山东省聊城市第二中学2024-2025学年高二上学期开学考试数学试题含解析

聊城二中高二开学考试数学试题（时间：120分钟满分：150分）一､单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.）1.若复数满足，则的虚部为（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根据复数模的运算和商的运算化简复数，然后根据虚部的概念求解即可.【详解】因为，所以，所以的虚部为.故选：B2.向量，，则在上的投影向量为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】直接由投影向量公式求解即可.【详解】在上的投影向量为.故选：D.3.若平面截球所得截面圆的面积为，且球心到平面的距离为，则球的表面积为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据给定条件，利用球截面小圆性质及球的面积公式计算即得.【详解】由平面截球所得截面圆的面积为，得此截面小圆半径，而球心到此小圆距离，因此球的半径，有，所以球的表面积.故选：C4.设m，n是两条不同的直线，，是两个不重合的平面，则下列说法正确的是（）A.若，，则 B.若，，则C.若，，则 D.若，，则【答案】C【解析】【分析】根据两平面的位置关系可判断A；根据线面平行的性质结合线线的位置判断B；根据线面的垂直的性质可判断CD.【详解】在A中，若，，则，可能相交或平行，故A错误：在B中，若，，则m与n相交、平行或异面，故B错误：在C中，若，，则由线面垂直性质定理得，故C正确；在D中，若，，则由线面垂直的性质定理得，故D错误.故选：C.5.以下数据为某学校参加学科节数学竞赛决赛的10人的成绩：（单位：分）72，78，79，80，81，83，84，86，88，90．这10人成绩的第百分位数是85，则（）A.65 B.70 C.75 D.80【答案】B【解析】【分析】由样本数据第百分位的定义求解即可得出答案.【详解】因为10人成绩的第百分位数是，而，即第位与第位的平均值，所以是这10人成绩的第百分为数.故选：B.6.自1972年慕尼黑奥运会将射箭运动重新列入奥运会项目以来，这项运动逐渐受到越来越多年轻人的喜爱．已知甲、乙两位射箭运动员射中10环的概率均为，且甲、乙两人射箭的结果互不影响，若两人各射箭一次，则甲、乙两人中至少有一人射中10环的概率为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用独立事件的乘法公式及对立事件的概率公式即可求解.【详解】记“甲射中10环”为事件，“乙射中10环”为事件，，甲、乙两人中至少有一人射中10环的概率为：.故选：D．7.在四棱锥中，底面是平行四边形，为的中点，若，，则用基底表示向量为（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根据空间向量基本定理结合向量线性运算，用基底表示即可.【详解】连接，如图，因为是的中点，所以.故选：B8.已知为直线的方向向量，分别为平面的法向量（不重合），则下列说法中，正确的是（）A B.C. D.【答案】B【解析】【分析】由直线方向向量与平面法向量的位置关系得两平面的位置关系，由此即可得解.【详解】由题意或.故选：B.二､多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分）9.下列结论正确的有（）A.从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，恰有一个黑球与至少有一个红球是互斥事件B.在标准大气压下，水在4℃时结冰为随机事件C.若一组数据1，，2，4的众数是2，则这组数据的平均数为D.某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方法从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为400的样本进行调查．