概率论复习纲要

概率论复习纲要PAGEPAGE8概率论与数理统计复习纲要

第一章概率论的基本概念要求掌握：样本空间、随机事件的概念;会用事件的运算及关系表达复杂事件;A、B互不相容：AB=；A、B相互对立（互逆事件）：AB=，A+B=;A、B相互独立：P(AB)=P(A)P(B)典型的古典概型与(几何概型问题);伯努里概型；概率的基本性质：0P(A);P()=1;P()=0;可列可加性概率的加法公式即多除少补原理（重点是两个事件的）：P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB);条件概率：;概率的乘法公式：P(A)>0,P(AB)=P(A)P(B|A);全概率公式和贝叶斯公式：若B1,B2,┅,Bn是样本空间S的一个划分,且P(Bi)>0则有全概率公式;贝叶斯公式:;第二章随机变量及其分布要求掌握：随机变量的概念;随机变量的分布函数;常见的离散型随机变量及其分布律;常见的连续型随机变量及其概率密度及随机变量函数的分布。离散型：两点分布、二项分布、泊松分布、几何分布；连续型：正态分布、均匀分布、指数分布随机变量的分布函数是事件{Xx}的概率FX(x)=P{Xx}分布函数FX(x)具有基本性质如：F(x)单调不减，0F(x)1,右连续，P{x1<Xx2}=FX(x2)-FX(x离散型随机变量例:X=xk-101pk0.10.30.6连续型随机变量分布函数F(x)连续密度函数f(x)非负例:已知连续型随机变量的概率密度为(x),求其线性变换=a+b的概率密度.解:先求随机变量的分布函数F(x)=P{x}=P{a+bx}当a>0=P{}=F()的概率密度为分布函数导函数f(x)=F(x)=[F()]=()注记:当a<0F(x)=P{x}=P{a+bx}=P{}=1-P{<}=1-F()f(x)=F(x)=[1-F()]=-()例如在[1,5]上服从均匀分布,则=3-1的概率密度为∴f(x)=()=例:已知连续型随机变量的概率密度为(x),求其平方变换=2的概率密度解:随机变量的分布函数当x0F(x)=P{x}=P{2x}=0当x>0F(x)=P{x}=P{2x}=P{||}=F()-F(-)=2的概率密度f(x)=F(x)=[F()-F(-)]=例:~N(0,1)的概率密度(x)为偶函数,∴=2~(1)的概率密度为:f(x)=,x>0第三章多维随机变量及其分布要求掌握：二维离散型随机变量及其分布律;二维连续型随机变量及其概率密度;边缘分布与条件分布;随机变量的独立性;两个随机变量的简单函数的分布第四章随机变量的数字特征要求掌握：随机变量的数学期望与方差，矩与相关系数。公式概览：1-1离散型随机变量的联合分布律pij=P{X=xi,Y=yj}XY012pi.=P{X=i}00.10.10.20.410.20.30.10.6p.j=P{Y=j}0.30.40.3事件{X=xi,Y=yj}表示事件{X=xi}与{Y=yj}都发生1-2关于的边缘分布律x关于的边缘分布律y1-3当相互独立pij=P{X=xi,Y=yj}=xy1-4条件分布P{X=xi|Y=yj}=P{Y=yj|X=xi}=——————————————————————————————————————————————————————————————————1-5E(X)=；E(X2)=；D(X)=E(X2)-E2(X)Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)E(X)=00.4+10.6=0.6;E(X2)=020.4+120.6=0.6;E(Y)=00.3+10.4+20.3=1;E(Y2)=020.3+120.4+220.3=1.6;D(X)=E(X2)-E2(X)=0.6-0.36=0.24;D(Y)=E(Y2)-E2(Y)=0.6XY012P{XY=j}0.60.30.1Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)=0.5-0.6=-0.12-1二维连续型随机变量的概率密度f(x,y)与边缘密度的关系————————————————————————————————————————————————————————————————————2-2条件密度2-3独立性f(x,y)=fX(x)fY(y)——————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————例：设X1,X2…Xn相互独立同分布,且E(Xi)=μ,D(Xi)=求证:例：设X~N(μ,σ2),X1,X2…Xn是来自总体X的样本则X1,X2…Xn相互独立均服从参数为μ,σ2的正态分布,样本方差,求D(S2)解:由P152定理一,∵D(Y)=2(n-1)∴D(S2)=常用结论与公式1.随机变量相互独立,则随机变量X2Y2相互独立.2.