2024-2025学年高中数学模块质量检测含解析新人教A版必修5

PAGE7-模块质量检测一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．不等式－x2＋5x＋14≤0的解集为()A．{x|x≥7或x≤2}B．{x|2≤x≤7}C．{x|x≥7或x≤－2}D．{x|－2≤x≤7}解析：－x2＋5x＋14≤0⇒x2－5x－14≥0⇒(x－7)·(x＋2)≥0⇒x≥7或x≤－2.答案：C2．在等差数列{an}中，已知a5＝10，a1＋a2＋a3＝3，则有()A．a1＝－2，d＝3B．a1＝2，d＝－3C．a1＝－3，d＝2D．a1＝3，d＝－2解析：由题意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＋4d＝10,3a1＋3d＝3))，解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝－2,d＝3)).答案：A3．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若B＝2A，a＝1，b＝eq\r(3)，则c＝()A．1或2B．2C.eq\r(2)D．1解析：∵B＝2A，a＝1，b＝eq\r(3)，∴由正弦定理得eq\f(1,sinA)＝eq\f(\r(3),sinB)＝eq\f(\r(3),sin2A)＝eq\f(\r(3),2sinAcosA)，∴cosA＝eq\f(\r(3),2)，由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccosA，即1＝3＋c2－3c，解得c＝2或c＝1(经检验不合题意，舍去)，∴c＝2，故选B.答案：B4．假如a、b、c满意c<b<a且ac<0，那么下列选项中不肯定成立的是()A．cb2<ab2B．c(b－a)>0C．ab<acD．ac(a－c)<0解析：若b＝0，则cb2＝ab2，∴A不肯定成立．答案：A5．等比数列公比为2，且前4项之和为1，则前8项之和为()A．15B．17C．19D．21解析：由eq\f(S8－S4,S4)＝q4得S8＝17.答案：B6．若变量x，y满意约束条件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y≤8，,2y－x≤4，,x≥0，,y≥0，))且z＝5y－x的最大值为a，最小值为b，则a－b的值是()A．48B．30C．24D．16解析：画出可行域，如图所示．由图可知，当直线y＝eq\f(x,5)＋eq\f(z,5)过点A时z取最大值；过点B时z取最小值．联立得方程组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y＝8，,2y－x＝4))⇒eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝4，,y＝4，))故A(4,4)，对x＋y＝8，令y＝0，则x＝8，故B(8,0)，所以a＝5×4－4＝16，b＝5×0－8＝－8，则a－b＝16－(－8)＝24，故选C.答案：C7．在△ABC中，已知a－b＝4，a＋c＝2b，且最大角为120°，则这个三角形的最大边等于()A．4B．14C．4或14D．24解析：∵a－b＝4，a＋c＝2b，∴a＝c＋8，b＝c＋4，∴a为最大边，∵最大角为120°，∴(c＋8)2＝c2＋(c＋4)2－2c(c＋4)cos120°，∴c2－2c－24＝0，∴c＝6，∴a＝c＋8＝14.答案：B8．数列{an}满意an＝－2n＋11，则使得其前n项和Sn>0的n的最大值为()A．8B．9C．10D．11解析：a1＝－2＋11＝9，所以Sn＝eq\f(na1＋an,2)＝eq\f(n9＋11－2n,2)＝n(10－n)，由Sn>0，解得0<n<10，故n的最大值为9.答案：B9．已知x＋y＝3，则2x＋2y的最小值是()A．8B．6C．3eq\r(2)D．4eq\r(2)解析：因为2x>0,2y>0，所以2x＋2y≥2eq\r(2x·2y)＝2eq\r(2x＋y)＝2eq\r(23)＝4eq\r(2).当且仅当2x＝2y＝2eq\f(3,2)，即x＝y＝eq\f(3,2)时等号成立．故选D.答案：D10．设{an}是等比数列，公比q＝2，Sn为{an}的前n项和，记Tn＝eq\f(17Sn－S2n,an＋1)(n∈N*)，设Tn0为数列{Tn}的最大项，则n0＝()A．2B．3C．4D．5解析：由题易得Sn＝eq\f(a11－2n,1－2)＝a1(2n－1)，S2n＝eq\f(a11－22n,1－2)＝a1(22n－1)，an＋1＝a1·2n，∴Tn＝eq\f(17Sn－S2n,an＋1)＝eq\f(17a12n－1－a122n－1,a1·2n)＝17－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2n＋\f(16,2n)))≤17－2eq\r(2n·\f(16,2n))＝17－8＝9，当且仅当2n＝eq\f(16,2n)，即n＝2时取等号，∴数列{Tn}的最大项为T2，则n0＝2，故选A.答案：A11．在△ABC中，若asinA＋bsinB－csinC＝0，则圆O：x2＋y2＝1与直线l：ax＋by＋c＝0的位置关系是()A．相切B．相交C．相离D．