2022届河南省顶级名校高三下学期阶段性联考三数学文试题解析版

2022届河南省顶级名校高三下学期阶段性联考三数学（文）试题一、单选题1．已知集合，，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先化简集合，再由交集的概念，即可得出结果.【详解】因为，，所以.故选：C.2．若复数满足，，则的虚部为（

）A．0 B． C． D．【答案】D【分析】求出，化简，得到的虚部.【详解】，∴虚部为故选：D3．已知l、m是两条不同的直线，是平面，，，则“”是“”的（

）A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件【答案】C【分析】根据空间中线面垂直关系的转化，利用充分条件和必要条件的定义直接判断即可.【详解】依题意，l、m是两条不同的直线，是平面，，，若，则与可以相交，也可以平行，故推不出；若，由线面垂直的性质定理可知，.故“”是“”的必要不充分条件.故选：C.4．在等差数列中，，表示数列的前项和，则（

）A．43 B．44 C．45 D．46【答案】C【分析】根据等差数列的性质，求得，结合等差数列的求和公式，即可求解.【详解】由等差数列中，满足，根据等差数列的性质，可得，所以，则.故选：C.5．若向量，满足，且，则向量与的夹角为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由已知条件结合数量积公式化简即可求解.【详解】因为，，即，，求得，所以向量与的夹角为.故选：B6．已知，，两直线，，且，则的最小值为（

）A．2 B．4 C．8 D．9【答案】D【分析】根据两直线的方程得出，，由两直线垂直的斜率关系，得出，再利用整体乘“1”法和基本不等式，即可求出的最小值.【详解】解：由题可知，，，，，则，，，则，即，，∵，，∴，当且仅当时取等号，所以的最小值为9.故选：D.7．已知函数，则下列结论正确的是（

）A．是偶函数，递增区间是B．是偶函数，递减区间是C．是奇函数，递减区间是D．是奇函数，递增区间是【答案】C【分析】将函数解析式化为分段函数型，画出函数图象，数形结合即可判断；【详解】解：将函数去掉绝对值得，画出函数的图象，如图，观察图象可知，函数的图象关于原点对称，故函数为奇函数，且在上单调递减，故选：C8．我国古代著作《庄子天下篇》引用过一句话：“一尺之棰，日取其半，万世不竭．”其含义是：一尺长的木棍，每天截去它的一半，永远也截不完．在这个问题中，记第n天后剩余木棍的长度为，数列的前n项和为，则使得不等式成立的正整数n的最小值为（

）A．5 B．6 C．7 D．8【答案】B【分析】依题意可得：数列是首项、公比为的等比数列，即可得到通项公式及前项和公式，即可得到不等式，解得即可；【详解】解：由题设可得：数列是首项、公比为的等比数列，∴，，又由可得：，解得：，∵，∴，故选：B．9．函数的图象向左平移个单位长度后所得图象关于直线对称，则函数的一个递增区间是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先根据的图象向左平移个单位长度后所得图象关于直线对称，求得，再求的递增区间，对赋值，求得答案.【详解】的图象向左平移个单位长度后所得图象的解析式为，又其图象关系直线对称，，得，又，得，得，令，得，，令，得，即函数的一个递增区间是.故选：C.【点睛】本题考查了三角函数的图象变换，对称性和单调性，属于中档题.10．如图，底面为矩形的四棱锥，侧棱底面，，.设该四棱锥的外接球半径为，内切球半径为，则的值（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】将四棱锥外接球半径的计算转化为长方体外接球半径的计算，即长方体的体对角线长度的一半即为半径；内切球的半径可采用等体积法转化，运用公式求解.【详解】因为棱锥的侧棱底面，且底面为正方形，所以该几何体的外接球半径等于长、宽、高分别为，，的长方体的外接球半径，因为，，所以外接球半径：，解得:，设内切球球心为点，内切球半径为，则球心到每一个侧面的距离都为，则有：，又，，所以,故,所以．故选：D．【点睛】对于一些常见几何体的外接球半径、内切球半径的结论如下：（1）长、宽、高分别为，，的长方体的外接球半径为；（2）直棱柱的外接球半径满足：，其中为直棱柱的高，为底面图形内切圆的半径.（3）棱锥的内切球半径满足：，其中为该棱锥的体积，为该棱锥的表面积.11．若函数在上无极值，则实数的取值范围（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】求，由分析可得恒成立，利用即可求得实数的取值范围.【详解】由可得，恒成立，为开口向上的抛物线，若函数在上无极值，则恒成立，所以，解得：，所以实数的取值范围为，故选：D.12．已知抛物线的准线与圆只有一个公共点，设是抛物线上一点，为抛物线的焦点，若（为坐标原点），则点的坐标是（

