向量在立体几何中的应用 测试卷-2022-2023学年高二年级上册数学北师大版（2019）选择性必修第一册

3.4向量在立体几何中的应用测试卷

一、单选题

1.设］为直线/的一个方向向量，7为平面々的一个法向量，则“ZG=O”是“/ua”的

（）

A.充分非必要条件B.必要非充分条件

C.充要条件D.非充分非必要条件

2.若点A（-1,0,2）,8（1,4,10）在直线/上，则直线/的一个方向向量为（）

A.（1,2,4）B.（1,4,2）C.（0,2-1）D.（0,4,12）

3.如图，在四棱锥S—4BCD中，底面A6CD是矩形，AD=SA=SD=2AB=2,P为

棱4。的中点，且SP_LA8,AA?=/IAS（O</1<1）,若点M到平面S8C的距离为坐，

则实数4的值为（）

4.若平面。的法向量为口，直线/的方向向量为K直线/与平面a的夹角为e,则下

列关系式成立的是（）

A.cos"叁B.cos”.C.sin”与D.sin”典

l/zllvllz/||v|lAllvl

5.已知点P（OJO）,0（-2,0,1）,则直线尸。的一个方向向量可以为（）

A.（-2,-1,-1）B.（1,-2,1）C.（4,2,—2）D.（4,-2,2）

6.在正方体ABCQ—AqGA中，P,Q分别为AB,CO的中点，则（）

A.A81_L平面ABGB.异面直线A片与AG所成的角为30。

C.平面A8Q〃平面BGQD.平面片。。1平面BQP

7.在棱长为2的正方体A8CQ-4乃6。中，M,N两点在线段AG上运动，且MN=1,

给出下列结论：

①在M,N两点的运动过程中，BD工平面BMN；

②在平面8RG上存在一点P，使得〃平面BMN；

③三棱锥MNB的体积为定值也；

3

④以点。为球心作半径为2拉的球面，则球面被正方体表面所截得的所有弧长和为3兀.

其中正确结论的序号是（）

A.①②③B.④C.②④D.②③④

8.如图，在棱长为2的正方体ABC。-A8cA中，M,N分别是棱4必，AA的中点,

A.平面截正方体所得的截面图形是五边形

B.直线用R到平面CMN的距离是冬叵;

17

C.存在点P,使得/与尸。1=90

D.△尸面积的最小值是也.

6

二、多选题

9.在棱长为。的正方体ABC。-ABGR中，则（）

A.AB|_L平面BCR

B.直线4片平面gCR所成角为45。

C.三棱锥A-8cA的体积是正方体ABC。-AqG。体积的g

D.点a到平面AMA的距离为巫a

2

10.如图，在棱长为1的正方体ABCD-AAGA中，。为面AA88的中心，E、F分别

为BC和2G的中点，则（）

B.平面4cA与平面4上〃相交

C.点。到直线AE的距离为巫D.点0到平面\EF的距离为亚

64

11.给出下列命题，其中正确的命题是()

A.若直线/的方向向量为0=(1,0,3),平面a的法向量为五=12,0弓)，则直线/〃a

B.若对空间中任意一点。，有丽=：函+：砺+J近，则P,ARC四点共面

444

C.两个非零向量与任何个向量都不能构成空间的个基底，则这两个向量共线

D.已知向量)=(94T),丐=(122),则£在坂上的投影向量为(1,2,2)

12.已知空间中三点41,0,0),仅0,1,0),C(3,2,l),则下列结论正确的有()

A.与正共线且同向的单位向量是(d；)

B.AB±AC

C.〃与此夹角的余弦值是当

D.平面A8C的一个法向量是(IJ4)

三、填空题

13.已知2=(3,4,-12)是直线/的一个方向向量，斤是平面a的一个单位法向量，且

/_La,则向量”的坐标为.

14.已知平面。的法向量为3=(1,2,-2),直线/的方向向量为7=(-2,九4),且/_La,

则实数祖=.

15.在三棱柱ABC-A3G中，底面为棱长为1的正三角形，侧棱八4,底面A8C,点

力在棱8片上，且30=1,则4D与平面A4.GC所成的角的正弦值为.