若该校一、二、三、四年级本科生人数之比为，则应从四年级中抽取80名学生【答案】CD【解析】【分析】对于A，分别写出两个事件，根据互斥事件的概念判断；对于B，根据物理知识之间判断选项；对于C，根据众数和平均数公式计算结果；对于D，根据分层抽样的计算公式，计算结果.【详解】对于A，恰有一个黑球包含的事件是“一黑一红”，至少有一个红球包含的事件是“一红一黑”和“两个红球”，两个事件有公共事件，所以不是互斥事件，故A错误，对于B，在标准大气压下，水在4℃时结冰为不可能事件，故B不正确，对于C，众数是2，所以，平均数，故C正确，对于D，由条件可知名学生，故D正确.故选：CD.10.下列命题正确的是（）A.若，则与，共面B.若，则共面C.若，则共面D.若，则共面【答案】ABD【解析】【分析】利用共面向量定理:即若一条向量用另外两条向量线性表示，则这三条向量一定共面，用此法可判断三条向量共面，再利用有公共点的三条向量共面，进而可判断四点共面，针对，可以利用线性运算转化为，再进行判断.【详解】选项A，根据共面向量基本定理可知，与，共面；所以选项A是正确的；选项B，根据共面向量基本定理可知，共面，由于它们有公共点，所以共面；选项C，举反例说明，若，，是一个正方体同一个顶点的三条棱所对应的向量，则它们的和向量是以为起点的对角线向量，而是该对角线向量的相反向量，此时显然四个点不在同一个平面上，所以C选项是错误的；选项D，由可得，则，即，则，此时与选项B一样，可以判断共面，即D选项是正确的；故选：ABD．11.在中，角所对的边分别为下列结论正确的是（）A.若，则为锐角三角形B.若，则C.若，三角形面积，则D.若，则为等腰三角形【答案】BC【解析】【分析】对于A，根据余弦定理，判定为锐角即可求解；对于B，根据大角对大边，及正弦定理求解；对于C，利用三角形的面积计算公式、余弦定理即可求解；对于D，根据正弦定理的边角化，再利用倍角公式及角的范围即可求解.【详解】对于A，由余弦定理得所以为锐角，但是角的大小不清楚，所以不能判定为锐角三角形，故A不正确；对于B，在中，，则，由正弦定理得，，即，故B正确；对于C，由，，得，解得，由余弦定理得，所以，故C正确；对于D，由及正弦定理，得，即，因为，所以或，解得或，所以为等腰三角形或为直角三角形，故D不正确.故选：BC.三､填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）12.已知向量与的夹角为，且，则实数的值为______.【答案】【解析】【分析】根据可得，再根据平面向量的数量积公式求解即可【详解】由可得，即，，代入可得，化简得故答案为：【点睛】平面向量的垂直：若向量，则13.已知水平放置的△ABC是按“斜二测画法”得到如图所示的直观图，其中，则原△ABC的面积为_____．【答案】【解析】【分析】利用“斜二测画法”判断平面图形的形状，然后求解面积即可．【详解】水平放置的△ABC是按“斜二测画法”得到如图所示的直观图，其中B'O'＝C'O'＝2，，可知原△ABC是等腰直角三角形，底边长为4，高为23，则原△ABC的面积为：．故答案为43．【点睛】本题考查斜二测画法，平面图形的面积的求法，考查计算能力．14.某次联欢会上设有一个抽奖游戏，抽奖箱中共有四种不同颜色且形状大小完全相同的小球16个，分别代表一等奖、二等奖、三等奖、无奖四种奖项.其中红球代表一等奖且只有1个，黄球代表三等奖，从中任取一个小球，若中二等奖或三等奖的概率为，小华同学获得一次摸奖机会，则求他不能中奖的概率是____________.【答案】【解析】【分析】根据题意，求得个球中代表无奖的球的个数，利用古典概型的概率计算公式，即可求得结果.【详解】从个球中任取一个小球，中二等奖或三等奖的概率为，故可得代表二等奖和三等奖的球共有个，又代表一等奖的球有个，故代表无奖的球有个，故小华同学获得一次摸奖机会，不能中奖的概率.故答案为：.四､解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤）15.已知复数（，是虚数单位）．（1）若是纯虚数，求实数的值；（2）设是的共轭复数，复数在复平面上对应的点位于第二象限，求实数的取值范围．【答案】（1）；（2）．