2021-2022学年新教材高中数学第5章三角函数测评含解析湘教版必修第一册

第5章测评(时间:120分钟满分:150分)一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.sin120°=()A. B.- C. D.-答案C解析由诱导公式可知sin120°=cos30°=,故选C.2.化简sin2α+cos4α+sin2αcos2α的结果是()A. B. C.1 D.答案C解析原式=sin2α+cos2α(cos2α+sin2α)=sin2α+cos2α=1.3.函数y=的定义域是()A.2kπ-,2kπ+(k∈Z)B.2kπ-,2kπ+(k∈Z)C.2kπ+,2kπ+(k∈Z)D.2kπ-,2kπ+(k∈Z)答案D解析由2cosx+1≥0,得cosx≥-,解得2kπ-≤x≤2kπ+,k∈Z.所以函数的定义域是2kπ-,2kπ+(k∈Z).故选D.4.(2021甘肃张掖二中高一期中)若=2,则sinθcosθ的值是()A.- B. C.± D.答案B解析根据同角三角函数的基本关系式,可得=2,解得tanθ=3,所以sinθcosθ=,故选B.5.(2020甘肃天水高一期末)已知函数f(x)=sinωx++2(ω>0)的图象向右平移个单位长度后与原图象重合,则ω的最小值是()A.6 B.3 C. D.答案A解析函数f(x)=sinωx++2(ω>0)的图象向右平移个单位后得到的函数解析式为y=sinωx-++2=sinωx++2,由于平移后的图象与原图象重合,故-=2kπ,解得ω=-6k(ω>0,k∈Z),所以ω的最小值为6.故选A.6.(2021新高考Ⅰ)下列区间中,函数f(x)=7sinx-单调递增的区间是()A.0, B.,π C.π, D.,2π答案A解析由题意知x-,k∈Z,即x∈,k∈Z.当k=0时,函数f(x)=7sin的单调递增区间为,∵,∴是函数f(x)的一个单调递增区间.故选A.7.已知函数f(x)=Atan(ωx+φ)ω>0,|φ|<的部分图象如图所示,若f(x0)=,则x0等于()A. B.,k∈ZC.kπ+,k∈Z D.,k∈Z答案B解析由图可知,函数周期T=2×,故可得ω==2;又fπ=0,故可得φ=kπ-,k∈Z,又|φ|<,故可得φ=;又函数过点(0,1),故可得Atan=1,解得A=1.故f(x)=tan2x+,则f(x0)=,等价于tan2x+=,解得2x0+=kπ+,k∈Z,故x0=,k∈Z,故选B.8.已知函数f(x)=2sinωx(ω>0),f(x1)=f(x2)=-1.若|x1-x2|的最小值为,则ω=()A. B.1 C.2 D.4答案C解析由f(x1)=f(x2)=-1,所以2sinωx1=2sinωx2=-1,sinωx1=sinωx2=-,∴ωx1=+2k1π,k1∈Z,ωx2=+2k2π,k2∈Z,|x1-x2|=,当k1=k2时,|x1-x2|取得最小值.又已知|x1-x2|的最小值为,所以ω=2,故选C.二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.9.下列说法正确的是()A.第二象限角比第一象限角大B.60°角与600°角不是终边相同的角C.正弦函数y=sinx在第一象限是增函数D.将表的分针拨慢10分钟,则分针转过的角的弧度数为答案BD解析由于100°是第二象限角,400°是第一象限角,因此第二象限角比第一象限角大是不正确的,故选项A错误;因为600°≠k·360°+60°,k∈Z,所以60°角与600°角终边不同,故选项B正确;由于,2π+均是第一象限角,但是两个角的函数值相等,因此选项C不正确;D中,将表的分针拨慢10分钟,则分针转过的角的弧度数为,选项D正确.故选BD.10.在△ABC中,下列关系式恒成立的有()A.sin(A+B)=sinCB.cos(A+B)=cosCC.tan(A+B)=tanCD.cos=sin答案AD解析sin(A+B)=sin(π-C)=sinC,故A正确;cos(A+B)=cos(π-C)=-cosC,故B错误;tan(A+B)=tan(π-C)=-tanC,故C错误;cos=cos=sin,故D正确.故选AD.11.下列函数中,以4π为周期的函数有()A.y=tan B.y=sinC.y=sin|x| D.y=cos|x|答案AD解析y=tan,则T==4π,A正确;函数y=sin的最小正周期为8π,因此B不正确;函数y=sin|x|不是周期函数,故C不正确;y=cos|x|=cosx,最小正周期为2π,所以4π也是它的一个周期,故D正确.故选AD.12.下列关于函数y=tan-2x+的说法正确的是()A.在区间-,-上单调递减B.最小正周期是πC.图象关于点,0成中心对称D.图象关于直线x=-成轴对称答案AC解析函数y=tan-2x+=-tan2x-,令-+kπ<2x-+kπ,k∈Z,解得-<x<,k∈Z,所以k=-1时,-<x<-,所以函数y=-tan2x-在区间-,-上单调递减,A正确;又函数y=-tan2x-的最小正周期为T=,所以B错误;当x=时,2x-,所以函数y=-tan2x-的图象关于点,0对称,C正确;正切型函数y=-tan2x-不成轴对称,所以D错误.故选AC.三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.函数f(x)=tan的定义域是.

