高考数学科学复习提升版第53讲抛物线（一）

第53讲抛物线(一)[课程标准]1.掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程.2.掌握抛物线的简单几何性质(范围、对称性、顶点、离心率)．1．抛物线的概念平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离eq\x(\s\up1(01))相等的点的轨迹叫做抛物线．点F叫做抛物线的eq\x(\s\up1(02))焦点，直线l叫做抛物线的eq\x(\s\up1(03))准线．2．抛物线的标准方程与几何性质标准方程y2＝2px(p>0)y2＝－2px(p>0)x2＝2py(p>0)x2＝－2py(p>0)p的几何意义：焦点F到准线l的距离图形顶点O(0，0)对称轴eq\x(\s\up1(04))x轴eq\x(\s\up1(05))y轴焦点Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，0))Feq\x(\s\up1(06))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(p,2)，0))Feq\x(\s\up1(07))__eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(p,2)))Feq\x(\s\up1(08))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－\f(p,2)))离心率e＝eq\x(\s\up1(09))1准线方程eq\x(\s\up1(10))x＝－eq\f(p,2)eq\x(\s\up1(11))x＝eq\f(p,2)eq\x(\s\up1(12))y＝－eq\f(p,2)eq\x(\s\up1(13))y＝eq\f(p,2)范围eq\x(\s\up1(14))x≥0，y∈Req\x(\s\up1(15))x≤0，y∈Req\x(\s\up1(16))y≥0，x∈Req\x(\s\up1(17))y≤0，x∈R开口方向向eq\x(\s\up1(18))右向eq\x(\s\up1(19))左向eq\x(\s\up1(20))上向eq\x(\s\up1(21))下抛物线y2＝2px(p＞0)上一点P(x0，y0)到焦点Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，0))的距离|PF|＝x0＋eq\f(p,2)，也称为抛物线的焦半径．1．(人教A选择性必修第一册P133练习T2改编)抛物线y＝2x2的准线方程为()A．y＝－eq\f(1,8) B．y＝－eq\f(1,4)C．y＝－eq\f(1,2) D．y＝－1答案A解析由y＝2x2，得x2＝eq\f(1,2)y，故抛物线y＝2x2的准线方程为y＝－eq\f(1,8).故选A.2．(2023·绍兴模拟)设抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，若点P(1，m)在抛物线上，且|PF|＝3，则p＝()A．1 B．2C．4 D．8答案C解析抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，0))，准线方程为x＝－eq\f(p,2)，点P(1，m)在抛物线上，且|PF|＝3，由抛物线的定义可知1＋eq\f(p,2)＝3，则p＝4.故选C.3．(人教B选择性必修第一册2.7.1练习BT5改编)若动点M(x，y)到点F(4，0)的距离比它到直线x＝－5的距离小1，则点M的轨迹方程是()A．x＝－4 B．x＝4C．y2＝8x D．y2＝16x答案D解析∵点M到F(4，0)的距离比它到直线x＝－5的距离小1，∴点M到F的距离和它到直线x＝－4的距离相等，故点M的轨迹是以F为焦点，直线x＝－4为准线的抛物线，得点M的轨迹方程为y2＝16x.4．(人教A选择性必修第一册3.3.1练习T3改编)已知抛物线C：y2＝8x的焦点为F，点P在抛物线上，|PF|＝6，则点P的横坐标为()A．6 B．5C．4 D．2答案C解析设点P的横坐标为x0，抛物线y2＝8x的准线方程为x＝－2.∵点P在抛物线上，|PF|＝6，∴x0＋2＝6，∴x0＝4.故选C.5．(人教B选择性必修第一册习题2－7CT1(1)改编)设P是抛物线y2＝4x上的一个动点，F是抛物线的焦点．若B(3，2)，则|PB|＋|PF|的最小值为________．答案4解析如图，过点B作BQ垂直准线于点Q，交抛物线于点P1，则|P1Q|＝|P1F|.则有|PB|＋|PF|≥|P1B|＋|P1Q|＝|BQ|＝4，即|PB|＋|PF|的最小值为4.考向一抛物线的定义及标准方程例1(1)(多选)过点P(－2，3)的抛物线的标准方程可以是()A．y2＝－eq\f(9,2)x B．y2＝eq\f(9,2)xC．x2＝－eq\f(4,3)y D．