随机变量相互独立,且X~N(),Y~N(),则X+Y~N().3.随机变量相互独立,且X~(n1),Y~(n2),则X+Y~(n1+n2).4.随机变量相互独立,分布函数为FX(x)FY(y)则随机变量M=max{X,Y}的分布函数FM(z)=FX(z)FY(z)随机变量N=min{X,Y}的分布函数FN(z)=[1-FX(z)][1-FY(z)]5.D(X)=E(X2)-E2(X),Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)6.E(aX+bY)=aE(X)+bE(Y)7.D(aX+bY)=a2D(X)+b2D(Y)+2abCOV(X,Y)相互独立E(XY)=E(X)E(Y)D(aX+bY)=a2D(X)+b2D(Y)9.相互独立,协方差Cov(X,Y)=0,相关系数ρ=0,不相关反之不一定,即不相关,不一定相互独立.（圆盘上均匀分布可作为反例）只有当(X,Y)为二维正态分布,相互独立,不相关为等价关系.————————————————————————————————————————————————————————————————————第五章大数定律及中心极限定理§1.大数定律定理一（Chebyshev特殊情形）设X1,X2…Xn…相互独立同分布,且E(Xi)=μ,D(Xi)=.定理二（Bernoulli）设nA是n次独立试验中事件A发生的次数,p是一次试验中事件A发生的概率,则对任意正数ε>0,证明:引进随机变量X1,X2…Xn相互独立同为0-1分布,E(Xi)=p,D(Xi)=pqnA=X1+X2+…+Xn,由定理一定理三（Khinchine）:设X1,X2…Xn…相互独立同分布,且E(Xi)=μ,则对任意正数ε>0,§2.中心极限定理定理一（独立同分布）设X1,X2…Xn…相互独立同分布,且E(Xi)=μ,D(Xi)=则即即定理三(DeMoivre-Laplace):二项分布Yn~B(n,p)Yn=X1+X2+…+Xn,X1,X2…Xn相互独立同为0-1分布,E(Xi)=p,D(Xi)=pq则即例:一批产品中优等品率为0.8,从中任取500件,求优等品未超过81%的概率.解:设500件中优等品的件数为ξ,则ξ~B(500,0.8)50081%=405np=400,npq=80第六章样本及抽样分布要求掌握：总体、样本、统计量的概念,样本均值、样本方差的计算三大统计学分布2分布，t分布，F分布的构造式定义。若X1,X2,…,Xn是来自总体X的样本,则X1,X2,…,Xn相互独立且与总体X有相同的分布即有E(Xi)=E(X)D(Xi)=D(X)统计量是样本X1,X2,…,Xn不含未知参数的函数常用统计量：样本均值,样本方差1.设X1,X2,…,Xn来自正态总体X~N(μ,σ2)的样本则样本均值**2.设X1,X2,…,Xn相互独立且均为标准正态分布,则3.设X1,X2,…,Xn相互独立且均为标准正态分布,则与相互独立;且~4.设X1,X2,…,Xn相互独立且均为正态分布N(μ,σ2),则与相互独立;且=~5.设X,Y相互独立且X~N(0,1),Y~则T=6*.设X1,X2,…,Xn来自正态总体X~N(μ,σ2)的样本样本均值,样本方差,则*7.设X1,X2,…,Xn1和Y1,Y2,…,Yn2分别为来自两个相互独立的正态总体X~N(μ1,σ2)和Y~N(μ2,σ2)的样本,则8.设X,Y相互独立,且X~,Y~,则设X1,X2,…,Xn1和Y1,Y2,…,Yn2分别为来自两个相互独立的正态总体X~N(μ1,σ)和Y~N(μ2,)的样本,则第七章参数估计要求掌握：矩估计、极大似然估计,估计量的无偏性、有效性,正态总体的均值与方差的双边区间估计一、矩估计（MomentEstimation）设X1,X2是来自总体X的样本,θ1,θ2总体X的分布函数的未知参数,若总体X的一阶原点矩E(X),二阶原点矩E(X2)存在,A1=为X的一阶样本原点矩,A2=为X的二阶样本矩因为由大数定律A1=依概率收敛于E(X),A2=依概率收敛于E(X2)故令A1作为E(X)的估计,故令A2作为E(X2)的估计即令=A1=,=A2=,通常E(X)与E(X2)含有未知参数θ1,θ2,即可得到未知参数θ1,θ2与样本的估计关系，得出矩估计量。例1:总体X~,未知,X1,X2,…,Xn是来自总体X的样本,求:的矩估计量.解:∵E(X)=,且只有一个未知参数，由=A1=∴为的矩估计量.例2:总体X在[a,b]上服从均匀分布,a,b未知,X1,X2,…,Xn是来自总体X的样本,试求参数a,b的矩估计量.解:∵E(X)=(a+b)/2,D(X)=(b-a)2/12∴E(X2)=(b-a)2/12+(a+b)2/4由=A1=,=A2=二、极大似然估计（MaximalSimilarityEstimation）设X1,X2,…,Xn是来自总体X的样本,总体X的分布函数为F(x,θ),θ是未知参数,若X为连续型随机