答案xx≠2kπ+(k∈Z)解析由≠kπ+,k∈Z,解得x≠2kπ+,因此函数f(x)=tan的定义域是xx≠2kπ+(k∈Z).14.已知cosα-sinα=,则sinαcosα=.

答案解析由cosα-sinα=,两边平方得1-2sinαcosα=,所以2sinαcosα=,所以sinαcosα=.15.当x∈时,函数y=3-3sinx-2cos2x的最小值是.

答案-解析当x∈时,由正弦函数图象可知sinx∈-,1,函数y=3-3sinx-2cos2x=2sin2x-3sinx+1=2sinx-2-,故当sinx=时,函数y取得最小值为-.16.已知θ是第四象限角,sinθ+=,则sinθ-=,tanθ-=.

答案--解析由题意sinθ-=-sinθ-+π=-sinθ+=-,cosθ-=sinθ-+=sinθ+=,又θ是第四象限角,∴θ-是第四象限角,sinθ-=-=-=-,∴tanθ-=tanθ-==-.四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(10分)已知函数f(x)=3sinx+-1,x∈R.(1)求函数f(x)的最小值及此时自变量x的取值集合;(2)函数y=sinx的图象经过怎样的变换得到函数f(x)=3sinx+-1的图象?解(1)函数f(x)的最小值是3×(-1)-1=-4,此时有x+=2kπ-,解得x=4kπ-(k∈Z),综上所述,函数f(x)的最小值是-4,此时自变量x的取值集合是xx=4kπ-,k∈Z.(2)步骤是:①将函数y=sinx的图象向左平移个单位长度,得到函数y=sinx+的图象;②将函数y=sinx+的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变),得到函数y=sinx+的图象;③将函数y=sinx+的图象上所有点的纵坐标伸长为原来的3倍(横坐标不变),得到函数y=3sinx+的图象;④将函数y=3sinx+的图象向下平移1个单位长度,得函数y=3sinx+-1的图象.综上所述,将函数y=sinx的图象向左平移个单位长度,横坐标伸长为原来的2倍,纵坐标伸长为原来的3倍,再向下平移1个单位长度,得到f(x)=3sinx+-1的图象.18.(12分)(2020甘肃天水田家炳中心高一期中)设函数f(x)=3sinωx+(ω>0),且以为最小正周期.(1)求f(x)的解析式;(2)求f(x)的对称轴方程及单调递增区间.解(1)由于函数f(x)=3sinωx+(ω>0),且以为最小正周期,∴,即ω=3,所以f(x)=3sin3x+;(2)令3x+=kπ+(k∈Z),求得x=(k∈Z),故函数y=f(x)的图象的对称轴方程为x=(k∈Z).令2kπ-≤3x+≤2kπ+(k∈Z),求得≤x≤(k∈Z),可得函数y=f(x)的增区间为(k∈Z).19.(12分)设函数f(x)=,且f(α)=1,α为第二象限角.(1)求tanα的值;(2)求sinαcosα+5cos2α的值.解(1)∵函数f(x)=,且f(α)=1,α为第二象限角,∴f(α)===-=-=-2tanα=1,∴tanα=-;(2)sinαcosα+5cos2α=.20.(12分)在一块顶角为、腰长为2的等腰三角形钢板废料OAB中裁剪扇形,现有如图所示的两种方案.(1)求两种方案中扇形的周长之差的绝对值;(2)比较两种方案中的扇形面积的大小.解(1)由题意,在顶角为、腰长为2的等腰三角形钢板废料OAB中裁剪扇形,方案一:可得∠OAD=,R1=2,所以扇形的周长为C1=2R1+×R1=2×2+=4+;方案二:可得∠MON=,R2=1,所以扇形的周长为C2=2R2+×R2=2×1+=2+,所以两种方案中扇形的周长之差的绝对值|C1-C2|=4+-2+=2-=2-.(2)由(1),根据扇形的面积公式,可得方案一:扇形面积为S1=α1×22=;方案二:扇形面积为S2=α2×12=.所以两方案扇形面积一样大.21.(12分)已知函数f(x)=sin(2x+φ)ω>0,|φ|<,.