不确定解析：因为asinA＋bsinB－csinC＝0，所以a2＋b2－c2＝0，又因为圆心O(0,0)到直线l：ax＋by＋c＝0的距离d＝eq\f(|c|,\r(a2＋b2))＝1，所以圆O：x2＋y2＝1与直线l：ax＋by＋c＝0相切，故选A.答案：A12．已知关于x的不等式x2－4ax＋3a2<0(a>0)的解集为(x1，x2)，则x1＋x2＋eq\f(a,x1x2)的最小值是()A.eq\f(\r(6),3)B.eq\f(2,3)eq\r(3)C.eq\f(2,3)eq\r(6)D.eq\f(4,3)eq\r(3)解析：因为关于x的不等式x2－4ax＋3a2<0(a>0)的解集为(x1，x2所以Δ＝16a2－12a2＝4a2，又a所以x1＋x2＝4a，x1x2＝3a2，所以x1＋x2＋eq\f(a,x1x2)＝4a＋eq\f(a,3a2)＝4a＋eq\f(1,3a)≥2eq\r(4a·\f(1,3a))＝eq\f(4\r(3),3)，当且仅当a＝eq\f(\r(3),6)时取等号．所以x1＋x2＋eq\f(a,x1x2)的最小值是eq\f(4\r(3),3).故选D.答案：D二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)13．在等差数列{an}中，a3＋a7＝37，则a2＋a4＋a6＋a8＝________.解析：由等差数列的性质知a2＋a4＋a6＋a8＝2(a3＋a7)＝2×37＝74.答案：7414．如图，已知两座灯塔A和B与海洋视察站C的距离都等于eq\r(3)akm，灯塔A在视察站C的北偏东20°，灯塔B在视察站C的南偏东40°，则灯塔A与灯塔B的距离为________．解析：由题意知，∠ACB＝120°，∴由余弦定理得AB2＝3a2＋3a2－2eq\r(3)a×eq\r(3)a×cos120°＝9a2，∴AB＝3a答案：3a15．已知正数a，b的等比中项是2，且m＝b＋eq\f(1,a)，n＝a＋eq\f(1,b)，则m＋n的最小值是________．解析：∵m＝b＋eq\f(1,a)，n＝a＋eq\f(1,b)，∴m＋n＝b＋eq\f(1,a)＋a＋eq\f(1,b).由题意知ab＝4，那么b＝eq\f(4,a)，∴b＋eq\f(1,a)＋a＋eq\f(1,b)＝eq\f(4,a)＋eq\f(1,a)＋a＋eq\f(a,4)＝eq\f(5a,4)＋eq\f(5,a)≥2eq\r(\f(5a,4)·\f(5,a))＝5，当且仅当a＝2时取等号，所以m＋n的最小值是5.答案：516．已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，a＝2，且(2＋b)(sinA－sinB)＝(c－b)sinC，则△ABC面积的最大值为________．解析：因为a＝2，所以(2＋b)(sinA－sinB)＝(c－b)sinC可化为(a＋b)(sinA－sinB)＝(c－b)sinC，由正弦定理可得(a＋b)(a－b)＝(c－b)c，即b2＋c2－a2＝bc，由余弦定理可得cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)＝eq\f(bc,2bc)＝eq\f(1,2)，又0<A<π，故A＝eq\f(π,3).因为cosA＝eq\f(1,2)＝eq\f(b2＋c2－4,2bc)≥eq\f(2bc－4,2bc)，所以bc≤4，当且仅当b＝c时取等号．由三角形面积公式知S△ABC＝eq\f(1,2)bcsinA＝eq\f(1,2)bc·eq\f(\r(3),2)＝eq\f(\r(3),4)bc≤eq\r(3)，故△ABC面积的最大值为eq\r(3).答案：eq\r(3)

三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(10分)在△ABC中，已知a＝2eq\r(3)，b＝6，A＝30°，求B及S△ABC.解析：在△ABC中，由正弦定理得eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)，∴sinB＝eq\f(b,a)sinA＝eq\f(6,2\r(3))·eq\f(1,2)＝eq\f(\r(3),2).又A＝30°，且a<b，∴B>A.∴B＝60°或120°.①当B＝60°时，C＝90°，△ABC为直角三角形，S△ABC＝eq\f(1,2)ab＝6eq\r(3).②当B＝120°时，C＝30°，△ABC为等腰三角形，S△ABC＝eq\f(1,2)absinC＝3eq\r(3).18．(12分)已知等差数列{an}的公差为d，且关于x的不等式a1x2－dx－3<0的解集为(－1,3)．(1)求数列{an}的通项公式；(2)若bn＝eq\f(1,nan＋3)，求数列{bn}的前n项和Sn.解析：(1)由题意，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(d,a1)＝2，,－\f(3,a1)＝－3，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(d＝2，,a1＝1.))故数列{an}的通项公式为an＝1＋2(n－1)，即an＝2n－1.