x2＝eq\f(4,3)y答案AD解析设抛物线的标准方程为y2＝kx或x2＝my，代入点P(－2，3)，解得k＝－eq\f(9,2)，m＝eq\f(4,3)，所以y2＝－eq\f(9,2)x或x2＝eq\f(4,3)y.故选AD.(2)(2021·北京高考)已知抛物线C：y2＝4x，焦点为F，点M为抛物线C上的点，且|FM|＝6，则M的横坐标是________；作MN⊥x轴于N，则S△FMN＝________．答案54eq\r(5)解析因为抛物线的方程为y2＝4x，故p＝2且F(1，0)．因为|FM|＝6，所以xM＋eq\f(p,2)＝6，解得xM＝5，故yM＝±2eq\r(5)，所以S△FMN＝eq\f(1,2)×(5－1)×2eq\r(5)＝4eq\r(5).求抛物线的标准方程的方法(1)定义法．(2)待定系数法：当焦点位置不确定时，常采用以下两种模式设抛物线的标准方程：焦点在x轴上设为y2＝ax(a≠0)焦点在y轴上设为x2＝ay(a≠0)1.动圆与定圆A：(x＋2)2＋y2＝1外切，且和直线x＝1相切，则动圆圆心的轨迹是()A．直线 B．椭圆C．双曲线 D．抛物线答案D解析设动圆的圆心为C，半径为r，则C到定圆A：(x＋2)2＋y2＝1的圆心的距离等于r＋1，而动圆的圆心到直线x＝1的距离等于r，所以动圆圆心到直线x＝2的距离为r＋1，根据抛物线的定义知，动圆圆心的轨迹为抛物线．故选D.2．设抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，点M在抛物线C上，|MF|＝5，若以MF为直径的圆过点(0，2)，则抛物线C的方程为()A．y2＝4x或y2＝8x B．y2＝2x或y2＝8xC．y2＝4x或y2＝16x D．y2＝2x或y2＝16x答案C解析抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，0))，设M(x0，y0)，由抛物线的定义，知|MF|＝x0＋eq\f(p,2)＝5，得x0＝5－eq\f(p,2)，则以MF为直径的圆的圆心横坐标为eq\f(5,2)，而圆的半径为eq\f(5,2)，于是得该圆与y轴相切于点(0，2)，得圆心的纵坐标为2，则点M的纵坐标为4，即Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(5－\f(p,2)，4))，从而有42＝2peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(5－\f(p,2)))，整理得p2－10p＋16＝0，解得p＝2或p＝8，所以抛物线C的方程为y2＝4x或y2＝16x.考向二抛物线的几何性质例2(1)(2020·全国Ⅲ卷)设O为坐标原点，直线x＝2与抛物线C：y2＝2px(p>0)交于D，E两点，若OD⊥OE，则C的焦点坐标为()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，0)) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，0))C．(1，0) D．(2，0)答案B解析因为直线x＝2与抛物线y2＝2px(p＞0)交于D，E两点，且OD⊥OE，不妨设点D在第一象限，根据抛物线的对称性可得∠DOx＝∠EOx＝eq\f(π,4)，所以D(2，2)，代入y2＝2px，得4＝4p，解得p＝1，所以其焦点坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，0)).故选B.(2)(2021·新高考Ⅰ卷)已知O为坐标原点，抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，P为C上一点，PF与x轴垂直，Q为x轴上一点，且PQ⊥OP.若|FQ|＝6，则C的准线方程为________．答案x＝－eq\f(3,2)解析解法一：不妨设点P在第一象限，如图，由已知可得Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，p))，所以kOP＝2，又PQ⊥OP，所以kPQ＝－eq\f(1,2).所以直线PQ的方程为y－p＝－eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(p,2))).令y＝0，得x＝eq\f(5,2)p.所以|FQ|＝eq\f(5,2)p－eq\f(p,2)＝2p＝6，所以p＝3，所以C的准线方程为x＝－eq\f(p,2)＝－eq\f(3,2).解法二：由题易得|OF|＝eq\f(p,2)，|PF|＝p，|PF|2＝|OF|·|FQ|，即p2＝eq\f(p,2)×6，解得p＝3或p＝0(舍去)，所以C的准线方程为x＝－eq\f(3,2).(1)涉及抛物线上的点到焦点的距离或到准线的距离时，常可相互转化．(2)应用抛物线的几何性质解题时，常结合图形思考，通过图形可以直观地看出抛物线的顶点、对称轴、开口方向等几何特征，体现了数形结合思想解题的直观性．1.