16.在如图所示的试验装置中，四边形框架43co为正方形，ABEF为矩形，且

BE=3AB=3,且它们所在的平面互相垂直，N为对角线战上的一个定点，且

2FN=BN,活动弹子”在正方形对角线AC上移动，当亚•丽取最小值时，活动弹

子M到直线BF的距离为.

17.已知7为直线/的方向向量，G为平面。的法向量，且/<za,判断直线/与平面。的

位置关系是平行还是垂直.

(1)7=(-IJ,1),n=(l,4,-3)；

(2)7=(-1,3,2),n=(2,-6,-4).

18.如图，在空间直角坐标系中有长方体A8a)-A8'C7)',且AA=1,BC=2fAA=2,

求直线B'C与平面EBDD所成角的正弦值.

19.如图，在三棱柱P4O-QBC中，侧面ABCD为正方形，AB=4,

PA=PD=遥,ABA.AP,DC上DP,点M在线段P3上，尸。//平面MAC.

(1)求证：M为9的中点;

(2)求二面角8-凡)-4的大小;

(3)在线段AC上是否存在点N,使得直线MN与平面8DP所成的隹为3(T，若存在，求

出A普N的值；若不存在，请说明理由.

20.如图，正方形A8CZ)所在平面外•点P满足PB_L平面A8CO,且AB=3,PB=4.

⑴求点A到平面PCD的距离；

(2)线段6尸上是否存在点E,使得OE_L平面若存在，求出该点位置，若不存在,

则说明理由.

21.如图，四棱锥P—A8CO的底面ABC。是边长为2的菱形，N3AO=60,PO_L底

面ABC。，PD=2,E是PC的中点，F是PB上的点,且BF=2PF.

⑴证明：P。//平面AEF；

(2)求二面角A—8E-C的正弦值;

(3)求三棱锥A—8底产的体积.

22.如图①所示，长方形ABCQ中，AD=2,/3=3,点”是边CD靠近点C的三等分

点，将△4W沿AM翻折到△连接PB,PC,得到图②的四棱锥尸-ABC”.

图①图②

⑴求四棱锥户-ABC例的体积的最大值;

(2)设尸的大小为6,若。,求平面RAM和平面尸8C夹角余弦值的最

小值.

参考答案

1.B

【分析】利用空间向量与立体几何的关系即可得到二者的逻辑关系，进而可得“Zi=o”是

7ua”的必要非充分条件.

【详解】2为直线/的一个方向向量，；；为平面。的一个法向量，

则由2G=0,可得/ua或/〃a,则“2G=0”不是“/ua”的充分条件；

由/ua,可得ZG=O,则“ZG=O”是“/ua”的必要条件.

则“ZG=O”是“/ua”的必要非充分条件.

故选：B

2.A

【分析】由方向向量的概念求解.

【详解】由丽=（2,4,8）,/的方向向量与福平行，只有选项A满足题意，

故选：A

3.A

【分析】先证明SP_L平面A8C"以点尸为原点，PA，无的方向分别为“，z轴的正方

向，建立的空间直角坐标系，利用点到面的距离可求解.

【详解】解：由题意得：

因为SA=SO,P为4。中点

所以SPJ.A£）

又S尸J_A8,人区与AO交于点A,ABI平面ABC。，4）u平面A5C0

所以SP_L平面ABC。

以点尸为原点，PA，方的方向分别为“，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系,

则尸（0,0,0）,4（1,0,0）,8（1JO）,C（-l,l,0）,S（0,0,75）

故丽=（0,-1,0）,通=（-1,0,6）

所以丽=4衣=（-九0,疯）（0。工1）

所以丽=丽+丽？=卜4-1,64

又朝=（1,1,一6）,而=（2,0,0）,设平面S3。的法向量而=（x,y,z）,则'2—6片°

m-CB=2x=0

令z=l,则x=o,y=6,所以/=（0,石,1）.点M到平面SBC的距离为

呼甸卜6+&|73

(1=解得4=g或义=|（舍）

|/n|23

故选：A.

【分析】由线面角的向量求法判断

【详解】由题意得sin6=>^U,

1411Vl

故选：D

5.C

【分析】利用空间向量中直线的方向向量的坐标运算求解即可.