【解析】【分析】（1）利用复数的除法公式计算并整理，再由纯虚数中实部为零，虚部不为零构建方程组，求得答案；（2）由共轭复数和复数的加减法计算公式整理，再由复数的几何意义构建不等式组，求得答案.【详解】（1），因为为纯虚数，所以，解得．（2）因为是的共轭复数，所以，所以．因为复数在复平面上对应的点位于第二象限，所以，解得．【点睛】本题考查复数中利用纯虚数的定义求参数取值范围，还考查了由复数的几何意义求参数范围，属于基础题.16.已知，.（1）求与的夹角；（2）求；（3）若，，求的面积.【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）把展开，利用向量的夹角公式可得答案；（2）可先将平方转化为向量的数量积计算可得答案；（3）由与的夹角得到，利用三角形面积公式计算可得答案.【小问1详解】因为，所以，又，所以，所以，所以，又，所以；【小问2详解】因为，所以；【小问3详解】因为与的夹角，所以，又，，所以.17.如图，三棱台中，分别为的中点.（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）若求证：平面平面.【答案】证明见解析【解析】【分析】如下【详解】（Ⅰ）证法一：连接设,连接，在三棱台中，分别为的中点，可得，所以四边形是平行四边形，则为的中点，又是的中点，所以,又平面，平面，所以平面.证法二：在三棱台中，由为的中点，可得所以为平行四边形，可得在ΔABC中，分别为的中点，所以又，所以平面平面，因为平面，所以平面.（Ⅱ）证明：连接.因为分别为的中点，所以由得，又为的中点，所以因此四边形是平行四边形，所以又，所以.又平面，，所以平面，又平面，所以平面平面考点：1.平行关系；2.垂直关系.18.在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且．（1）求角B的大小；（2）若，D为边上的一点，，且______，求的面积．请在下列两个条件中选择一个作为条件补充在横线上，并解决问题．①是的平分线；②D为线段的中点．（注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答记分．）【答案】（1）（2）选择①②，答案均为【解析】【分析】（1）由正弦定理和得到，求出；（2）选①，根据面积公式得到，结合余弦定理得到，求出面积；选②，根据数量积公式得到，结合余弦定理得到，求出，得到面积.【小问1详解】由正弦定理知，，∵，代入上式得，∵，∴，，∵B∈0,π，∴【小问2详解】若选①：由平分得，，∴，即．在中，由余弦定理得，又，∴，联立得，解得，（舍去），∴．若选②：因为，所以，即，得，在中，由余弦定理得，即，联立，可得，∴．19.党的十九大报告指出，要以创新理念提升农业发展新动力，引领经济发展走向更高形态.为进一步推进农村经济结构调整，某村举办水果观光采摘节，并推出配套乡村游项目现统计了4月份200名游客购买水果的情况，得到如图所示的频率分布直方图：（1）若将购买金额不低于80元游客称为“水果达人”，现用分层抽样的方法从样本的“水果达人”中抽取5人，求这5人中消费金额不低于100元的人数；（2）从（1）中的5人中抽取2人作为幸运客户免费参加山村旅游项目，请列出所有的基本事件，并求2人中至少有1人购买金额不低于100元的概率；（3）为吸引顾客，该村特推出两种促销方案，方案一：每满80元可立减8元；方案二：金额超过50元但又不超过80元的部分打9折，金额超过80元但又不超过100元的部分打8折，金额超过100元的部分打7折.若水果的价格为11元/千克，某游客要购买10千克，应该选择哪种方案更优惠.【答案】（1）2；（2）；（3）应该选择方案二更优惠.【解析】【分析】（1）由题意可求出金额在“水果达人”的人数30人和消费金额在“水果达人”的人数20人，然后利用分层抽样的比求出5人中消费金额不低于100元的人数为人；（2）由（1）可知抽取的5人中消费金额在的有3人，分别记为，，，消费金额在的有2人，记为，，即可列出所有的基本事件共有10种，其中满足条件的有7种，从而可求出概率；（3）由题意可得该游客要购买110元水果，分别计算两种方案所需支付金额，即可得解.【详解】解：（1）由图可知，消费金额在“水果达人”的人数为：人，消费金额在“水果达人”的人数为：人，