C[解析]设点P的坐标为(x,y),由题意得|x|=|y|,即y=±x.故选C.3.C[解析]设点P(x0,y0)为圆x2+y2=1上的点,点P经过变换后对应的点为P'(x,y),则x=3x0,y=2y0,又因为x02+y02=1,所以所得曲线的方程为x29+4.B[解析]设G(x,y)(y≠0),P(m,n),易知F1(-22,0),F2(22,0),∵G为△PF1F2的重心,∴x=m3,y=n3,∴m=3x,n=3y,∴P(3x,3y),又P在椭圆E:x29+y2=1上,∴(3x)29+(3y)2=1(y≠0),即x2+5.C[解析]∵a>0,∴a+9a≥2×3=6=|F1F2|(当且仅当a=3时取等号),∴当a+9a=6时,点P的轨迹为线段,当a+9a>6时,点P的轨迹为椭圆6.C[解析]根据正弦定理,可得|BA|+|BC|=2|AC|=4>|AC|,所以点B在以A,C为焦点,4为长轴长的椭圆上,其方程为x24+y23=1,又A,B,C为三角形的顶点,所以动点B的轨迹方程为x24+7.B[解析]圆x2+y2=1与坐标轴的交点为A,B,C,D,不妨设A(-1,0),B(1,0),C(0,-1),D(0,1),则A,B为椭圆x24+y23=1的焦点,而P为椭圆x24+y23=1上一点,所以|PA|+|PB|=4.因为|PA|+|PB|+|PC|+|PD|=8,所以|PC|+|PD|=4,又|PC|+|PD|=4>|CD|=2,所以根据椭圆的定义知点P在以C,D为焦点的椭圆上,其方程为x23+y24=1,由x24+y23=1,8.AC[解析]对于A,若定点F1,F2满足|F1F2|=8,动点P满足|PF1|+|PF2|=8=|F1F2|,则动点P的轨迹为以F1,F2为端点的线段,所以A中说法不正确;对于B,若定点F1,F2满足|F1F2|=8,动点M满足|MF1|+|MF2|=10>|F1F2|,由椭圆的定义,可得动点M的轨迹是以F1,F2为焦点的椭圆,所以B中说法正确;对于C,当4-k=k-1,即k=52时,曲线C:x24-k+y2k-1=1表示圆,所以C中说法不正确;对于D,若动点M的坐标满足方程x24+y22=1,则点M的轨迹是椭圆,其中a2=4,b29.AD[解析]对于A,由(x+1)2+y2+(x-1)2+y2=4,得|PF1|+|PF2|=4>|F1F2|=2,所以点P的轨迹为以F1,F2为焦点的椭圆,且2c=2,2a=4,则c=1,a=2,b=a2-c2=3,故点P(x,y)的轨迹方程为x24+y23=1,故A正确;对于B,D,因为14+13<1,所以点A(-1,1)在椭圆内,所以|PA|+|PF2|=|PA|+2a-|PF1|≤2a+|AF1|=4+1=5,当且仅当F1在线段PA上时等号成立,|PA|+|PF1|=|PA|+2a-|PF2|=4+|PA|-|PF2|,由||PA|-|PF2||≤|AF2|,得-5≤|PA|-|PF2|≤5,所以|PA|+|PF1|=4+|PA|-|PF2|≥4-5>1,当且仅当P在F2A的延长线上时等号成立,故B错误,D正确;对于C,S△PAF1=12|AF1|h=10.4π[解析]以A为原点,直线AB为x轴建立平面直角坐标系,则B(3,0).设M(x,y),依题意得x2+y2(x-3)2+y2=2,化简整理得x2+y2-8x+11.x216+y212=1或y216+x212=1[解析]因为椭圆以点B,C为焦点,经过点A,则2c=4,a=4,即c=2,a=4,所以b=a2-c2=16-4=23.若椭圆的焦点在x12.x24+y23=1(x≠±2)[解析]取点E(-1,0),连接ME.设线段FM的中点为P,圆P与圆O内切于点Q,连接OP,PQ.易知O,P,Q三点共线,因为O,P分别为线段EF,MF的中点,所以|ME|=2|OP|,所以|ME|+|MF|=2|OP|+2|PQ|=2|OQ|=4>|EF|,故点M的轨迹是以E,F为焦点的椭圆(除去与x轴的交点),且2a=4,则a=2,又c=1,则b=a2-c2=3,故动点M的轨迹方程为x213.解:当A,B,C三点共线时,若C在A的右侧,则由AP=AB+AC,得|AP|2=4+|AC|2+4|AC|,结合|AP|+|AC|=4,可得|AC|=1,故C(0,0),则AP=AB+AC=(2,0)+(1,0)=(3,0),则P(2,0).同理,若C在A的左侧,则|AC|=3,故C(-4,0),则AP=AB+AC=(2,0)+(-3,0)=(-1,0),故P(-2,0).当A,B,C三点不共线时,因为AP=AB+AC,所以四边形ACPB是平行四边形,所以|BP|=|AC|.由|AP|+|AC|=4,得|AP|+|BP|=4>2,所以P的轨迹是以A,B为焦点的椭圆(除去与x轴的交点),且a=2,c=1,b=3,所以P的轨迹方程为x24+y23=综上,P的轨迹方程为x24+y214.解:设M(x0,y0),因为M在圆x2+y2=4上,所以x02+y0设R(x,y),又NR=12NM,所以x=x0,y=12即x0=x,y0=2y,将其代入x02+y02=4可得x2+(2y)2=4,化简得x24+y2=1,故点R的轨迹方程为15.x24+y23=1[解析]由题意,不妨令C(-1,0),A(1,0),设折痕与A'C和AA'分别交于M,N两点,则MN⊥AA',连接MA,所以|MA'|=|MA|,所以|MA|+|MC|=|MA'|+|MC|=|A'C|=4>|AC|=2,故所有折痕与A'C的交点M的轨迹为以C,A为焦点的椭圆,故曲线S的方程为x216.x24+y23=1(xy≠0)[解析]设△ABC的内角A,B所对的边分