【详解】解：由题意得：

而=（-2,T,l）,则直线尸。的方向向量为4画=（-24-；1,/1）（2。0）

逐项分析即可知只有C符合要求.

故选：C

6.D

【分析】A项反证法可得；

B项由平移法计算异面直线所成角；

C项由面面平行的判断和性质可得结果；

D项建立空间直角坐标系可得结果.

【详解】对于选项A,假设A4_1面从田£,则A4_LAG，这与已知A片与AG不垂直相

矛盾，所以假设不成立.

故选项A错误；

对于选项B,连接OG，D4,,

因为4片〃DC,,所以NOGA为异面直线Ag与AG所成的角或补角,

又因为△AGO为等边三角形，所以NDGA=60。，故选项B错误；

对于选项C,

因为4A〃B。，ADJ/BC，由面面平行的判定定理可得平面〃平面8OG，而平面

BQG与平面BOG相交，所以平面4片。与平面8GQ也相交，故选项C错误；

对于选项D,以O为坐标原点，DA,DC,所在的直线分别为k,5，z轴，建立空间

直角坐标系，如图所示,

设正方体的棱长为1,则。(0,0,0),^(1,1,1),C(0,l,0),小则，可得函=(1,1,1),

比=(0』,0),而=,盘0),设平面居co的法向量为E=(x,y,z),

n.-DB.=x+y+z=0—.、

则一—，可取x=l,贝口=0,z=-l,即n,=(l,0,T),

n.DC=y=0

巧■DB[=a+b+c=0

设平面用。夕的法向量为％=(«/>1),贝小一一.1，

〃，-DP=a+—b=0

2

可取。=1,则6=-2,c=l,可得平面BQP的一个法向量为后=(1,-2,1),

由晨胃=1+07=0,所以)_L后，即平面80。J_平面用。尸，故选项D正确.

故选：D.

7.D

【分析】①建立空间直角坐标系，写出点的坐标，当点N移动到点C时，由于

丽•%=T#0,故8。与8N不垂直，所以①错误；

②证明出线面平行，从而平面CDRG上存在一点P,使得尸C7/平面6MN：

③作出辅助线，利用/.MN8=K.8MY求出体积为定值；

④得到球面被正方体表面所截得的弧为3个半径为2的!圆弧，求出弧长和.

【详解】以D为坐标原点，D4所在直线为x轴，。。所在直线为)，釉，。口所在直线为z轴,

建立空间直角坐标系，

如图1,对于①，当点N移动到点C1时，此时5(2,2,0),0(0,0,0),G(0,2,2),

则丽=(2,2,0),星=(0,2,2)-(220)=(-2,0,2),

因为丽•西=(2,2,0)(-2,0,2)=-4工0,

所以8。与3N不垂直，所以①错误；

对于②，平面BMN与平面BAG为同一个平面，而CD//B%,

所以当点P在CR上时，总有PC〃平面8AG，从而有PC"平面BMN,所以②正确;

图2

如图3,连接3Q,4M，4N,交AG于点0,则8Q_LAG，故片。为三角形与MN的高,

且BQ=；BQi=®,

所以SRWA-=-A//VBO=-X1X>/2=—,

2।I22

又J_平面AMGR,

故k"=VB/MN=gs同“N-BBy=1x^yX2=^y,所以③正确:

图3

DA=DB=g=2垃,

以点。为球心作半径为2&的球面，

球面被正方体表面所截得的弧为以A，AC为圆心，3个半径为2的。圆弧，

4

弧长和为2”2=3兀，所以④正确，

4

故选：D.

8.D

【分析】作出截面图形判断A；由己知可推得用0〃平面CMN,先求出ACMN以及△用MN

的面积，利用等积法可判断B；以A点为坐标原点，建立空间直角坐标系，求出相关点的坐

标，然后求得利用坐标法可判断C、D.

