线性代数-课件5

主编管典安倪臣敏主审谢志春线性代数大连理工大学出版社普通高校应用型人才培养试用教材由前面章节,我们发现线性方程组的解的情况与系数矩阵的行阶梯形矩阵的非零行的行数有关,因此我们引入矩阵秩的概念,来描述方程组解的情况.

定义1

设A

是m×n

矩阵,经过有限次初等行变换把它变为行阶梯形矩阵,则行阶梯形矩阵中非零行的行数即是矩阵A

的秩,记作R(A).并规定零矩阵的秩等于0.设例1求矩阵A

及矩阵B=(A,b)的秩.

解对B

作初等行变换变为行阶梯形矩阵,设B

的行阶梯形矩阵为B1=(A1,b1),则A1

就是A

的行阶梯形矩阵,故从B1=(A1,b1)中可同时看出R(A)及R(B).

因此,R(A)=2,R(B)=3.

定理1设A

是m×n

矩阵,增广矩阵B=(A,b)则

(1)齐次线性方程组Ax=0有非零解的充要条件是R(A)<n,只有零解的充要条件是R(A)=n.

(2)非齐次线性方程组Ax=b有解的充要条件是R(A)=R(B),且当R(A)=R(B)=n

时方程组有唯一解,当R(A)=R(B)=r<n

时方程组有无穷个解.

注意:由第4章可知,向量组a1,a2…an

的线性相关性决定于齐次线性方程组(a1,a2,…,an)x=0是否有非零解,由定理1可得,当R(a1,a2,…,an)=n

时,a1,a2,…,an

线性无关;当R(a1,a2,…,an)<n

时,a1,a2,…,an

线性相关.在这里,介绍矩阵秩的一些常用性质:注意:若n

阶方阵A满足R(A)=n,则A≠0,此时也称A

为满秩方阵;另外,若矩阵A

的秩等于它的行数,则称矩阵A

为行满秩矩阵;若矩阵A

的秩等于它的列数,则称矩阵A

为列满秩矩阵.A组

答案1.求下列矩阵的秩.(1)3;(2)3;(3)3A组2.求矩阵A

和B

的秩,其中

答案R(A)=2,R(B)=3A组3.设

答案a=5,b=1已知R(A)=2,求a

与b

的值.B组

答案(1)k=1,R(A)=1;(2)k=-2,R(A)=2;(3)k≠1,k≠-2,R(A)=3B组

答案a=-3B组

答案提示:利用A(B-C)=O及秩的性质设有齐次线性方程组记则齐次线性方程组(1)可写成向量方程称为齐次线性方程组(1)的解向量,它也就是向量方程(2)的解.例１求齐次线性方程组的基础解系与通解.解对系数矩阵A作初等行变换,变为行最简形矩阵,有得由上述例子,我们不加证明地给出下面的定理:定理1

设A

是m×n

矩阵,且R(A)=r,则n元齐次线性方程组Ax=0的解集S

的秩R(S)=n-r.通解为A组1.求齐次线性方程组答案的基础解系与通解.A组2.求齐次线性方程组

答案的基础解系与通解.B组

答案1.设A

为四阶矩阵,R(A)=3,且A

的每行元素之和为0,求方程组Ax=0的通解.B组

答案2.设A=

,且Ax=0的基础解系含有两个线性无关的解向量,求Ax=0的通解.B组3.已知方程组有非零解,求常数a,并求该方程组的通解.

答案B组4.证明:设A、B

均为n

阶非零矩阵,若B

的每一列是齐次线性方程组Ax=0的解,则|A|=0,|B|=0.

答案提示:利用矩阵秩的性质:若Am×nBn×l=O,则R(A)+R(B)≤n设有非齐次线性方程组记则非齐次线性方程组(1)可写成向量方程

性质1若x=η1,x=η2

为非齐次线性方程组(1)的解,则x=η1-η2

为对应的齐次线性方程组的解.

证明A(η1-η2)=Aη1-Aη2=b-b=0,即x=η1-η2

满足齐次线性方程组(3).

证明A(ξ+η)=Aξ+Aη=0+b=b,即x=ξ+η

满足非齐次线性方程组(1).由性质2,我们推出如下定理:性质2

若x=ξ

为非齐次线性方程组(1)的解,x=η

为对应的齐次线性方程组Ax=0的解,则x=ξ+η仍是非齐次线性方程组(1)的解.定理1

非齐次线性方程组Ax=b

的通解等于其对应的齐次线性方程组Ax=0的通解加上它本身的一个特解.求解方程组例１

解对增广矩阵B作初等行变换,变为行最简形矩阵,有得取x3=0,则x1=0,x2=4,即得方程组的一个解在对应的齐次线性方程组中,取x3=1,则x1=-3,x2=-1,即得对应的齐次线性方程组的基础解系于是所求通解为A组1.求解方程组答案A组2.求解方程组答案B组

1.讨论k

取何值时,下列方程组无解、有解?有解时求出方程组的通解

答案B组

2.讨论a

取何值时,下列方程组有无数个解,并求出方程组的通解

答案

答案a,b,c至少有两个相等.有非零解,求a,b,c满足的条件.

1.设齐次线性方