已知抛物线C：y2＝4x与圆E：(x－1)2＋y2＝9相交于A，B两点，点M为劣弧eq\o(AB,\s\up8(︵))上不同于A，B的一个动点，平行于x轴的直线MN交抛物线于点N，则△MNE周长的取值范围为()A．(3，5) B．(5，7)C．(6，8) D．(6，8]答案C解析如图所示，圆E的圆心为(1，0)，半径为3，抛物线的焦点为(1，0)，准线为x＝－1.由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y2＝4x，,（x－1）2＋y2＝9，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝2，,y＝2\r(2)))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝\r(2)，,y＝－2\r(2)，))不妨令A(2，2eq\r(2))，B(2，－2eq\r(2))，所以2<xM<4.设平行于x轴的直线MN交抛物线的准线x＝－1于D，根据抛物线的定义可知|NE|＝|ND|，所以△MNE的周长为|ME|＋|NE|＋|MN|＝3＋|ND|＋|MN|＝3＋|MD|.而|MD|＝xM＋1∈(3，5)，所以3＋|MD|∈(6，8)，即△MNE周长的取值范围是(6，8)．故选C.2．(2023·湖北校考模拟预测)过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的射线与抛物线交于点A，与准线交于点B，若|AF|＝2，|BF|＝6，则p的值为________．答案3解析过点A作AM⊥准线于点M，则|AM|＝|AF|＝2，∵|AF|＝2，|BF|＝6，∴|AB|＝4，由AM∥DF可得eq\f(|AM|,|DF|)＝eq\f(|AB|,|BF|)，即eq\f(2,p)＝eq\f(4,6)，解得p＝3.多角度探究突破考向三与抛物线有关的最值问题角度到焦点与到定点(动点)距离之和最小问题例3(多选)(2023·湖北部分重点中学联考)已知F是抛物线y2＝4x的焦点，P是抛物线y2＝4x上一动点，Q是⊙C：(x－4)2＋(y－1)2＝1上一动点，则下列说法正确的是()A．|PF|的最小值为1B．|QF|的最小值为eq\r(10)C．|PF|＋|PQ|的最小值为4D．|PF|＋|PQ|的最小值为eq\r(10)＋1答案AC解析抛物线的焦点为F(1，0)，准线为x＝－1.对于A，由抛物线的性质可知，|PF|的最小值为|OF|＝1，故A正确；对于B，注意到F是定点，由圆的性质可知，|QF|的最小值为|CF|－r＝eq\r(10)－1，故B错误；对于C，D，过点P作抛物线准线的垂线，垂足为M，由抛物线的定义可知|PF|＝|PM|，故|PF|＋|PQ|＝|PM|＋|PQ|，|PM|＋|PQ|的最小值为点Q到准线x＝－1的距离的最小值，故最小值为4，故C正确，D错误．故选AC.角度到定直线的距离最小问题例4(2023·浙江模拟)已知直线l1：3x－4y－6＝0和直线l2：y＝－2，拋物线x2＝4y上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是()A．2 B．3C.eq\f(11,5) D.eq\f(37,16)答案B解析拋物线x2＝4y的焦点F(0，1)，准线l：y＝－1，设动点P到直线l，l1，l2的距离分别为d，d1，d2，点F到直线l1的距离为d3＝eq\f(|3×0－4×1－6|,\r(32＋（－4）2))＝2，由d2＝d＋1＝|PF|＋1，可得d1＋d2＝d1＋|PF|＋1≥d3＋1＝3，当且仅当PF⊥l1且P在F与l1之间时，等号成立，即动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是3.故选B.与抛物线有关的最值问题的两个转化策略(1)将抛物线上的点到准线的距离转化为该点到焦点的距离，构造出“两点之间线段最短”，使问题得解．(2)将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，利用“与直线上所有点的连线中垂线段最短”原理解决．1.已知P是抛物线y2＝4x上一动点，则点P到直线l：2x－y＋3＝0和y轴的距离之和的最小值是()A.eq\r(3) B.eq\r(5)C．2 D.eq\r(5)－1答案D解析由题意知，抛物线的焦点为F(1，0)．设点P到直线l的距离为d，由抛物线的定义可知，点P到y轴的距离为|PF|－1，所以点P到直线l的距离与到y轴的距离之和为d＋|PF|－1.易知d＋|PF|的最小值为点F到直线l的距离，故d＋|PF|的最小值为eq\f(|2＋3|,\r(22＋（－1）2))＝eq\r(5)，所以d＋|PF|－1的最小值为eq\r(5)－1.2．已知点M(20，40)不在抛物线C：y2＝2px(p>0)上，抛物线C的焦点为F.若对于抛物线上的一点P，|PM|＋|PF|的最小值为41，则p的值为________．答案42或22解析当点M(20，40)位于抛物线内时，如图1，过点P作抛物线准线的垂线，垂足为D，则|PF|＝|PD|，|PM|＋|PF|＝|PM|＋|PD|.