【详解】如图1,直线MN与Gq、CQ的延长线分别交于必,乂，连接。陷,CM分别交

明于此，M，连接MM”NN2,

B

图1

则五边形"MZCMN即为所得的截面图形，故A正确；

由题可知MN〃4A，MNu平面CMN,平面CMN,

・・・B,DJ/平面CMN,故点用到平面CMN的距离即为直线BR到平面CMN的距离,

BC

图2

设点B,到平面CMN的距离为h,由正方体ABCD-ABCR的棱长为2可得,

CM=CN=3»MN=y/2，

则cosNMCN=CM\CN*3?+32一⑸

=8

2cMCN2x3x39

sinZMCN=Vl—cos2Z.MCN=十一J=，

所以SCMN=LcMCNsinNMCN=Lx3x3x^=晅，

△2292

•y=L即xh.历h

••VR.-CMNS0^CMN〃-7X——XH-〃，

Jo326

因为SaRWN='S“AN=-X-x2x|=-,

则―MY=gs*"CG=gxgx2=g,

:，由V瓦_CMN~匕'-BMN»则h=-f所以力=>

16317

所以直线8Q到平面CMN的距离是智，故B正确；

如图3,建立空间直角坐标系，则与(2,0,2),"(0,2,2),C(Z2,0),M(l,0,2),

UUli

则MC=(l,2,-2).

图3

设定=丸闲，0W4W1,

/.PC=AW=l(l,2,-2),又C(220),4(2,0,2),4(0,2,2),

AP(2-2,2-22,22),Pfii=(2,22-2,2-22),PDi=(2-2,22,2-22),

假设存在点P,使得NB/R=9O。，

A-M=2(2-2)+22(22-2)+(2-22)2=0,整理得9分-14/1+4=0,

・・・4=7+岳＞](舍去)或2=Zz姮，

99

故存在点P,使得N8ER=90。，故C正确；

由上知户(2—42—2Z22),所以点P(2T,2—2424)在。。的射影为(0,2,22),

・・・点「（2—42—2%2义）至1」DR的距离为:

d=yJ（2-A）2+（-2A）2=j5A2-4A+4=+y,

,••当4=|'时'"min=

JD

・••故△PQR面积的最小值是_Lx2x&E=生叵，故D错误.

255

故选：D.

9.AC

【分析】建立空间直角坐标系，借助空间向量解决角度距离问题.

【详解】正方体ABC。-A8GA中，以A为坐标原点，分别以福，亚丽为》轴，》轴,

轴正方向，建立如图所示的空叵直角坐标系,

则有A(0,0,0),5(°,0,0),C(a,a,O),D(OM,O),4(0,0,°)，4(〃,0,°)<(。必。),〃(0,。,。).

鬲=(40,a),BC=(0,A,0),可=(-4,0M),福辰=0,福苗=0,

得481_L8C,AB,1CDX,由8CC"u平面8c",BCcCD】=C,工Ag_L平面8cR,A

选项正确；

百耳二(一aaO),鸵=(0,4-4),设平面81cA的一个法向量。=(x,y,z),

则有二J,令x=l,得)，=1,z=l,则无=(1,1,1),

[B}Cn=ay-az=O

卜os<481,矶二J亳，；>工,所以直线AB1平面B]CZ)|所成角不是45。，B

选项错误；

=x2

△B[CD]为边长为、&的等边三角形，SaBCDi~xyjlaxsin60=ga»

I福•司DC

点A到平面4cA的距离％=LL-I=华=会竺。，

AHx/33

三棱锥A-BC0的体积匕=_ls"s-%=Lx立/x毡〃=1々3,而棱长为a的正方体

八3△所c3233

ABC。-AMGA的体积为/,

所以三棱锥A-Bm的体积是正方体ABCD-A£CR体积的1,C选项正确；

Ag=(a,O,a),AD)=(O,a,a),设平面ABQ的一个法向量玩=(/,y：z，)，

-m=ax'+az1=0,..

,令x'=l,得y'=l,z'=T,则用=

g•n=ay+az=0

---/、4c[•所0JQ

AG=(〃MM),点G到平面48⑷的距离为生=匚^_1=二=正a,故D选项错误.

\m\V33

故选：AC

10.BC

【分析】建系，利用空间向量处理线、面关系以及距离问题.

【详解】如图，以O为坐标原点建立空间直角坐标系，则有：

A(1,0,0),C(0,1,0),D(0,0,0)WO}P[0,；.1),0(V}A(1,0』"(1』』)，A(0,0,1),

设平面AM的法向量为3=(x,y,z),

n-=-x+^y=0

umr(I\uur(\\

由A尸十I，5,OJ，A£十y—ij,则.