(2)由(1)知an＝2n－1，所以bn＝eq\f(1,2n2＋2n)＝eq\f(1,2)·eq\f(n＋1－n,nn＋1)＝eq\f(1,2)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,n)－\f(1,n＋1)))，所以Sn＝eq\f(1,2)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2)))＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)－\f(1,3)))＋…＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,n)－\f(1,n＋1)))))＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,n＋1)))＝eq\f(n,2n＋1).19．(12分)△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.(1)若a，b，c成等差数列，证明：sinA＋sinC＝2sin(A＋C)；(2)若a，b，c成等比数列，求cosB的最小值．解析：(1)因为a，b，c成等差数列，所以a＋c＝2b，即2sinB＝sinA＋sinC．因为sinB＝sin(A＋C)，所以sinA＋sinC＝2sin(A＋C)．(2)因为a，b，c成等比数列，所以b2＝ac，所以cosB＝eq\f(a2＋c2－b2,2ac)≥eq\f(2ac－b2,2ac)＝eq\f(2ac－ac,2ac)＝eq\f(1,2)，当且仅当a＝c＝b时，cosB取得最小值eq\f(1,2)，此时△ABC为正三角形．20．(12分)设数列{an}的各项都是正数，且对于n∈N*，都有aeq\o\al(3,1)＋aeq\o\al(3,2)＋aeq\o\al(3,3)＋…＋aeq\o\al(3,n)＝Seq\o\al(2,n)，其中Sn为数列{an}的前n项和．(1)求a2；(2)求数列{an}的通项公式．解析：(1)在已知式中，当n＝1时，aeq\o\al(3,1)＝aeq\o\al(2,1)，∵a1>0，∴a1＝1；当n≥2时，aeq\o\al(3,1)＋aeq\o\al(3,2)＋aeq\o\al(3,3)＋…＋aeq\o\al(3,n)＝Seq\o\al(2,n)，①aeq\o\al(3,1)＋aeq\o\al(3,2)＋aeq\o\al(3,3)＋…＋aeq\o\al(3,n－1)＝Seq\o\al(2,n－1)，②①－②得aeq\o\al(3,n)＝an(2a1＋2a2＋…＋2an－1＋an)，∵an>0，∴aeq\o\al(2,n)＝2a1＋2a2＋…＋2an－1＋an，即aeq\o\al(2,n)＝2Sn－an，当n＝1时，也满意此式．∴aeq\o\al(2,2)＝2(1＋a2)－a2，解得a2＝－1或a2＝2，∵an>0，∴a2＝2.(2)由(1)知aeq\o\al(2,n)＝2Sn－an(n∈N*)，③当n≥2时，aeq\o\al(2,n－1)＝2Sn－1－an－1，④③－④得aeq\o\al(2,n)－aeq\o\al(2,n－1)＝2(Sn－Sn－1)－an＋an－1＝2an－an＋an－1＝an＋an－1.∵an＋an－1＞0，∴an－an－1＝1，∴数列{an}是以1为首项，1为公差的等差数列，∴an＝n.21．(12分)某食品厂定期购买面粉，已知该厂每天需用面粉6吨，每吨面粉的价格为1800元，面粉的保管等其他费用为平均每吨每天3元，购买面粉每次需支付运费900元．(1)求该厂多少天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的总费用最少？(2)某供应面粉的公司规定：当一次购买面粉不少于210吨时，其价格可享受9折实惠，问该厂是否考虑利用此实惠条件？请说明理由．解析：(1)设该厂应每隔x天购买一次面粉，其购买量为6x吨，由题意知，面粉的保管等其他费用为3[6x＋6(x－1)＋6(x－2)＋…＋6×1]＝3×eq\f(x6x＋6,2)＝9x(x＋1)，设平均每天所支付的总费用为Y1元，则Y1＝eq\f(9xx＋1＋900,x)＋1800×6＝9x＋eq\f(900,x)＋10809≥2eq\r(9x·\f(900,x))＋10809＝10989，当且仅当9x＝eq\f(900,x)，即x＝10时取等号．该厂每隔10天购买一次面粉，才能使平均每天支付的总费用最少．(2)设该厂利用此实惠条件后，每隔x天购买一次面粉，因为不少于210吨，每天用面粉6吨，所以至少每隔eq\f(210,6)＝35天购买一次面粉，即x≥35.设平均每天支付的总费用为Y2元，则Y2＝eq\f(9xx＋1＋900,x)＋1800×6×eq\f(9,10)＝9x＋eq\f(900,x)＋9729(x≥35)，记f(x)＝x＋eq\f(100,x)，x∈[35，＋∞)，设x1，x2∈[35，＋∞)，取x1<x2，则f(x1)－f(x2)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x1＋\f(100,x1)))－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2＋\f(100,x2)))＝(x1－x2)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\