当点M，P，D三点共线时，|PM|＋|PF|的值最小．由最小值为41，得20＋eq\f(p,2)＝41，解得p＝42；当点M(20，40)位于抛物线外时，如图2，当点P，M，F三点共线时，|PM|＋|PF|的值最小．由最小值为41，得eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(20－\f(p,2)))\s\up12(2)＋402)＝41，解得p＝22或p＝58.当p＝58时，抛物线C：y2＝116x，点M(20，40)在抛物线内，故舍去．综上，p＝42或p＝22.课时作业一、单项选择题1．(2023·成都模拟)抛物线y＝16x2的焦点坐标为()A．(0，4) B．(4，0)C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,64))) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,64)，0))答案C解析抛物线的标准方程为x2＝eq\f(1,16)y，故焦点坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,64))).故选C.2．(2023·济南期末)已知抛物线的准线方程为x＝1，则该拋物线的标准方程为()A．x2＝－4y B．x2＝4yC．y2＝4x D．y2＝－4x答案D解析由题意知，抛物线的准线方程为x＝1，所以抛物线开口向左，设拋物线的标准方程为y2＝－2px(p>0)，则eq\f(p,2)＝1，即p＝2，所以拋物线的标准方程为y2＝－4x.故选D.3．(2023·北京高考)已知抛物线C：y2＝8x的焦点为F，点M在C上．若M到直线x＝－3的距离为5，则|MF|＝()A．7 B.6 C.5 D.4答案D解析因为抛物线C：y2＝8x的焦点F(2，0)，准线方程为x＝－2，点M在C上，所以M到准线x＝－2的距离为|MF|，又M到直线x＝－3的距离为5，所以|MF|＋1＝5，故|MF|＝4.故选D.4．(2023·邯郸一模)抛物线有一条重要性质：从焦点发出的光线，经过抛物线上的一点反射后，反射光线平行于抛物线的对称轴，反之，平行于抛物线对称轴的光线，经过抛物线上的一点反射后，反射光线经过该抛物线的焦点．已知抛物线C：y2＝2px(p>0)，一条平行于x轴的光线，经过点A(3，1)，射向抛物线C的B处，经过抛物线C的反射，经过抛物线C的焦点F，若|AB|＋|BF|＝5，则抛物线C的准线方程是()A．x＝－4 B．x＝－2C．x＝－1 D．x＝－eq\f(1,2)答案B解析由抛物线的定义可得|AB|＋|BF|＝3＋eq\f(p,2)＝5，解得p＝4，则抛物线C的准线方程是x＝－eq\f(p,2)＝－2.故选B.5．设F为抛物线y2＝2x的焦点，A，B，C为抛物线上三点，若F为△ABC的重心，则|eq\o(FA,\s\up6(→))|＋|eq\o(FB,\s\up6(→))|＋|eq\o(FC,\s\up6(→))|的值为()A．1 B．2C．3 D．4答案C解析由题意可知，点F的坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，0))，又F为△ABC的重心，故eq\f(xA＋xB＋xC,3)＝eq\f(1,2)，即xA＋xB＋xC＝eq\f(3,2).又由抛物线的定义可知|eq\o(FA,\s\up6(→))|＋|eq\o(FB,\s\up6(→))|＋|eq\o(FC,\s\up6(→))|＝xA＋xB＋xC＋eq\f(3,2)＝eq\f(3,2)＋eq\f(3,2)＝3.故选C.6．(2023·十堰二模)已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，抛物线C的准线与坐标轴交于点P，点M(3，2)，且△MFP的面积为2，若Q是抛物线C上一点，则△FMQ周长的最小值为()A．4＋eq\r(2) B．4＋2eq\r(2)C．4＋eq\r(10) D．4＋2eq\r(10)答案B解析由题意可知，△MFP的面积为eq\f(1,2)×p×2＝2，解得p＝2，则F(1，0)，准线方程为x＝－1，|MF|＝eq\r(（3－1）2＋22)＝2eq\r(2)，点Q到准线的距离为|QQ′|，△FMQ的周长最小，需|QF|＋|MQ|最小，即|QQ′|＋|MQ|最小，所以当MQ垂直于抛物线C的准线时，△FMQ的周长最小，且最小值为4＋2eq\r(2).故选B.7．(2023·咸阳模拟)若F是抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点，P是抛物线C上任意一点，|PF|的最小值为1，且A，B是抛物线C上两点，线段AB的中点到y轴的距离为2，则|AF|＋|BF|＝()A．3 B．4C．5 D．