请在①函数f(x)的图象关于直线x=对称,②函数y=fx-的图象关于原点对称,③函数f(x)在-π,-上单调递减,在-上单调递增这三个条件中任选一个,补充在上面的问题中,并加以解答.注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分.(1)求函数f(x)的解析式;(2)若将函数y=f(x)的图象上所有点的横坐标变为原来的2倍(纵坐标不变),再将所得图象向右平移个单位长度,得到函数y=g(x)的图象,求函数g(x)在-上的值域.解(1)若选①,函数f(x)的图象关于直线x=对称,则2×+φ=+kπ,k∈Z,则φ=+kπ,k∈Z,因为|φ|<,所以φ=,所以函数解析式为f(x)=sin2x+;若选②,函数y=fx-=sin2x-+φ图象关于原点对称,则-+φ=kπ,k∈Z,则φ=+kπ,k∈Z,因为|φ|<,所以φ=,所以函数解析式为f(x)=sin2x+;若选③,函数f(x)在-π,-上单调递减,在-上单调递增,则函数f(x)在x=-处取得最小值,则f(x)=sin2×-+φ=-1,则2×-+φ=-+2kπ,k∈Z,所以φ=+2kπ,k∈Z,因为|φ|<,所以φ=,所以函数解析式为f(x)=sin2x+.(2)由题意可得函数g(x)=sinx-,因为x∈-,所以x-∈-,所以当x-=-时,g(x)min=sin-=-1;当x-时,g(x)max=sin.所以函数g(x)在-的值域为-1,.22.(12分)海水受日月的引力,在一定的时候发生涨落的现象叫潮.一般地,早潮叫潮,晚潮叫汐.在通常情况下,船在涨潮时驶进航道,靠近码头;卸货后,在落潮时返回海洋.下面是某港口在某季节每天的时间与水深的关系表:时刻水深/米时刻水深/米时刻水深/米0:004.259:001.7518:004.253:006.7512:004.2521:001.756:004.2515:006.7524:004.25(1)设港口在x时刻的水深为y米,现利用函数模型y=Asin(ωx+φ)+h(A>0,ω>0,-π<φ<π)建立这个港口的水深与时间的函数关系式,并求出x=7时,港口的水深.(2)一条货船的吃水深度(船底与水面的距离)为4米,安全条例规定至少要有1.5米的安全间隙(船底与洋底的距离),问该船何时能进入港口,何时应离开港口?一天内货船可以在港口待多长时间?解(1)因为港口在0:00时刻的水深为4.25米,结合数据和图象可知h=4.25,A==2.5,因为T=12,所以ω=,所以y=2.5sinx+φ+4.25.因为x=0