—.1，

ri-=-—x+y-z=0

令x=2,则y=4,z=3,贝1]〃=(2,4,3),

设平面ACD,的法向量为m=(a,b,c),

rfi-AC=-a+b=0

由从。=(一1,1,0),。£)|=(0,—1,1),则・

m•CD】=-b+c=0

令a=l,贝Ub=c=l,则〃7=(1』,1),

对A:•・•丽二(1,1,1),则:即函与3不共线,

・・・旦。不与平面AE尸垂直，A错误;

943

对B：・・・：01工；，则而与G不共线,

・•・平面AC"与平面A/尸相交，B正确;

uuirumr

uinrf11则cos(罚,器"南荫=V>Of即(粉，屏)为锐角，

对c：・・・4。=(0,5，-5

/umrin.nr、//uuriiuirKI

:.sin(40,%E)=^1-cos2(A。同=",

iiiuiri/uuiruuiTvG

故点O到直线\E的距离为卜&sin(AO.=*，C正确:

Iuuirr«

对D：点O到平面AEP的距离为\^=盗-,D错误.

\n\>3

故选：BC.

【分析】选项A,因为♦>=(),直线/的方向向量。与平面。的法向量方垂直，直线/可能

在平面。内，也可能与平面。平行；选项B,根据空间向量四点共面条件即可判断B：选项

C,根据平面向量基底的定义可判断C；选项D,根据投影向量的公式即可判断D.

【详解】选项A,由已知直线/的方向向量为0=。,0,3),平面。的法向量为万=12,0。)，

所以e.〃=—2+2=0，所以e_L〃，所以直线/uc或/〃a,故A错误；

选项B,因为加=)诙+；而+；而，：+：]=1,根据空间向量四点共面条件可知，

4444444

P,A,B,C四点不共面，故B错误；

选项C,三个不共面的向量可以成为空间的一个基底，两个非零向量与任何一个向量都不能

构成空间的一个基底，则这两个向量共线，故C正确；

选项D,由3=(9,4,-4),办=(1,2,2),

abb9+8-8(1,2,2)

G在行上的投影向量为国•同一r'=(l，2,2),故D正确.

故选：CD.

12.ABC

uim

UUULOJUuuuAC

【分析】首先求出ARACBC,根据陶求出与前共线且同向的单位向量；验证

/UUDUIU\

ABAC=0,可判断B项正误：计算cos(ACBC),可判断C项；求出平面A8C的一个法

向量，即可判断D项正误.

UlULKM111111

【详解】由已知得，AB=(-1,1,0),AC=(2,2,1),=(3,1,1).

HIU

AC

与恁共线且同向的单位向量是陶A项正确;

S-AC=(-l,l,0)(2,2,l)=0,所以而上玄，B项正确;

UUUULU

/UUUUIH\ACBC2x3+2xl+lxl3而

衣与前夹角的余弦值是8s(AC,8。=PR=3xvn1j-,C项正确;

一,、ABn=O-X+j=0

设平面48c的一个法向量是〃=(.%y,z),则＜一,即

[AC-n=O2x+2y4-z=0

取x=l,则;?=(1,1,-4)是平面A8C的一个法向量.

设小=(1,1,4),显然机=(1,1,4)与"=(1,1,-4)不共线，所以D项错误.

故选：ABC.

13.

413亮13413）或（二13产白13聆13

【分析】根据线面关系确定，与用共线的关系，再根据单位向量即可求解.

【详解】根据2=(3,4,T2)是直线/的一个方向向量，/_La,及是平面。的一个单位法向量,

所以，与无共线，且万是单位向量，

__2_(34-12),34-12、

所以"甲种WF=(百或

一3(3,4,-12).3412、

回,2+42+(72)2⑶]3」3

一包田卫/34一12、—,3412、

故答木为；(TTTTB)或(一百'一3百),

14.-4

【分析】根据直线与平面垂直可得直线/的方向向量与平面。的法向量平行，利用两向量平

行的充要条件即可求解.

【详解】因为平面。的法向量为3=(1,2,-2),直线/的方向向量为2=(-2,孙4),且/_La,

所以〃//〃，则存在实数4使得〃=,

也即(-2,帆,4)=(42尢-24),解得：4=—2,m=-4,

故答案为：-4.