6答案D解析由条件可得Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，0))，设P(x0，y0)(x0≥0)，则|PF|2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x0－\f(p,2)))eq\s\up12(2)＋2px0＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x0＋\f(p,2)))eq\s\up12(2)≥eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)))eq\s\up12(2)，当且仅当x0＝0时取等号，所以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)))eq\s\up12(2)＝1，解得p＝2，所以抛物线C的方程为y2＝4x.如图所示，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，因为AB的中点到y轴的距离为2，所以x1＋x2＝4，所以由抛物线的定义可知|AF|＋|BF|＝p＋x1＋x2＝6.故选D.8．已知点P为抛物线x2＝4y上任意一点，点A是圆x2＋(y－6)2＝5上任意一点，则|PA|的最小值为()A.eq\r(5) B．2eq\r(5)C．3eq\r(5) D．6－eq\r(5)答案A解析圆x2＋(y－6)2＝5的圆心为C(0，6)，半径r＝eq\r(5).设Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x0，\f(xeq\o\al(2,0),4)))，则|PC|2＝xeq\o\al(2,0)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(xeq\o\al(2,0),4)－6))eq\s\up12(2)＝eq\f(1,16)xeq\o\al(4,0)－2xeq\o\al(2,0)＋36＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)xeq\o\al(2,0)－4))eq\s\up12(2)＋20，当xeq\o\al(2,0)＝16时，|PC|2有最小值20，数形结合可知|PA|min＝|PC|min－eq\r(5)＝2eq\r(5)－eq\r(5)＝eq\r(5).二、多项选择题9．(2023·衡水联考)已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，P为抛物线上一点，则下列结论正确的是()A．焦点F到抛物线准线的距离为2B．若|PF|＝2，则点P的坐标为(1，2)C．过焦点F且垂直于x轴的直线被抛物线所截得的弦长为2D．若点M的坐标为(1，4)，则|PM|＋|PF|的最小值为4答案AD解析由抛物线的解析式知p＝2，所以抛物线的焦点F(1，0)，准线方程为x＝－1，所以焦点F到抛物线准线的距离为2，故A正确；设抛物线上点P(x，y)，则|PF|＝x＋1＝2，解得x＝1，故y＝±2，则点P的坐标为(1，2)或(1，－2)，故B错误；过焦点F且垂直于x轴的直线被抛物线所截得的弦长为2p＝4，故C错误；如图，当M，P，F三点共线且P在线段MF上时，|PM|＋|PF|取得最小值，即|MF|＝eq\r(（1－1）2＋42)＝4，故D正确．故选AD.10．(2023·大庆模拟)已知抛物线x2＝eq\f(1,2)y的焦点为F，M(x1，y1)，N(x2，y2)是抛物线上两点，则下列结论正确的是()A．点F的坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,8)，0))B．若直线MN过点F，则x1x2＝－eq\f(1,16)C．若eq\o(MF,\s\up6(→))＝λeq\o(NF,\s\up6(→))，则|MN|的最小值为eq\f(1,2)D．若|MF|＋|NF|＝eq\f(3,2)，则线段MN的中点P到x轴的距离为eq\f(5,8)答案BCD解析易知点F的坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,8)))，A错误；根据抛物线的性质知，MN过焦点F时，x1x2＝－p2＝－eq\f(1,16)，B正确；若eq\o(MF,\s\up6(→))＝λeq\o(NF,\s\up6(→))，则MN过点F，则|MN|的最小值即抛物线通径的长，为2p，即eq\f(1,2)，C正确；抛物线x2＝eq\f(1,2)y的焦点为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,8)))，准线方程为y＝－eq\f(1,8)，过点M，N，P分别作准线的垂线MM′，NN′，PP′，垂足分别为M′，N′，P′，所以|MM′|＝|MF|，|NN′|＝|NF|.所以|MM′|＋|NN′|＝|MF|＋|NF|＝eq\f(3,2)，所以|PP′|＝eq\f(|MM′|＋|NN′|,2)＝eq\f(3,4)，所以线段MN的中点P到x轴的距离为|PP′|－eq\f(1,8)＝eq\f(3,4)－eq\f(1,8)＝eq\f(5,8)，D正确．