）A．或 B．或C． D．【答案】B【分析】先求出抛物线的焦点，根据抛物线的方程设，则，，再由，可求得的值，即可得答案.【详解】解：抛物线的准线方程为．方程可化为．由题意，知圆心到准线的距离，解得，所以抛物线的方程为，焦点为．设，则，，所以，解得，所以点的坐标为或．故选B．二、填空题13．已知，若向量与共线，则____________．【答案】【分析】首先根据向量共线的坐标表示得到方程，求出，再根据向量数量积的坐标运算计算可得；【详解】解：因为且，所以，解得，所以，所以;故答案为：14．已知是函数的一个极值点，则实数_____．【答案】【分析】求得函数的导数，根据是函数的一个极值点，得到，即可求解.【详解】由题意，函数，可得，因为是函数的一个极值点，所以，解得，经检验当时，是函数的一个极值点．故答案为：.【点睛】本题主要考查了利用函数的极值点求解参数问题，其中解答中熟记函数的极值点的概念，结合导数求解是解答的关键，着重考查推理与运算能力.15．在中，角所对的边分别为，且满足：

，则的面积为____________．【答案】【分析】先由及正弦定理求得，再由求得，由面积公式求解即可.【详解】由及正弦定理得即，又，即，又，故即．由正弦定理及，得故故答案为：.16．如图，是正方体的棱上的一点，且平面，则异面直线与所成角的余弦值为______．【答案】【详解】不妨设正方体的棱长为，如图，当为中点时，平面，则为直线与所成的角，在中，，故答案为.【方法点晴】本题主要考查异面直线所成的角，属于难题.求异面直线所成的角主要方法有两种：一是向量法，根据几何体的特殊性质建立空间直角坐标系后，分别求出两直线的方向向量，再利用空间向量夹角的余弦公式求解；二是传统法，利用平行四边形、三角形中位线等方法找出两直线成的角，再利用平面几何性质求解.三、解答题17．如图，四棱锥中，平面，，，，为上一点，且．（1）证明：平面平面；（2）求三棱锥的体积．【答案】（1）证明见解析；（2）．【分析】（1）证明出平面，利用面面垂直的判定定理可证得结论成立；（2）计算出，利用锥体的体积公式可求得三棱锥的体积.【详解】（1）平面，平面，，在直角梯形中，，，，，所以，为等腰直角三角形，且，，，在中，，，，由余弦定理可得，，则，，平面，平面，平面平面；（2），由（1）可知平面，所以三棱锥的高为，平面，、平面，，，，，，，【点睛】方法点睛：证明面面垂直常用的方法：（1）面面垂直的定义；（2）面面垂直的判定定理.在证明面面垂直时，一般假设面面垂直成立，然后利用面面垂直转化为线面垂直，即为所证的线面垂直，组织论据证明即可.18．已知等差数列中，公差，，且，，成等比数列．(1)求数列的通项公式；(2)若为数列的前项和，且存在，使得成立，求实数的取值范围．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据等差数列的基本量和，列出方程，即可解得和的值，进而可得通项公式.（2）根据裂项相消求和的方式得到，然后根据不等式成立，分参后求最值，即可求解.【详解】(1)设等差数列首项为，由题意可得即又因为，所以故．(2)∵，∴．因为存在，使得成立．即存在，使得成立．即存在，使得成立．（当且仅当时取等号）．故，即实数的取值范围是．19．随着全民运动健康意识的提高，马拉松运动在全国各大城市逐渐兴起，参与马拉松训练与比赛的人数逐年增加，为此某市对人们参加马拉松运动的情况进行了统计调查，其中一项调查是调查人员从参与马拉松运动的人中随机抽取人，对其每周参与马拉松长跑训练的天数进行统计，得到以下统计表：平均每周进行长跑训练天数不大于天天或天不少于天人数若某人平均每周进行长跑训练天数不少于天，则称其为“热烈参与者”，否则称为“非热烈参与者”（1）经调查，该市约有万人参与马拉松运动，估计其中“热烈参与者”的人数；（2）根据上表的数据，填写下列列联表，并通过计算判断是否能在犯错误的概率不超过的前提下，认为“热烈参与马拉松”与性别有关？