15.显

4

【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算可得.

【详解】解：取AC的中点O,连接06,过点O作Oz〃AA，

依题意可得8O/AC,明，底而A8C,所以Oz_L底面A8C,

如图建立空间直角坐标系，

则A(0,—/,0),，

所以AO=^-,-,1,又平面AAGC的法向量可以为〃=(1,0,0),

Z

设AO与平面AAGC所成的角为6，

所以sine=_b±l=2=^,4。与平面AAGC所成的角的正弦值为它.

研W>/244

故答案为：近

4

16.叵

15

【分析】根据给定条件建立以直线BA,BE,8C分别为x轴，y轴，z轴的空间直角坐标系,

利用空间向量即可计算作答.

【详解】因A8CO为正方形，则而平面A8CD1平面ABEF,平面ABCDc平面

ABEF=AB,

于是得A8/平面ABM,又ABEP为矩形，即8E_LAB,以射线84,BE,8C分别为x,y,

z轴的非负半轴建立空间直角坐标系，如图，

则5(0,0,0),41,0,0),以0,0,1),夙0,3,0),/(1,3,0),因点N在M上，且2FN=BN,则

N(|,2,0),

又M在线段AC上移动，则有两=fC5=(f,0,T)(fw[0,n),于是得点时«,0,1T),

砒=(T,3,f-l),丽=(A，2j-l),

__227557

A?£A7yv=/(/--)+6+(r-l)2=2/:--r+7=2(z--)2+y,因此，当,=§时，砥.丽取最

21

小值，此时，点

则丽=g,o,g),I丽|=旧y+(；)2=手，而旃=(1,3,0),则有两.而=g,।阱|=JiU,

因此，点M到直线BF的距离[=।丽(画竺VH5,

"VI的15

所以活动弹子M到直线BF的距离为叵.

15

故答案为：返

15

17.⑴平行

(2)垂直

【分析】(1)由直线方向向量与平面的法向量垂直，得线面平行;

(2)由直线方向向量与平面的法向量平行，得线面垂直.

(1)

7G=-1+4-3=0，/!；?,又/Qa,所以〃/a.

⑵

n=-2/，BP///n，所以/_La.

,«Vio

1o.--------

10

【分析】求出平面夕友协的法向量，用空间向量求解线面角的正弦值.

【详解】9(1,0,2),C(l,2,0),6(1,0,0),0(0,2,0),麻=(0,2,—2),西=(0,0,—2),

.、一\m-B,B=-2z=0

BD=(-l,2,0,设平面2MD的法向量为相=(x,y,z),则_、八，解得：

fn-BD=-x+2y=0

z=0,令y=l得:x=2,则而二(2,1,0),设直线B'C与平面9或)。夹角为0,|,则

I\八^/4+4x^/4+T10

故直线B'C与平面BBDD所成角的正弦值为典

10

19.(1)详见解析：

(2)60：

口、**AN3TAN7

⑶存在‘就避或就=

8

【分析】(1)设4808=0,根据线面平行的性质可得PD//OM,进而即得；

(2)取的中点G,根据线面在直的判定定理可得PG_L平面A8CD,然后利用坐标法利

用面面角的向量求法即得；

(3)设丽=2/，利用线面角的向量求法结合条件即得.