故选BCD.11．设抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F，准线为l，A为C上一点，以F为圆心，|FA|为半径的圆交l于B，D两点．若∠ABD＝90°，且△ABF的面积为9eq\r(3)，则()A．|BF|＝3B．△ABF是等边三角形C．点F到准线的距离为3D．抛物线C的方程为y2＝6x答案BCD解析根据题意，作出图形如图所示．因为以|FA|为半径的圆交l于B，D两点，所以|FA|＝|FB|，又|FA|＝|AB|，所以△ABF为等边三角形，B正确；因为∠ABD＝90°，所以AB∥x轴，所以∠BFO＝60°，所以|BF|＝2p，S△ABF＝eq\f(\r(3),4)|BF|2＝eq\f(\r(3),4)·4p2＝9eq\r(3)，解得p＝3，所以|BF|＝6，所以A不正确；焦点到准线的距离为p＝3，所以C正确；抛物线C的方程为y2＝6x，所以D正确．故选BCD.三、填空题12．(2023·全国乙卷)已知点A(1，eq\r(5))在抛物线C：y2＝2px上，则A到C的准线的距离为________．答案eq\f(9,4)解析由题意可得(eq\r(5))2＝2p×1，则2p＝5，抛物线C的方程为y2＝5x，准线方程为x＝－eq\f(5,4)，所以A到C的准线的距离为1－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(5,4)))＝eq\f(9,4).13.如图，正方形ABCD和正方形DEFG的边长分别为a，b(a＜b)，原点O为AD的中点，抛物线y2＝2px(p＞0)经过C，F两点，则eq\f(b,a)＝________．答案1＋eq\r(2)解析依题意知Ceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,2)，－a))，Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,2)＋b，b))，因为点C，F在抛物线上，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a2＝pa，,b2＝p（a＋2b），))两式相除得eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)))eq\s\up12(2)－2·eq\f(b,a)－1＝0，解得eq\f(b,a)＝1＋eq\r(2)或eq\f(b,a)＝1－eq\r(2)(舍去)．14．(2023·江苏二模)已知点P在抛物线C：y2＝2px(p>0)上，过P作C的准线的垂线，垂足为H，点F为C的焦点．若∠HPF＝60°，点P的横坐标为1，则p＝________．答案eq\f(2,3)解析如图所示，不妨设点P在第一象限，联立eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y2＝2px，,x＝1，))可得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝±\r(2p)，))即点P(1，eq\r(2p))．易知PH⊥y轴，则PH∥x轴，则∠xFP＝∠HPF＝60°，所以直线PF的倾斜角为60°，易知点Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，0))，所以kPF＝eq\f(\r(2p),1－\f(p,2))＝eq\r(3)，整理可得2eq\r(2p)＝eq\r(3)(2－p)，且2－p>0，故0<p<2，等式2eq\r(2p)＝eq\r(3)(2－p)两边同时平方可得3p2－20p＋12＝0，即(3p－2)(p－6)＝0，解得p＝eq\f(2,3)或p＝6(舍去)．四、解答题15．(2020·全国Ⅱ卷)已知椭圆C1：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的右焦点F与抛物线C2的焦点重合，C1的中心与C2的顶点重合．过F且与x轴垂直的直线交C1于A，B两点，交C2于C，D两点，且|CD|＝eq\f(4,3)|AB|.(1)求C1的离心率；(2)设M是C1与C2的公共点，若|MF|＝5，求C1与C2的标准方程．解(1)∵F(c，0)，AB⊥x轴且与椭圆C1相交于A，B两点，则直线AB的方程为x＝c，联立eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝c，,\f(x2,a2)＋\f(y2,b2)＝1，,a2＝b2＋c2，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝c，,y＝±\f(b2,a)，))则|AB|＝eq\f(2b2,a).抛物线C2的方程为y2＝4cx，把x＝c代入y2＝4cx，得y＝±2c，∴|CD|＝4c.∵|CD|＝eq\f(4,3)|AB|，即4c＝eq