高中数学 3-2-1 几类不同增长的函数模型能力强化提升 新人教A版必修1

【成才之路】高中数学3-2-1几类不同增长的函数模型能力强化提升新人教A版必修1一、选择题1．函数y1＝2x与y2＝x2，当x＞0时，图象的交点个数是()A．0 B．1C．2 D．3[答案]C2．下列函数中，随x的增大，增长速度最快的是()A．y＝50(x∈Z) B．y＝1000xC．y＝0.4·2x－1 D．y＝eq\f(1,100000)·ex[答案]D[解析]指数函数增长速度最快，且e>2，因而ex增长最快．3．某种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4个，4个分裂成8个，……现有2个这样的细胞，分裂x次后得到的细胞个数y为()A．y＝2x＋1 B．y＝2x－1C．y＝2x D．y＝2x[答案]A[解析]y＝2×2x＝2x＋1.4．某公司为了适应市场需求对产品结构做了重大调整，调整后初期利润增长迅速，后来增长越来越慢，若要建立恰当的函数模型来反映该公司调整后利润y与时间x的关系，可选用()A．一次函数 B．二次函数C．指数型函数 D．对数型函数[答案]D[解析]由对数函数图象特征即可得到答案．5．如果寄信时的收费方式如下：每封信不超过20g付邮费0.80元，超过20g而不超过40g付邮费1.60元，依此类推，每增加20g需增加邮0.80元(信的质量在100g以内)．某人所寄一封信的质量为72.5g，那么他应付邮费()A．3.20元 B．2.90元C．2.80元 D．2.40元[答案]A[解析]由题意，得20×3<72.5<20×4，则他应付邮费为0.80×4＝3.20(元)．6．生产一定数量的商品的全部费用称为生产成本，某企业一个月生产某种商品x万件时的生产成本为C(x)＝eq\f(1,2)x2＋2x＋20(单位：万元)．已知1万件售价是20万元，为获取更大利润，该企业一个月应生产该商品数量为()A．36万件 B．18万件C．22万件 D．9万件[答案]B[解析]利润L(x)＝20x－C(x)＝－eq\f(1,2)(x－18)2＋142，当x＝18时，L(x)有最大值．7．在某种金属材料的耐高温实验中，温度y(℃)随着时间t(分)变化的情况由计算机记录后显示的图象如图所示：现给出下列说法：()①前5分钟温度增加越来越快；②前5分钟温度增加越来越慢；③5分钟后温度保持匀速增加；④5分钟后温度保持不变．A．①④ B．②④C．②③ D．①③[答案]C[解析]前5分钟，温度y随x增加而增加，增长速度越来越慢；5分钟后，温度y随x的变化曲线是直线，即温度匀速增加．故说法②③正确．8．已知某食品厂生产100g饼干的总费用为1.80元，现该食品厂对饼干采用两种包装，其包装费及售价如表所示：型号小包装大包装质量100g300g包装费0.5元0.8元售价3.00元8.40元下列说法中，正确的是()①买小包装实惠②买大包装实惠③卖3包小包装比卖1包大包装盈利多④卖1包大包装比卖3包小包装盈利多．A．①④ B．①③C．②③ D．②④[答案]D[解析]小包装平均每元可买饼干eq\f(100,3)克，大包装平均每元可买饼干eq\f(300,8.4)>eq\f(100,3)克，因此买大包装实惠．卖3包小包装可盈利2.1元，卖1包大包装可盈利2.2元，因此卖3包小包装比卖1包大包装盈利少．二、填空题9．现测得(x，y)的两组对应值分别为(1,2)，(2,5)，现有两个待选模型，甲：y＝x2＋1，乙：y＝3x－1，若又测得(x，y)的一组对应值为(3,10.2)，则应选用________作为函数模型．[答案]甲10．某食品加工厂生产总值的月平均增长率为p，则年平均增长率为________．[答案](1＋p)12－111．以下是三个变量y1，y2，y3随变量x变化的函数值表：x12345678…y1248163264128256…y21491625364964…y3011.58522.3222.5852.8073…其中，关于x呈指数函数变化的函数是________．[答案]y1[解析]从表格可以看出，三个变量y1，y2，y3都是越来越大，但是增长速度不同，其中变量y1的增长速度最快，画出它们的图象(图略)，可知变量y1呈指数函数变化，故填y1.12．若a>1，n>0，那么当x足够大时，ax，xn，logax的大小关系是________________．[答案]ax>xn>logax三、解答题13．甲、乙两人连续6年对某县农村鳗鱼养殖业的规模(总产量)进行调查，提供了两个方面的信息，分别得到如下两图．甲调查表明：每个鱼池平均产量直线上升，从第1年1万条鳗鱼上升到第6年2万条．乙调查表明：全县鱼池总个数直线下降，由第1年30个减少到第6个10个．请你根据提供的信息说明：(1)第2年全县鱼池的个数及全县出产的鳗鱼总数；(2)哪一年的规模(即总产量)最大？说明理由．[解析](1)由题意，得图1中的直线经过(1,1)和(6,2)两点，从而求得其解析式为y1＝0.2x＋0.8，图2中的直线经过(1,30)和(6,10)两点．从而求得其解析式为y2＝－4x＋34.则当x＝2时，y1＝0.2×2＋0.8＝1.2，y2＝－4×2＋34＝26，y1×y2＝1.2×26＝31.2，所以第2年全县有鱼池26个，全县出产的鳗鱼总数为31.2万条．(2)设当第m年时，出产量为n，那么n＝y1·y2＝(0.2m＋0.8)(－4m＋34)＝－0.8m2＋3.6m＋27.2＝－0.8(m2－4.5m－34)＝－0.8(m－2.25)14．试比较函数y＝x200，y＝ex，y＝lgx的增长差异．[解析]增长最慢的是y＝lgx，由图象(图略)可知随着x的增大，它几乎平行于x轴；当x较小时，y＝x200要比y＝ex增长得快；当x较大(如x>1000)时，y＝ex要比y＝x200增长得快．15．某学校为了实现100万元的生源利润目标，准备制定一个激励招生人员的奖励方案：在生源利润达到5万元时，按生源利润进行奖励，且奖金y随生源利润x的增加而增加，但奖金总数不超过3万元，同时奖金不超过利润的20%.现有三个奖励模型：y＝0.2x，y＝log5x，y＝1.02x，其中哪个模型符合该校的要求？[解析]借助工具作出函数y＝3，y＝0.2x，y＝log5x，y＝1.02x的图象(图略)．观察图象可知，在区间[5,100]上，y＝0.2x，y＝1.02x的图象都有一部分在直线y＝3的上方，只有y＝log5x的图象始终在y＝3和y＝0.2x的下方，这说明只有按模型y＝log5x进行奖励才符合学校的要求．16．函数f(x)＝1.1x，g(x)＝lnx＋1，h(x)＝xeq\s\up15(eq\f(1,2))的图象如下图所示，试分别指出各曲线对应的函数，并比较三个函数的增长差异(以1，e，a，b，c，d为分界点)．[解析]由指数爆炸、对数增长、幂函数增长的差异可得曲线C1对应的函数是f(x)＝1.1x，曲线C2对应的函数是h(x)＝xeq\s\up15(eq\f(1,2))，曲线C3对应的函数是g(x)＝lnx＋1.由题