【详解】(1)设ACc8O=O,连接。W,

因为侧面A8CO为正方形，

所以。为5。的中点，

因为尸。〃平面MAC,PDu平面PBD,平面尸8£>ri平面M4C=0M,

所以如〃OM,又0为8。的中点，

所以M为P8的中点；

(2)因为AB//DC,DCLDP,

所以AB_LOP,又48_1_42,八尸。。尸=2,42<=平面4^>,DPu平面AOP,

所以AB4平面4）尸，

取4力的中点G,则PG_LA£）,

由AB_£平面A£>尸，PGu平面ADP,可得A5/PG,

又4304。=AA3u平面"CD，A£>u平面A8CO,

所以PG_L平面48c。，

如图以G为原点建立空间直角坐标系，

则£>（2,0,0）,A（—2,0,0）,P（0,0,Vi）,C（2,4,0）,B（—2,4,0）,M7,2*,

所以而=（4,-4,0）,丽=（2,0,-&）,

设平面PBD的法向量为in=（X,y,z）,

in-BD=4x-4y=0（r-\

则_:，令x=l,则沅=（1］血,

又平面4OP的法向量可取力=（O,LO）,

所以COS（沅，彷==」一=，,

历以\网［，£同1x22，

所以二面角B-PD-A的大小为60。；

（3）假设在线段AC上存在点N,使得直线MN与平面8D尸所成的角为30。,

设丽=4/，因为A（—2,0,0）,C（2,4,0）,林=（4,4,0）,

所以丽=（4444,0）,N（4"2,4/l,0）,又MT2孝｝

所以丽=42-1,42-2-^1又平面的一个法向量为所=（1,1,夜），

所以卜OS(明丽)卜

2（4/t-l）~+（4A-2）~+

整理可得64储-404+21=0,

37

解得2=：或丸),

OO

ANa7

所以在线段AC上存在点N,使得直线MN与平面如P所成的角为30,罢的值为：或

AC8o

20.⑴弓;

(2)不存在，理由见解析.

【分析】(1)利用等积法，根据线而垂直，面面垂直的判定及性质结合条件即得：

⑵利用坐标法，设E(O,O")(Oq<4),结合条件可得瓦.定=—9-430,进而即得.

【详解】(1)由题意,Vp-ACD=^x^x3x3x4=6,

由PB_L平面ABC。，PBu平面尸3C,

可得平面P8C_L平面ABCD,

WDCIBC,且平面尸平面AB8=BC,OCu平面A8CO,

•••OCL平面P8C,PCu平面PBC,

可得OCJ_PC,

・・・CO=3,巾=仔不=5，

・・SW=/X3X5=5，

设A到平面PCD的距离为近则=

32

即”=/，

12

・••点A到平面PCD的距离为三；

(2)以8为坐标原点，分别以BC、84、8P所在直线为x、y、z轴是立空间直角坐标系,

设E（0,0』）（0K，44）,贝IJ元=（3,0,-4）,DE=（-3,-3,Z）,

若。七，平面以。，则诙・无=-9-射=0，

解得，=-=，不合题意，

4

故线段BP上不存在点E,使得。E_L平面布C.

21.（1）证明见详解

⑵浮

⑶哈

【分析】（1）建系，利用空间向量证明线面关系；

（2）利用空间向量求二面角；

（3）先根据空间向量求点尸到平面小的距离，再求三棱锥的体积.

【详解】（1）连接8。，由题意可知：△ABO为等边三角形，

取A3的中点M,连接MO,则MO_LAB,

VABIIDC,则MD工DC,

如图，以。为坐标原点建立空间直角坐标系，则

4（石,-1,0）,8（百,1,0）,（7（0,2,0）,0（0,0,0）/（0,0,2）,£（0,1,1）,尸惇.罟

ULMULM,_\uim(2出44、

可得DP=(0,0,2),AE=(-6,2,1),4尸=一寸,§,彳

m-AE=-后x+2j+z=0

设平面AE尸的法向量加=（x,y,z）,则・

--TT：2644n

m-AF=-----x+—y+—z=0

333

令x=2,则y=\/5,z=0,即机=（2,途,0）,

utiiai厂M-

VW?DP=2X0+X/3X0+0X2=0>且尸。<Z平面AM,

工产。〃平面AM.

UIUUU/L\UI*/L\UW

（2）由（1）可得:AR（0,2,0）,B石=（后,0,l）,BC=（®,l,O）,PC=（O,2,—2）,

设平面ABE的法向量为）=（4力,c）,则已一r,

%BE=da+c=0

令a=l,则〃=0,z=V5,即〃i=p,0,e），

ii>、（X反=-4+/=0

设平面BEC的法向量为丐=（仃』），则」—，

n2-PC=2j-2k=0

令i=l,贝!]/=A=>/5,即％=（1,石,石），

U111_

/ITIB\〃542y/l

可得8sM动=帽二访二〒，

设二面角为。，则可得|cosM=乎，

故二面角A—8E-C的正弦值sin6=J-cos?9;叵.

7

muinrlulu,iiRF,

（3）由⑵可得：AB・BE=0,网=2,照=2