热烈参与者非热烈参与者合计男140女55合计附：（n为样本容量）0.5000.4000.2500.1500.1000.0500.0250.0100.0050.0010.4550.7081.3232.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828【答案】（1）人；（2）列联表见解析；能.【分析】（1）先求出样本中热烈参与者的频率再乘以即可求解；（2）根据已知条件补全列联表，计算的值，与临界值比较即可判断.【详解】（1）样本中热烈参与者的频率为，所以该市万人参与马拉松运动，热烈参与者的人数人，所以“热烈参与者”的人数为人（2）根据已知条件可知参与马拉松运到的女性有人，所以女性中热烈参与者有人，男性中热烈参与者有人，进而可得列联表如下：热烈参与者非热烈参与者合计男女合计所以能在犯错误的概率不超过的前提下，认为“热烈参与马拉松”与性别有关.20．已知点到的距离与它到直线的距离之比为．（1）求点的轨迹的方程；（2）若是轨迹与轴负半轴的交点，过点的直线与轨迹交于两点，求证：直线的斜率之和为定值．【答案】（1）；（2）证明见解析．【分析】（1）由椭圆的第二定义建立方程化简即可；（2）先设出直线方程，再与椭圆方程联立得到两根之和与两根之积，然后直线与直线的斜率之和用两根之和与两根之积表示出代，再代入计算化简可得定值.【详解】（1）设点，由题意可得．化简整理可得,所以点的轨迹的方程为．（2）由（1）可得，A(-3,0),过点D的直线斜率存在且不为0，故可设l的方程为，，由得，，，而由于直线过点，所以，所以（即为定值）.【点睛】关键点睛：解决本题的关键一是直线与椭圆联立，二是准确的运算.21．已知函数．（1）若曲线在点处的切线为，求；（2）当时，若关于的不等式在上恒成立，试求实数的取值范围．【答案】（1）；（2）．【分析】（1）求导，根据点处的切线为，由求得m，再求得点P的坐标，代入切线方程求解；（2）将在上恒成立，转化为，在上恒成立，令，用导数法求其最小值即可.【详解】（1）∵函数的导数，∴由题意可得，即．则，点坐标为∵点在直线上∴故（2）当时，∵关于的不等式在上恒成立，∴，在上恒成立，设，则，由的导数为，当时，，函数递增，当时，函数递减，则，即，∴当时，，则在递增，所以，则．【点睛】若在区间D上有最值，则（1）恒成立：；；（2）能成立：；.若能分离常数，即将问题转化为：（或），则（1）恒成立：；；（2）能成立：；.22．在直角坐标系中，曲线的参数方程为为参数．以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．（1）当时，求出的普通方程，并说明该曲线的图形形状；（2）当时，P是曲线上一点，Q是曲线上一点，求的最小值．【答案】（1）该曲线是以A(2，0)，B(0，1)为端点的线段；（2）．【分析】（1）当时，消去参数，可直接得出的普通方程；从而可确定该曲线的图形形状；（2）当时，先得曲线的参数方程，设点P坐标；再将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程，利用点到直线的距离公式，结合三角函数的性质，即可得出结果.【详解】（1）当时，曲线的参数方程为为参数），其中，，消得，即该曲线是以A(2，0)，B(0，1)为端点的线段；（2）当时，曲线的参数方程为为参数，因为P是曲线上一点，所以可设，又由化为直角坐标方程可得：，即表示直线；因为Q是曲线上一点，所以，当时，有最小值，即的最小值为.【点睛】思路点睛：利用参数的方法求解曲线上一点与直线上一点距离的最值问题时，一般根据曲线的参数方程设出曲线上任意一点的坐标，再由点到直线的距离公式，结合三角函数的性质，即可求出最值.23．已知函数，．（1）解不等式：；（2）记的最小值为，若实数满足，试证明：．【答案】（1）；（2）证明见解析．【分析】（1）先将函数解析式写成分段函数的形式，分，，三种情况，求解不等式，即可得出结果；（2）根据函数单调性，确定的最小值，得到，再由展开后利用基本不等式即可求出最小值，从而可得结